Pemetaan Linear Yang Mengawetkan Invers Drazin Matriks Atas Lapangan

   

Sutopo 

Jurusan Matematika 

Fakultas Matematika dan Pengetahuan Alam  Universitas Gadjah Mada 

sutopo_mipa@ugm.ac.id   

Abstact   

  Diberikan  F lapangan dengan minimal lima elemen.  M_n( )F  adalah himpunan semua  matriks nxn atas lapangan F. Pada penelitian ini dikaji tentang bentuk pemetaan  linear dari M_n( )F   ke    M_m( )F yang mempertahankan invers Drazin matriks atas lapangan dengan   dan  

.  2 ch F ≠ , 1 m n>  

Kata kunci : lapangan, invers Drazin.   

Pendahuluan.  Latar belakang 

   Linear Preserver Problem merupakan masalah yang sampai saat ini masih aktif 

dikaji oleh matematikawan terutama yang bekerja pada teori matriks dan teori 

operator. Banyak hasil yang telah diperoleh pada Linear Preserver Problem ini 

antara lain pemetaan linear yang mengawetkan sifat idempoten, pemetaan linear 

yang  mengawetkan  rank  matriks  dan  pemetaan  linear  yang  mengawetkan 

detrminan matriks. Invers Drazin merupakan perumuman dari invers biasa dan 

pemetaan linear yang mengawetkan invers Drazin merupakan masalah yang sangat 

menarik untuk dijkaji. 

Perumusan Masalah 

Diberikan himpunan matriks nxn M_n( )F  dan himpunan matriks mxm  M_m( )F  dan 

 menotasikan hinpunan semua pemetaan linear dari  

Γ M_n( )F  ke  M_m( )F  yang 

mempertahankan invers drazin matriks. Pada tulisan ini dikaji   karakteristik dari 

elemen Γ. 

Tujuan dan Manfaat 

Tujuan  penelitian  ini  adalah  mengkaji  bentuk  pemetaan  linear  yang 

diharapkan adalah memperkaya kajian tentang masalah pemetaan linear yang 

mempertahankan invers tergeneralisasi matriks  dan merupakan salah satu kajian 

yang menarik khususnya dalam teori matriks. 

Pembahasan 

Pada tulisan ini F menyatakan lapangan,   menyatakan semua elemen tak nol 

dari F. Himpunan semua matriks nxn dengan unsur‐unsurnya anggota F dinotasikan 

dengan 

*

F

( )

n

M F , Matriks  X∈M_nxn( )F  disebut invers drazin matriks  A∈M_nxn( )F  jika 

X  adalah penyelesaian dari persamaan‐persamaan : 

(i). AX = XA 

(ii).XAX = X  

(iii).A XAk = Ak untuk suatu bilangan bulat positif k. 

Apabila    AD  menotasikan  invers  Drazin  dari  matriks  A  untuk  sebarang 

, maka pemetaan linear T dari 

( )

nxn

A∈M F M_n( )F  ke    M_m( )F mempertahankan 

invers Drazin dari  matriks apabila   T(AD)=T( )A D untuk setiap  , dan 

himpunan semua pemetaan linear dari 

( ) nxn A∈M F ( ) n M F  ke    M_m( )F  yang mempertahankan 

invers  Drazin  dinotasikan  dengan    Γ.  Pada  tulisan  ini    lapangan  F  diasumsikan 

mempunyai paling sedikit lima elemen. 

Himpunan semua matriks nxn yang invertible dinotasikan dengan  , 

sedangkan 

( )

n Gl F ij

E  menotasikan matriks dengan unsur 1 pada posisi (i,j) dan 0 pada yang 

lainnya,   0_t menyatakan himpunan matriks 0 txt dan 

[ ]

1,n =

{

1, 2,...,n

}

. 

Matriks  A dan  B dikatakan similar jika terdapat matriks invertible   sedemikian 

sehingga 

P

1

A=PBP−  

   

  Teorema berikut sangat penting untuk menghasilkan teorema utama pada 

tulisan ini. 

Teorema 3.2 

Diberikan    pemetaan  linear  yang  mengawetkan  idempoten 

matriks, , 

: _n( ) _m(

T M F →M F)

2

ch F ≠ 1 n< ≤m, maka   mempunyai bentuk salah satu dari dua bentuk 

berikut. 

(i). T =0 

(ii). Terdapat matriks P∈Gl_m( )F dan bilangan bulat non negatif r,δdan s sedemikian 

sehingga, 

1

( ) ( ) ( t ) 0

r s

P T A P− = ⊗A I_δ ⊕ A ⊗I _−δ ⊕  

Untuk semua A∈M_n( )F  dengan  m= +nr s dan δ ≤r. 

  Selanjutnya sebelum pembahasan teorema utama diperlukan beberapa lemma 

pendukung  terlebih  dahulu.  Pada  empat  lemma  berikut  diasumsikan  lapangan 

sebarang dengan paling sedikit memuat lima elemen. 

F Lemma 3.1 

Diberikan  sebarang  x x x x₁, ₂, ₃, ₄  empat  elemen  berbeda  di    dan   .Jika  F , , , _n( ) A B C D∈M F 2 3 0 k k k

A+x B+x C+x D=   untuk  semua  ,maka 

.  [1, 4] k∈ 0 A= = = =B C D Bukti. 

Dengan memasukan indek k∈[1, 4],diperoleh sistem persamaan berikut. 

2 3 1 1 1 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 4 4 4 0 0 0 0 A x B x C x D A x B x C x D A x B x C x D A x B x C x D + + + = + + + = + + + = + + + =  

Karena  x x x x₁, ₂, ₃, ₄  semua  berbeda,  maka  dengan  sifat  yang  ada  dalam  sistem 

persamaan linear dapat disimpulan bahwa A= = = =B C D 0. 

Lemma 3.2. 

Diberikan T∈Γ maka T I T E( ) (_{n ii})=T E T I( _ii) ( )_n  untuk sebarang i∈[1, 4]. 

 

Bukti. 

Dengan  menggunakan  kenyataan  bahwa  (I_n+ −(x 1)E_ii)D =(I_n+(x−1−1)E_ii, 

D D

A A= AA  dan T∈Γ, maka diperoleh, 

1 1

( _n ( 1) _ii) ( _n ( 1) _ii) ( _n ( 1) _ii) ( _n ( 1) _ii T I + −x E T I + x− − E =T I + x− − E T I + −x E )

n

 

Karena  F memuat lima elemen, maka dapat dipilih  x∈F∗ sedemikian sehingga 

,  dengan  demikian  akan  diperoleh 

2 1 x ≠ T I T E( ) (_{n ii})−T E T I( _ii) ( )_n =0   atau   .  ( ) (_{n ii}) ( _ii) ( ) T I T E =T E T I_n ii Lemma 3.3. 

Diberikan T∈Γ , maka  2 2untuk sebarang  . 

( ii) ( ii) ( )n ( ii) ( )n

T E =T E T I =T E T I i∈[1, ]n

Bukti. 

Dengan  menggunakan  kenyataan  bahwa  1

(In (x 1)Eii)D (In (x 1) − + − = + − E   ,  D D A AA = AD ) ii n ,dan  T∈Γ, diperoleh,  1 ( _n ( 1) _ii) ( _n ( 1) _ii) ( _n ( 1) _ii) ( _n ( 1) T I + −x E T I + x− − E T I + −x E =T I + −x E  

Untuk sebarang i∈[1, ] dan sebarang  x∈F∗. 

Apabila diambil  A=T I( ),n B=T E( ii), maka diperoleh, 

1

(A+ −(x 1) )(B A+(x− −1) )(B A+ −(x 1) )B = + −A (x 1)B………..3.1 

Dan dengan mengalikan persamaan ( 3.1 ) dengan x didapatkan, 

(A+(x‐1)B)(A(x‐1+1)‐(x‐1)B)(A+(x‐1)B)=A(x‐1+1)+(x‐1+1)(x‐1)B 

2

(A+ −(x 1) )(B A+ −(x 1)(A B− ))(A+ −(x 1)B= + −A (x 1)(A+ + −B) (x 1) B…..(3.2) 

Karena  I_nD =I_n,  E_iiD =E_ii dan   T∈Γ, maka diperoleh  AD= A B, D =B dan dengan 

kenyataan bahwa  , dan menggunakan lemma 3.2 , dari persamaan (3.2) 

diperoleh,  3 3 , A = A B =B 2 2 2 2 3 2 (x−1)(BA − + −B) (x 1) (2A B−B A B− + −) (x 1) (B A B− =) 0 

Dan dengan lemma 3.1 disimpulkan bahwa   B=B A B2 , =BA2. 

    Lemma 3.4  Diberikan  3 ( ) n

A = ∈A M F maka terdapat matriks P Gl F∈ ( ) dan matriks   

sedemikian sehingga  1 r( ) A ∈M F 1 1 ( , _{n r})

A=P diag A O₋ P−  dan  A₁2 =I_r dengan rank A=r.  

Bukti. 

1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 r I A A=P⎛_⎜ ⎞_⎟Q P P− =P⎛_⎜ ⎞_⎟P ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 A ₋ ( ) ,  ………(3.3) 

Dengan P Q₁, ₁∈Gl F A_n( ), ₁∈M F_r  dan  rank A=rank A A( _{1 2})=r 

Diketahui A3 = A dan  ₁ 1 2 ₁ 1 0 0 A A A= ⎜P⎛ ⎞_⎟P− ⎝ ⎠   1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A P_⎜⎛ _⎟⎞P P− _⎜⎛ _⎟⎞P P− _⎜⎛ _⎟⎞P− =P⎛_⎜ ⎞_⎟P ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 − 1 P )   3 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0 A A A A A P⎛⎜ ⎞⎟P− =P⎛_{⎜ ⎟}⎞ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   2 1( 1 2) ( 1 2 A A A = A A ………..(3.4) 

Karena  matriks    adalah  mempunyai  rank  baris  penuh,  maka  dari  (3.4) 

didapatkan 

1 2

( A A )

2

1 r

A =I  dan selanjutnya diperoleh 

1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r n r A A A P P I A A A I A A P P I I A P P − − − − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠   dengan  1 1 2 0 r n r I A A P P I ₋ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 

  Selanjutnya pada  lemma berikut diasumsikan karakteristik dari   tidak sama 

dengan 2.  F Lemma 3.5  Diberikan T∈Γ, maka persamaan‐persamaan berikut berlaku:  (i). T I T E( ) (n ij)=T E T I( ij) ( )n .  ] (ii).T E T I( _ij) ( )_n 2 =T E( _ij)  Untuk sebarang i,j yang berbeda dengan i j, ∈[1,n .  Bukti. 

Untuk sebarang i j,  yang berbeda dengan i j, ∈[1,n] dan   x∈F∗ dan menggunakan  (I_n+xE_ij)D =(I_n−xE_ij)dan T∈Γ  ) j ). ,diperoleh  ( _{n ij})D (( _{n ij}) )D ( _{n i}

T I +xE =T I +xE =T I −xE ,sehingga berlaku persamaan berikut 

( _{n ij}) ( _{n ij}) ( _{n ij}) ( _{n ij} T I +xE T I −xE =T I −xE T I +xE  

=

Dan dengan penyederhanaan diperoleh, 

2 [ ( ) (x T I T En ij)−T E T I( ij) ( )]n 0 , karena   karakteristik  Ftidak sama dengan 2 dan  x∈F∗, maka 2x≠0, sehingga didapat T I T E( ) (n ij)=T E T I( ij) ( )n ,terbukti (i). 

Dengan menggunakan T I( _n+xE_ij)D =T I( _n−xE_ij)  ) j = n = kembali , diperoleh,  ( n ij) ( n ij) ( n ij) ( n i T I −xE T I +xE T I −xE =T I −xE ………(3.5)  karena  ,  diperoleh 

.Dari  (i)  yang  telah 

dibuktikan,   dan persamaan (3.5) diperoleh, 

( )_n D ( )_n T I =T I 3 ( )_n ( ) ( ) ( )_{n n n} ( )_n D ( ) ( )_{n n} D ( )_n D ( )_n T I =T I T I T I =T I T I T I =T I T I 3 ( )n ( ) T I =T I 2 2 2 3 3 ( ( _ij) ( _ij) ( ) )_n ( _ij) ( )_n ( _ij) 0

x T E −T E T I −x T E T I +x T E   dan  dengan  lemma  2.1 

diperoleh   2 2 ( _ij) ( _ij) ( )_n 0 ( _ij) ( _ij) ( )_n T E −T E T I = atau T E =T E T I         Lemma 3.6.  Diberikan  2 n A =I , A∈M_n( )F , maka terdapat matriks P∈Gl F_n( ) dan bilangan bulat  nonnegatif  p q,   sedemikian  sehingga    A=Pdiag I( _p,−I P_q) −1  dengan  

( _n) p=rank A+I ,rank A( )= + =p q n.  Bukti.  Diketahui    2 n A =I  , dibentuk matriks  1( 2 A+In) ,Matriks  1 ( 2 A+In)adalah matriks  idempoten karena  1 2 1 1 1 2 1 ( ( )) ( ( ))( ( )) ( ) ( ) 2 A+In = 2 A+In 2 A+In = 4 A+In = 2 A+In . Dan 

selanjutnya    karena  1(

2 A+In)idempoten  maka  terdapat  matriks   

sedemikian  ( ) n P∈Gl F sehingga  1( ) 0 1 0 0 2 p n I A+I = ⎜P⎛ ⎞_⎟P−

⎝ ⎠  dengan    p=rank A( +In), sehingga didapatkan 

1 1 1 1 1 1 0 ( ) 2 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 2 1 0 2 2 1 0 2 0 0 p n p n p n p p q p p q p q I A I P P I A P P I I P I P I I P P I I I P P I I P P I − − − − − − ⎛ ⎞ + = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} − ⎝ ⎠ ⎧ ⎡⎛ ⎞ ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎢⎜ ⎟}− _{⎥ ⎬} ⎝ ⎠ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎢⎜ ⎟}− _{⎜ ⎟⎥ ⎬} ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎛ ₋ ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎜ ⎟ ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ _{⎜ − ⎟} ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ⎛ ⎞ = ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ , dengan  q= −n r.  Lemma 3.7.  Diberikan  3 ( ) n

A = ∈A M F  maka terdapat matriks  P∈Gl F_n( ) dan bilangan bulat  nonnegatif p q dan s,  sedemikian sehingga , 

1 ( ,_{n q}, 0 )_s

A=Pdiag I −I P−  

Dengan  rank A( )= +p q p, =rank A I( + _n)+rank A n−  dan  p q+ + =s n 

Bukti. 

Dengan  lemma  3.4  ,  terdapat  matriks  P₁∈Gl F_n( )  sedemikian  sehingga 

, dengan  1 1 1 0 0 0 A A= ⎜P⎛ ⎞_⎟P− ⎝ ⎠ 1 rank A=r dan    2 1 r

A =I . Dengan lemma 3.6 , terdapat 

matriks P₂∈Gl F_r( ) sedemikian sehingga , 

1 1 2 1 0 0 p q I A P I P − ⎛ ⎞ = ⎜ ₋ ⎟

Selanjutnya diperoleh,  1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 0 , 0 0 0 0 ( , , 0 ) 0 0 ( , , 0 ) p s q p q s s s p q s I A Pdiag P P P I P P P diag I I I I Pdiag I I P − − − P− − ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = ⎜_⎜ ⎜ ₋ ⎟ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} − _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = −  

Dengan   ₁ 2 0 , , dan kemudian didapat, 

0 _s P P P s n p q I ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ − − + − + 1 1 1 1 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) r r n r r n r n n r n p rank A I A I rank A I rank n r I A rank I n r rank A I rank A n − − − = + + ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}− ⎝ ⎠ ⎛⎛ ⎞ ⎞ = _{⎜⎜ ⎟}+ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + + −   Lemma 3.8 

Diberikan  T pemetaan linear dari  M_n( )F  ke  M_m( )F  yang mengawetkan idempoten 

dan chF ≠2. Jika  n> ≥m 1, maka  T =0. 

 

Dari lemma‐lemma diatas kemudian dibuktikan teorema utama berikut. 

Teorema 3.9 

Diberikan  ,   dan   dengan paling sedikit lima elemen, maka   

jika dan hanya jika   mempunyai salah satu bentuk dari dua bentuk berikut: 

2

ch F ≠ m n, >1 F T∈Γ

T

(i). T =0 

(ii).Terdapat  matriks  invertible  P∈Gl F_n( )  dan  bilangan  bulat  nonnegatif 

1, 2, ,1 2 p p q q dan s sedemikian sehingga ,  1 1 2 2 1 ( ) ( p ) ( t q) ( p ) ( t q ) 0 P T A P− = ⊗A I ⊕ A ⊗I ⊕ ⊗−A I ⊕ A ⊗−I ⊕ s s ,  untuk  semua  , dengan   .  ( ) n A∈M F m=(p₁+ + +p₂ q₁ q n₂) + Bukti. 

Karena  ,  maka  .Menggunakan  lemma  3.7  ,  terdapat matriks  ( )n D ( nD) ( ) T I =T I =T In n 3 ( )n ( ) T I =T I ( ) m P∈Gl F  sedemikian sehingga  1 2 3 1 ( )_n ( ,_{t t} , 0 )_t T I =P diag I −I P− , dengan  t₁+ + =t₂ t₃ m. ……….3.6 

Untuk  sebarang  X∈M_n( )F ,  dari  lemma  3.2  dan  bagian  (i)  lemma  3.5  berlaku 

  ……….3.7  ( ) ( )_n ( ) ( ) T I T X =T X T I_n 2 t ∈ 2

Dari lemma 3.3 dan bagian (ii) lemma 3.5 berlaku , 

2

( ) ( ) ( )_n

T X =T X T I   ……….3.8 

Menggunakan persamaan (3.6), (3.7) dan (3.8) diperoleh, 

3 1 1 1 2 1 2 ( ) ( , , 0 )_t , _t ( ), ( ) T X =P diag X X P− X ∈M F X M F .  Dimisalkan   f X₁( )=X₁, f X₂( )= −X , maka     3 1 1 2 ( ) ( ( ), ( ), 0 )_t T X =P diag f X −f X P− ………3.9 

Karena  T  adalah  pemetaan  linear  ,  maka  dari  (3.9)  didapat  bahwa 

1

1: n( ) t( )

f M F →M F  dan  

2

2: n( ) t ( )

f M F →M F  adalah pemetaan linear. Dari (3.6) dan 

(3.9) diperoleh  1 1( )n t f I =I  dan   2 2( )n t f I =I . 

Menggunakan (3.9) kembali dipunyai 

3 1 1 2 ( D) ( ( D), ( D), 0 )_t T X =P diag f X −f X P−    ……….3.10  Dan  3 1 1 2 ( )D ( ( ) ,D ( ) , 0 )D t T X =P diag f X −f X P−    ……….3.11 

Dari  persamaan  (3.10),  (3.11)  dan    T X( D)=T X( )D  disimpulkan  bahwa  

1

1: n( ) t ( )

f M F →M F   dan   

2

2: n( ) t ( )

f M F →M F   adalah  pemetaan  linear  yang 

mengawetkan invers Drazin matriks. 

Selanjutnya  dibuktikan  bahwa  f₁  mengawetkan  idempoten.  Untuk  sebarang 

2

( ) n

M = ∈M M F  terdapat matriks Q∈Gl F_n( ) sedemikian sehingga 

1

( r 0)

M =Q I ⊕ Q− , ………...3.12 

 dengan  rank M =r. 

Diambil  1 , untuk semua   

1( ) 1( )

T X = f QXQ− X∈M_n( )F , maka   adalah pemetaan  linear dari 

1

T

( )

n

1

1

1 1

( )_n ( _n ) ( )_n

T I = f QI Q− = f I =I_t . Menggunakan lemma 3.3 diperoleh 

1

2 2

1( ii) 1( ii) ( )n 1( ii) t 1( ii)

T E =T E T I =T E I =T E  untuk sebarang  i∈[1, ]n ……….3.13 

Karena  (xE_ii±E_jj)D =x E−1 _ii±E_jj  untuk  sebarang  i≠ j i j, , ∈[1, ]n   dan  sebarang 

x∈F∗,  maka  (xT E₁( _ii)±T E₁( _jj))D =x T E−1 ₁( _ii)±T E₁( _jj),  selanjutnya  jika  diambil 

  dan  1( ii) i T E = A T E₁( _jj)= A_j  maka  berlaku    j 1 (xA_i±A_j)D=x A− _i±A .Selanjutnya  diperoleh  1 1 (x A− _i±A_j)(xA_i±A_j)(x A− _i±A_j)=x A−1 _i±A_j………3.14 

Dari  (3.13) dan (3.14) berlaku  

2

0

j i i j j i j

A A +A A +x A A A =     ………..3.15 

Dengan (3.15) dan lemma 3.1 didapatkan 

0 j i j

A A A =    ,   A Aj i+A Ai j =0 

Mengkombinasikan kedua persamaan diatas dan dengan (3.13) disimpulkan bahwa 

  ……….3.16 

0 i j i j A A = A A =

Dengan persamaan (3.11)‐(3.13) dan (3.16) diperoleh 

1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ( 0) ) ( 0) ( ) ( ) ( ( )) ( ( 0)) ( ) r r r ii i r ii i r ii i r f M f Q I Q T I T E T E T E T I f M − = = = = ⊕ = ⊕ = = = = ⊕ =

∑

∑

∑

 

Hal ini berarti bahwa  f₁ mengawetkan idempoten.Dengan cara yang sama dapat 

ditunjukkan bahwa  f₂ juga mengawetkan idempoten. 

Karena   f₁ dan   f₂ keduanya mengawetkan idempoten , maka dengan lemma 3.8 dan 

teorema 3.1 didapat kasus berikut: 

Jika n>t₁ maka  dengan lemma 3.8 disimpulkan bahwa  f₁=0, dan jika n≤t₁ maka  f₁ 

2

n>t  maka dengan lemma 3.8 disimpulkan bahwa  f₂ =0 dan jika  n≤t₂ maka  f₂ 

mempunyai bentuk salah satu dari (i) atau (ii) pada teorema 3.2. Dengan pertimbangan 

tentang  f₁ dan   f₂ diatas disimpulkan bahwa   mempunyai bentuk salah satu dari (i) 

atau (ii) pada teorema 3.9. 

T

Kebalikan teorema 3.9, Jika T mempunyai bentuk salah satu dari (i), (ii) pada teorema 

3.9 maka dapat ditunjukkan bahwa   T merupakan pemetaan linear dari  M_n( )F  ke  

( )

m

M F   yang  mempertahankan  invers  Drazin  matriks.  Dengan  demikian  terbukti 

teorema di atas. 

 

  Berikut diberikan contoh untuk memperjelas teorema di atas untuk kasus   

bukan pemetaan 0. 

T

Diambil pemetaan  T M Z: ₂( ₅)→M Z₃( ₅), untuk setiap    A∈M Z₂( ₅),  didefinisikan 

pemetaan sebagai berikut 

[

]

1 1 1 ( ) ( ) 0 T A =P A⊗ ⊕I P−  dengan    1 0 4 0 2 0 0 0 3 P ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ )

  dan dengan operasi baris elementer diperoleh invers dari matriks   

yaitu   .  P 1 1 0 2 0 3 2 0 0 2 P− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠        

Jika diambil  1 3  dan   , maka diperoleh   dan  

2 4 A= ⎜⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 3 4 1 2 D A = ⎜⎛ ⎞ ⎝ ⎠ T A( ) ( D T A  sebagai  berikut.  1 4 2 ( ) 4 4 3 0 0 0 T A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠

   dan    , setelah dilakukan pengecekan dengan 

definisi invers Drazin diperoleh bahwa 

3 2 1 ( ) 2 2 4 0 0 0 D T A ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ( D) ( )D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D D D T A T A T A T A T A T A T A T A T A T A T A T A = = =     Kesimpulan 

Berdasarkan uraian di atas diperoleh kesimpulan bahwa telah diperoleh bentuk dari 

pemetaan linear yang mempertahankan invers Drazin matriks seperti pada teorema 

3.9. 

 

Daftar pustaka 

1.Ben –Israel, a & Greville, T.N.E, 2003, Generalized Inverses: Theory and Applications,  

John Wiley & Sons,inc 

2.Bu    Changjiang, 2005, Linear maps Preserving Drazin inverses of  matrices over 

field,Linear Algebra and Its Applications, vol 390, page 159‐173. 

3.C.G.Cao, X.Zhang. Additive Operators Preserving idempotent matrices over field and 

applications, Linear Algebra Appl.248 (1996)327‐338 

4.Radhakrishna Rao,C,1971, Generalized Inverse of Matrices and Applications   , John 

Wiley & Sons,inc.