EKSISTENSI PENGENDALI SUBOPTIMAL. Widowati Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang. Abstrak. Dikemukakan masalah pengendali (controller) suboptimal H

(1)

EKSISTENSI PENGENDALI SUBOPTIMAL H _ Widowati

Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang Abstrak

Dikemukakan masalah pengendali (controller) suboptimal H , _ yaitu mencari pengendali yang diperkenankan sehingga kinerja dari obyek terkendali (sistem lup tertutup) sesuai dengan yang diharapkan. Pembahasan diawali dengan gambaran singkat mengenai persamaan Riccati aljabar, kemudian dikaji syarat perlu dan cukup untuk eksistensi pengendali suboptimal H . _ Selanjutnya, verifikasi dari kinerja pengendali yang diperoleh dilakukan dengan mengaplikasikannya pada struktur fleksibel untuk meredam vibrasi.

Kata Kunci : Pengendali suboptimal H , lup terbuka, lup tertutup. _

1. PENDAHULUAN

Salah satu ukuran kinerja terkenal di dalam teori kendali (control) optimal adalah norm H yang didefinisikan pada domain frekuensi _ . Masalah kendali optimal H adalah menentukan semua pengendali yang diperkenankan sehingga _ norm H _ dari fungsi alih tertutupnya ( Tzw _) minimal, dengan

     : sup [ ( )] ( :  T j

T_zw _zw nilai singular terbesar) [1,4]. Suatu Pengendali dikatakan diperkenankan (admissible), jika pengendali tersebut dapat menstabilkan plant secara internal. Pengendali optimal H secara umum tidak _ tunggal untuk sistem multi-input-multi-output (MIMO), dan secara numerik perhitungannya sangat sulit [2]. Karena itu dalam praktek biasanya tidak perlu dan bahkan kadang-kadang desain (perancangan) pengendali optimal H tersebut _ tidak diinginkan [7], dan umumnya lebih mudah jika mendapatkan pengendali

(2)

yang sangat dekat dengan pengertian optimal diatas [6], yang disebut pengendali sub optimal H . _

Di dalam makalah ini dibahas, eksistensi dari pengendali suboptimal H , _ dengan sistematika pembahasan sebagai berikut : Persamaan Riccati dan beberapa Lemma yang digunakan sebagai landasan teori kendali suboptimal diberikan pada bagian 2. Pada bagian 3 ditelaah syarat perlu dan cukup untuk eksistensi pengendali tersebut. Pada bagian 4 diberikan simulasi dari aplikasi pengendali suboptimal H untuk meredam (mereduksi) vibrasi pada struktur fleksibel _ berorde 30, dengan menggunakan program MATLAB. Terakhir diberikan kesimpulan dari hasil pembahasan.

2. PERSAMAAN RICCATI

Misalkan A, Q, R matriks real n x n dengan Q dan R simetris. Maka persamaan Riccati aljabar adalah persamaan matriks berikut

0 * _ _ _ _ Q XRX XA X A .

Bersesuaian dengan persamaan Riccati aljabar tersebut adalah matriks Hamiltonian 2n x 2n ,          _* : A Q R A H .

Asumsikan H tidak mempunyai nilai eigen di sumbu imajiner, maka H harus mempunyai sebanyak n nilai eigen di e(s)0dan sebanyak n nilai eigen di

0 ) ( 

e s . Misalkan X_(H)subruang spektral invarian [3] berdemensi n, yang bersesuaian dengan nilai eigen di e(s)0 , sedangkan X_(H)adalah subruang invarian yang bersesuaian dengan nilai eigen di e(s)0. Bentuk vektor basis untuk X_(H) dalam matriks, dan matriks tersebut dipartisi, diperoleh

        2 1 Im ) ( X X H X ,

(3)

dimana X₁, X₂ . Jika X nonsingular atau ekuivalen dengan dua subruang ₁ ) (H X_ dan _        1 0 Im ) (H

X saling komplemen, dapat dibentuk 1 1 2



 X X

X .

Maka X ditentukan secara tunggal oleh H (yaitu, HX adalah fungsi, yang dinotasikan dengan Ric. Lebih lanjut, domain Ric dinotasikan dengan dom(Ric), terdiri dari matriks Hamilton H dengan dua sifat, yaitu H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner dan dua buah subruang X_(H), _

     1 0 Im saling komplemen yang biasa disebut sifat stabilizing dan komplementari. Solusi ini disebut solusi yang menstabilkan. Oleh karena itu X=Ric(H) dan

nxn n nx R R Ric dom Ric: ( ) 2 2  . Lemma 2.1. Misalkan             D C B A s G      ) ( , 0  dan             _* 1 _₁* _* 1_₁* _* _* ) ( ) (I DR D C A BR D C C B BR C D BR A H , dengan R2ID*D.

Maka pernyataan berikut ekuivalen : 1. G _  .

2. Hdom(Ric) dan Ric(H)0 (Ric(H)0jika(C,A)terobservasi). 3. Terdapat X 0 sehingga 0 ) ( ) ( ) (ABR1D*C  ABR1D*C *X XBR1B*X C* I DR1D* C X . dan

ABR1D*CBR1B*X tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner.

Lemma 2.2. Terdapat pengendali yang diperkenankan berorde r sehingga

 

(4)

2. Terdapat X1 > 0 sehingga X₁AA*X₁X₁B₁B₁*X₁/2B₁B₁*2C₂*C₂0. 3. . / / , 0 / / 1 1 1 1 r n Y I I X rank Y I I X n n n n _ _                 

Teorema 2.1. Misalkan R0 dan andaiakan (A, R) terkendali (terkontrol) dan terdapat X=X* sehingga Q( )  *   0, Q XRX X A XA

X maka terdapat solusi

X+>0 untuk persamaan Riccati X+A+A*X++X+RX++Q=0 sehingga A+RX+ antistabil.

3. PENGENDALI SUBOPTIMAL H _

Pada bagian ini dikaji syarat perlu dan cukup untuk eksistensi pengendali suboptimal H . Untuk itu diberikan beberapa asumsi dari realisasi matriks _ transfer G(s) yang ditulis dalam bentuk

             0 0 ) ( 21 2 12 1 2 1 D C D C B B A s G        (1)

Asumsi yang dibuat adalah sebagai berikut

1. (A,B1) adalah terkontrol dan (C1,A) adalah terobservasi; 2. (A,B2) adalah stabilisabel dan (C2,A) adalah terdeteksi; 3. D₁₂*



C₁ D₁₂

 

 0 I



; 4. _             I D D B _* 0 21 21 1 ;

(5)

Dua asumsi tambahan yang diberikan secara implisit untuk realisasi G(s) adalah D11=0 dan D22=0. Bentuk dasar dari sistem kendali yang dibahas dalam tulisan ini

adalah seperti pada Gambar 3.1. Dimana G(s) adalah plant yang diperumum, )

(s

G mempunyai dua buah input, yaitu input dari luar (exogenous input) w misalnya berupa gangguan (disturbance) dan input kendali u. G(s)juga mempunyai dua buah output yaitu output yang diukur y dan output yang dibangun (regulated output) z. K(s) adalah pengendali yang didesain (dirancang), diasumsikan real rasional dan proper. Suatu fungsi transfer G(s) disebut proper jika limG(s)

s ada.

Teorema 3.1.

Terdapat pengendali yang diperkenankan (admissible) sehingga Tzw _  jika

dan hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi

1. H_dom(Ric)danX_ Ric(H_)0, _

           * * 1 1 * 2 2 * 1 1 2 A C C B B B B A H  .

2. J_dom(Ric)danY_  Ric(J_)0, _

           A B B C C C C A J _* 1 1 2 * 2 * 1 1 2 *  . 3. (X_Y_)2.

Jika ketiga kondisi ini dipenuhi, salah satu pengendalinya adalah

            _      0 ) ( ^        F L Z A s K_subopt , dengan 2 ₁ ₁* ₂ ₂, ^ C L Z F B X B B A A   _  _  _ _ 1 2 * 2 * 2 , , ( )          B X L Y C Z  I  Y X F 

(6)

Bukti : ()

Terapkan Teorema 2.1 untuk bagian (1) dari Lemma 2.2, dapat disimpulkan bahwa Y Y₁ 0 sehingga AY Y*AYC₁*C₁Y/2 B₁B₁*2B₂B₂* 0 dan

2 1 * 1CY / C A antistabil.

Misalkan X_ 2Y1. Karena  0danY10sehingga X_ 0. Melalui

perhitungan dapat diperoleh

0 ) ( ₁ ₁* 2 ₂ ₂* ₁* ₁ *      _ _ _ A A X X BB B B X C C X  dan                BB B B X X A C C X X X A C CY X A ( ) ( ) ( 1 2) * 1 * 1 1 1 * 1 * 1 * 2 2 2 * 1 1  

stabil. Karena X solusi dari persamaan Riccati dan _ ( , 2 2*) 2 * 1 1B B B B A   stabil,

maka X solusi yang menstabilkan. Karena _ X diperoleh dari setiap anggota _ domain Riccati tunggal, maka X_  Ric(H_)0. Dengan cara yang sama terapkan Teorema 2.1. untuk bagian (2) dari Lemma 2.2., diperoleh bahwa terdapat Y >0 sedemikian sehingga_ J_dom(Ric) dan Y_ Ric(J_)0. Terakhir dari Lemma 2.2. bagian (3) diperoleh,

0 1 1 1 1                                Y I I X Y I I X X I I Y n n n n n n . Karena ₁ 0 1 0 1         _      Y dan X I I Y n n   

maka berdasarkan Lemma schur

complements X_1 1Y_, sehingga I2Y_X_ 0, jadi(I2Y_X_) mempunyai invers. DefinisikanYt_ (I2Y_X_)1Y_.

Selanjutnya dengan menggunakan sifat-sifat dari radius spektral, diperoleh ) ) ( ( ) ( 2 1       Y  X Yt I X Yt X    2 2 2 2 2 2 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( _                            t t t t Y X Y X Y X Y X .

(7)

() Misalkan             _      0 ) ( ^         F L Z A s

K_subopt maka fungsi transfer lup tertutup

dengan K_subopt diberikan oleh

                                   c c c c zw D C B A F D C D L Z A C L Z B F B A T                     0 12 1 21 ^ 2 1 2 . Didefinisikan _         _              1 1 2 1 1 * 2 1 1 2 1 2 ) (Z Y Y Z Z Y Y P     .

Karena Y >0 dan _ Z >0, maka dengan menggunakan kriteria Sylvester, di dapat _ P > 0. P memenuhi persamaan PAc Ac*PPBcBc*P 2 Cc*Cc 0 dan

                      F B Y B B A Z Y B B F B Y B B A P B B A_c _c _c 2 2 1 * 1 1 1 1 * 1 1 2 1 * 1 1 2 * 0   tidak mempunyai

nilai eigen pada sumbu imajiner, karena AB₁B₁*X_ 2B₂F_ stabil dan 1 * 1 1   BB Y

A antistabil. Jadi, menurut Lemma 2.1., diperoleh T_zw _  .

4. HASIL SIMULASI

Sebagai verifikasi dari kinerja pengendali suboptimal H , pengendali _ tersebut diaplikasikan pada struktur fleksibel. Pandang model dinamik dari struktur fleksibel [5], yang ditulis dalam bentuk persamaan differensial orde dua sebagai berikut :

M_px₀(t)C_px₀(t)K_px₀(t)d_pz(t)b_pf(t)0 (2) 0

x adalah vektor keadaan, M_p, C_p, dan K_p masing-masing adalah matriks inersia, redaman dan kekakuan dari struktur. d adalah vektor ganguan untuk

(8)

Pengendali dirancang untuk meminimisasi peaks fungsi alih lup terbuka pada mode pertama dan kedua. Untuk tujuan ini, diterapkan fungsi bobot high-pass filter orde 4. Persamaan keadaan (state) dari fungsi bobot tersebut adalah

₄ ₃ ₂ ₂ ₂ ₃ ₄ 4 3 2 2 2 3 4 4 ) 1 2 ( 2 4 4 ) 1 2 ( 2 4 h h h h h h h l l l l l l l H s s s s s s s s Lev W                          , (3)

dengan s adalah operator Laplace, Lev=90, _l 6,_l 0.6,_h 36 dan . 6 . 0  h

 Dengan menggabungkan persamaan (2) dan (3) serta menggunakan transformasi [5,6] diperoleh realisasi matriks transfer G(s) seperti pada persamaan (1), yang merupakan plant berorde 30. Yang dimaksud dengan orde disini adalah banyaknya variable keadaan. Selanjutnya dengan menggunakan program MATLAB, dirancang pengendali suboptimal H , K(s), dan diaplikasikan pada _ plant semula sehingga diperoleh sistem lup tertutup.

Untuk menguji performansi (kinerja) pengendali suboptimal H , sistem lup _ tertutup dan lup terbuka diberi gangguan berupa sinyal fungsi impulsa, yang

(9)

mengakibatkan terjadinya pergerakan dari sistem (struktur fleksibel) dalam arah transversal dan torsional. Respon frekuensi lup terbuka (tanpa pengendali) dan lup tertutup (dengan pengendali) diberikan pada Gambar 4.1. Dari Gambar tersebut, terlihat bahwa pengendali dapat mereduksi (meminimisasi) mode pertama kurang lebih 15 dB dan mode kedua kurang lebih 8 dB. Pada Gambar 4.2a dan Gambar 4.2b diberikan respon impulsa dari pergerakan dalam arah transversal dan torsional, dari sini terlihat performansi (kinerja) pengendali dalam meredam vibrasi dari struktur fleksibel, dalam waktu sekitar 1 detik, sistem tidak bergetar lagi (sudah stabil). Hal ini berbeda dengan sistem lup terbuka (tanpa pengendali) yang masih terus bergetar dalam waktu yang cukup lama.

5. KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa syarat perlu dan cukup untuk eksistensi pengendali suboptimal H adalah solusi yang menstabilkan dari _ dua persamaan Riccati aljabar adalah definit positif dan radius spektral dari perkalian dua solusi tersebut kurang dari 2, 0.

Pengendali suboptimal H , yang diperoleh dapat diaplikasikan ke struktur _ fleksibel dan mempunyai performansi (kinerja) yang baik dalam meredam vibrasi (getaran).

6. UCAPAN TERIMA KASIH

Terima kasih kami ucapkan pada Prof. S. M. Nababan dan Dr. Roberd Saragih yang telah meluangkan waktunya untuk berdiskusi, memberikan saran dan masukan pada penulis.

(10)

DAFTAR PUSTAKA

1. Colaneri, P, Geromel, J. C, Locatelli, A, Control Theory and Design : An 2

RH and RH Viewpoint, Academic Press, 1997. _

2. Doyle, J. C, Glover, K, Khargoneker, P, and Francis, B. A, State Space Solutions to Standard H and 2 H Control Problem, IEEE Trans, Automatic  Control, 1989, Vol. 34.

3. Francis, B. A, A Course in H Control Theory, Springer-Verlag Berlin  Heidelberg, NewYork, 1987.

4. Green, M and Limebeer, D. J. N, Linear Robust Control, Prentice-hall Inc, 1995.

5. Saragih R. and Yoshida K, Reduced Order Controller of Transverse-Torsional Coupled Vibration Based on Linear Matrix Inequalities, Journal of Vibration and Control, Sage Publications Inc, 1999, 5 : 907-923.

6. Widowati dan Saragih R, Perancangan Pengontrol Berorde Minimum Melalui Reduksi Orde Plant, Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia, 2001, 7 : 2.

7. Zhou K and Doyle, J. C, Essentials of Robust Control, Prentice-Hall Inc, 1998.