KOMPUTASI DAN DINAMIKA FLUIDA
TUGAS 3
Oleh
RIRIN SISPIYATI NIM : 20106003 Program Studi Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2009
1. Page 60
The orthogonality constraints in the successive characterization are natural constraints: although essential in the definition of the constraint set, there is no effect in the equation for the critical point: the corresponding multiplier vanishes. To verify this, consider the equation for
, , 0
Crit Ru u H N u f
where f is any given function. The governing equation is for some multipliers µ,σ
N f, with R L .Verify thatσ= 0 if f is some eigenfunction, but that in generalσwill not vanish.
Penyelesaian:
, , 0
Crit Ru u H N u f
Juga bisa kita tulis
, ( )1, , 0
CritQ u u H N u Nu f
denganf adalah sembarang fungsi.
Nilai eigen yang bersesuaian: ) ( ) ( ) ( N u Q R
DariMultiply-Lagrange Rulemaka ada µ,σsedemikian sehingga
f N L , N , , , , , L f f f f Q f N f f f
fdan adalah fungsi eigen dari nilai eigen yang berbeda, maka dari proposisi 3.8 maka
dan f ortogonal terhadap bentuk kuadratik QdanN, yaitu
, 0 , 0 Q f N f sehingga , 0 f f
Karenaffungsi eigen maka f 0 sehingga 0
Secara umum jika f bukan fungsi eigen dan N u f
,
0 maka, ,
Q f f f
Jadi
, 0
2. Page 62
The special case 1,p1,q0 provides Fourier theory (for function that are odd on
,
): then the eigenvalues and (normalized) corresponding eigenfunction are given by . 1 , sin 2 , 2 m m mx m m The completeness result in the spectrual theorem implies that any function satisfying the boundary conditions can be written as a Fourier-sine series
2 sin , 1 mx u x u
m For Fourier coefficients given by
u u x mxdx
um ,m 2 sin ;
The convergence in theN-norm is just the usual L2-norm:
u
u x dx , for M M m m 0 2 1 .The convergence in the
Q
-norm implies a much stronger statement. To investigate that, exploit the Poincare inequality: for some constant c1 0 it holds that0 ) ( ) 0 ( , all for 2 1 2
c u u u u u xThen the convergence in the
Q
-norm implies the pointwise convergence of the Fourier-sine series:
u x , for M u M m m 0 1 Penyelesaian :Sturm-Liouville eigenvalue problem:
(0) ( ) 0
) ( ) ( (u) , ) ( (u) 0 ) 1 ( ) 0 ( , ) ( ) ( ) ) ( ( 2 0 2 2 2
u u L u U dx u x q u x p dx u x x x q x p L x x x Q NUntuk kasus khusus dimana 1,p1,q0 maka
x( x) L , dengan (0)()0 Diperoleh 0 xx (*)
Dalam mencari solusi persamaan (*), ada tiga kemungkinan: Nilai eigennya mungkin negative, nol, atau positif.
Kasus 1 (Nilai eigen negatif) Misal 2 v diperoleh 0 2 xx v Persamaan Karakteristik: v r v r2 2 1,2 Solusi umumnya: vx vx e c e c x) 1 2 ( v c e e c e c e c e c e c c c c c v v v v v v sinh 2 ) ( ) ( 0 ) 0 ( 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1
Untuk v0,c1 0,c2 0, maka solusi yang didapatkan solusi yang trivial: (x)0
Kasus 2 (Nilai eigen nol) 0 diperoleh 2 1 1 ) ( ) ( 0 ) ( c x c x c x x x xx
Gunakan Boundary Condition 0 0 ) ( 0 0 ) 0 ( ) 0 ( 1 1 2 2 1 c c c c c
Jadi solusinya juga trivial: (x)0
Kasus 3 (Nilai eigen positif) Misal v2 diperoleh 0 2 xx v Persamaan Karakteristik: iv r v r2 2 1,2 Solusi umumnya: vx c vx c x) cos sin ( 1 2 0 sin ) ( 0 0 ) 0 ( 2 1 1 v c c c
0 sinv
Karena kita tahu bahwa sinm 0,m0,1,2,3,...
maka vm untuk m1,2,3,...(m=0 memberikan solusi trivial) Kita tulis m m m L mx c x m( ) 2sin , m1,2,3,... ) (x m
adalah fungsi eigen
Normalisasi dari m(x) berarti m(x) 1
2 2 2 0 4 2 sin 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 sin sin sin , ) ( 1 c c mx c dx mx c mx c x m mx x m m m
2 2 1 2 2 2 2 2 2 c c c Sehingga (x) 2 sinmx,m1 m adalah basis ortonormal yang bersesuaian dengan
2 m
m
Misalkan uU0 yang diekspansi dengan menggunakan basis m(x) sinmx
2
Maka u(x)dapat ditulis :
mx u x u x u( ) m m( ) msin 1 2 1
Dimana mxdx x u u u u m m m m m , ( )sin , , 0 2
1 , m m Kekonvergenan dalam norm-N sama halnya dengan norm-L2:
0 sin 0 sin 2 1 2 1 2
u mx u mx M m M m u -u N untuk M 0 ) ( ) 0 ( , semua untuk 2 1 2
c u u u u u xmaka 0 sin 0 sin 1 2 2 1 2
u mx u mx M m x M m u -u Q untuk M karena sin 0 1 2 2
u mx M mx u- maka berdasarkan Poincare inequality
0 sin 1 2
u mx M m -u untuk M .3. Page 64
For given smooth and bounded functions p(x) and q(x), consider the quadratic forms
1 0 2 2 1 0 2 , u u u x q u x p u Q x N(a) Write down the Sturm-Liouille eigenvalue corresponding to Q and N on the set U0
of function from C1([0,1]) with u(1) = 0.
(b) Show that if the function p in (1) is strictly positive on the entire interval [0,1], the Rayleigh quotient
u u Q u N R :is bounded from below on U0. Penyelesaian:
a. Eigen Value Problem(EVP):
Lu u u Lu u Q Nu Lu , , ) ( u N Kita peroleh Lu dari Q(u)2Lu
vdx u x q u x p vdx u x q u x p u v x p dx uv x q v u x p dx v u x q v u x p d d v u Q x x x x x x x x ) ) ( 2 ) ) ( ( 2 ( 0 ) ) ( 2 ) ) ( ( 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ; ( 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 2
maka diperoleh Lu u x q u x p u Q( )2x( ( )x )2 ( ) 2 sehingga u x q u x p Lu x( ( )x ) ( )Kita peroleh N dari N
u 2Nu
1 0 0 1 0 2 2 ) ( ) ; ( uvdx v u d d v u NMaka kita peroleh
u 2u 2Nu N maka N = 1 Sehingga EVP: x(p(x)xu)q(x)uub. Jikap(x) fungsi bernilai positif pada interval [0,1], Rayleigh quotient
u u Q u N R :Dalam dimensi tak hingga Rayleigh quotient memenuhi terbatas di bawah atau terbatas di atas. Jikaq(x) diasumsikan fungsi yang terbatas danp(x) fungsi bernilai positif pada interval [0,1], maka Q
u definit positif sehinggaR
u terbatas di bawah.4. Page 82
A functional of Sturm-Liouville type:
u
p
x xu 2 q
x u2 2f
xu
dxL
Akan dicari solusi hampiran u dengan metode Ritz-Galerkin.
Penyelesaian:
L p x xu q x u f x udx u 0 2 2 ) ( 2 ) ( ) )( ( ) ( L Persamaan Euler-Lagrange: 0 ) ( ) ( ) ) ( ( ) (u x p x xu q x u f x L
N j j j x a x u x u u L u 1 ) ( ) ( ~ ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ~ (u
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,...N m , 0 ) ( , ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
I m I N j k m k I k x N j m x k I m I N j k m k I k x N j m x k I k x N j m k I m I N j k m k I m N k k k x x m N k k k N k k k x x m N k k k dx x x f dx x x a x q dx x x a x p dx x x f dx x x a x q dx x x a x p x x x p a dx x x f dx x x a x q x x a x p x x f x a x q x a x p x x a Jika
dx x f F dx x q Q dx x p P m m k m mk k x m x mk
) )( ( ) )( )( ( ) ( Maka
k N k k N m mk mk a (x) u a a a F a Q a P
1 2 1 ~ didapat ,..., , diperoleh Sehingga persamaan) buah (N 0 5. S-L-Eigenvalue problemDiketahui masalah nilai eigen:
x u q
x u
x up x
x
Akan dicari solusi hampiran u dengan metode Ritz-Galerkin.
Penyelesaian: