Kartezični produkt grafov : diplomsko delo

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo. DIPLOMSKO DELO Iris Merkač. Maribor, 2009.



UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo. Diplomsko delo. KARTEZIČNI PRODUKT GRAFOV. Mentorica:. Kandidatka:. izred. prof. dr. Petra Žigert. Iris Merkač. Maribor, 2009.

ZAHVALA. Naučila sem se videti, leteti in spoznati, da življenje ni dolžno izpeljati vsega tako kot si želiš. Zato iskreno hvala vsem vam, ki ste me, in me spremljate po neprecenljivi poti modrosti.. Posebna zahvala velja moji mentorici, spoštovani izred. prof. dr. Petri Žigert, za strokovno pomoč in vodenje pri izdelavi diplomskega dela..

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. IZJAVA. Podpisana Iris Merkač, rojena 31. oktobra 1984, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa matematika in filozofija, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom KARTEZIČNI PRODUKT GRAFOV pri mentorici izred. prof. dr. Petri Žigert avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.. Maribor, 19. junij 2009.

Kartezični produkt grafov program diplomskega dela. Diplomska naloga naj obravnava kanonično izometrično vložitev grafov, hiperkocke in Hammingove grafe. Priporočljiva literatura: 1. W. Imrich, S. Klavžar, Product graphs: Structure and Recognition, John Wiley & Sons, New York, 2000.. izred. prof. dr. Petra Žigert.

MERKAČ, I.: Kartezični produkt grafov. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, 2009.. IZVLEČEK. Diplomsko delo je sestavljeno iz treh poglavij. V prvem poglavju predstavimo osnovne pojme teorije grafov in podamo definicije ter osnovne lastnosti kartezičnega produkta dveh ali večih grafov. V naslednjem poglavju podamo definiciji hiperkocke in delne kocke, ter spoznamo da so hiperkocke najpreprostejši razred kartezičnega produkta. Nato se posvetimo DjokovićWinklerjevi relaciji Θ, za katero ugotovimo, da je definirana na množici povezav grafa in da je bistvenega pomena za kartezični produkt. Poglavje zaključimo s preprostim algoritmom prepoznavanja hiperkock. V zadnjem poglavju definiramo Hammingove grafe in delne Hammingove grafe. Opazimo tudi, da so hiperkocke edini dvodelni Hammingovi grafi. V nadaljevanju raziščemo kanonično vložitev grafov v kartezični produkt dveh ali večih kvocientnih grafov, katere dobimo iz ekvivalenčnih razredov tranzitivne ovojnice relacije Θ. Nato dokažemo GrahamWinklerjev izrek, ki pove, da je kanonična vložitev izometrija. Ker je izračunavanje tranzitivne ovojnice relacije Θ bistveno pri izračunavanju kanonične vložitve, na koncu podamo algoritem, ki izračuna tranzitivno ovojnico relacije Θ.. Ključne besede: kartezični produkt, hiperkocke, delne kocke, Hammingovi grafi, relacija Θ, kvocientni graf, kanonična vložitev..

MERKAČ, I.: The Cartesian product of graphs. Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2009.. ABSTRACT. The diploma work consists of three chapters. In the first chapter the basic concepts of the graph theory are introduced. Definitions and basic characteristic for the Cartesian product of two or several graphs are presented. In the next chapter the definitions of hypercubes and partial cubes are given, and we realize that hypercubes are the simplest class of Cartesian product. Then the Djoković-Winkler relation Θ is introduced, which is defined on the edge set of the graph and is essential for the Cartesian product. The chapter is concluded with a simple recognition algorithm for hypercubes. In the last chapter Hamming graphs and also partial Hamming graphs are defined. It is also noticed that hypercubes are the only bipartite Hamming graphs. After that canonical embedding of graphs in the Cartesian product of two or several quotient graphs is being investigated, which are obtained from equivalence classes of a transitive closure of a relation Θ. Then a Graham-Winkler Theorem is proven, which indicates that the canonical embedding is an isometry. Since the calculation of a transitive closure of the relation Θ is essential for calculating a canonical embedding at the end an algorithm that calculates the transitive closure of a relation Θ is given.. Keywords: the Cartesian product, hypercubes, partial cubes, Hamming graphs, relation Θ, quotient graph, canonical embedding.. Math. Subj. Class. (2000): 05C12, 05C85..

Kazalo. Uvod. 1. 1 Osnove o teoriji grafov. 2. 1.1. Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Kartezični produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2 Hiperkocke. 12. 2.1. Delne kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.2. Djoković-Winklerjeva relacija Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3 Hammingovi grafi. 27. 3.1. Uvod v Hammingove grafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3.2. Kanonično izometrična vložitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. Zaključek. 47. Literatura. 48. ix.

Seznam uporabljenih kratic in simbolov V (G) E(G) dG (v) NG (v) Kn K4−e Kn,m Cn Pn Qr dG (u, v) I(u, v) d(G) GH Θ Θ∗ Wuv Ei G/Πi Fi (u, v) [u, v]. množica vozlišč grafa G množica povezav grafa G stopnja vozlišča v ∈ V (G) soseščina vozlišča v polni graf na n vozliščih polni graf K4 brez povezave e polni dvodelni graf na n + m vozliščih cikel na n vozliščih pot na n vozliščih r-kocka ali hiperkocka dimenzije r razdalja med vozliščema u in v interval med vozliščema u in v diameter ali premer povezanega grafa G kartezični produkt grafov G in H Djoković-Winklerjeva relacija tranzitivna ovojnica Djoković-Winklerjeve relacije Θ množica vozlišč, ki so bliže vozlišču u kot v ekvivalenčni razred kvocientni graf množica povezav kvocientnega grafa urejen par vozlišč ali usmerjena povezava neurejen par vozlišč ali neusmerjena povezava. x.

Uvod Kartezični produkt je pojem, ki se pojavlja v mnogih področjih matematike. Nam najbolj znan je kartezični produkt med množicami. Na primer, vzamemo množici z manjšim številom elementov: A = {♦, ♥}, B = {♣, ♠}, ter iz elementov teh množic napravimo urejene pare. Dobljena množica je kartezični produkt množic A in B, torej A × B = {(♦, ♣), (♦, ♠), (♥, ♣), (♥, ♠)}. Vendar nas ne bo zanimal kartezični produkt množic, ampak kartezični produkt grafov, ki spada v zelo živahno področje sodobne matematike, teorijo grafov. Kartezični produkt G  H grafov G in H je graf, ki je definiran na kartezičnem produktu množice vozlišč V (G  H) in množice povezav E(G  H). Njegov simbol je vpeljal češki matematik Jaroslav Nešetřil, leta 1981 [4]. V diplomskem delu bodo nekateri primeri kartezičnih produktov, kot so to hiperkocke in Hammingovi grafi. Tekom dela bomo torej spoznali, da so hiperkocke Qr kartezični produkt r povezav, Hammingovi grafi pa kartezični produkt poljubnih polnih grafov.. 1.

Poglavje 1 Osnove o teoriji grafov V tem poglavju bomo predstavili nekaj osnovnih definicij teorije grafov, ki jih bomo potrebovali za razumevanje naslednjih poglavij. Definicije bomo ponazorili z zgledi.. 1.1. Osnovni pojmi. Urejen par (V (G), E(G)) imenujemo graf G, pri čemer je V (G) neprazna končna množica vozlišč in E(G) množica povezav grafa. Elementi množice povezav grafa so urejeni ali neurejeni pari vozlišč iz V (G). Kadar je par vozlišč iz V (G) urejen, pravimo, da je povezava grafa usmerjena in jo ponazorimo s puščico. Kadar ima graf vse povezave usmerjene, mu pravimo diagraf ali usmerjen graf, v nasprotnem primeru pa ga imenujemo neusmerjen graf. Elemente množice povezav E(G) označujemo z e = [u, v] = [v, u] ali e = uv, kjer je povezava e določena z neurejenim parom vozlišč in jo imenujemo neusmerjena povezava. Povezavo e, ki je določena z urejenim parom vozlišč, pa zapišemo kot e = (u, v) in jo imenujemo usmerjena povezava. Vozlišči u in v imenujemo krajišči povezave. Kadar imata obe krajišči povezave isto vozlišče dobimo zanko. Če pa sta vozlišči u in v v grafu G povezani z različnima povezavama, imamo v grafu G večkratne povezave. Povezani vozlišči u in v iz V (G) imenujemo sosednji vozlišči. Kadar imata povezavi skupno krajišče, pravimo, da sta incidenčni. Zgled 1 Narisan graf G1 na sliki 1.1 je neusmerjen, brez zank in večkratnih povezav. Kot vidimo, ima graf G1 šest vozlišč. 2.

1.1 Osnovni pojmi. 3. V (G1 ) = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } in osem povezav E(G1 ) = {[v1 , v2 ] , [v2 , v3 ] , [v3 , v4 ] , [v4 , v5 ] , [v5 , v6 ] , [v6 , v1 ] , [v2 , v6 ] , [v3 , v5 ]}. Opazimo, da sta povezavi [v6 , v1 ] in [v1 , v2 ] v grafu G1 incidenčni, ker imata skupno krajišče v vozlišču v1 .. v1. v1 v2 v3. v6. v2. v1. v2. v4. v3. v4 v5 v3. v5. v9. v4. v8 v7 v6 G2. G1. G3. Slika 1.1: Trije grafi.. Množico M neodvisnih povezav v grafu G imenujemo prirejanje, če nobeni dve povezavi iz množice M nimata skupnega krajišča. Zgled 2 V grafu C6 na sliki 1.3 je prirejanje množica M in sicer: M = {[v0 , v1 ] , [v2 , v3 ] , [v4 , v5 ]}. Množico vseh vozlišč grafa G, ki so sosednje vozlišču v ∈ V (G) imenujemo soseščina vozlišča v in jo označimo z NG (v) = {u; u ∈ V (G), [u, v] ∈ E(G)}. Število sosedov vozlišča v ∈ V (G) imenujemo stopnja vozlišča v in jo zapišemo na naslednja načina: dG (v) = |NG (v)| ali deg v = |NG (v)|. Zgled 3 V grafu G1 na sliki 1.1 ima vozlišče v2 soseščino: NG1 (v2 ) = {v1 , v6 , v3 } in stopnjo: dG1 (v2 ) = 3. Graf G je regularen, kadar so vsa njegova vozlišča iste stopnje. Torej, če imajo vsa vozlišča grafa stopnjo r, pravimo, da je graf regularen stopnje r ali r-regularen..

1.1 Osnovni pojmi. 4. Zaporedje povezav v grafu G, ki nas privede od vozlišča u do vozlišča v, imenujemo sprehod med vozliščema u in v. Sprehod imenujemo enostavni sprehod ali sled, če so v njem med seboj paroma različne vse povezave. Kadar pa so v enostavnem sprehodu različna vsa vozlišča, potem sprehod imenujemo pot. Graf G je povezan, če med poljubnim parom vozlišč obstaja pot, sicer je nepovezan in je sestavljen iz vsaj dveh komponent. Zdaj uvedemo razdaljo med vozliščema u in v iz grafa G in jo označimo kot dG (u, v) ali d (u, v). To je dolžina najkrajše poti med njima. Če taka pot ne obstaja, določimo, da je dG (u, v) = ∞. Diameter ali premer d (G) povezanega grafa G je največja razdalja med dvema vozliščema iz grafa G. Spoznali bomo, da je d (Kn ) = 1, za n ≥ 2 in d (Km,n ) = 2, če je m + n ≥ 3. Upoštevali bomo tudi, da je d (Qr ) = r. Interval I (u, v) med dvema vozliščema u in v iz grafa G, je množica vozlišč, ki ležijo na najkrajši poti med u in v. Opazimo, da I (u, v) vsebuje u in v. Zgled 4. Ena izmed poti v povezanem grafu G1 , na sliki 1.1, ki povezuje. vozlišči v1 in v4 je sestavljena iz zaporedja v1 v2 v6 v5 v3 v4 . Dolžina te poti je 5, medtem kot je razdalja med omenjenima vozliščema enaka dG1 (v1 , v4 ) = 3. Graf G1 je povezan, ker je sestavljen samo iz ene komponente. Interval med vozliščema v1 in v4 pa je I(v1 , v4 ) = {v1 , v2 , v3 , v4 }. Pot, ki se začne in konča v istem vozlišču imenujemo cikel. Povezan graf brez ciklov pa imenujemo drevo. Zgled 5 Na sliki 1.1 grafu G2 pravimo drevo, graf G3 pa ponazarja cikel. Graf G3 je regularen stopnje 2 in ima 4 povezave. V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj posebnih tipov grafov. S Pn označimo graf, ki ga imenujemo pot na n vozliščih (slika 1.3). Pot na n vozliščih je graf z množico vozlišč V (Pn ) = {v1 , v2 , ..., vn } in množico povezav E(Pn ) = {[v1 , v2 ] , ..., [vn−1 , vn ]}. Graf, ki ga dobimo tako, da poti Pn dodamo povezavo [vn , v1 ], imenujemo cikel na n vozliščih. Označimo ga s Cn in definiramo kot V (Cn ) = V (Pn ) in E(Cn ) = E(Pn ) ∪ {[vn , v1 ]}. Če je vsako vozlišče v grafu povezano z vsemi ostalimi vozlišči v tem istem grafu, takšen graf imenujemo polni graf. Polni graf na n vozliščih označimo s Kn . Nasprotje polnega grafa na n vozliščih je prazni graf na n vozliščih, ki ga označimo z Nn ..

1.1 Osnovni pojmi. 5. N3. K5. K2,4. Slika 1.2: Polni graf K5 , prazni graf N3 in polni dvodelni graf K2,4 .. Graf G imenujemo dvodelni, če lahko množico njegovih vozlišč V (G) razbijemo na dve podmnožici V1 in V2 tako, da ima vsaka povezava grafa G eno krajišče v V1 in drugo v V2 . O polnem dvodelnem grafu govorimo, če je vsako vozlišče iz V1 sosednje z vozliščem iz V2 . Če je |V1 | = n in |V2 | = m, polni dvodelni graf označimo z Kn,m . Med dvodelnimi grafi bodo za nas posebej zanimivi grafi hiperkocke ali r-kocke (slika 2.1), ki jih označimo s Qr in jih bomo natančneje obravnavali v drugem poglavju. Zgled 6 Graf G3 na sliki 1.1 ponazarja cikel na 4 vozliščih, C4 . Prvi graf na sliki 1.2 predstavlja polni graf na 5 vozliščih, K5 , drugi graf predstavlja prazni graf na 3 vozliščih, N3 in tretji graf predstavlja polni dvodelni graf K2,4 . Ker nas ne bo vedno zanimal celotni graf, si bomo pomagali z manjšimi in enostavnejšimi strukturami v njem. Te strukture imenujemo podgrafi, katerih definicija je naslednja: Podgraf H grafa G je graf, za katerega velja, da je V (H) ⊆ V (G) in E(H) ⊆ E(G). Poznamo več tipov podgrafov.. v3. v4 v5. v3. v4 v2. v1. v0 C6. v2 v1. v0 P5. Slika 1.3: Pot P5 je inducirani podgraf cikla C6 .. Inducirani ali porojeni podgraf H grafa G dobimo (slika 1.3) z odstranjevanjem vozlišč iz V (G). Ko odstranimo vozlišče iz grafa G izginejo tudi povezave, katere imajo to vozlišče za krajišče in dobimo inducirani podgraf H..

1.1 Osnovni pojmi. 6. Podgrafu H grafa G za katerega velja V (H) = V (G), pravimo vpeti podgraf (slika 1.4). Vpeti podgraf H torej ohrani vsa vozlišča iz grafa G, manjka mu le nekaj povezav.. G. H. Slika 1.4: Graf G in njegov vpeti podgraf H.. Podgraf T povezanega grafa G je vpeto drevo grafa G (slika 1.5), če je T vpeti podgraf in hkrati tudi drevo.. v1. v1 v2. v4. v3. v5. v6. v2. v4. v3. v5. G. v6 T. Slika 1.5: Povezan graf G in njegovo vpeto drevo T .. Za vsak podgraf H grafa G, neenakost dH (u, v) ≥ dG (u, v) drži. Če za poljubni vozlišči u, v ∈ H velja dH (u, v) = dG (u, v), pravimo da je H izometrični podgraf (slika 1.6). Bolj splošno, če sta G in H poljubna grafa, potem je preslikava f : V (G) → V (H) izometrična vložitev, če je dH (f (u), f (v)) = dG (u, v) za poljubni u, v ∈ V (G). Zgled 7 Na slikah 1.3 in 1.4 vidimo, da ni vsak podgraf izometričen. Slika 1.6 ponazarja izometrični podgraf H, ki je tudi inducirani podgraf. Torej opazimo, da so vsi izometrični podgrafi inducirani, toda obratno ne drži..

1.1 Osnovni pojmi. 7. G. H. Slika 1.6: Graf G in njegov izometrični podgraf H.. Proučimo še naslednja pojma: Grafa G = (V (G), E(G) in H = (V (H), E(H)) sta izomorfna (slika 1.7), G ∼ = H, če med njima obstaja taka bijektivna preslikava f : V (G) → V (H), da velja [u, v] ∈ E(G) ⇔ [f (u), f (v)] ∈ E(H) za poljubni vozlišči u, v ∈ V (G). Včasih težko ugotovimo, ali sta grafa izomorfna ali ne. Izomorfna grafa imata vse bistvene lastnosti enake. Imata enako število vozlišč in enako število povezav. Vendar to včasih ne zadostuje, da lahko rečemo, da sta grafa izomorfna. Grafa, ki pa sta izomorfna imata zraven naštetih lastnosti še enako zaporedje stopenj vozlišč.. w. z. G. v. z. u. u. w. H. v. Slika 1.7: Grafa G in H nista enaka, sta pa izomorfna.. Zgled 8 Grafa na sliki 1.7 nista enaka, ker niso enake oznake vozlišč: G ↔ H u. ↔ u. v. ↔ w. w ↔ v z. ↔ z.

1.2 Kartezični produkt. 8. Sta pa izomorfna, saj imata oba štiri vozlišča in tri povezave in se ujemata v stopnjah vozlišč: G : dG (u) = 1, dG (v) = 2, dG (w) = 2, dG (z) = 1 H : dH (u) = 1, dH (v) = 2, dH (w) = 2, dH (z) = 1 Homomorfizem grafa je izomorfizem grafa samega vase.. 1.2. Kartezični produkt. V nadaljevanju bomo podali definiciji in osnovne lastnosti kartezičnega produkta dveh in večih faktorjev. Kartezični produkt G  H grafov G in H (slika 1.8) je definiran na kartezičnem produktu množice vozlišč V (G  H) = V (G) × V (H) in množice povezav E(G  H), ki je množica vseh parov vozlišč [(u, v) , (x, y)], za katere je u = x in [v, y] ∈ E (H) ali [u, x] ∈ E (G) in v = y. Tako je E(G  H) = {[(u, v) , (x, y)] |u = x ∧ [v, y] ∈ E (H) ali [u, x] ∈ E (G) ∧ v = y}.. K1,4  P4. K1,4. P4 Slika 1.8: Kartezični produkt dveh faktorjev: K1,4  P4 . Preslikavi p1 : (u, v) 7→ u in p2 : (u, v) 7→ v iz V (G  H) na V (G) oziroma V (H), sta šibka homomorfizma iz G  H na faktor G oziroma H. Preden nadaljujemo, se nam zdi smiselno, da pojasnimo pojem šibki homomorfizem, in sicer je homomorfizem za katerega se lahko sosednji vozlišči u, v preslikata v isto vozlišče. V tem primeru je isto vozlišče mišljeno kot slika od (u, v). Preslikavi p1 in p2 imenujemo projekciji in ju tudi napišemo pG in pH namesto p1 in p2 . Za množico S na vozliščih grafa G  H in i ∈ {1, 2}, definiramo pi (S) = {pi (v) |v ∈ S}. Projekcije so zelo uporaben pojem in so praktične za naslednje ugotovitve:.

1.2 Kartezični produkt. 9. Trditev 1.1 Kartezični produkt grafov G  H je povezan natanko tedaj, ko sta oba faktorja G in H povezana. Dokaz. Naj bo G  H produkt dveh povezanih grafov in naj bosta (u, v), (x, y) poljubni izbrani vozlišči v G  H. Ker sta oba grafa G in H povezana, obstaja pot Pu,x od u do x v grafu G in pot Pv,y od v do y v grafu H. Naj bosta u = u1 , u2 , ..., uk = x in v = v1 , v2 , ..., vk = y ti dve poti. Potem je (u, v), (u2 , v), ..., (uk−1 , v), (x, v), (x, v2 ), ..., (x, vl−1 ), (x, y) pot od (u, v) do (x, y) v G  H. Po drugi strani predpostavimo, da je G  H povezan. Naj bosta u, x ∈ G in v, y ∈ H poljubno izbrani. Potem obstaja pot Q od (u, v) do (x, y) v G  H. Jasno je, da je projekcija p1 (Q) sprehod od u do x v grafu G in tako vsebuje pot od u do x v grafu G. Podobno projekcija p2 (Q) vsebuje pot od v do y v grafu H.. Posledica 1.2 Naj bosta (u, v) in (x, y) poljubni vozlišči kartezičnega produkta G  H. Potem je dG  H ((u, v) , (x, y)) = dG (u, x) + dH (v, y). Poleg tega, če je Q najkrajša pot med (u, v) in (x, y), potem je p1 (Q) najkrajša pot v grafu G od u do x in p2 (Q) najkrajša pot v grafu H od v do y. Dokaz. Po trditvi 1.1 obstaja pot od (u, v) do (x, y) v G  H natanko tedaj, ko obstajata poti od u do x v grafu G in od v do y v grafu H. Zato lahko privzamemo, da poti Pu,x in Pv,y , kot sta definirani zgoraj, obstajata in da sta izometrični. Po predhodni sestavi sklepamo, da je dG  H ((u, v) , (x, y)) ≤ dG (u, x) + dH (v, y). Po drugi strani, naj bo Q najkrajša pot med (u, v) in (x, y). Jasno je, da je vsaka povezava najkrajše poti Q preslikana v posamezno vozlišče pri eni od projekcij p1 ali p2 in v povezavo pri drugi. To pomeni, da je dG (u, x) + dH (v, y) ≤ |E(p1 (Q))| + |E(p2 (Q))| = |E(Q)| = dG  H ((u, v) , (x, y)).. Zgled 9. Na sliki 1.9 si izberemo vozlišči (u1 , v1 ) in (u5 , v4 ), kartezičnega. produkta P5  P4 . Opazimo, da je dP5  P4 ((u1 , v1 ) , (u5 , v4 )) = dP5 (u1 , u5 ) + dP4 (v1 , v4 ) ali 7 = 4 + 3..

1.2 Kartezični produkt. 10. Zraven tega, če vzamemo Q za najkrajšo pot med vozliščema (u1 , v1 ) in (u5 , v4 ) kartezičnega produkta P5  P4 : (u1 , v1 ), (u2 , v1 ), (u3 , v1 ), (u4 , v1 ), (u5 , v1 ), (u5 , v2 ), (u5 , v3 ), (u5 , v4 ), potem je p1 (Q) najkrajša pot v grafu P5 : u1 , u2 , u3 , u4 , u5 in p2 (Q) je najkrajša pot v grafu P4 : v1 , v2 , v3 , v4 .. (u5 , v4 ) v4 P4. v3. P5  P4. v2 v1 (u1 , v1 ) u1. u2. u3. u4. u5. P5 Slika 1.9: Kartezični produkt P5  P4 .. Glede na to, da je kartezični produkt komutativen in asociativen [4], lahko razmislimo o kartezičnem produktu večih faktorjev (slika 1.10).. P 2  K3  K2 P2 K3 K2 Slika 1.10: Kartezični produkt s tremi faktorji: P2  K3  K2 . Zaradi asociativnosti lahko zapišemo, da je G = G1  G2  ...  Gk za produkt grafov G1 , G2 , ..., Gk . Zraven tega, lahko razmislimo o množici vozlišč takega produkta, kot množici vseh k -teric (v1 , v2 , ..., vk ), kjer je vi ∈ Gi za 1 ≤ i ≤ k..

1.2 Kartezični produkt. 11. Za vozlišče v =(v1 , v2 , ..., vk ) definiramo pi (v) = vi in vi imenujemo i-ta koordinata vozlišča v. Kot smo prej zapisali, je preslikava pi šibki homomorfizem. Če pi omejimo na inducirani podgraf z vsemi vozlišči, ki se razlikujejo od danega vozlišča w le v i-ti koordinati, ta postane izomorfizem, ker je h{(v ∈ V (G) |pj (v) = wj ; j 6= i)}i izomorfen z Gi . Ta podgraf imenujemo Gi -sloj skozi vozlišče w in je označen z Gw i .. P4  G. P4. G Slika 1.11: Kartezični produkt P4  G in G-slojev iz P4  G.. Jasno je, da je produkt G = G1  ...  Gk povezan natanko tedaj, ko obstajajo vsi faktorji. Podobno se logična posledica 1.2 neposredno nadaljuje za več faktorjev. Lema 1.3 (Lema o razdaljah) [4] Naj bo G = G1  G2  ...  Gk in vozlišči u, v ∈ V (G). Potem je. dG (u, v) =. k X i=1. dGi (pi (u), pi (v)) ..

Poglavje 2 Hiperkocke V tem poglavju bomo predstavili definiciji hiperkocke in delne kocke ter se osredotočili na Djoković-Winklerjevo relacijo Θ, ki bo temeljni pojem našega proučevanja. Predstavili bomo njeno definicijo in razkrili osnovne lastnosti, ter pokazali kako je uporabna za karakterizacijo konveksnih podgrafov dvodelnih grafov. Nazadnje bomo podali še algoritem prepoznavanja za hiperkocke.. 2.1. Delne kocke. Spoznali bomo, da so hiperkocke ali r -kocke najpreprostejši razred kartezičnega produkta in so definirane kot sledi: Množico vozlišč r -kocke, Qr , sestavljajo vse r -terice b1 b2 ...br , z bi ∈ {0, 1}. Dve vozlišči sta sosednji, če se razlikujeta v natančno enem mestu. Qr imenujemo tudi hiperkocka dimenzije r (slika 2.1). Opazimo lahko, da so r -terice razumljene kot lastni vektorji dolžine r. Že v prvem poglavju smo navedli, da je Qr dvodelni graf, sedaj to tudi pojasnimo. Dve vozlišči v Qr sta sosednji le, če ima eno od njiju sodo in drugo liho število enic. Iz tega sledi, da je Qr dvodelni graf. Zgled 10 Q3 na sliki 2.1 prikazuje vozlišča kot lastne vektorje dolžine 3, npr. 001. Vidimo lahko, da so vsi grafi na sliki 2.1 resnično dvodelni grafi, saj so njihova vozlišča sosednja. Npr. vozlišče 011 ima sodo število enic in je sosednje z vozlišči 010, 111 in 001, ki imajo liho število enic.. 12.

2.1 Delne kocke. 13 110 10. 11. 101. 100 110. 111 011. 010. 111. 100 011. 010 1. 0. 01. 00. 001. 000. Q2. Q1. 101. 000. 001. Q3. Slika 2.1: 1-kocka, 2-kocka in dve 3-kocki.. Qr ima 2r vozlišč. Videli smo, da je vsako vozlišče v Qr sosednje z r drugimi vozlišči, zato je vsota stopenj vozlišč enaka r2r . Ker je vsota stopenj vozlišč poljubnega grafa dvakrat večja kot je število njenih povezav ugotovimo, da ima Qr , r2r−1 povezav. Glede na to, da smo kartezični produkt večih faktorjev in definicijo Qr že spoznali, lahko vidimo da je definicija Qr enakovredna izjavi, da je Qr kartezični produkt r kopij polnega grafa K2 . Zraven tega, je poseben primer leme 1.3 dejstvo, da je razdalja med dvema elementoma iz Qr enaka številu koordinat ali mest v katerih se razlikujeta. Zgled 11 Q2 na sliki 2.1 ima 22 = 4 vozlišča ter zaradi vsote stopenj vozlišč, ki je 2 · 22 = 8, 2 · 22−1 = 4 povezave. Opazimo lahko tudi, da je Q2 kartezični produkt dveh faktorjev: Q2 = K2  K2 , medtem kot je Q3 (slika 2.1) kartezični produkt treh faktorjev: Q3 = K2  K2  K2 . 110 101. 100 110. 111 011. 010. 111. 100 010 000. 101. 011 001. 000. 001. Slika 2.2: Q3̄ kot inducirani podgraf grafa Q3 .. Hiperkocke ali r -kocke lahko posplošimo na delne kocke (slika 2.2). Katere so definirane kot sledi: Izometričnim podgrafom hiperkock pravimo delne kocke..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ Zgled 12. 14. Zanimiva delna kocka je graf Q3̄ (slika 2.2). Definirana je kot. podgraf brez enega vozlišča, Q3 − v, kjer je v ∈ V (Q3 ). Ker so vsi ti podgrafi izometrični ni pomembno kako je izbrano vozlišče v.. 2.2. Djoković-Winklerjeva relacija Θ. Relacijo Θ je prvi vpeljal srbski matematik Dragomir Djoković (1973), vendar mi jo bomo uporabili kot jo je vpeljal nemški matematik Peter Winkler (1984) [4]. Relacijo Θ imenujemo torej Djoković-Winklerjeva relacija, katere definicija je naslednja: Naj bo G povezan graf in naj bosta e = [x, y], f = [u, v] dve povezavi grafa G. Pravimo, da je e v relaciji Θ z f , kar označimo z eΘf , če velja d (x, u) + d (y, v) 6= d (x, v) + d (y, u); glej sliko 2.3.. x. u. y. v. Slika 2.3: Definicija relacije Θ. Vidimo torej, da je Djoković-Winklerjeva relacija Θ definirana nad množico povezav grafa. Θ je refleksivna in simetrična, a ne nujno tranzitivna relacija [4]. Njeno tranzitivno ovojnico, ki je najmanjša tranzitivna relacija vsebujočega Θ, označimo s Θ∗ . Če je G cikel C2n , n ≥ 2, sode dolžine, potem Θ obstaja v vseh parih nasprotnih povezav. Zato ima Θ∗ n ekvivalenčnih razredov in je v tem primeru Θ = Θ∗ . Po drugi strani, je vsaka povezava iz lihega cikla C2n+1 , n ≥ 1, v relaciji Θ z njenima dvema nasprotnima povezavama. V tem primeru ima Θ∗ samo en ekvivalenčni razred. Preden podamo zgled, pojasnimo pojem ekvivalenčnih razredov. Vidimo, da relacija Θ∗ razdeli povezave grafa v ekvivalenčne razrede. Ekvivalenčni razred, ki pripada povezavi e, označimo z Ee in definiramo kot Ee = {f |f ∈ E(G), eΘf }. Zgled 13 Vzemimo graf G3 (slika 1.1), ki je sodi cikel C4 , tako je n = 2. Najprej označimo njegove povezave: e1 = [v1 , v2 ], e2 = [v4 , v3 ], e3 = [v2 , v3 ], e4 = [v1 , v4 ] in nato preverimo ali je e1 Θe2 ..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 15. Ker je d (v1 , v4 ) + d (v2 , v3 ) 6= d (v1 , v3 ) + d (v2 , v4 ) 1 + 1 6= 2 + 2 vidimo, da je e1 Θe2 . Podobno preverimo ali je e3 Θe4 in vidimo, da je. Torej Θ resnično obstaja v vseh parih nasprotnih povezav, v našem primeru v 2 parih nasprotnih povezav. Θ∗ pa ima zato 2 ekvivalenčna razreda. Tako je res Θ = Θ∗ . Lema 2.1 Naj bo P najkrajša pot v grafu G. Potem na tej poti ni nobenega para povezav, ki bi bil v relaciji Θ. Dokaz. Naj bosta e in f povezavi na najkrajši poti P v grafu G. Naslednji zapis lahko izberemo tako, da je P = u0 u1 ...um in e = [ui , ui+1 ], f = [uj , uj+1 ], kjer je i < j. Potem d (ui , uj ) + d (ui+1 , uj+1 ) = (d (ui+1 , uj ) + 1) + (d (ui , uj+1 ) − 1), kar pomeni, da e ni v relaciji Θ z f . Za drevo na n vozliščih, iz leme 2.1 sklepamo, da je relacija Θ∗ sestavljena iz n − 1 ekvivalenčnih razredov, od katerih vsak vsebuje samo eno povezavo. Zgled 14 Graf G2 na sliki 1.1 ponazarja drevo na 9 vozliščih. Naj bosta e = [v3 , v4 ] in f = [v5 , v6 ] povezavi najkrajše poti P = v3 v4 v5 v6 , kjer je 3 < 5, v grafu G2 . Potem je d (v3 , v5 ) + d (v4 , v6 ) = (d (v4 , v5 ) + 1) + (d (v3 , v6 ) − 1) 2 + 2 = (1 + 1) + (3 − 1) 4 = 4, torej povezavi e in f nista v relaciji Θ. Opazimo, da ima drevo na 9 vozliščih 8 ekvivalenčnih razredov, saj vsaka njegova povezava tvori ekvivalenčni razred v Θ∗ . Lema 2.1 nakazuje tudi, da sta sosednji dve povezavi v relaciji Θ natanko tedaj, ko ležita na skupnem trikotniku. Za dvodelne grafe to pomeni, da incidenčne povezave ne morejo biti v relaciji Θ..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ v2. v1. v4. v1. 16 v3. v3. v2. v5. v4. v5. Slika 2.4: Polni dvodelni graf K3,2 (narisan na dva načina).. Zgled 15. Vzemimo polni dvodelni graf K3,2 (slika 2.4) z neusmerjenimi. povezavami: e1 = [v1 , v4 ], e2 = [v4 , v3 ], e3 = [v2 , v5 ], e4 = [v1 , v5 ], e5 = [v5 , v3 ] in e6 = [v2 , v4 ]. Preverili bomo ali sta incidenčni povezavi, e1 , e2 iz K3,2 , v relaciji Θ. Ker je d (v1 , v4 ) + d (v4 , v3 ) = d (v1 , v3 ) + d (v4 , v4 ) 1+1 = 2+0 vidimo, da incidenčni povezavi e1 in e2 nista v relaciji Θ. Nato preverimo ali je e1 Θe3 in opazimo da je, ker je d (v1 , v2 ) + d (v4 , v5 ) 6= d (v1 , v5 ) + d (v4 , v2 ) 2 + 2 6= 1 + 1. Na enak način pokažemo, da je e2 Θe3 . Podobno preverimo še za ostale povezave. Spomnimo se definicije tranzitivne ovojnice relacije Θ, ki razdeli povezave grafa v ekvivalenčne razrede. V Θ∗ ima polni dvodelni graf K3,2 dva ekvivalenčna razreda, E1 = {e1 , e2 , e3 } in E2 = {e4 , e5 , e6 }. Opazimo torej, da incidenčni povezavi e1 in e2 nista v relaciji Θ, sta pa v Θ∗ . Lema 2.2 Naj bo G dvodelni graf, ter naj bosta e = [u, v] in f = [x, y] dve povezavi iz G, kjer je eΘf . Potem lahko vozlišča u, v, x, y izberemo tako, da je d (u, x) = d (v, y) = d (u, y) − 1 = d (v, x) − 1. Dokaz.. Očitno d (u, x) 6= d (u, y), sicer bi dvodelni graf G vseboval zaprti sprehod lihe. dolžine (ki vsebuje u, x in y). Ker sta vozlišči x in y sosednji, se njuni razdalji do drugih.

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 17. vozlišč razlikujeta največ za ena. Naj bodo vozlišča izbrana tako: d (u, y) = d (u, x) + 1. Iz istega razloga velja, da je d (v, x) 6= d (v, y). Predpostavimo, da je d (v, y) = d (v, x) + 1. Potem je d (u, x) + d (v, y) = d (u, y) + d (v, x), kar je v nasprotju z eΘf . Tako d (v, y) = d(v, x) − 1 ≤ d (v, u) + d (u, x) − 1 = d (u, x) = d (u, y) − 1 = d (v, y). Zato mora povsod držati enakost.. Zgled 16. Cikel C6 na sliki 1.3 je dvodelni graf. Povezavi e = [v1 , v2 ] in. f = [v5 , v4 ] iz C6 sta takšni, da je eΘf . Torej, ker je d (v1 , v5 ) + d (v2 , v4 ) 6= d (v1 , v4 ) + d (v2 , v5 ) 2 + 2 6= 3 + 3 sta povezavi e in f v relaciji Θ. Potem si vozlišča v1 , v2 , v4 , v5 izberemo tako, da je d (v1 , v5 ) = d (v2 , v4 ) = d (v1 , v4 ) − 1 = d (v2 , v5 ) − 1. Navedeno preverimo. Vidimo, da je d (v1 , v5 ) 6= d (v1 , v4 ) ali 2 6= 3. Vozlišči v5 in v4 sta sosednji, zato se njuni razdalji do drugih vozlišč razlikujeta za največ ena. Naj bodo vozlišča izbrana tako: d (v1 , v4 ) = d (v1 , v5 ) + 1 ali 3 = 2 + 1. Enako opazimo, da je d (v2 , v5 ) 6= d (v2 , v4 ) ali 3 6= 2. Tako velja d (v2 , v4 ) = d(v2 , v5 ) − 1 ali 2 = 3 − 1 ≤ d (v2 , v1 ) + d (v1 , v5 ) − 1 ali ≤ 1 + 2 − 1 = d (v1 , v5 ) ali = 2 = d (v1 , v4 ) − 1 ali = 3 − 1 = d (v2 , v4 ) ali = 2, kjer enakost drži povsod..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 18. Za urejena para p = (x, y) in q = (u, v) vozlišč grafa G, definiramo µ (p, q) = d (x, v) − d (x, u) − d (y, v) + d (y, u). Jasno je, da µ (p, q) spremeni predznak, če zamenjamo vrstni red v enem od p ali q, toda predznak ostaja nespremenjen, če zamenjamo vrstni red v obeh, p in q hkrati. Tako naj bosta e = [x, y] in f = [u, v] povezavi iz grafa G s poljubnim vrstnim redom. Potem je eΘf natanko tedaj, ko je µ (e, f ) 6= 0. Zgled 17 Vzamemo cikel C6 na sliki 1.3 in v njem izberemo urejena para vozlišč p = (v0 , v1 ), q = (v3 , v4 ), za katera definiramo µ (p, q) = d (v0 , v4 ) − d (v0 , v3 ) − d (v1 , v4 ) + d (v1 , v3 ) = 2−3−3+2 = −2. Nato zamenjamo vrstni red v p, ter za urejena para vozlišč p = (v1 , v0 ) in q = (v3 , v4 ) definiramo µ (p, q) = d (v1 , v4 ) − d (v1 , v3 ) − d (v0 , v4 ) + d (v0 , v3 ) = 3−2−2+3 = 2. Opazimo, da µ (p, q) spremeni predznak. Nakar zamenjamo vrstni red v obeh p in q, da je p = (v1 , v0 ) in q = (v4 , v3 ) in definiramo µ (p, q) = d (v1 , v3 ) − d (v1 , v4 ) − d (v0 , v3 ) + d (v0 , v4 ) = 2−3−3+2 = −2. Vidimo, da predznak ostaja nespremenjen. Spoznali smo, da v p in q vrstni red vozlišč ni pomemben da je pΘq, pomembno je le, da je µ (p, q) 6= 0. Kajti, če je µ (p, q) = 0, potem p in q nista v relaciji Θ. Lema 2.3 Naj sprehod P povezuje obe krajišči povezave e, vendar je naj ne vsebuje. Potem P vsebuje povezavo f tako, da je eΘf . Če je to edina povezava sprehoda P s to lastnostjo, potem ne more biti incidenčna z e..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 19. Dokaz. Naj bo u0 u1 ...um u0 zaprt sprehod; e = [um , u0 ] in ei = [ui−1 , ui ], za i = 1, 2, ..., m. Če upoštevamo e in ei kot urejena para (u0 , um ) in (ui−1 , ui ), lahko definiramo s=. Pm. i=1 µ (e, ei ). Iz definicije µ dobimo s = d (um , u0 ) + d (u0 , um ) = 2. To pomeni, da mora biti vsaj eden od sumandov µ (e, ei ) različen od nič. Če je recimo µ (e, ej ) 6= 0, potem je eΘej . Ugotovitev, da je |µ (e, ei )| ≤ 1 za povezave incidenčne z e, dokonča dokaz.. Zgled 18 V ciklu C6 (slika 1.3) si izberemo zaprti sprehod v0 v1 v2 v3 v4 v5 v0 , in upoštevamo povezave kot urejene pare vozlišč: e = (v0 , v5 ), e1 = (v0 , v1 ), e2 = (v1 , v2 ), e3 = (v2 , v3 ), e4 = (v3 , v4 ), e5 = (v4 , v5 ), da definiramo. s=. 5 X. µ (e, ei ). i=1. = µ (e, e1 ) + µ (e, e2 ) + µ (e, e3 ) + µ (e, e4 ) + µ (e, e5 ) = d (v0 , v1 ) − d (v0 , v0 ) − d (v5 , v1 ) + d (v5 , v0 ) + d (v0 , v2 ) − d (v0 , v1 ) − d (v5 , v2 ) + d (v5 , v1 ) + d (v0 , v3 ) − d (v0 , v2 ) − d (v5 , v3 ) + d (v5 , v2 ) + d (v0 , v4 ) − d (v0 , v3 ) − d (v5 , v4 ) + d (v5 , v3 ) + d (v0 , v5 ) − d (v0 , v4 ) − d (v5 , v5 ) + d (v5 , v4 ) = 1−0−2+1+ 2−1−3+2+ 3−2−2+3+ 2−3−1+2+ 1−2−0+1 = 0+0+2+0+0 = 2. Vidimo da je s = 2, saj je µ (e, e3 ) 6= 0. Ker pa je µ (e, e3 ) 6= 0, sta e in e3 v relaciji Θ. Opazimo, da je e3 edina povezava iz zaprtega sprehoda s to lastnostjo, tako ni incidenčna z e. Torej ugotovitev |µ (e, e3 )| ≤ 1 ali |2| ≤ 1 ne drži. Predpostavimo, da smo podali povezan graf G z vpetim drevesom T . Na to lema 2.3 nakazuje, da je vsaka povezava iz povezanega grafa G v relaciji Θ z neko povezavo iz vpetega drevesa T . Zato, ima Θ∗ največ |G| − 1 ekvivalenčnih razredov..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ v7 v6. 20 v7. v1. v1. v2 v6 v5. v2 v5. v4. v3. v4. G. v3 T. Slika 2.5: Povezan graf G in njegovo vpeto drevo T .. Zgled 19 Naj bodo e1 = [v1 , v2 ], e2 = [v2 , v3 ], e3 = [v3 , v4 ], e4 = [v4 , v5 ], e5 = [v5 , v6 ], e6 = [v6 , v7 ], e7 = [v1 , v7 ], e8 = [v5 , v7 ], e9 = [v2 , v5 ] povezave povezanega grafa G in naj bo T njegovo vpeto drevo (slika 2.5). Vidimo, da T ne vsebuje povezav e4 = [v4 , v5 ], e5 = [v5 , v6 ] in e9 = [v2 , v5 ]. Izberemo povezavo e5 iz povezanega grafa G in preverimo ali je v relaciji Θ s povezavo e6 , ki je iz vpetega drevesa T . Ker je µ (e5 , e6 ) = d (v5 , v7 ) − d (v5 , v6 ) − d (v6 , v7 ) + d (v6 , v6 ) = 1−1−1+0 = −1 vidimo, da je e5 Θe6 , saj je µ (e5 , e6 ) 6= 0. Enako še preverimo za µ (e5 , e1 ) in µ (e5 , e8 ) in ugotovimo, da sta različna od nič, torej je e5 Θe1 in e5 Θe8 . Tako je prvi ekvivalenčni razred grafa G: E1 = {e1 , e5 , e6 , e8 }. Nato izberemo drugo povezavo iz G, e9 in preverimo ali je v relaciji Θ z e7 , ki je iz vpetega drevesa T . Ker je µ (e9 , e7 ) = d (v2 , v7 ) − d (v2 , v1 ) − d (v5 , v7 ) + d (v5 , v1 ) = 2−1−1+2 =2 vidimo, da je e9 Θe7 , saj je µ (e9 , e7 ) 6= 0. Na podoben način ugotovimo, da je tudi e9 Θe3 . Tako je drugi ekvivalenčni razred grafa G: E2 = {e9 , e7 , e3 }. Nakar še izberemo tretjo povezavo iz G, e4 in preverimo enako kot zgoraj, ali je v relaciji Θ z e2 , ki je iz vpetega drevesa T . Vidimo da je, saj je µ (e4 , e2 ) = −2, kar je različno od nič. Tako je tretji ekvivalenčni razred grafa G: E3 = {e2 , e4 }. Spoznali smo torej, da je vsaka povezava iz grafa G resnično v relaciji Θ z neko povezavo iz T ..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 21. Lema 2.4 Naj bo F unija enega ali več ekvivalenčnih razredov iz Θ∗ in naj bo P pot katere povezave so v F . Potem je vsaka povezava poljubne najkrajše poti, ki povezuje krajišči iz P , tudi v F . Dokaz. Naj bo Q najkrajša pot. Brez izgube za splošnost lahko domnevamo, da Q nima nobenega drugega skupnega vozlišča s P , kot krajišči. Noben par povezav najkrajše poti Q ni v relaciji Θ po lemi 2.1, vendar mora biti vsaka povezava iz Q v relaciji Θ z neko povezavo iz P po lemi 2.3. Tako je vsaka povezava iz Q tudi v F .. Zgled 20 Vzamemo povezan graf G (slika 2.5) za katerega smo v zgledu 19 ugotovili, da ima 3 ekvivalenčne razrede: E1 = {e1 , e5 , e6 , e8 }, E2 = {e3 , e7 , e9 } in E3 = {e2 , e4 }. Torej je F = E1 ∪ E2 ∪ E3 . Nato izberemo pot P katere povezave so v F : v1 v2 v3 v4 in najkrajšo pot Q, ki ima s potjo P skupni le krajišči: v1 v7 v5 v4 . Po lemi 2.1 ugotovimo, da povezavi e7 in e8 nista v relaciji Θ. Torej, ker je d (v1 , v7 ) + d (v7 , v5 ) = (d (v7 , v7 ) + 1) + (d (v1 , v5 ) − 1) 1 + 1 = (0 + 1) + (2 − 1) 2=2 povezavi e7 in e8 resnično nista v relaciji Θ. Na podoben način ugotovimo, da tudi ostale povezave iz Q niso v relaciji Θ. Po lemi 2.3 pa vidimo, da je e7 Θe3 , ker je µ (e7 , e3 ) = d (v1 , v4 ) − d (v1 , v3 ) − d (v7 , v4 ) + d (v7 , v3 ) = 3−2−2+3 = 2. Na podoben način ugotovimo tudi, da je e8 Θe1 in e4 Θe2 . Torej resnično vidimo, da je vsaka povezava iz Q tudi v F . Lema 2.5 Naj bo F unija enega ali več ekvivalenčnih razredov iz Θ∗ in naj bo H vpeti podgraf iz G s povezavami v F . Potem je vsaka povezana komponenta iz H konveksna..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 22. e1 e2. e3. (a). (b). (c). (d). Slika 2.6: Povezan graf G.. Lema 2.5 je ponazorjena na sliki 2.6, katera prikazuje graf G s tremi Θ∗ -ekvivalenčnimi razredi E1 , E2 , E3 . Del (a) prikazuje graf G in predstavnika ei vsakega razreda Ei , (b) prikazuje graf (V (G) , E1 ), (c) prikazuje graf (V (G) , E2 ), in (d) prikazuje vpeti podgraf grafa G z množico povezav E1 ∪ E2 . Za dvodelne grafe dobimo močnejši rezultat. Prvo potrebujemo definicijo. Naj bo H podgraf grafa G. Potem je ∂H množica vseh povezav [x, y] iz grafa G z x ∈ V (H) in y ∈ / V (H). Lema 2.6 (Lema o konveksnosti) Inducirani povezan podgraf H dvodelnega grafa G je konveksen natanko tedaj, ko nobena povezave iz ∂H ni v relaciji Θ s poljubno povezavo iz H. Dokaz. Predpostavimo, da je H konveksen in da obstajata povezavi [u, v] = e ∈ E(H) in [x, y] = f ∈ E(∂H), ki sta v relaciji Θ. Denimo, da je x ∈ V (H) in y ∈ / V (H). Po lemi 2.2, je f na najkrajši poti od v do x, kar je v nasprotju s predpostavko. Predpostavimo nasprotno, da je H inducirani povezan podgraf grafa G in da nobena povezava iz ∂H ni v relaciji Θ s povezavo iz H. Naj bosta a, b dve vozlišči iz H, P najkrajša pot od a do b v G in Q poljubna pot od a do b v H. Če P ni v H, potem mora vsebovati povezavo iz ∂H. Naj bo ta povezava e. Po lemi 2.1 ta ni v relaciji Θ s katerokoli povezavo iz P . Kakorkoli, po lemi 2.3 mora biti v relaciji Θ s povezavo iz (P ∪ Q) − e in tako v relaciji Θ s povezavo v Q ⊆ H, kar je v nasprotju s predpostavko.. Zgled 21 Za ponazoritev leme 2.6, proučimo podgrafa H ′ in H na sliki 2.7..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 23. Najprej predpostavimo, da je H ′ konveksen podgraf dvodelnega grafa Q3 in da obstajata neusmerjeni povezavi [v1 , v2 ] ∈ E(H ′ ) in [v4 , v3 ] ∈ E(∂H ′ ), ki sta v relaciji Θ. Denimo, da je v4 ∈ V (H ′ ) in v3 ∈ / V (H ′ ). Po lemi 2.2 usmerjena povezava [v4 , v3 ] leži na najkrajši poti med v2 in v4 , kar je v nasprotju s predpostavko. Po drugi strani predpostavimo, da je H inducirani povezan podgraf dvodelnega grafa Q3 in da nobena povezava iz ∂H: [v1 , v2 ], [v4 , v3 ], [v5 , v6 ], [v8 , v7 ] ni v relaciji Θ s povezavo iz H: [v1 , v4 ], [v4 , v8 ], [v1 , v5 ], [v5 , v8 ]. Naj bosta v1 , v4 ∈ H, P = v1 v2 v3 v4 in Q = v1 v5 v8 v4 . Vidimo, da P ni v H, torej vsebuje povezavo iz ∂H: [v1 , v2 ]. Po lemi 2.1 ta povezava ni v relaciji Θ s katerokoli povezavo iz P ([v1 , v2 ] in [v2 , v3 ] nista v relaciji Θ). Po lemi 2.3 je [v1 , v2 ] Θ [v4 , v3 ]. Ker [v1 , v2 ] ni v relaciji Θ s povezavami iz Q ⊆ H, je H konveksen podgraf.. v5 v4. v1. v6. v2. v8 v4. v1. v7. v3 (a). v5. v8. v6. v2. v7. v3 (b). Slika 2.7: Z odebeljeno črto je prikazan (a) nekonveksni podgraf H ′ in (b) konveksni podgraf H. V nadaljevanju bomo podali definicijo množice vozlišč grafa G, ki so bliže vozlišču u kot v. Za povezavo [u, v] iz grafa G, naj bo Wuv množica vozlišč grafa G, ki so bliže u kot v: Wuv = {w|w ∈ G, dG (w, u) < dG (w, v)}. V dvodelnem grafu G množici Wuv in Wvu razbijeta množico V (G). Trditev 2.7 Naj bo e = [u, v] povezava povezanega dvodelnega grafa G in naj bo Fuv = {f |f ∈ E (G) , eΘf }. Potem ima G\Fuv natanko dve povezani komponenti, ki sta inducirani z množicama vozlišč Wuv in Wvu . Poleg tega je vsaka najkrajša pot od u do vozlišča w iz Wuv v celoti vsebovana v Wuv ..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 24. Dokaz. Po lemi 2.3 vozlišči u in v pripadata različnima povezanima komponentama grafa G\Fuv . Naj bo w ∈ Wuv in naj bo P najkrajša pot od u do w. Potem je {[v, u]} ∪ P najkrajša pot od v do w. Zato po lemi 2.1, nobena povezava iz P ni v relaciji Θ z e. Iz tega sledi, da P povezuje u in w v G\Fuv . Poleg tega, odkar je G dvodelni graf, nobena povezava [w, w′ ] ∈ E(G), kjer sta w, w′ ∈ Wuv , ni v relaciji Θ z e. Zato G\Fuv vsebuje dve povezani komponenti hWuv i in hWvu i.. Zgled 22 S povezanim dvodelnim grafom Q3 na sliki 2.7 ponazorimo trditev 2.7. Povezava e = [v1 , v2 ] naj bo dana tako, da vozlišči v1 in v2 pripadata različnima povezanima komponentama iz grafa Q3 \Fv1 v2 . Naj bosta ti dve povezani komponenti Wv1 v2 = {v1 , v4 , v5 , v8 } in Wv2 v1 = {v2 , v3 , v6 , v7 } in naj bo Fv1 v2 = {[v1 , v2 ] , [v4 , v3 ] , [v8 , v7 ] , [v5 , v6 ]}. Nato izberemo vozlišče v5 , ki pripada komponenti Wv1 v2 in najkrajšo pot P : v1 v4 v8 v5 . Vidimo, da je {[v2 , v1 ]} ∪ P najkrajša pot od v2 do v5 . Po lemi 2.1 nobena povezava iz P ni v relaciji Θ z e. To pomeni, da je P tudi pot v Q3 \Fv1 v2 . Zraven tega, ker je Q3 dvodelni graf, povezava [v5 , v8 ] ∈ E(Q), kjer sta vozlišči v5 , v8 ∈ Wv1 v2 , ni v relaciji Θ z e. Zato vidimo, da Q3 \Fv1 v2 vsebuje dve povezani komponenti hWv1 v2 i in hWv2 v1 i. V nadaljevanju bomo pripravili vse potrebno za algoritem prepoznavanja za hiperkocke. Naj bo [u, v] poljubna povezava iz r -kocke in naj bosta u = 00...0 in v = 10...0. Potem so vozlišča iz Wuv , vozlišča s prvo koordinato 0. Jasno je, da je podgraf hWuv i ki jih inducira v Qr , (r − 1)-kocka. Analogno je podgraf hWvu i, ki vozlišča s prvo koordinato 1 inducira v Qr , (r − 1)-kocka. Povezave iz Fuv niso povezave v hWuv i ali hWvu i, so pa oblike [(0x2 x3 ...xr ) , (1x2 x3 ...xr )]. Vidimo torej, da se ujemajo v Qr in da to ujemanje definira izomorfizem α : 0x2 x3 ...xr 7→ 1x2 x3 ...xr iz hWuv i na hWvu i. Zgled 23 Navedeno prikažimo z grafom Q3 (slika 2.7), ki ima vozlišča: v1 = 010, v2 = 000, v3 = 001, v4 = 011, v5 = 110, v6 = 100, v7 = 101, v8 = 111..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 25. Naj bosta Wv2 v6 = {v2 , v3 , v4 , v1 } in Wv6 v2 = {v6 , v7 , v8 , v5 }. Nato vidimo, da sta oba podgrafa hWv2 v6 i in hWv6 v2 i enaka Q2 . Torej je hWv2 v6 i = {[v2 , v3 ] , [v3 , v4 ] , [v4 , v1 ] , [v1 , v2 ]} in hWv6 v2 i = {[v6 , v7 ] , [v7 , v8 ] , [v8 , v5 ] , [v5 , v6 ]} . Nakar opazimo, da povezave iz Fv2 v6 = {[v2 , v6 ] , [v3 , v7 ] , [v4 , v8 ] , [v1 , v5 ]} resnično niso povezave v hWv2 v6 i in hWv6 v2 i. Torej gre za izomorfizem iz hWv2 v6 i na hWv6 v2 i. Ta informacija zadošča za O (n log n) algoritem prepoznavanja za hiperkocke. Za prikaz tega, vzamemo netrivialen povezan graf G na n vozliščih in m povezavah. Če je G hiperkocka, mora biti njegovo število povezav m enako. n 2. log2 n = O (n log n). V toliko korakih lahko. preverimo ali je G dvodelni graf. Nato lahko s poljubno izbiro [u, v] ∈ E (G) dosežemo razdalji dG (u, x) in dG (v, x), za vsak x ∈ G, v 2m korakih. Tako sta lahko Wuv in Wvu določeni v O (m) času in prostoru. Zgled 24. Vzamemo graf Q3 (slika 2.1), ki ima 8 vozlišč in 12 povezav.. Povedali smo, da je graf Q3 hiperkocka, če je njegovo število povezav enako 8 2. log2 8 = O (8 log 8). Ker je 8 log2 8 = 4 log2 23 = 4 · 3 = 12 2. in zato O (8 log 8) = 12 vidimo, da je Q3 hiperkocka. V isti časovni in prostorski zahtevnosti lahko določimo Fuv in tako preslikavo iz hWuv i na hWvu i. Če je izomorfizem in če je n = 2, potem je graf G hiperkocka. Sicer postopek ponovimo za hWuv i. Jasno je, da se ta proces konča po največ log2 n korakov. Da končamo njegovo zahtevnost, določimo c za konstanto postopka določanja hWuv i, hWvu i in ju preverjamo za izomorfizem. Potem je celotna zahtevnost kvečjemu m cm + c m 2 + c 4 + ... + c < 2cm.. To je najboljša možna, saj so vse povezave preverjene. Rezultat navedenega pa oblikujemo kot algoritem in izrek..

2.2 Djoković-Winklerjeva relacija Θ. 26. Algoritem 2.8 (Hiperkocke) [4] Vhod: Poljubni zapis povezanega grafa G. Izhod: RESNIČEN, če je G hiperkocka, NAPAČEN, če G ni hiperkocka. 1. Če G ni dvodelni graf ali m 6=. n 2. log2 n, potem vrni NAPAČEN in se ustavi.. 2. Za poljubno povezavo [u, v] izračunaj Wuv in Wvu . 3. Če povezave, ki niso v hWuv i in hWvu i, ne definirajo prirejanja in izomorfizma med hWuv i in hWvu i, potem vrni NAPAČEN in se ustavi. 4. Če je hWuv i = K2 , potem vrni RESNIČEN, sicer se vrni na korak 2 z hWuv i kot vhodnim grafom. Izrek 2.9 [4] Hiperkocke so lahko prepoznane v linearnem času in prostoru..

Poglavje 3 Hammingovi grafi V prvem delu tega poglavja bomo definirali Hammingove grafe in pokazali, da so natanko tisti grafi, ki se dajo zapisati, kot izometrični podgrafi kartezičnega produkta polnih grafov. V drugem oziroma osrednjem delu, bomo raziskali kanonično vložitev grafov v kartezični produkt in dokazali, da je izometrija. Nazadnje bomo podali še algoritem, ki izračuna relacijo Θ∗ .. 3.1. Uvod v Hammingove grafe. Najprej se spomnimo definicije hiperkocke, ki je podana v prvem delu drugega poglavja in jo posplošimo: Za i = 1, 2, ..., r, naj bodo ki ≥ 2 cela števila. Imamo graf G, katerega vozlišča so rterice b1 b2 ...br z bi ∈ {0, 1, ..., ki − 1}, in naj bosta dve vozlišči sosednji, če se njuni oznaki razlikujeta v natančno enem mestu. Tak graf imenujemo Hammingov graf (slika 3.1). Jasno je, da je G Hammingov graf natanko tedaj, ko je zapisan v obliki G = Kk1  Kk2  ...  Kkr za nek r ≥ 1, kjer je ki ≥ 2, za vsak i. V nadaljevanju opazimo, da je Hammingov graf hiperkocka (slika 2.1) natanko tedaj, ko je ki = 2, za vsak i. Zraven tega, so hiperkocke edini dvodelni Hammingovi grafi. Trditev 3.1 [4] Naj bosta u in v vozlišči na razdalji r v Hammingovem grafu. Potem interval I (u, v) inducira hiperkocko dimenzije r.. 27.

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 28 u. K2  K4 K2. v. K4 Slika 3.1: Hammingov graf K2  K4 .. Zgled 25. Za prikaz trditve 3.1 vzamemo Hammingov graf K2  K4 (slika. 3.1), kjer vozlišči u in v nista sosednji. Razdalja med vozliščema v K2  K4 je enaka 2, moč intervala med njima pa je enaka 3. Torej interval I (u, v) inducira 2-kocko, ki je na sliki 3.1 narisana odebeljeno. Nato definiramo delne Hammingove grafe, katerih definicija je zelo podobna delnim kockam. Delne kocke smo definirali kot izometrične podgrafe hiperkock, medtem kot delne Hammingove grafe definiramo kot izometrične podgrafe Hammingovih grafov. Drug, enakovreden način opisovanja delnih Hammingovih grafov pa je naslednji: Naj bo Σ končni nabor znakov, naj bosta w1 in w2 oznaki enake dolžine z elementi iz Σ, in naj bo Hammingova razdalja, H (w1 , w2 ), med oznakama w1 in w2 enaka številu mest, v katerih se w1 in w2 razlikujeta. Potem je G delni Hammingov graf natanko tedaj, ko je lahko vsako vozlišče v ∈ V (G) označeno z oznako w (v) fiksne dolžine, tako da je H (w (u) , w (v)) = dG (u, v), za vse u, v ∈ V . Takšna označitev je Hammingova označitev.. 3.2. Kanonično izometrična vložitev. Najprej bomo podali definicijo kvocientnega grafa: Naj bo G graf in Π particija množice vozlišč V (G). Potem so vozlišča kvocientnega grafa G/Π razredi particije Π. Dva različna razreda C1 , C2 particije Π sta sosednja, če obstaja vozlišče v C1 , ki je sosednje z vozliščem iz C2 . S tem konceptom definiramo kanonično vložitev na naslednji način: Naj bo G povezan graf in naj bodo E1 , E2 , ..., Ek ekvivalenčni razredi relacije Θ∗ ..

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 29. Graf Gi dobimo tako, da iz grafa G odstranimo povezave ustreznega ekvivalenčnega razreda, torej Gi = G\Ei , za i = 1, 2, ..., k. Poleg tega, naj bo Πi particija množice vozlišč V (Gi ) inducirana s povezanimi komponenti grafa Gi in αi skrčitev od G do G∗i . Potem je kanonična vložitev α : G → G/Π1  G/Π2  ...  G/Πk definirana z α (v) = (α1 (v) , α2 (v) , ..., αk (v)). V naslednjem zgledu si bomo ogledali postopek kanonične vložitve grafa G v kartezični produkt treh kvocientnih grafov (slika 3.2 (a), (b), (c), (d)). Zgled 26. Imamo povezan graf G (slika 3.2), ki ima naslednje povezave:. e1 = [v0 , v1 ], e2 = [v1 , v2 ], e3 = [v2 , v3 ], e4 = [v3 , v4 ], e5 = [v2 , v4 ], e6 = [v3 , v5 ], e7 = [v5 , v6 ], e8 = [v1 , v5 ], e9 = [v0 , v6 ]. Najprej poiščemo vse povezave grafa G, ki določajo ekvivalenčni razred E1 relacije Θ∗ . Torej E1 = {e3 , e4 , e5 , e8 , e9 }. Nato poiščemo vse povezave ekvivalenčnega razreda E2 in sicer E2 = {e1 , e7 }. Nazadnje poiščemo še vse povezave ekvivalenčnega razreda E3 in sicer E3 = {e2 , e6 }. Relacija Θ∗ ima torej tri ekvivalenčne razrede, ki so podlaga za kvocientne grafe. Povezave posameznega ekvivalenčnega razreda na sliki 3.2 (a) označimo z odebeljeno črto. V nadaljevanju odstranimo povezave, ki pripadajo ekvivalenčnemu razredu E1 ter dobimo graf G1 . Na podoben način dobimo tudi G2 in G3 (slika 3.2 (b)). Opazimo, da ima graf G1 tri povezane komponente, grafa G2 in G3 pa dve. Nato vsako povezano komponento grafa G1 skrčimo v vozlišče in dobimo tri vozlišča. Torej, prvo povezano komponento iz G1 , ki vsebuje vozlišča v6 , v5 in v3 , skrčimo v vozlišče α1 (v6 ) = α1 (v5 ) = α1 (v3 ) (katero smo v G/Π1 označili z α1 (v6 ) = ...). Drugo povezano komponento iz G1 , ki vsebuje le vozlišče v4 , skrčimo v vozlišče α1 (v4 ) (katero smo v G/Π1 tako tudi označili). Tretjo povezano komponento iz G1 , ki pa vsebuje vozlišča v0 , v1 in v2 , skrčimo v vozlišče α1 (v0 ) = α1 (v1 ) = α1 (v2 ) (katero smo v G/Π1 označili z α1 (v0 ) = ...). Spomnimo se, da dobljena vozlišča med seboj povežemo le, če med ustreznimi komponentami obstaja povezava iz E1 . Ker ima naš graf G1 tri povezane komponente in med njimi obstajajo ustrezne povezave iz E1 , dobljena vozlišča med seboj povežemo in dobimo kvocientni graf G/Π1 = K3 . Z enakim postopkom.

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 30 G/Π1  G/Π2  G/Π3. G v0. v6. α v5. v4. v1 v2. v3 E1. (d) G1. G/Π1. α1. α1 (v6 ) = ... α1 (v0 ) = .... α1 (v4 ) E2. G2. G/Π2 α2. α2 (v0 ) = α2 (v6 ). α2 (v2 ) = ... E3. G3. G/Π3 α3. α3 (v0 ) = ... α3 (v2 ) = .... (a). (b). (c). Slika 3.2: Kanonična vložitev grafa G v K3  K2  K2 .. dobimo kvocientna grafa G/Π2 = K2 in G/Π3 = K2 (slika 3.2 (c)). Na sliki 3.2 (d) vidimo, kako vložimo graf G v kartezični produkt treh kvocientnih grafov, ki so v našem primeru polni grafi (K3 , K2 in K2 ). Vložen graf G v kartezičnem produktu treh polnih grafov označimo z odebeljeno črto. Tako α preslika graf G v K3  K2  K2 ..

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 31. Cilj tega dela poglavja je dokaz najpomembnejše lastnosti, ki pravi, da je kanonična vložitev α izometrija. Preden se lotimo dokaza bomo pojasnili nekaj pojmov. Spomnimo se funkcije µ, ki smo jo definirali v drugem poglavju. Torej, za urejena para vozlišč p = (x, y) in q = (u, v) definiramo µ (p, q) = d (x, v) − d (x, u) − d (y, v) + d (y, u). Po definiciji, je µ simetrična; kar pomeni, da je µ (p, q) = µ (q, p). S poljubno usmeritvijo povezav e in f vidimo, da je eΘf natanko tedaj, ko je µ (e, f ) 6= 0. Poleg tega, za množici (ali podmnožici) A, B, urejenih parov vozlišč, definiramo µ (A, B) =. P. p∈A. P. q∈B. µ (p, q).. Zanimal nas bo primer, ko je B usmerjena pot Q = y0 y1 ...yk , ki je sestavljena iz usmerjenih povezav (yi−1 , yi ), za i = 1, 2, ..., k. Naj bosta p = (y0 , yk ) in q urejena para vozlišč. Potem je µ (q, Q) = µ (q, p). (Poseben primer je lema 2.3.) Iz tega jasno sledi, da je µ (A, Q) = µ (A, p), za vsako množico (ali podmnožico) A urejenih parov vozlišč. Ker pa je µ simetrična, kot smo ugotovili že prej, je µ (Q, A) = µ (p, A). Zgled 27 Vzamemo graf G (slika 3.2) in naj bodo a0 = (v6 , v5 ), a1 = (v5 , v3 ), a2 = (v2 , v4 ), a3 = (v3 , v4 ), a4 = (v1 , v5 ), a5 = (v0 , v6 ) urejeni pari iz množice A, ter b0 = (v0 , v1 ), b1 = (v1 , v2 ) in b2 = (v2 , v3 ) urejeni pari iz množice B. Usmerjene povezave iz B sestavljajo usmerjeno pot Q = v0 v1 v2 v3 . Potem sta p = (v0 , v3 ) in q = (v6 , v5 ) poljubni usmerjeni povezavi iz A. Ker je. µ (q, Q) =. 2 X. µ (q, bi ). i=0. = µ (q, b0 ) + µ (q, b1 ) + µ (q, b2 ) = d (v6 , v1 ) − d (v6 , v0 ) − d (v5 , v1 ) + d (v5 , v0 ) + d (v6 , v2 ) − d (v6 , v1 ) − d (v5 , v2 ) + d (v5 , v1 ) +.

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 32. d (v6 , v3 ) − d (v6 , v2 ) − d (v5 , v3 ) + d (v5 , v2 ) = 2−1−1+2+ 3−2−2+1+ 2−3−1+2 = 2+0+0 = 2,. µ (q, p) = d (v6 , v3 ) − d (v6 , v0 ) − d (v5 , v3 ) + d (v5 , v0 ) = 2−1−1+2 =2 vidimo, da je µ (q, Q) = µ (q, p). Od tod sledi, da je µ (A, Q) = µ (A, p) oziroma µ (Q, A) = µ (p, A), ker je funkcija µ simetrična. Lema 3.2 Naj bo P najkrajša pot od vozlišča u do vozlišča v v grafu G in naj bo Q poljubna pot med tema dvema vozliščema. Potem je |P ∩ Ei | ≤ |Q ∩ Ei |, za vsak ekvivalenčni razred Ei relacije Θ∗ . Dokaz. Naj bosta poti P in Q konsistentno usmerjeni od vozlišča u k vozlišču v in naj bo p = (u, v). Potem velja µ (p, P ∩ Ei ) = µ (Q, P ∩ Ei ) = µ (Q ∩ Ei , P ∩ Ei ) = µ (Q ∩ Ei , P ) = µ (Q ∩ Ei , p). Opazimo, da prva in zadnja enakost sledita iz zgornje ugotovitve, µ (Q, A) = µ (p, A). Drugi dve enakosti pa sledita iz dejstva, da če sta e in f poljubni usmerjeni povezavi iz grafa G, potem je µ (e, f ) = 0, ko e in f nista v relaciji Θ. Naj bo f poljubna usmerjena povezava iz poti P . Ker je P najkrajša pot med vozliščema u in v, je µ (p, f ) = 2. Zato je µ (p, P ∩ B) = 2 |P ∩ B|,.

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 33. za poljubno množico (ali podmnožico) B usmerjenih povezav. Tako z združitvijo vseh ugotovitev dobimo 2 |P ∩ Ei | = µ (p, P ∩ Ei ) = µ (Q ∩ Ei , p) ≤ 2 |Q ∩ Ei |, kjer neenakost izhaja iz ugotovitve |µ (e, f )| ≤ 2, za poljubni usmerjeni povezavi e in f .. Zgled 28 Za prikaz leme 3.2 vzamemo graf G (slika 3.2). Naj bo P = v0 v1 v2 v3 najkrajša pot med vozliščema v0 in v3 , Q = v0 v1 v2 v4 v3 poljubna pot med tema vozliščema in p = (v0 , v3 ) usmerjena povezava. Lemo 3.2 bomo dokazali le za ekvivalenčni razred E1 = {[v0 , v6 ] , [v1 , v5 ] , [v2 , v4 ] , [v4 , v3 ] , [v2 , v3 ]}, saj je dokaz za ekvivalenčna razreda E2 in E3 identičen. Najprej bomo dokazali, da je µ (p, P ∩ E1 ) = µ (Q, P ∩ E1 ) oziroma, da je µ (p, P ∩ E1 ) = µ (Q ∩ E1 , p) . Naj bo e = (v2 , v3 ) usmerjena povezava iz P ∩ E1 . Povezave q0 = (v0 , v1 ), q1 = (v1 , v2 ), q2 = (v2 , v4 ), q3 = (v4 , v3 ) so usmerjene povezave iz poti Q in q2 , q3 ∈ Q ∩ E1 . Ker je µ (p, P ∩ E1 ) = d (v0 , v3 ) − d (v0 , v2 ) − d (v3 , v3 ) + d (v3 , v2 ) = 3−2−0+1 = 2,. µ (Q, P ∩ E1 ) =. 3 X. µ (qi , e). i=0. = µ (q0 , e) + µ (q1 , e) + µ (q2 , e) + µ (q3 , e) = d (v0 , v3 ) − d (v0 , v2 ) − d (v1 , v3 ) + d (v1 , v2 ) + d (v1 , v3 ) − d (v1 , v2 ) − d (v2 , v3 ) + d (v2 , v2 ) + d (v2 , v3 ) − d (v2 , v2 ) − d (v4 , v3 ) + d (v4 , v2 ) + d (v4 , v3 ) − d (v4 , v2 ) − d (v3 , v3 ) + d (v3 , v2 ) = 3−2−2+1+ 2−1−1+0+ 1−0−1+1+ 1−1−0+1 = 0+0+1+1.

3.2 Kanonično izometrična vložitev = 2,. µ (Q ∩ E1 , p) =. 3 X. µ (qi , p). i=2. = µ (q2 , p) + µ (q3 , p) = d (v2 , v3 ) − d (v2 , v0 ) − d (v4 , v3 ) + d (v4 , v0 ) + d (v4 , v3 ) − d (v4 , v0 ) − d (v3 , v3 ) + d (v3 , v0 ) = 1−2−1+3+ 1−3−0+3 = 1+1 =2 vidimo, da je µ (p, P ∩ E1 ) = µ (Q, P ∩ E1 ) oziroma, da je µ (p, P ∩ E1 ) = µ (Q ∩ E1 , p) . Torej prva in četrta enakost po dokazu leme 3.2 zares držita. Druga in tretja enakost pa držita, če si izberemo takšni usmerjeni povezavi iz G, e = (v2 , v3 ), f = (v1 , v2 ), ki nista v relaciji Θ, saj je µ(e, f ) = 0. Nato si izberemo usmerjeno povezavo f = (v1 , v2 ) iz najkrajše poti P in izračunamo µ (p, f ). Ker je µ (p, f ) = d (v0 , v2 ) − d (v0 , v1 ) − d (v3 , v2 ) + d (v3 , v1 ) = 2−1−1+2 = 2, je µ (p, P ∩ B) = 2 |P ∩ B|, za poljubno množico B usmerjenih povezav. Za graf G smo usmerjene povezave množice B že določili, glej zgled 27. Vidimo, da so b0 , b1 , b2 ∈ P ∩ B. Ker je. µ (p, P ∩ B) =. 2 X. µ (q, bi ). i=0. = µ (p, b0 ) + µ (p, b1 ) + µ (p, b2 ) = d (v0 , v1 ) − d (v0 , v0 ) − d (v3 , v1 ) + d (v3 , v0 ) + d (v0 , v2 ) − d (v0 , v1 ) − d (v3 , v2 ) + d (v3 , v1 ) + d (v0 , v3 ) − d (v0 , v2 ) − d (v3 , v3 ) + d (v3 , v2 ). 34.

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 35. = 1−0−2+3+ 2−1−1+2+ 3−2−0+1 = 2+2+2 = 6,. 2 |P ∩ B| = 2 · |3| = 6 vidimo, da µ (p, P ∩ B) = 2 |P ∩ B| drži. Torej je 2 |P ∩ E1 | = µ (p, P ∩ E1 ) = µ (Q ∩ E1 , p) ≤ 2 |Q ∩ E1 | 2 · |1| = 2 = 2 ≤ 2 · |2| 2 ≤ 4. Zdaj smo pripravili vse predpogoje za zapis in dokaz glavnega izreka tega dela poglavja. Izrek 3.3 (Graham-Winkler) Kanonična vložitev α je izometrija. Dokaz.. Naj bo [u, v] poljubna povezava iz grafa G. Predpostavimo, da je [u, v] ∈ Ei .. Iz leme 2.3 sklepamo, da je [αi (u) , αi (v)] ∈ E (G/Πi ). Poleg tega, če je j 6= i, potem je αj (u) = αj (v). Tako kanonična vložitev α preslika povezave v povezave. Lema 2.3 pove, da je α injektivna. Pokazali smo, da za nobeni dve vozlišči x, y ∈ G ne obstaja pot med vozliščema α (x) in α (y) v kvocientnem grafu G/Πi , ki je krajša od razdalje dG (x, y). Predpostavimo nasprotno, da obstaja pot Q v kvocientnem grafu G/Πi med vozliščema α (x) in α (y), ki je krajša od najkrajše poti P med vozliščema x in y v grafu G. Naj bo pi = |P ∩ Ei | in qi = |Q ∩ Fi |, kjer je Fi množica povezav kvocientnega grafa G/Πi , katerih krajišča se razlikujejo samo v i-ti koordinati. Potem lahko najdemo zaporedje qi + 1 takšnih povezanih komponent Ci,0 , Ci,1 , ..., Ci,qi , da je x ∈ Ci,0 in y ∈ Ci,qi ter da obstaja povezava ej v grafu G, med povezanima komponentama Ci,j−1 in Ci,j , za 1 ≤ j ≤ qi . Jasno je, da vsaka taka povezava ej pripada ekvivalenčnemu razredu Ei in da lahko množico povezav e1 , e2 , ..., eqi.

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 36. razširimo s povezavami iz povezanih komponent Ci,j , na poti R v grafu G med vozliščema x in y. Ker povezave iz povezanih komponent Ci,j ne pripadajo ekvivalenčnemu razredu Ei , je |R ∩ Ei | = qi < pi in smo v nasprotju z lemo 3.2. V nadaljevanju bomo podali zgled za dokaz izreka 3.3. Zgled 29 Naj bo G graf (slika 3.2) za katerega smo v zgledu 26 ugotovili, da je kanonično vložen v kartezični produkt treh polnih grafov. Preverili bomo ali je kanonična vložitev α izometrija. Naj bo [v0 , v6 ] neusmerjena povezava iz grafa G, ki pripada ekvivalenčnemu razredu E1 . Po lemi 2.3 sklepamo, da je [α1 (v0 ) = α1 (v1 ) = α1 (v2 ) , α1 (v6 ) = α1 (v5 ) = α1 (v3 )] ∈ E (G/Π1 ) , kar vidimo na sliki 3.2. Če je j različen od i in je i = 1, potem je j = 2, 3. Torej je α2 (v0 ) = α2 (v6 ), kot smo označili na sliki 3.2, pri kvocientnemu grafu G/Π2 . Tedaj vozlišči v0 in v6 pripadata isti povezani komponenti. Tako kanonična vložitev α preslika povezave v povezave. Po lemi 2.3 sklepamo, da je α injektivna. Pokazali smo, da za nobeni dve vozlišči iz G ne obstaja pot med vozliščema iz kvocientnega grafa, ki je krajša od razdalje med vozliščema iz grafa G. Predpostavimo nasprotno. Naj obstaja pot Q = α(v6 )α(v5 )α(v3 )α(v2 ) v G/Π1 , ki je krajša od najkrajše poti P = v6 v5 v3 v2 , v G. Naj bo p1 = |P ∩ E1 | = 1 in q1 = |Q ∩ F1 | = 2, kjer je F1 = {[α(v6 ), α(v5 )] , [α(v3 ), α(v2 )]} množica povezav iz G/Π1 , katerih krajišča se razlikujejo v prvi koordinati. Nato najdemo zaporedje treh povezanih komponent, ker je q1 + 1 = 3. Komponente so C1,0 , C1,1 in C1,2 , saj je v6 ∈ C1,0 in v2 ∈ C1,2 . Vidimo, da med posameznima povezanima komponentama obstaja povezava, ki pripada določenemu ekvivalenčnemu razredu. Med povezanima komponentama C1,0 in C1,1 obstaja povezava [v6 , v4 ], med povezanima komponentama C1,1 in C1,2 pa povezava [v4 , v2 ]. Obe povezavi pripadata ekvivalenčnemu razredu E1 in ju razširimo tako, da dobimo pot R = v6 v5 v3 v4 v2 v grafu G. Ker povezave v C1,0 niso v ekvivalenčnem razredu E1 , smo v nasprotju z lemo 3.2. Ne drži pa tudi |R ∩ E1 | = q1 < p1 . Podobno preverimo še za E2 in E3 ..

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 37. Izometrija α ima še več drugih lastnosti, katere bomo opisali v naslednjem izreku. Še prej definirajmo dva nova pojma. Q Pravimo, da je izometrična vložitev β : G → m i=1 Hi neredundantna, če je |Hi | ≥ 2, za vsak Sm i = 1, ..., m in če se vsako vozlišče h ∈ i=1 Hi pojavlja kot koordinata slike iz nekega vozlišča g ∈ G. To pomeni, da ne obstajajo neizkoriščeni faktorji ali vozlišča v neredundantni Q vložitvi. Podgraf m i=1 Hi , ki je izometričen z β (G) imenujemo neredundantni podgraf. Nadalje imenujemo graf G nereducibilen, če je vsaka neredundantna izometrična vložitev Q β:G→ m i=1 Hi trivialna, in sicer m = 1 in G = Hi .. G v7. v6. G/Π1  G/Π2. v0 β. v4. v5. v1 v2. v3 E1. H1. G/Π1 x1 β1. x3 x2. E2. H2. G/Π2 y4. y1. y3. y2. β2. Slika 3.3: Izometrična vložitev grafa G v K3  (K4 − e) je neredundantna.. Zgled 30 Povezan graf G (slika 3.3) izometrija β vloži v kartezični produkt polnih grafov K3 in (K4 −e). Ker je |H1 | = 3 in |H2 | = 4, in ker se vsako vozlišče.

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 38. iz H1 in H2 pojavlja kot koordinata slike nekega vozlišča iz grafa G pravimo, da je izometrična vložitev neredundantna. H1 in H2 pa sta neredundantna podgrafa. Za primer nereducibilnega grafa vzamemo polni graf K5 , na sliki 1.2. Polni graf K5 je nereducibilen, ker ga ne moremo vložiti v kartezični produkt katerihkoli grafov. Izrek 3.4 Naj bo α kanonična vložitev povezanega grafa G. Potem velja i.) α je neredundantna. ii.) α ima največje možno število faktorjev, med vsemi neredundantnimi izometričnimi vložitvami grafa G. iii.) Vsak kvocientni graf G/Πi je nereducibilen. iv.) α je enolična med vsemi takimi preslikavami iz ii.) točke. Dokaz. i.) Če je [u, v] povezava iz ekvivalenčnega razreda Ei , potem vozlišči u in v pripadata različnima povezanima komponentama grafa Gi , po lemi 3.2. Tako ima kvocientni graf G/Πi najmanj dve vozlišči. Drugi pogoj izhaja iz dejstva, da je αi surjektivna, za vsak i. ii.) Naj bo β : G →. Qm. i=1 Hi. poljubna neredundantna izometrična vložitev. Poleg tega,. naj bosta e in f povezavi iz β (G), ki sta v slojih z ozirom na različna faktorja Hi in Hj . Prvo želimo pokazati, da povezavi e in f nista v relaciji Θ. Po posledici 1.2, je m = 2 očitno. Tako povezavi e in f nista v relaciji ΘHi  Hj . Po lemi 1.3, je Hi  Hj Q izometrični podgraf grafa m i=1 Hi , zato eΘf ne drži. To pomeni, da morajo biti vse povezave ekvivalenčnega razreda Ei v slojih z ozirom na isti faktor, imenovan Hi . Zato ima α največje možno število faktorjev. iii.) Sledi iz ii.) točke, ker reducibilnost kvocientnega grafa G/Πi vodi do neredundantne izometrične vložitve grafa G, z največjim možnim številom faktorjev, ki ga ima α. iv.) Sledi iz istega razloga, kot smo ga uporabili pri ii.) točki..

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 39. Posledica 3.5 Naj bo G povezan graf na n vozliščih. Denimo, da α vloži graf G v kartezični produkt k faktorjev. Potem je graf G drevo natanko tedaj, ko je k = n − 1. Dokaz.. Iz opombe po lemi 2.3 vemo, da α vloži največ n − 1 faktorjev. Poleg tega, če. je graf G drevo, nobeni dve povezavi iz grafa G nista v relaciji Θ, po lemi 2.1. Tako je k = n − 1. Predpostavimo nasprotno, da graf G ni drevo. Potem graf G vsebuje cikel, v katerem sta nujno vsaj dve povezavi v relaciji Θ. Zamislimo si vpeto drevo T grafa G, ki vsebuje povezavi e in f , ki sta v relaciji Θ. Po lemi 2.3, je vsaka povezava iz grafa G, ki ne pripada vpetemu drevesu, E (G)\E (T ), v relaciji Θ s povezavo iz vpetega drevesa T . Tako je k < n − 1.. Zgled 31 Naj bo graf G (slika 2.5) s sedmimi vozlišči. Preverimo ali je graf G drevo, ko ga preslikava α vloži v kartezični produkt 3 faktorjev. Iz opombe po lemi 2.3 vemo, da α vloži največ 6 faktorjev, za naš graf. Poleg tega, če je graf G drevo nobeni dve povezavi iz G nista v relaciji Θ, po lemi 2.1. Torej graf G ni drevo, ker ga α ne vloži v kartezični produkt 6 faktorjev, in ker sta po dve povezavi iz G v relaciji Θ. Spoznali smo, da je izračunavanje Θ∗ bistveno pri izračunavanju kanonične vložitve.
Neposredni pristop k relaciji Θ∗ daje O m2 algoritem. Tukaj vpeljemo Federjev trik (1992), kateri omogoča računanje relacije Θ∗ v času O (mn). [4] ′. Naj bo T vpeto drevo grafa G. Potem sta povezavi e, e ∈ E (G) v relaciji Θ1 natanko tedaj, ko sta v relaciji Θ in vsaj ena od njiju pripada vpetemu drevesu T . Lema 3.2 drži tudi za relacijo Θ1 . Zgled 32 Naj bo T vpeto drevo grafa G (slika 2.5) in naj bosta e5 = [v5 , v6 ] in e6 = [v6 , v7 ] neusmerjeni povezavi iz G. V zgledu 19 smo dokazali, da sta neusmerjeni povezavi e5 in e6 iz grafa G v relaciji Θ, ter da je [v6 , v7 ] ∈ E(T ). To zadostuje, da sta povezavi [v5 , v6 ] in [v6 , v7 ] v relaciji Θ1 . Lema 3.6 Naj bo P najkrajša pot med vozliščema u in v v grafu G in naj bo Q poljubna pot med tema dvema vozliščema. Potem velja |P ∩ Ei | ≤ |Q ∩ Ei |, za vsak ekvivalenčni razred Ei relacije Θ∗1 . Dokaz. Naj bo PT pot, ki povezuje vozlišči u in v v vpetem drevesu T . Poleg tega, naj bodo P , Q in PT konsistentno usmerjene od vozlišča u k vozlišču v in p = (u, v)..

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 40. Potem velja µ (p, Q ∩ Ei ) = µ (PT , Q ∩ Ei ) = µ (PT ∩ Ei , Q ∩ Ei ) = µ (PT ∩ Ei , Q) = µ (PT ∩ Ei , p). Prva in zadnja enakost sledita iz istega razloga kot v lemi 3.2. Drugi dve enakosti pa držita, ker če povezavi e in f pripadata različnima ekvivalenčnima razredoma relacije Θ∗1 in vsaj ena od njiju pripada vpetemu drevesu T , potem je µ (e, f ) = 0. Poleg tega, kot vidimo v lemi 3.2, je µ (p, P ∩ Ei ) = 2 |P ∩ Ei | in µ (Q ∩ Ei , p) ≤ 2 |Q ∩ Ei |. S kombiniranjem tega, dobimo 2 |P ∩ Ei | = µ (p, P ∩ Ei ) = µ (PT ∩ Ei , p) = µ (p, Q ∩ Ei ) ≤ 2 |Q ∩ Ei |, kar dokazuje lemo.. G v0. v6. v5. v3. T. v4. v5. v1. v2. v0. v6. v3. v4. v1. v2. Slika 3.4: Graf G iz slike 3.2 in njegovo vpeto drevo T .. Zgled 33. Za prikaz leme 3.6 vzamemo graf G in njegovo vpeto drevo T. (slika 3.4). Naj bo P = v0 v1 v2 v3 najkrajša pot v grafu G, Q = v0 v1 v2 v4 v3 poljubna pot v grafu G in PT = v0 v1 v2 v3 pot, ki povezuje vozlišči v0 in v3 v vpetem drevesu T . Naj bo tudi p = (v0 , v3 ). Lemo 3.6 bomo dokazali le za ekvivalenčni razred E1 = {[v0 , v6 ] , [v1 , v5 ] , [v2 , v4 ] , [v4 , v3 ] , [v2 , v3 ]}, saj je dokaz za ekvivalenčna razreda E2 in E3 identičen..

3.2 Kanonično izometrična vložitev Najprej bomo pokazali, da je µ (p, Q ∩ E1 ) = µ (PT , Q ∩ E1 ) oziroma, da je µ (p, Q ∩ E1 ) = µ (PT ∩ E1 , p) . Naj bo (v2 , v3 ) usmerjena povezava iz P ∩ E1 in naj bosta (v2 , v4 ) in (v4 , v3 ) usmerjeni povezavi iz Q ∩ E1 . Ker je µ (p, Q ∩ E1 ) = µ (p, (v2 , v4 )) + µ (p, (v4 , v3 )) = d (v0 , v4 ) − d (v0 , v2 ) − d (v3 , v4 ) + d (v3 , v2 ) + d (v0 , v3 ) − d (v0 , v4 ) − d (v3 , v3 ) + d (v3 , v4 ) = 3−2−1+1+ 3−3−0+1 = 2,. µ (PT , Q ∩ E1 ) = µ ((v0 , v1 ) , (v2 , v4 )) + µ ((v0 , v1 ) , (v4 , v3 )) + µ ((v1 , v2 ) , (v2 , v4 )) + µ ((v1 , v2 ) , (v4 , v3 )) + µ ((v2 , v3 ) , (v2 , v4 )) + µ ((v2 , v3 ) , (v4 , v3 )) = d (v0 , v4 ) − d (v0 , v2 ) − d (v1 , v4 ) + d (v1 , v2 ) + d (v0 , v3 ) − d (v0 , v4 ) − d (v1 , v3 ) + d (v1 , v4 ) + d (v1 , v4 ) − d (v1 , v2 ) − d (v2 , v4 ) + d (v2 , v2 ) + d (v1 , v3 ) − d (v1 , v4 ) − d (v2 , v3 ) + d (v2 , v4 ) + d (v2 , v4 ) − d (v2 , v2 ) − d (v3 , v4 ) + d (v3 , v2 ) + d (v2 , v3 ) − d (v2 , v4 ) − d (v3 , v3 ) + d (v3 , v4 ) = 3−2−2+1+ 3−3−2+2+ 2−1−1+0+ 2−2−1+1+ 1−0−1+1+ 1−1−0+1 = 0+0+0+0+1+1 = 2,. 41.

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 42. µ (PT ∩ E1 , p) = d (v2 , v3 ) − d (v2 , v0 ) − d (v3 , v3 ) + d (v3 , v0 ) = 1−2−0+3 =2 vidimo, da je µ (p, Q ∩ E1 ) = µ (PT , Q ∩ E1 ) oziroma, da je µ (p, Q ∩ E1 ) = µ (PT ∩ E1 , p) . Drugi dve enakosti pa držita, če si izberemo usmerjeni povezavi e = (v5 , v1 ) in f = (v0 , v1 ), ki pripadata različnima ekvivalenčnima razredoma relacije Θ∗1 , ter je f ∈ E(T ). Torej e ∈ E1 in f ∈ E2 . Tedaj je µ (e, f ) = d (v5 , v1 ) − d (v5 , v0 ) − d (v1 , v1 ) + d (v1 , v0 ) = 1−2−0+1 = 0. Po lemi 3.2 vidimo, da je µ (p, P ∩ E1 ) = 2 |P ∩ E1 | in µ (Q ∩ E1 , p) ≤ 2 |Q ∩ E1 |. Preden vse združimo poglejmo še µ (p, P ∩ E1 ) = d (v0 , v3 ) − d (v0 , v2 ) − d (v3 , v3 ) + d (v3 , v2 ) = 3−2−0+1 = 2. S kombiniranjem vsega dobimo 2 |P ∩ E1 | = µ (p, P ∩ E1 ) ali 2 · |1| = 2 = µ (PT ∩ E1 , p) ali = 2 = µ (p, Q ∩ E1 ) ali = 2 ≤ 2 |Q ∩ E1 | ali ≤ 2 · |2| = 4, in s tem pokažemo lemo 3.6 na našem zgledu. Kot posledico, si priskrbimo ključ za hitrejše računanje Θ∗ . Izrek 3.7 Naj bo G povezan graf. Potem je Θ∗ = Θ∗1 . Dokaz. Prvo opazimo, da je dokaz izreka 3.3, kateri trdi da je kanonična vložitev izometrija, odvisen le od leme 3.2. Kot smo pravkar prikazali, ta lema drži tudi za relacijo Θ1 . Tako je izometrična vložitev dobljena iz relacije Θ1 ..

3.2 Kanonično izometrična vložitev. 43. Jasno je, da je Θ1 ⊆ Θ in zato je Θ∗1 ⊆ Θ∗ . Prav tako, so ekvivalenčni razredi relacije Θ∗ unije ekvivalenčnih razredov relacije Θ∗1 . Po izreku 3.4, točk ii.) in iv.), je kanonična vložitev α edina vložitev v največjem možnem številu faktorjev. Torej je Θ∗ = Θ∗1 . Izrek 3.7 prinaša naslednji algoritem. Algoritem 3.8 (Relacija Θ∗ ) [4] Vhod: Poljubni zapis povezanega grafa G. Izhod: Relacija Θ∗ . 1. Izračunaj vpeto drevo T grafa G. 2. Za vsako povezavo e = [u, v] iz vpetega drevesa T , izračunaj razdaljo od vozlišč u in v, do vseh ostalih vozlišč. 3. Izračunaj relacijo Θ∗1 z ozirom na vpeto drevo T . Preden se lotimo zgleda za algoritem 3.8, pojasnimo pojem iskanje v širino, ki je eno najpreprostejših iskanj v grafih. Imenujemo ga tudi breadth first search“ (BFS). Osnovna ” ideja BFS ureditve je obiskati čim več vozlišč, preden se spustimo globoko v drevo. Tako poiščemo vsa vozlišča, ki so sosednja vozlišču v katerem se nahajamo, šele nato gremo v naslednje vozlišče. Primer BFS vpetega drevesa grafa G lahko vidimo na sliki 3.5.. G v2. v1. v3. v5. T. v7. v3. v4. v6. v2. v1. v5. v7. v4. v6. Slika 3.5: Graf G iz slike 3.2 in njegovo BFS vpeto drevo T .. Zgled 34 Naj bo G povezan graf (slika 3.5) in naj bodo njegove neusmerjene povezave: e1 = [v1 , v2 ], e2 = [v1 , v3 ], e3 = [v2 , v4 ], e4 = [v3 , v4 ], e5 = [v3 , v5 ], e6 = [v4 , v6 ], e7 = [v5 , v7 ], e8 = [v7 , v6 ], e9 = [v5 , v6 ]. V algoritmu 3.8 najprej izračunamo vpeto drevo T grafa G, po BFS ureditvi..