KOMPUTASI DAN DINAMIKA FLUIDA

(1)

KOMPUTASI DAN DINAMIKA FLUIDA

TUGAS 3

Oleh

RIRIN SISPIYATI NIM : 20106003 Program Studi Matematika

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2009

(2)

1. Page 60

The orthogonality constraints in the successive characterization are natural constraints: although essential in the definition of the constraint set, there is no effect in the equation for the critical point: the corresponding multiplier vanishes. To verify this, consider the equation for

 



 , , 0



Crit Ru u H N u f



where f is any given function. The governing equation is for some multipliers µ,σ

 

       N  f, with R L .

Verify thatσ= 0 if f is some eigenfunction, but that in generalσwill not vanish.

Penyelesaian:

 



 , , 0



Crit Ru u H N u f



Juga bisa kita tulis

 



 , ( )1, , 0



CritQ u u H N u Nu f

 denganf adalah sembarang fungsi.

Nilai eigen yang bersesuaian: ) ( ) ( ) (    N u Q R  

DariMultiply-Lagrange Rulemaka ada µ,σsedemikian sehingga

f N L    , N , , , , , L f f f f Q f N f f f             

fdan adalah fungsi eigen dari nilai eigen yang berbeda, maka dari proposisi 3.8 maka

 dan f ortogonal terhadap bentuk kuadratik QdanN, yaitu

, 0 , 0 Q  f  N  f  sehingga , 0 f f  

Karenaffungsi eigen maka f 0 sehingga  0

Secara umum jika f bukan fungsi eigen dan N u f



,



0 maka

, ,

Q  f  f f

Jadi

, 0

(3)

2. Page 62

The special case  1,p1,q0 provides Fourier theory (for function that are odd on



,



): then the eigenvalues and (normalized) corresponding eigenfunction are given by . 1 , sin 2 , 2 _ _ m _m mx m m   

The completeness result in the spectrual theorem implies that any function satisfying the boundary conditions can be written as a Fourier-sine series

 

2 sin , 1 mx u x u



_m   

For Fourier coefficients given by









 u u x mxdx

u_m ,_m 2  sin ;

The convergence in theN-norm is just the usual L2-norm:

 

        



u



u x dx , for M M m m 0 2 1  .

The convergence in the

Q

-norm implies a much stronger statement. To investigate that, exploit the Poincare inequality: for some constant c₁ 0 it holds that

0 ) ( ) 0 ( , all for 2 1 2   

_

 c u u u u  u _x

Then the convergence in the

Q

-norm implies the pointwise convergence of the Fourier-sine series:

 

   



u x , for M u M m m 0 1  Penyelesaian :

Sturm-Liouville eigenvalue problem:







(0) ( ) 0



) ( ) ( (u) , ) ( (u) 0 ) 1 ( ) 0 ( , ) ( ) ( ) ) ( ( 2 0 2 2 2             



         u u L u U dx u x q u x p dx u x x x q x p L x x x Q N

Untuk kasus khusus dimana  1,p1,q0 maka

  _x( _x) L , dengan (0)()0 Diperoleh 0   xx  (*)

Dalam mencari solusi persamaan (*), ada tiga kemungkinan: Nilai eigennya mungkin negative, nol, atau positif.

(4)

Kasus 1 (Nilai eigen negatif) Misal 2 v    diperoleh 0 2   xx v  Persamaan Karakteristik: v r v r2  2  ₁_,₂  Solusi umumnya: vx vx e c e c x) ₁  ₂  (            v c e e c e c e c e c e c c c c c v v v v v v sinh 2 ) ( ) ( 0 ) 0 ( 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1                

Untuk v0,c₁ 0,c₂ 0, maka solusi yang didapatkan solusi yang trivial: (x)0

Kasus 2 (Nilai eigen nol) 0   diperoleh 2 1 1 ) ( ) ( 0 ) ( c x c x c x x x xx           

Gunakan Boundary Condition 0 0 ) ( 0 0 ) 0 ( ) 0 ( 1 1 2 2 1          c c c c c    

Jadi solusinya juga trivial: (x)0

Kasus 3 (Nilai eigen positif) Misal  v2 diperoleh 0 2 _  _xx v  Persamaan Karakteristik: iv r v r2  2  ₁_,₂  Solusi umumnya: vx c vx c x) cos sin (  ₁  ₂  0 sin ) ( 0 0 ) 0 ( 2 1 1           v c c c

(5)

0 sinv 

Karena kita tahu bahwa sinm 0,m0,1,2,3,...

maka vm untuk m1,2,3,...(m=0 memberikan solusi trivial) Kita tulis m m m L   mx c x m( ) 2sin  , m1,2,3,... ) (x m

 adalah fungsi eigen

Normalisasi dari _m(x) berarti _m(x) 1











 

2 2 2 0 4 2 sin 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 sin sin sin , ) ( 1        c c mx c dx mx c mx c x m mx x m m m       



 

   2 2 1 2 2 2 2 2 2    c c c Sehingga (_x) 2 sin_mx,_m1 m 

 adalah basis ortonormal yang bersesuaian dengan

2 m

m 



Misalkan uU0 yang diekspansi dengan menggunakan basis m(x) sinmx

2



 

Maka u(x)dapat ditulis :

mx u x u x u( ) _m _m( ) _msin 1 2 1



     _ Dimana mxdx x u u u u _m m m m m , ( )sin , , 0 2



        

_

_

1 , _m  m  

Kekonvergenan dalam norm-N sama halnya dengan norm-L2:

0 sin 0 sin 2 1 2 1 2               





u mx u mx M m M m   u -u N untuk M 

(6)

0 ) ( ) 0 ( , semua untuk 2 1 2   



 c u u u u  u _x

(7)

maka 0 sin 0 sin 1 2 2 1 2               





u mx u mx M m x M m   u -u Q untuk M  karena sin 0 1 2 2       





u mx M m

x u-  maka berdasarkan Poincare inequality

0 sin 1 2  



u mx M m  -u untuk M .

(8)

3. Page 64

For given smooth and bounded functions p(x) and q(x), consider the quadratic forms

 



_

 



 



_

1 0 2 2 1 0 2 , u u u x q u x p u Q _x N

(a) Write down the Sturm-Liouille eigenvalue corresponding to Q and N on the set U0

of function from C1([0,1]) with u(1) = 0.

(b) Show that if the function p in (1) is strictly positive on the entire interval [0,1], the Rayleigh quotient

 

_{ }

u u Q u N R :

is bounded from below on U0. Penyelesaian:

a. Eigen Value Problem(EVP):

 

Lu u u Lu u Q Nu Lu , , ) (    u N 

Kita peroleh Lu dari Q(u)2Lu

 





vdx u x q u x p vdx u x q u x p u v x p dx uv x q v u x p dx v u x q v u x p d d v u Q x x x x x x x x ) ) ( 2 ) ) ( ( 2 ( 0 ) ) ( 2 ) ) ( ( 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ; ( 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 2                      



      maka diperoleh Lu u x q u x p u Q( )2_x( ( )_x )2 ( ) 2  sehingga u x q u x p Lu x( ( )x ) ( )

Kita peroleh N dari N

 

u 2Nu



    1 0 0 1 0 2 2 ) ( ) ; ( uvdx v u d d v u    N

(9)

Maka kita peroleh

 

u 2u 2Nu N  maka N = 1 Sehingga EVP: _x(p(x)_xu)q(x)uu

b. Jikap(x) fungsi bernilai positif pada interval [0,1], Rayleigh quotient

 

_{ }

u u Q u N R :

Dalam dimensi tak hingga Rayleigh quotient memenuhi terbatas di bawah atau terbatas di atas. Jikaq(x) diasumsikan fungsi yang terbatas danp(x) fungsi bernilai positif pada interval [0,1], maka Q

 

u definit positif sehinggaR

 

u terbatas di bawah.

(10)

4. Page 82

A functional of Sturm-Liouville type:

 

u 





p

  

x _xu 2 q

 

x u2 2f

 

xu



dx

L

Akan dicari solusi hampiran u dengan metode Ritz-Galerkin.

Penyelesaian:







    L p x _xu q x u f x udx u 0 2 2 ) ( 2 ) ( ) )( ( ) ( L Persamaan Euler-Lagrange: 0 ) ( ) ( ) ) ( ( ) (u _x p x _xu q x u f x  L 



      N j j j x a x u x u u L u 1 ) ( ) ( ~ ) ( 0 ) ( 0 ) (    0 ) ~ (u  



















( )



( )



( )



( )



( )



( ) ( ) 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,...N m , 0 ) ( , ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                                                                                                 

























          I m I N j k m k I k x N j m x k I m I N j k m k I k x N j m x k I k x N j m k I m I N j k m k I m N k k k x x m N k k k N k k k x x m N k k k dx x x f dx x x a x q dx x x a x p dx x x f dx x x a x q dx x x a x p x x x p a dx x x f dx x x a x q x x a x p x x f x a x q x a x p x x a                        Jika







dx x f F dx x q Q dx x p P m m k m mk k x m x mk



     ) )( ( ) )( )( ( ) (     

(11)

Maka

     

k N k k N m mk mk a (x) u a a a F a Q a P 



     1 2 1 ~ didapat ,..., , diperoleh Sehingga persamaan) buah (N 0 5. S-L-Eigenvalue problem

Diketahui masalah nilai eigen:

 

x u q

 

x u

 

x u

p _x

x   

 

Akan dicari solusi hampiran u dengan metode Ritz-Galerkin.

Penyelesaian:



      N j j j x a x u x u u L u 1 ) ( ) ( ~ ) ( 0 ) ( 0 ) (    0 ) ~ (u  



















( )



( )



( )



( )



( )



( ) ( ) ( ) 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,...N m , 0 ) ( , ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                                   _ _                                                                    





































              I k m N k k I N j k m k I k x N j m x k I k m N k k I N k k m k I k x N k m x k I k x N k m k I k m N k k I N j k m k I m N k k k x x m N k k k N k k k N k k k x x m N k k k dx x x a x dx x x a x q dx x x a x p dx x x a x dx x x a x q dx x x a x p x x x p a dx x x a x dx x x a x q x x a x p x x a x x a x q x a x p x x a                                Jika dx x R dx x q Q dx x p P L k m mk L k m mk L k x m x mk



     0 0 0 ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( (       

(12)

   

 

k N k k N mk mk mk a (x) u a a a a R a Q a P  



     1 2 1 ~ didapat ,..., , diperoleh Sehingga 0

(13)