Penerapan Fungsi Gamma dalam Pembuktian 0! = 1

PENERAPAN FUNGSI GAMMA DALAM PEMBUKTIAN 0! = 1 Amran Hapsan Dosen STKIP Pembangunan Indonesia Makassar

0852 5537 6956, E-mail: amranhapsan@yahoo.co.id

ABSTRAK

Pembuktian 0 ! = 1 dapat dilakukan dari definisi faktorial itu sendiri yaitu !

1 n n

n! , jika masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan tersebut dibagi dengan n maka kita peroleh

n ! 1 n n n! n ! 1 n n n n!

o . Dari persamaan ini kita bisa dapatkan 0! = 1 jika nilai n diganti dengan 1. Dalam jurnal ini akan dibahas bagaimana membuktikan 0! = 1 melalui penerapan fungsi gamma yang melibatkan sifat-sifat operasi pada integral tak wajar.

INTEGRAL PAGE 34 A. PENDAHULUAN

Dalam matematika, fungsi gamma telah dikembangkan untuk menentukan sifat faktorial suatu bilangan asli n yaitu n! = 1 x 2 x 3 x ... x n. Melalui teorema fungsi gamma *n n 1! ini dapat digunakan untuk membuktikan 0! = 1.

B. PEMBAHASAN

INTEGRAL TAK TERTENTU

Permasalahan kita adalah mencari fungsi F yang turunannya adalah suatu fungsi f yang diketahui. Jika fungsi F yang demikian ada, maka fungsi tersebut disebut anti turunan dari fungsi f .

Definisi : Fungsi F disebut antiturunan (integral tak tertentu) dari f pada suatu interval I jika F(x) F'(x) f(x)

dx d

untuk semua x di dalam I , yang dinotasikan dengan

³

f(x)dx F(x). Contoh: 3 3 1 x x

F( ) adalah antiturunan dari f(x) x2, karena

). ( ) ( ' x x f x F 2

Tetapi perhatikan bahwa fungsi 20 3

1 ₃

x x

H( ) juga memenuhi H'(x) x2.

Ternyata, sebarang fungsi berbentuk H x x3 C

3 1

)

( , dengan C konstanta

merupakan antiturunan dari f . Dengan demikian diperoleh

³

x2dx x3 C.

3 1

INTEGRAL PAGE 35 . ) ( x C C u 2 3 3 2 3 1 3 2 3 2

Teorema : Jika F antiturunan (integral tak tertentu) dari f pada interval I , maka antiturunan yang paling umum adalah F(x) C, dengan C konstanta sebarang, dan dinotasikan dengan

³

f(x)dx F(x) C.

TEKNIK PENGINTEGRALAN

Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan di atas hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan integral seperti

³

3x2 1 x3dxatau

³

xexdx. Pada bab ini akan dibahas teknik-teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi yang tidak sederhana.

Integrasi substitusi

Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat melakukan substitusi berdasarkan aturan berikut.

Aturan substitusi : Jika u g(x) adalah fungsi terdiferensial dengan daerah hasil berupa selang I dan f kontinu pada I , maka

³

f(g(x))g'(x)dx

³

f(u)du. Dengan aturan di atas, maka kita dapat menyelesaikan

³

3x2 1 x3dx dengan mengambil u 1 x3, sehingga diferensial u adalah du 3x2dx. Dengan

demikian kita punyai

³

³

³

du u dx x x dx x x 2 3 3 2 3 1 1 3

INTEGRAL PAGE 36 Integrasi Parsial

Sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan istilah integral parsial.

Jika f dang dua buah fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

>

f(x)g(x)

@

f(x)g'(x) g(x)f'(x) dx d atau

>

( ) ( )

@

( ) '( ). ) ( ' ) ( f x g x g x f x dx d x g x f

Selanjutnya dengan mengintegralkan masing-masing ruas dari persamaan ini, kita peroleh

>

@

³

³

³

dx x f x g dx x g x f dx d dx x g x f ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( atau

³

³

. ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( dx x f x g x g x f dx x g x f

Persamaan integral ini kita sebut rumus integrasi parsial, yang selanjutnya dengan mengambil u f(x)dan v g(x) rumus tersebut dapat dituliskan dengan

³

udv uv

³

vdu. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut

Contoh 1: Selesaikan

³

xsinxdx.

Penyelesaian: Pilih u x dan dv sinxdx, sehingga diperoleh

dx

INTEGRAL PAGE 37 . sin cos sin cos ) cos ( ) cos ( sin 1 1 1 1 C x x x C x C x x C x x dx C x C x x dx x x

³

³

Oleh karena itu

Pada ilustrasi di atas kita menambahkan konstanta C₁ ketika mendapatkan vdari dv. Tetapi pada akhirnya konstanta C₁ tersebut akan tereliminasi. Dengan demikian untuk selanjutnya tidak perlu menuliskan konstanta C₁ ketika mendapatkan vdari dv. Yang terkadang membingungkan adalah bagaimana menentukan bagian mana yang harus diturunkan atau mana yang diintegralkan. Untuk menentukan bentuk dv yang akan diintegralkan, digunakan aturan urutan prioritas detail, yaitu

dv eksponensial trigonometri aljabar invers trigonometri logaritma

Pemilihan bagian yang akan diintegralkan diprioritaskan berdasarkan urutan dari atas ke bawah, sedangkan bagian yang diturunkan dari bawah ke atas. Sebagai contoh, misalkan akan dicari

³

x2exdx. Pada integran terdapat fungsi polinomial (aljabar) , x2dan fungsi eksponensial, ex. Maka dipilih bagian untuk diintegralkan adalah fungsi eksponensial, yaitu dv exdx, dan untuk diturunkan tentu saja fungsi aljabar polinomial u x2. Selanjutnya dapat digunakan langkah seperti dalam metode tabulasi.

INTEGRAL PAGE 38 INTEGRAL TERTENTU

Sifat-sifat integral tertentu :

1.

³

0 a a dx x f( ) . 2. f x dx f x dx a b b a

³

³

( ) ( ) . 3. cdx c(b a) b a

³

, dengan c konstanta sembarang

4.

³

³

³

b a b a b a dx x g dx x f dx x g dx x f )] ( ) ( )] ( ) ( [ . 5.

³

³

b a b a dx x f c dx x

cf( ) ( ) , dengan c konstanta sembarang.

6.

³

³

³

b a b c c a dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( ) . Contoh 2 : Tentukan (2 1) 2 1 3 1 4. 2 1 2 1 2 1

³

³

³

x dx xdx dx

INTEGRAL TAK WAJAR

Jika f terintegral pada [a,b] maka

³

b

a

dx x

f( ) disebut improper integral jika :

(i). Batas pengintegralannya tak hingga, atau

INTEGRAL PAGE 39 Contoh: Hitung

³

f 1 2 1 dx x . Penyelesaian

³

f 1 2 1 dx x = 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 2 ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § »¼ º f o f o f o

³

t x dx x t t t t t FUNGSI GAMMA

Fungsi Gamma yang dinyatakan oleh * n didefinisikan sebagai

³

f * 0 1 du e u n n u .

Fungsi gamma ini yang dapat dipandang sebagai suatu fungsi dari bilangan n, memenuhi beberapa hubungan yang mengagumkan, antara lain:

¾ *n 1 n* n

Hubungan tersebut kita buktikan sebagai berikut:

³

³

f f o * p u n u n du e u du e u n p 0 0 lim 1

INTEGRAL PAGE 40 n n du e u n p u n p p du u e n u n p e n p p p du n nu u e p u e n u p * ³ » » ¼ º « « ¬ ª » » ¼ º « « ¬ ª f o ³ f o ³ f o 0 1 lim 0 1 lim 0 1 0 lim Terbukti bahwa *n 1 n* n . ¾ *n n 1!

Hubungan tersebut kita buktikan sebagai berikut:

1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 lim lim * ³ * » » ¼ º « « ¬ ª * f f ³ ¸ ¹ · ¨ © § f o f o

³

³

n n du e u n du e u du e u n u n p u n u n n p du u e n u n p n u u e p p

Dengan rumus berulang ini, jika Pbilangan bulat dan 0 P n, maka

du e u n n n n

³

n u f * 0 1 ... 2 1 P P

Khususnya, jika n sebuah bilangan bulat positif, kita miliki du e n n n

³

u f * 0 1 . 2 . 3 ... 2 1 Dan karena 1 0

³

f du e u , akhirnya diperoleh * n n 1 n 2...3.2.1 n 1! Karena alasan ini maka * n kadang-kadang disebut fungsi faktorial.

INTEGRAL PAGE 41

¾ * n 1 n!

Hubungan tersebut kita buktikan sebagai berikut.

1 1 lim lim 0 0 0 1 1 1 f o f o ¸ ¹ · ¨ © § *

³

³

³

f f p e p p p u u u du e du e du e u

Misalkan n = 1, 2, 3, ....dalam * n 1 n* n . Maka * 2 1*1 1, ! 2 1 2 2 2 3 * ˜ * ,* 4 3*3 3˜2! 3!.Terbukti bahwa * n 1 n!. ! 0 1 1 * (Terbukti) C. DAFTAR PUSTAKA

Stewart, James. 1998. ´.DONXOXV´ Jilid 1 edisi 4, Erlangga.

Leithold. 2000. ¶.DONXOXV GDQ ,OPX 8NXU $QDOLWLN, Jilid 2 , Erlangga, 2000

Purcell J.E & Dale Varberg.1984. ´.DONXOXV GDQ *HRPHWUL $QDOLWLN Jilid 1, Erlangga.