Tema Aproksimasi dalam Kalkulus Tahun Pertama

Tema Aproksimasi dalam

Kalkulus Tahun Pertama

Workshop Pengajaran Analisis

SNAMA 2019 Universitas Pelita Harapan Yudi Soeharyadi

Outline

• Daftar Isi Kalkulus Standar: Kalkulus I, Kalkulus II

• Konsep-konsep aproksimasi dalam kalkulus

• Aproksimasi orde satu: derivatif

• Aproksimasi orde dua: maks-min dua variable

Materi Kalkulus I dan II

• Basic skills: ketaksamaan, nilai mutlak, fungsi, geometri

• Limit

• Turunan

• Aplikasi turunan

• Antiturunan dan integral

• Aplikasi integral

• Teknik integrasi

• Bentuk tak tentu

• Barisan dan deret

• Kalkulus fungsi bernilai vektor

• Limit dan turunan fungsi dua variabel

• Integral lipat dan aplikasi

Materi Kalkulus I dan II

• Basic skills: ketaksamaan, nilai mutlak, fungsi, geometri

• Limit

• Turunan

• Aplikasi turunan

• Antiturunan dan integral

• Aplikasi integral

• Teknik integrasi

• Bentuk tak tentu

• Barisan dan deret

• Kalkulus fungsi bernilai vektor

• Limit dan turunan fungsi dua variabel

• Integral lipat dan aplikasi

Sudut Pandang Sistem (dinamik)

Paling sederhana: SISO

Kuantitas 𝑥, 𝑦 berasal dari pengukuran (fisis), karenanya memuat galat (error): 𝑥 − 𝑥₀ , |𝑦 − 𝑦₀| (𝑥₀, 𝑦₀ pengukuran ideal)

Apa hubungan di antara keduanya? Lebih umum untuk sistem MIMO

Input 𝑥 Proses 𝑓 Output 𝑦

Sudut Pandang Aproksimasi

Sudut pandang aproksimasi:

• menyatukan pembelajaran Kalkulus,

• memberikan tema

• menjadi motivasi

Mengapa penting?

• Sense of purpose

Derivatif sebagai

Redefinisi diferensiabilitas

Definisi turunan fungsi satu variable tidak bisa direplikasi untuk fungsi dengan dua (atau lebih) variabel:

𝑓 𝑥₀ + ℎ − 𝑓(𝑥₀) ℎ

tidak terdefinisi jika ℎ vektor (pembagian dengan vektor).

Redefinisi diferensiabilitas

Misalkan 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ → ℝ, dan 𝑓 diferensiabel di 𝑥₀ ∈ 𝐷, 𝑓′ 𝑥₀ = lim_ℎ→0 𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ .

“Hilangkan” limit, lakukan untuk ℎ kecil:

𝑓′(𝑥₀) ≈ 𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ .

Susun ulang tanpa pembagian

𝑓 𝑥₀ + ℎ ≈ 𝑓 𝑥₀ + 𝑓′ 𝑥₀ ℎ

aproksimasi nilai 𝑓 𝑥₀ + ℎ oleh nilai pada garis singgung di titik 𝑥₀, 𝑓 𝑥₀ .

Apakah ini aproksimasi yang baik?

Redefinisi diferensiabilitas

Kembalikan tanda “=“, kuantifikasi galat (error-𝑦):

𝑓 𝑥₀ + ℎ = 𝑓 𝑥₀ + 𝑓′ 𝑥₀ ℎ + galat-𝑦.

Kita katakan aproksimasi ini baik jika galat-𝒚 jauh lebih kecil dibandingkan galat-𝒙 (yaitu ℎ), untuk nilai ℎ yang kecil:

lim

ℎ→0

𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡_𝑦

Redefinisi Diferensiabilitas

Redefinisi

Fungsi 𝑓 diferensiabel di 𝑥₀ jika nilai 𝑓 di sekitar 𝑥₀ dapat

diaproksimasi dengan baik oleh fungsi linear (garis) yang melalui

𝑥₀, 𝑓 𝑥₀ , yaitu:

Terdapat konstan 𝑎 ∈ ℝ sehingga untuk setiap ℎ kecil

𝑓 𝑥₀ + ℎ = 𝑓 𝑥₀ + 𝑎ℎ +galat-𝑦

Redefinisi diferensiabilitas

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 tidak diferensiabel di 𝑥₀ = 0.

𝑦 = 𝑚𝑥

ℎ

galat-𝑦

galat-𝑦 = 1 − 𝑚 ℎ

Jadi lim_ℎ→0 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡 _ℎ = 1 − 𝑚 ≠ 0, Artinya 𝑓 tidak diferensiabel di 𝑥₀

Catatan:

Untuk kasus 𝑚 = 1, galat di ℎ negatif akan besar, sebaliknya untuk 𝑚 = −1, galat untuk ℎ positif akan besar

Redefinisi diferensiabilitas

Latihan

Melalui definisi diferensiabilitas ini:

1. Tunjukkan 𝑓 𝑥 = 𝑥2 3 tidak diferensiabel di 𝑥

0 = 0.

Bagaimana meniru definisi ini untuk variabel lebih banyak?

Misalkan 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ, 𝑥₀, ℎ ∈ ℝ2. Notasi

𝑓 𝑥₀ + ℎ = 𝑓 𝑥₀ + 𝐴ℎ +galat-𝑦

“make sense” jika 𝐴 matriks 1 × 2, yaitu 𝑓 𝑥₀ + 𝐴ℎ adalah permukaan bidang yang memuat titik (𝑥₀, 𝑓 𝑥₀ ).

Definisi: Fungsi 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑘 diferensiabel di 𝑥₀ ∈ ℝ𝑛 jika terdapat matriks 𝐴_𝑘×𝑛 sehingga

𝑓 𝑥₀ + ℎ = 𝑓 𝑥₀ + 𝐴ℎ +galat-𝑦

dengan lim_{| ℎ |→0} 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑦

Catatan

Definisi diferensiabilitas bisa disederhanakan melalui notasi “little oh”

𝜓 ℎ = 𝑜 ℎ

Artinya untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝛿 > 0, sehingga 𝜓(ℎ) ≤ 𝜖 ℎ ,

untuk setiap ℎ < 𝛿. Dengan kata lain

lim _{ℎ →0} 𝜓(ℎ)

ℎ = 0.

Jadi diferensiabilitas dapat dinyatakan sebagai eksistensi pemetaan linear 𝑨 sehingga

𝑓 𝑥₀ + ℎ = 𝑓 𝑥₀ + 𝐴ℎ + 𝑜( ℎ )

Redefinisi diferensiabilitas

• Bagaimana kalau kita “memaksa”, definisi diferensiabel melalui limit

• Kompromi: Jika ℎ bilangan real, jadi haruslah dalam “arah” 𝑥, atau 𝑦 saja

𝑓 𝑥+ℎ,𝑦 −𝑓(𝑥,𝑦)

ℎ ,

𝑓 𝑥,𝑦+ℎ −𝑓(𝑥,𝑦) ℎ

inilah TURUNAN PARSIAL

• Jadi turunan punya arah. Arah selain 𝑥, 𝑦? TURUNAN BERARAH

• Masing-masing dengan signifikansi geometrisnya, yaitu kemiringan garis singgung kurva pada permukaan dalam arah tertentu

• Turunan dalam bentuk vektor? (VEKTOR) GRADIEN 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓( 𝑥)

Maxima-minima and 2

nd

order approximations

• Asumsikan peserta kuliah sudah mengenal geometri dari permukaan

𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2

untuk koefisien 𝐴, 𝐶 bertanda sama, atau pun berbeda. (paraboloida, hiperboloida/pelana)

• Wolfram Alpha (atau system computer algebra apa pun) dapat digunakan untuk bereksperimen dengan bentuk-bentuk di atas.

Maxima-minima and 2

nd

order approximations

Maxima-minima and 2

nd

order approximations

Pertanyaan: Bagaimana bentuk permukaan (polinom) orde 2 umum

𝑧 = 𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹

Apakah dapat diketahui dari nilai-nilai koefisien? Eksplorasi plot dengan Wolfram Alpha

Maxima-minima and 2

nd

order approximations

Pengaruh setiap suku pada ekspresi 𝑧: • 𝐹 translasi-𝑧 (tegak)

• 𝐷 kombinasi translasi-𝑥 dan translasi-𝑧 • 𝐸 kombinasi translasi-𝑦 dan translasi-𝑧 • 𝐵 rotasi sumbu-𝑥 atau sumbu-𝑦 (bid 𝑥𝑦)

Dengan mengetahui pengaruh setiap suku maka bentuk dasar dapat dikembalikan ke bentuk

𝑧 = 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2

Translasi, atau pun rotasi tidak mengubah bentuk

Maxima-minima and 2

nd

order approximations

Manipulasi aritmetik 𝑧 = 𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 = 𝐴 𝑥2 + 2𝐵_𝐴 𝑥𝑦 + 𝐶_𝐴𝑦2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵_𝐴𝑦 2 + 𝐴𝐶 − 𝐵 2 𝐴2 𝑦 2 = 𝐴( 𝑥2 + 𝐴𝐶 − 𝐵 2 𝐴2 𝑦 2₎

Jadi bentuk (dalam system koordinat 𝑥𝑦𝑧) tergantung pada tanda 𝐴𝐶 − 𝐵2; 𝐴 menentukan orientasi

Maxima-minima and 2

nd

order approximations

1. Bentuk paraboloida: verteks adalah maks atau min (lokal)

2. Bentuk pelana: titik pelana bukanlah maks atau pun min (lokal) 3. Bentuk satunya: ketidaktunggalan maks/min

Idea dasar:

Hampiri permukaan (mulus) di titik stasioner dengan permukaan orde dua. Bentuk permukaan orde dua hampiran (kasus 1 dan 2)

Sedikit “Simsalabim”

Uraian Taylor orde dua fungsi dua variabel.

Misalkan 𝑓 diferensiabel dua kali, polinom Taylor orde 2 dari 𝑓 di sekitar 𝑎, 𝑏 adalah 𝑃_𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑎, 𝑏 + 𝛻𝑓 𝑎, 𝑏 ⋅ 𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏 𝑇 + 1 2 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 𝑥 − 𝑎 2 _{+ 2𝑓} 𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏 + 𝑓𝑦𝑦 𝑎, 𝑏 𝑦 − 𝑏 2

Asumsikan (𝑎, 𝑏) titik stasioner dan 𝑓 𝑎, 𝑏 = 0, maka suku merah di atas hilang, dan kita dapat permukaan Taylor orde 2 dengan

Maxima-minima and 2

nd

order approximations

Dengan sedikit analisis (bahwa maks-min hampiran Taylor adalah juga maks-min 𝑓) didapat rumus diskriminan

1. Jika 𝑓_𝑥𝑥𝑓_𝑦𝑦 − 𝑓_𝑥𝑦2 |_(𝑎,𝑏) > 0 dan 𝐴 > (<)0 maka 𝑓 𝑎, 𝑏 min

(maks) lokal

2. Jika 𝑓_𝑥𝑥𝑓_𝑦𝑦 − 𝑓_𝑥𝑦2 |_(𝑎,𝑏) < 0 maka 𝑓(𝑎, 𝑏) bukan min atau pun maks

Maxima-minima and 2

nd

order approximations

Perhatikan bahwa paraboloida, hiperboloida orde tinggi

𝑧 = 𝑥4 + 𝑦4, 𝑧 = −(𝑥4 + 𝑦4), 𝑧 = 𝑥4 − 𝑦4

ketiganya memiliki hampiran Taylor orde 2 yang sama yaitu 0 (jadi diskriminan 0), namun memiliki karakteristik maks-min di 0,0 yang sangat berbeda.

Penutup

• Dari sudut pandang aproksimasi, materi Kalkulus tampak kompak: beberapa konsep dasar, variasi, dan (banyak) latihan soal

• Penting untuk memberikan konteks yang relevan terhadap materi (khususnya yang sulit)

• Penggunaan teknologi, eksplorasi dengan menggunakan Apps, Computer Algebra

Rujukan

P. Bamberg and S. Sternberg, A Course in Mathematics for Students of Physics, Vol. I and Vol. II, Cambridge, 1991.

Pesan Sponsor

Channel KaKaAGe on YouTube Seri Sketsa Kalkulus

Saat ini sudah ada 20 episode Math I,

akan bertambah semester ini terutama untuk Math II

Terima kasih