Nama
Nama : Eunike
: Eunike Angeline Burdam
Angeline Burdam
(Genap)
(Genap)
NIM
NIM : 20144202022
: 20144202022
Ke
Kellas
as :
: A
A
Semester:
Semester:
Matematika Diskrit Matematika Diskrit Soal !!! Soal !!! 1!1! "erusa#"erusa#aan pakaiaan pakaian mem$an mem$uat satu set puat satu set pakaian %akaian %ang dapaang dapat dik&mt dik&m$inasi$inasikan' %kan' %ang terdiang terdiriri dari dua $lus' dua pasang elana panang' satu kemea' dan satu $la*er! Berapa k&m$inasi dari dua $lus' dua pasang elana panang' satu kemea' dan satu $la*er! Berapa k&m$inasi pakaian
pakaian %ang dapat %ang dapat di$uat dari di$uat dari set set pakaian pakaian terse$ut+ terse$ut+ ,ika ,ika pada pada set set pakaian ditapakaian ditam$a#kanm$a#kan se$ua# s-eater' $erapaka# k&m$inasin%a sekarang+ (.atatan: Bla*er #arus dipakai diatas se$ua# s-eater' $erapaka# k&m$inasin%a sekarang+ (.atatan: Bla*er #arus dipakai diatas $lus
$lus atau atau kemea' kemea' atau atau tidak tidak dipakai dipakai sama sama sekali! sekali! /e/etapi tapi s-eater s-eater $isa $isa langsung langsung dipakaidipakai tanpa $lus atau kemea!)
tanpa $lus atau kemea!) ,a-a$an:
,a-a$an: iketa#ui: iketa#ui:
/erdapat 2 $lus/erdapat 2 $lus
/e/erdapat 2 pasang elana rdapat 2 pasang elana 4 p&t&ng elana 4 p&t&ng elana
/e/erdapat 1 rdapat 1 kemeakemea
/e/erdapat 1 $la*rdapat 1 $la*erer
Bla*er #arus dipakai diatas $lus atau kemea' atau tidak dipakai sama sekali!Bla*er #arus dipakai diatas $lus atau kemea' atau tidak dipakai sama sekali! /etapi s-eater $isa langsung dipakai tanpa $lus atau kemea!/etapi s-eater $isa langsung dipakai tanpa $lus atau kemea! itan%a:
itan%a: 1) Berapa 1) Berapa k&m$inasi k&m$inasi pakaian %pakaian %ang dapat ang dapat di$uat ddi$uat dari set ari set pakaian terse$ut+pakaian terse$ut+ 2)
2) ,i,ika ka ppadada a sset et ppakakaiaian an ddititamam$$a#a#kkan an sese$u$ua# a# s-s-eaeateterr' ' $$ererapapakaka#a# k&m$inasin%a sekarang+
k&m$inasin%a sekarang+ "en%elesaian:
"en%elesaian:
Misalkan: B1 $lus 1' B2 $lus 2' K kemea' B $la*er Misalkan: B1 $lus 1' B2 $lus 2' K kemea' B $la*er
K&m$inasi pakaian %ang dapat di$uat dari $lus' $la*er' elana panang' dan kemeaK&m$inasi pakaian %ang dapat di$uat dari $lus' $la*er' elana panang' dan kemea B1 B B1 B B2 B B2 B K B K B
K&m$inasi pakaian %ang dapat di$uat $lus' $la*er' elana panang' kemea' danK&m$inasi pakaian %ang dapat di$uat $lus' $la*er' elana panang' kemea' dan s-eater s-eater B1 B B1 B B2 B B2 B K B K B S3EA/E S3EA/E 2!2! EnaEnam &rang melm &rang melamaamar pekerr pekeraan untaan untuk 5 uk 5 pekpekeraeraan %ang saman %ang sama' %ang masa' %ang masing 6 masining 6 masingg akan ditempatkan di ,akarta' B&g&r' dan Bandung! Berapaka# kemungkinan susunan akan ditempatkan di ,akarta' B&g&r' dan Bandung! Berapaka# kemungkinan susunan &rang %ang diterima untuk menempati p&sisi terse$ut+
&rang %ang diterima untuk menempati p&sisi terse$ut+
X
X
((
22 pasangpasang cecelalana na papanjnjanangg
))
=
=
1212kombkombinasinasiiX
X
((
22 pasangpasang ce,a-a$an: ,a-a$an:
iketa#ui : n 7 ( umla# pelamar ) iketa#ui : n 7 ( umla# pelamar )
" ( 78 1' 1' 1' ) " ( 78 1' 1' 1' ) 6 6!! 1 1!!11!!11!!
=
=
66 x x55 x x44 x x33 x x22 x x11=
=
720720,adi' kemungkinan susunan &rang %ang diterima untuk menempati p&sisi 920 ara! ,adi' kemungkinan susunan &rang %ang diterima untuk menempati p&sisi 920 ara! 5!
5! alaalam $em $eraprapa $aa $an%n%ak ak ara #ara #uruuru 6 # 6 #uruuru a, b, c, d, e, f a, b, c, d, e, f dapat dapat disusun disusun ika ika #uru#uru bb #arus #arus di se$ela# kiri dan $erse$ela#an dengan #uru
di se$ela# kiri dan $erse$ela#an dengan #uru ee++ ,a-a$an:
,a-a$an: /e
/erdapat n 7 #uru' namun #rdapat n 7 #uru' namun #uru uru $ dan e #arus $erse$ela#an se#ingga $ dan e di#itung$ dan e #arus $erse$ela#an se#ingga $ dan e di#itung 1! Maka n menadi
1! Maka n menadi
Ban%ak ara #uru akan disusunBan%ak ara #uru akan disusun "(') ; < 4 < 5 < 2 <1 120 "(') ; < 4 < 5 < 2 <1 120
Ban%ak ara Ban%ak ara men%usun men%usun #uru #uru $$1; 1 1; 1
Ban%ak ara men%usun #uru eBan%ak ara men%usun #uru e 1; 11; 1
Maka' $an%ak ara untuk men%usun adala# 120 < 1 < 1 120 ara Maka' $an%ak ara untuk men%usun adala# 120 < 1 < 1 120 ara 4!
4! i dalam si dalam se$ua# ke$ua# kelas terdelas terdapat 100 apat 100 ma#asima#asis-a' 40 &s-a' 40 &rang dirang diantaran%antaran%a laki 6 laka laki 6 laki!i! a)
a) Berapa Berapa $an%a$an%ak ara k ara dapat dapat di$entdi$entuk seuk se$ua# $ua# panitipanitia 10=&a 10=&rangrang++ $)
$) >langi >langi pertan%aan pertan%aan a) a) ika ika $an%akn%a $an%akn%a laki laki 6 6 laki laki #arus #arus sama sama dengan dengan $an%akn%a$an%akn%a perempuan!
perempuan! )
) >la>langi perngi pertan%tan%aan a) ika paniaan a) ika panitia itu #arutia itu #arus terdirs terdiri dari enam laki 6 laki dan empi dari enam laki 6 laki dan empatat perempuan
perempuan atauatau empat laki 6 laki dan enam perempuan+empat laki 6 laki dan enam perempuan+ !
! BeraBerapakpaka# uma# umla# #imla# #impunpunan $agan $agian darian dari #impi #impunaunann B B ?1' 2' ?1' 2' @!!' 10 %ang mempun%ai@!!' 10 %ang mempun%ai angg&ta paling sedikit enam+
angg&ta paling sedikit enam+ 7!
7! Berapa $Berapa $an%ak pan%ak permutermutasi $ilanasi $ilangan %gan %ang di$ang di$entuk dentuk dari ?1' 2ari ?1' 2' 5' 4' ' 5' 4' ' 7' 9' ' 7' 9' ++ ,a-a$an : ,a-a$an : iketa#ui : n iketa#ui : n Maka8 " (') ; < 9 < 7 < < 4 < 5 < 2 < 1 40!520 Maka8 " (') ; < 9 < 7 < < 4 < 5 < 2 < 1 40!520 ,adi' ada 40!520 ara
,adi' ada 40!520 ara 9!
9! Berapa $aBerapa $an%ak $in%ak $ilangalangan $ulat p&n $ulat p&siti empsiti empat=angkat=angka antara 100a antara 1000 dan CC0 dan CCCC (termCC (termasuk 10asuk 100000 dan CCCC) %ang #a$is di$agi
dan CCCC) %ang #a$is di$agi dan 9+dan 9+ ,a-a$an:
,a-a$an:
iketa#ui: misalkan8 iketa#ui: misalkan8
A men%atakan keadian $ilangan $ulat %ang #a$is
A men%atakan keadian $ilangan $ulat %ang #a$is di$agi di$agi B men%atakan keadian $ilangan $ulat %ang #a$is di$agi 9 B men%atakan keadian $ilangan $ulat %ang #a$is di$agi 9 A
A D B D B men%atakan men%atakan K"K dari K"K dari pem$agi pem$agi dan 9 dan 9 %aitu: 5%aitu: 5 Bilangan p&siti antara 1000 dan CCCC adala# C000
Sedangkan A
Sedangkan A ∪∪ B men%atakan keadian $ilangan $ulat %ang dipili# #a$is di$agi B men%atakan keadian $ilangan $ulat %ang dipili# #a$is di$agi dan 9! dan 9! Maka: Maka:
A A ⌊⌊ 9000 9000 5 5 ⌋ ⌋ 100 100
B B ⌊⌊ 9000 9000 7 7 ⌋ ⌋ 12 12
A D B A D B ⌊⌊ 9000 9000 35 35 ⌋ ⌋ 29 29 Se#ingga' "(ASe#ingga' "(A ∪∪ B) B) "(A) "(A) "(B) "(B) 6 "(A 6 "(A D B)D B)
1800 1800 9000 9000
+
+
1285 1285 9000 9000−
−
257 257 9000 9000=
=
0,20,2+
+
0,1430,143−
−
0,0280,028=
=
0,3150,315,adi' peluang $ilangan %ang dipili# #a$is di$agi dan 9 adala# 0'51 ,adi' peluang $ilangan %ang dipili# #a$is di$agi dan 9 adala# 0'51
!
! Se$uaSe$ua# kel&mp# kel&mp&k terdir&k terdiri dari 9 &rang -i dari 9 &rang -anita dan 4 &anita dan 4 &rang prirang pria! Berapa $aa! Berapa $an%ak pern%ak per-akila-akilann 4=&rang %ang dapat di$entuk dari kel&mp&k itu ika paling sedikit #arus ada 2 &rang 4=&rang %ang dapat di$entuk dari kel&mp&k itu ika paling sedikit #arus ada 2 &rang -anita di dalamn%a+
-anita di dalamn%a+ C!
C! SeSe$u$ua# klu$ m&$a# klu$ m&$il antiil antik k $e$eranrangggg&t&ta a 7 7 &r&ranang g prpria ia dadan n &r&ranang g -a-aninitata! ! MerMerekeka a akakanan mem$entuk panitia %ang terdiri atas lima &rang! Berapa $an%ak umla# panitia %ang mem$entuk panitia %ang terdiri atas lima &rang! Berapa $an%ak umla# panitia %ang dapat di$entuk ika panitian%a terdiri dari paling sedikit satu pria dan satu -anita!
dapat di$entuk ika panitian%a terdiri dari paling sedikit satu pria dan satu -anita! ,a-a$an:
,a-a$an: Akan
Akan di$entuk panitia %di$entuk panitia %ang terdiri dari &rang ang terdiri dari &rang %ang terdiri dari paling sedikit %ang terdiri dari paling sedikit satu priasatu pria dan satu -anita!
dan satu -anita!
"anitia terdiri dari 4 -anita dan 1 pria ' dapat di$entuk dengan8"anitia terdiri dari 4 -anita dan 1 pria ' dapat di$entuk dengan8 . ('4) < . (7'1) . ('4) < . (7'1) 5 5!!((
55−
−
44))
!!44!! x x 6 6!!((
66−
−
11))
!!11!!=
=
5 5 x x44!! 1 1!!44!! xx 6 6 x x55!! 5 5!!11!!=
=
55 x x66=
=
3030
"anitia terdiri dari 4 pria dan 1 -anita' dapat di$entuk dengan8"anitia terdiri dari 4 pria dan 1 -anita' dapat di$entuk dengan8 . (7'4) < . ('1) . (7'4) < . ('1) 6 6!!((
66−
−
44))
!!44!! x x 5 5!!((
55−
−
11))
!!11!!=
=
6 6 x x55 x x44!! 2 2!!44!! xx 5 5 x x44!! 4 4!!11!!=
=
1515 x x55=
=
7575 10!10! Berapa $an%ak Berapa $an%ak s&lusi $ilangan s&lusi $ilangan tak=negati dari tak=negati dari ketidaksamaanketidaksamaan x x11 x x22 x x55F10+F10+
,a-a$an: ,a-a$an: iketa#ui: n 5 ' dan r 10 iketa#ui: n 5 ' dan r 10 Maka' Maka' .(n .(n r r 6 6 1' 1' r) r) . . (5 (5 10 10 6 6 1' 1' 10)10) C C
((
12,1012,10))
=
=
1212!!((
1212−
−
1010))
!!1010!!=
=
12 12!! 2 2!!1010!!=
=
12 12 x x1111 x x1010!! 2 2 x x11 x x1010!!=
=
66 x x1111=
=
666611
11!! ari seumari seumla# la# $es$esar ar k&ik&in n 2=2=an' 0=anan' 0=an' ' 100100=an=an' ' daldalam am $er$erapa $an%aapa $an%ak k ara lima ara lima k&ik&inn diam$il+
diam$il+ ,a-a$an: ,a-a$an:
iketa#ui: n 4 dan r ' se#ingga8 iketa#ui: n 4 dan r ' se#ingga8 .(n .(n r r 6 6 1' 1' r) r) . . (4 (4 6 6 1' 1' )) . (') . (') 8 8!!
((
88−
−
55))
!!55!!=
=
8 8!! 3 3!!55!!=
=
8 8 x x77 x x66 x x55!! 3 3 x x22 x x11 x x55!!=
=
5656 12!12! "alind"alindr&m adala# $arisan karar&m adala# $arisan karakter ( #uru atau angka) %ang $ila di$aa dari depan ataukter ( #uru atau angka) %ang $ila di$aa dari depan atau dari $elakang
dari $elakang adala# sama! adala# sama! .&nt&# KA/.&nt&# KA/AK' MAAM' 21499412' 57C75! >ntuk s&al AK' MAAM' 21499412' 57C75! >ntuk s&al iniini kita
kita #an#an%a %a menmenininau au palpalindindr&m r&m %a%ang ng di$di$ententuk uk dardari i $ar$arisan isan angangka! ka! BerBerapa apa $an%$an%ak ak $ilangan palindr&m C=angka
$ilangan palindr&m C=angka %ang dapat %ang dapat di$entuk dari adi$entuk dari angka 0'1' @!'C ngka 0'1' @!'C dengan ketentuandengan ketentuan tidak $&le# ada pengulangan angka pada setenga# $agaian (misaln%a' 5771C1775 tidak tidak $&le# ada pengulangan angka pada setenga# $agaian (misaln%a' 5771C1775 tidak di$enarkan karena 7 dipakai 2 kali)+
di$enarkan karena 7 dipakai 2 kali)+ 15!
15! ari seari seumlumla# $esaa# $esar . (r . (compact disccompact disc) di dalam k&tak %ang $erisi pr&gram 6 pr&gram) di dalam k&tak %ang $erisi pr&gram 6 pr&gram aplikasi
aplikasi A, B, C, D. A, B, C, D.dandan E, E, $erapa $an%ak ara 10 . dapat diam$il+ $erapa $an%ak ara 10 . dapat diam$il+ 14!
14! Se$ua# pesan ka-at Se$ua# pesan ka-at di$entuk dari rangkaian di$entuk dari rangkaian lima garis putus=putus lima garis putus=putus ((dashdash) ) dan dan tiga tiga $ua#$ua# titik (
titik (dot dot )! Berapa $an%ak pesan )! Berapa $an%ak pesan %ang dapat di$entuk+%ang dapat di$entuk+ 1!
1! Se$ua# kardus $erisi $an%ak $&la $er-arna mera#' $iru' dan Se$ua# kardus $erisi $an%ak $&la $er-arna mera#' $iru' dan ungu! Aungu! Akan diam$il 10 $ua#kan diam$il 10 $ua# $&la saa!
$&la saa! a)
a) Berapa Berapa $an%a$an%ak ara mk ara mengamengam$il $&$il $&la ika $la ika $&la mera&la mera# pali# paling sedng sedikit !ikit ! $)
$) Berapa $an%ak ara mengam$il $&la ika $&la mera# paling $an%ak Berapa $an%ak ara mengam$il $&la ika $&la mera# paling $an%ak 17!
17! ,a$arka,a$arkan $entuk perpn $entuk perpangkatangkatan (an (3x – 2y)3x – 2y)44..
,a-a$an: ,a-a$an: Misalkan8
Misalkan8 a a 5<' dan 5<' dan $ $ =2%=2% Maka: (a $) Maka: (a $)44 .(4'0) .(4'0) aa44 .(4'1) a .(4'1) a55 $ .(4'2) a $ .(4'2) a22 $ $22 .(4'5) a $ .(4'5) a $55 .(4'4) .(4'4) $$44 aa44 4 a 4 a55 $ 7 a $ 7 a22 $ $22 4 a $ 4 a $55 1 1 $$44 (5<) (5<)44 4(5<) 4(5<)55(=2%) 7(5<)(=2%) 7(5<)22 (=2%) (=2%)22 4(5<)(=2%) 4(5<)(=2%)55 (=2%) (=2%)44 1< 1<44 6 217< 6 217<55% 6 10<% 6 10<22%%22 24<% 24<%55 17% 17%44 19!
19! BuktiBuktikan kan $a#-a$a#-a
∑
∑
k k ==00n n
((
−
−
11))
k k C C( (
nn ,, k k))
=
=
00,a-a$an: ,a-a$an:
Misalkan8 am$il < 1 dan % =1 se#ingga8 Misalkan8 am$il < 1 dan % =1 se#ingga8
(< %) (< %)nn
∑
∑
k k ==00 n n C C( (
nn ,, k k))
x xnn−−k k y yk k(1 (=1)) (1 (=1))nn
∑
∑
k k ==00 n n C C( (
nn ,, k k))
11nn−−k k(−
(−
11))
k k 0 0 ∑
∑
k k ==00 n n(−
(−
11))
k k C C((
nn ,, k k))
/er$ukti/er$ukti 1!1! /u/unukknukkan $a#-a sem$arang 7 kelas kulia# pasti terdapat dua kelas an $a#-a sem$arang 7 kelas kulia# pasti terdapat dua kelas %ang diad%ang diad-alkan-alkan pada #ari %ang sama' dengan asumsi tidak ada kulia# pada Hari Sa$tu
pada #ari %ang sama' dengan asumsi tidak ada kulia# pada Hari Sa$tu (ak#ir pekan)!(ak#ir pekan)! ,a-a$an:
,a-a$an:
iketa#ui: terdapat 7 kelas' dimana 2 kelas diad-alkan pada #ari %ang sama ' n 5 iketa#ui: terdapat 7 kelas' dimana 2 kelas diad-alkan pada #ari %ang sama ' n 5
Hari sa$tu li$ur maka #an%a #ari' n Hari sa$tu li$ur maka #an%a #ari' n ,adi' "(' 5) ,adi' "(' 5) 5 5!!
((
55−
−
33))
!!=
=
5 5!! 2 2!!=
=
5 5 x x44 x x33 x x22!! 2 2!!=
=
6060 1C!1C! Se$Se$ua# k&ua# k&tak $&tak $&lala bowli! bowli! $erisi 10 $&la $er-arna mera# dan 10 $ua# $&la $er-arna $erisi 10 $&la $er-arna mera# dan 10 $ua# $&la $er-arna $iru! Se&rang pemain pemili# memili# $&la seara aak tanpa meli#at ke dalam k&tak! $iru! Se&rang pemain pemili# memili# $&la seara aak tanpa meli#at ke dalam k&tak! a)
a) BerBerapa $an%apa $an%ak $&la %anak $&la %ang #arus diamg #arus diam$il unt$il untuk memauk memastistikan palikan paling sedikng sedikit tiga $&lait tiga $&la $er-arna sama+
$er-arna sama+ $)
$) Berapa Berapa $an%ak $an%ak $&la $&la %ang %ang #arus #arus diam$il diam$il untuk untuk memastikan memastikan paling paling sedikit sedikit tiga tiga $&la$&la $er-arna $iru+
$er-arna $iru+ 20!
20! Berapa peluanBerapa peluang dari g dari $ua# kartu remi %ang di$agi tidak mengandu $ua# kartu remi %ang di$agi tidak mengandung ratu satu $ua#ng ratu satu $ua# pun+
pun+ ,a-a$an: ,a-a$an:
iketa#ui: kartu remi p&ker terdiri dari 2 $ua# kartu' dengan kartu se$an%ak 4! iketa#ui: kartu remi p&ker terdiri dari 2 $ua# kartu' dengan kartu se$an%ak 4!
Mengam$il kartu dari 2 $ua# kartuMengam$il kartu dari 2 $ua# kartu .(2' ) .(2' ) 52 52!!((
5252−
−
55))
!!=
=
52 52!! 47 47!!=
=
52 52 x x5151 x x5050 x x4949 x x4848 x x4747!! 47 47!!=
=
31311.8751.875 .200.200
Mengam$il kartu %ang tidak mengandung ratu 2 6 4 4 $ua# kartuMengam$il kartu %ang tidak mengandung ratu 2 6 4 4 $ua# kartu .(4') .(4') 48 48!!((
4848−
−
55))
!!=
=
48 48!! 43 43!!=
=
48 48 x x47 x47 x4646 x x4545 x x4444 x x4343!! 43 43!!=
=
205.476205.476 .480.480Se#ingga' peluang dari kartu terse$ut tidak mengandung 1 kartu ratu pun Se#ingga' peluang dari kartu terse$ut tidak mengandung 1 kartu ratu pun C C
((
48,548,5))
C C((
52,552,5))
== 205 205.476.476 .480.480 31 311.8751.875 .200.200==0,6580,658 21!21! Se$uaSe$ua# dadu dan # dadu dan se$ua# k&ise$ua# k&in uang l&gam dilempar $ersamaan uang l&gam dilempar $ersamaan! Berapa peluang angkn! Berapa peluang angkaa %ang angka %ang munul adala# 5
%ang angka %ang munul adala# 5 dan muka k&in %ang munul adala# gam$ar+dan muka k&in %ang munul adala# gam$ar+ 22!
22! Ada sepuluAda sepulu# pasang sepatu di dalam lemari! ,ika depal# pasang sepatu di dalam lemari! ,ika depalan sepatu diam$ian sepatu diam$il seara aak'l seara aak' $erapa peluang tidak ada sepasang sepatu %ang teram$il+
$erapa peluang tidak ada sepasang sepatu %ang teram$il+ ,a-a$an:
iketa#ui: iketa#ui:
Ada 10 pasang sepatu n(s) 10Ada 10 pasang sepatu n(s) 10
iam$il pasang sepatuiam$il pasang sepatuitan%a: peluang tidak ada sepasang sepatu %ang diam$il+ itan%a: peluang tidak ada sepasang sepatu %ang diam$il+ "en%elesaian:
