ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL LINEAR MULTIVARIAT DENGAN METODE LIKELIHOOD DISPLACEMENT STATISTIC-LAGRANGE

(1)

1

ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL LINEAR MULTIVARIAT DENGAN METODE LIKELIHOOD DISPLACEMENT STATISTIC-LAGRANGE

1

Makkulau, 2Susanti Linuwih, 3Purhadi, dan 4Muhammad Mashuri

1

Mahasiswa S-3 Statistika FMIPA ITS, Surabaya Kampus ITS Sukolilo, Surabaya 60111

Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Haluoleo, Kendari 2,3,4

Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Kampus ITS Sukolilo, Surabaya 60111

e-mail: 1 [email protected], 2 [email protected],

3

[email protected], 4 [email protected]

Abstrak

Outlier dibedakan atas outlier pada pengamatan (data) univariat atau multivariat dan outlier pada model linear univariat atau multivariat, dimana model linear multivariat adalah model linear dengan variabel dependen (variabel respon) lebih dari satu. Outlier

adalah suatu pengamatan yang menyimpang sedemikian jauh dari pengamatan lain. Penelitian ini mengkaji estimasi parameter pada model linear multivariat dengan Metode

Likelihood Displacement Statistic-Lagrange disingkat Metode LDL digunakan untuk mendeteksi outlier pada pengamatan dalam model linear multivariat.

Kata kunci: Likelihood Displacement Statistic-Lagrange; Model Linear Multivariat; Pendeteksian Outlier.

Pendahuluan

Pendeteksian outlier pada pengamatan (data) telah dilakukan antara lain oleh Hawkins (1980), Barnett & Lewis (1994), Peña & Prieto (2001), Filzmoser (2005), dan lain-lain. Pendeteksian outlier pada pengamatan dalam model linear telah dilakukan antara lain oleh Cook (1977), Rousseeuw (1984), Peña & Guttman (1993), Srivastava & von Rosen (1998), Diaz-Garcia dkk. (2007), dan lain-lain. Outlier yang merupakan pengamatan yang menyimpang sedemikian jauh dari pengamatan lain, dapat mempunyai efek bagi pengambilan suatu kesimpulan atau keputusan pada penelitian. Outlier dibedakan atas

outlier pada pengamatan univariat atau multivariat dan outlier pada model linear univariat atau multivariat.

Xu dkk. (2005) mengembangkan jarak Cook’s univariat untuk mendeteksi outlier

pada model linear multivariat. Metode yang digunakan adalah Metode Likelihood Displacement Statistic disingkat Metode LD, yaitu suatu metode yang menghilangkan pengamatan yang diduga outlier pada model seperti pada Makkulau dkk. (2007a), prosedurnya dapat dilihat pada Makkulau dkk. (2008) dan aplikasinya dapat dilihat pada Makkulau dkk. 2009; Metode Likelihood Ratio Statistic for a Mean Shift disingkat Metode

(2)

2

LR, yaitu suatu metode dengan cara pergeseran rata-rata pada model seperti pada Makkulau dkk. (2007b); dan Metode Multivariate Leverage yang menggunakan elemen dari the average diagonal

m

A

Q

disingkat ADQ untuk mengukur keekstriman dari m

pengukuran pada variabel independen. Xu dkk. (2005) dalam mengestimasi parameter dengan metode LD dan metode LR dari model linear multivariat tidak menggunakan fungsi pengganda Lagrange. Penelitian ini mengkaji estimasi parameter pada model linear multivariat dengan Metode Likelihood DisplacementStatistic-Lagrange disingkat Metode LDL.

Model Linear Multivariat

Misalkan

X X

₁

,

₂

,



,

X

_p adalah variabel independen (variabel prediktor) dan

1

, ,

2

,

q

Y Y



Y

adalah variabel dependen (variabel respon), jika dilakukan n pengamatan yang diambil pada setiap variabel dependen yang ditulis

y y

_i₁

,

_i₂

, ,



y

_iq dimana

,

2 ,

1 n

i



atau

y

_iq ₀_h ₁_h

X

_i₁ ₂_h

X

_i₂



_ph

X

_ip

ε

_h



dimana

h

1, 2,



, ,

q

dan misalkan

Y

_h

y

₁_h

,

y

₂_h

,



,

y

_nh T



, maka dapat ditulis sebagai

Y

_

h

X

h h

β ε ,

_

h



dimana: 1 2

0

0 0 0

h q

X





 



adalah matriks berukuran nx(p+1)

0 1 2

β

, ,

T

h h h h



ph



adalah vektor parameter berukuran (p+1)x1 dan

1 2

ε

,

, ,

T h h h



nh



Model linear multivariat adalah model linear dengan variabel dependen lebih dari satu (Christensen, 1991). Model linear multivariat yang terdiri dari q model linear secara simultan dapat ditulis sebagai

Y

_nxq

X

_{nx p}₁

B

_p₁_xq

E

_nxq atau

Y XB E

(1) Estimasi Parameter dan Uji Hipotesis Model Linear Multivariat

Pada model linear multivariat matriks error Enxq [ ]ih merupakan matriks acak,

(3)

3

varian-kovariansinya adalah

Var

E

I

n

Σ

, dimana adalah perkalian Kronecker,

sehingga

E

~

N

_p

0 I

,

_n

Σ

. Dengan mengestimasi parameter

B

pada (1), maka diperoleh

B X X X Y

ˆ

T 1 T (2) Estimasi dari parameter

Σ

adalah

ˆ

1 ˆ

T

ˆ

n

Σ

Y XB

( bias).

1 _ˆ

_ˆ

rank( )

T

n

S

Y XB

X

;

S

merupakan estimator tak bias untuk

Σ

.

Vektorisasi matriks variabel dependen pada (1) ditulis Vec(

Y

) (Christensen, 1991) adalah

Vec

Y

I

q

X

Vec

B

Vec

E

:

dimana

Vec

E

~

N

_p

0 I

,

_n

Σ

dan

Vec

Y

~

N

_nq

I

_q

X

Vec

B Σ I

,

_n . (3) Dengan menggunakan sifat hasil kali kronecker diperoleh:

-1 1

ˆ

Vec

T T

Vec

T T

Vec( )

q q q q

B

I

X

I

X

I

X

Y

I

X X X

Y

dan distribusi

Vec

B

ˆ

adalah

Vec

B

ˆ

~

N

_{q p}₁

Vec

B

,

Σ

X X

T 1 . Prosedur uji hipotesis parameter pada model linear multivariat adalah:

0

:

0

T

H

B

terhadap

_H

₁

:

T

_B

0

dimana T

P X

T dan

P

adalah matriks ortogonal (Christensen, 1991). Hipotesis nol ditolak jika nilai maksimum dari likelihood di bawah

H

₀ lebih besar dari nilai maksimum keseluruhan. Statistik uji rasio likelihood sering diarahkan pada Wilk’s .

Outlier pada Model Linear Multivariat

Outlier adalah pengamatan yang menyimpang sedemikian jauh dari pengamatan lain (Hawkins, 1980). Outlier dapat dibedakan atas outlier pada pengamatan univariat atau multivariat dan outlier pada pada pengamatan dalam model linear univariat atau multivariat. Outlier pada model linear multivariat dapat dibagi atas 3 kategori, yaitu outlier

terhadap nilai X (leverage outlier); outlier terhadap nilai Y (residual outlier); dan outlier

terhadap nilai X dan Y (outlier berpengaruh).

Rousseeuw & Hubert, 1997 mengklasifikasikan outlier ke dalam empat kelompok berdasarkan penyebabnya, yaitu observasi umum (regular observations); titik leverage

(4)

4

baik (good leverage points); outlier vertikal (vertical outliers); dan titik leverage jelek (bad leverage points atau X-Y-outliers).

Metode Pendeteksian Outlier pada Model Linear Multivariat

Xu dkk. (2005) mengembangkan jarak Cook’s univariat untuk mendeteksi outlier

pada pengamatan dalam model linear multivariat. Metode yang digunakan adalah Metode LD dan Metode LR. Fungsi likelihood dalam model linear multivariat ditulis sebagai berikut (Christensen, 1991 serta Rencher & Schaalje, 2008):

1 1 2 2

1

2 exp

tr

.

2

n nq T

L

B,Σ

Σ

Σ Y XB Y XB

(4) Pendeteksian outlier pada pengamatan dalam model linear multivariat dengan Metode LD dilakukan dengan cara menghilangkan pengamatan yang diduga outlier pada model. Misalkan ada m pengamatan dikumpulkan pada himpunan tertentu, dengan m

pengamatan diduga outlier. Indeks

A

_m adalah kumpulan dari m pengamatan yang diduga

outlier. Dengan kata lain, indeks

A

_m artinya ada outlier, sehingga:

m A

Y

adalah himpunan

Y

dengan pengamatan yang ada outlier.

m C A

Y

adalah himpunan

Y

dengan pengamatan tanpa outlier. Definisi 1 (Christensen, 1991)

Likelihood Displacement Statistic (LD) dengan pengamatan yang ada outlier adalah:

ˆ ˆ

ˆ

LD

2 ln

ln

m m m C C A

B,Σ

L

B,Σ

L

B ,Σ

A A (5) Definisi 2 (Christensen, 1991) LD dengan pengamatan yang ada outlier dan bersyarat adalah:

1 1 2 2

ˆ ˆ

ˆ

1

ˆ

1

ˆ

2

ˆ

2

ˆ

1

ˆ

1

LD

_m

2 ln

ln

C_m C_m

,

C_m C_m C_m C_m

A

B ,Σ B ,Σ

L

B,Σ

L

B ,Σ

A A

B ,Σ

A A

B ,Σ

A A (6)

dimana menotasikan suatu fungsi.

Estimator dari

B

dengan pengamatan tanpa outlier yaitu

B

ˆ

C_A_m adalah:

1 1

ˆ

_{ˆ ;}

m m m m C T T A A A A

B

B X X X Ι Q

E

dimana 1 m m m T T A A A

Q

X X X X

;

ˆ

ˆ.

m m m T A A A

E

Y

X B

dan estimator dari

Σ

dengan pengamatan tanpa outlier yaitu

ˆ

m C A

(5)

5 1

1 ˆ

ˆ

m m m m C T A A A A

n

n m

Σ

E

Q

E

,

sehingga fungsi likelihood dalam model linear multivariat dengan pengamatan tanpa

outlier adalah

LD

2 ln

ˆ ˆ

ln

ˆ



ˆ

m m m

C C

A

B,Σ

L

B,Σ

L

B ,Σ B

A A

Cara lain pendeteksian outlier pada model linear multivariat dengan Metode LR dilakukan dengan cara pergeseran rata-rata pada model, yang ditulis dalam bentuk model:

m C A

Y XB Z Ψ E

; dimana: ₁ ₂

,

m C A

z z

i i

z

im

Z



 



dan

z ,

j

j i i

1

, ,

2



,

i

m

 

:

mxq

Ψ

yaitu matriks pergeseran yang berhubungan dengan pengamatan dihimpunan

A

_m.

E

C_m A

Y XB Z Ψ

adalah pergeseran rata-rata. Menurut Xu dkk. (2005), untuk sampel besar: Jika 2

ˆ

ˆ ˆ

H n H H

n

Σ

Λ

Σ

Σ Σ

, maka 2

ˆ

2ln

ln

~

ˆ

ˆ ˆ

H q H H

n

Σ

Λ

Σ

Σ Σ

Metode Analisis

Estimasi parameter pada model linear multivariat dengan Metode LDL, berdasarkan langkah-langkah sebagai berikut:

i. Mengumpulkan m pengamatan yang diduga outlier.

ii. Mendeteksi outlier pada pengamatan dalam model linear multivariat dengan asumsi

Vec

E

~

N

_p

0,

I

_n

Σ



dimulai dengan membuat fungsi likelihood

L

B,Σ

, lalu menentukan

B

ˆ

dan

Σ

ˆ

dengan menggunakan Metode Maximum Likelihood Estimate disingkat Metode MLE untuk mendapatkan

L

B,Σ

ˆ ˆ

.

iii. Memaksimumkan fungsi likelihood

L

B,Σ

dengan kendala jika ada m buah pengamatan adalah outlier menggunakan pengganda Lagrange, lalu membuat

ln

L

B,Σ

dan menentukan

ˆ ˆ

,

m m C C A A

B Σ

untuk mendapatkan

ˆ ˆ

,

m m C C A A

L

B Σ

.

Estimasi Parameter pada Model Linear Multivariat dengan Metode Likelihood DisplacementStatistic-Lagrange

Penelitian ini dibatasi hanya pada pendeteksian outlier pada pengamatan dalam model linear multivariat dengan Metode LDL. Pendeteksian outlier pada pengamatan dalam model linear multivariat dimulai dengan memisalkan ada m pengamatan yang diduga outlier

A

_m dari

Y Y

₁

, ,

₂



, ,

Y

_h



,

Y

_q

 



, sehingga

Y

Am adalah himpunan

Y

dengan

pengamatan yang ada outlier dan

m C A

(6)

6

outlier. Sebelumnya, jika dipunyai variabel independen sebanyak p dan variabel dependen sebanyak q, maka model linear multivariat (1)secara simultan dapat ditulis sebagai:

1

1 1nx p 1 1 1

nxq

J

nx p xq nxq nx p p xq nxq

Y



X

B

E

X

B

E



(7)

Pendeteksian outlier pada pengamatan dalam model linear multivariat dengan asumsi

Vec

E

~

N

_p

0,

I

_n

Σ



seperti pada (3) dimulai dengan membuat fungsi

likelihood untuk populasi

L

B,Σ

, lalu menentukan

B

ˆ

dan

Σ

ˆ

. Untuk mengestimasi parameter

B

pada (7) dengan fungsi likelihood seperti pada (4), maka estimasi (7) dengan Metode MLE dimulai dengan me-ln-kan (4), sehingga:

1

1 ln

ln 2

ln

tr

2

T

nq

n

L

B,Σ

Σ

Σ Y XB Y XB

(8) Kemudian (8) diturunkan terhadap

B

:

1 1

ln

1 _ˆ

tr 2

,

2

T T

L

B,Σ

_{Σ Y XB X}

_{Σ X Y XB}

₀

B

diperoleh: 1

ˆ

T T

B

X X X Y

Kemudian (8) diturunkan terhadap

Σ

, maka:

ln

L

B,Σ

Σ

1 1 1

1 _ˆ

_{ˆ ˆ}

_ˆ

tr

2

T

n

Σ

Σ Σ Y XB Y XB

0

, diperoleh:

1 ˆ

ˆ

T

ˆ

n

Σ

Y XB Y XB

Dari (7) diperoleh pula

Y

~

N

_p

XB Σ I

,

dan dalam bentuk vektor ditulis:

Vec

Y

I

q

X

Vec

B

Vec

E

,

dengan

Vec

E

~

N

p

0 I

,

n

Σ

.

Untuk memaksimumkan fungsi likelihood

L

B,Σ

dengan kendala



1

ˆ

Vec

B

Vec

B

T

Var Vec

B

Vec

B

Vec

B

jika ada m buah variabel dependen adalah outlier dengan menggunakan pengganda Lagrange, dimulai dengan membuat

ln

L

B,Σ

dan menentukan

B Σ

ˆ ˆ

C_A_m

,

C_A_m, sehingga didapat

ˆ ˆ

,

m m C C A A

L

B Σ

. Kemudian membuat

ˆ ˆ

ˆ

LDL

2 ln

ln

m m m C C A

L

B,Σ

L

B ,Σ

A A .

Fungsi likelihood untuk

B

yaitu (4), sehingga fungsi likelihood untuk

ˆ

m A

B

adalah: 1 ₁ 2 2

1 ˆ

ˆ

2 exp

tr

2

m m m m m m m m m m n m T n m p C C C C C C C C C C A A A A A A A A A A

L

B ,Σ

Σ

Y X B

(7)

7

Setelah didapatkan

B

ˆ

dan

Σ

ˆ

seperti di atas, selanjutnya ditentukan

ˆ

m C A

B

dan

ˆ .

m C A

Σ

Berdasarkan (5) dan (6) diperoleh:

2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

ˆ

ˆ ˆ

ln

C_m C_m

,

C_m C_m C_m C_m

max

ln

C_m C_m

,

A A A A A A A A

L

B ,Σ

_{β ,Σ}

L

B ,Σ

dengan ₁ ₁

ˆ

₁

ˆ

₁

, maka

ˆ

₁

ˆ

dan

ˆ

₁

ˆ

.

m m m m C C C C A A A A

B ,Σ

B B

Σ Σ

Berdasarkan (7), maka m m m m C C C C A A A A

Y

X B

E

dan

Vec

~

,

m C A

N

p n m

Y

0 I

Σ

, dan dari (2) diperoleh 1

ˆ

m m m m m T T C C C C C A A A A A

B

X

Y

dimana

.

m m m m T C C T T A A A A

X

X X X X

Dengan demikian dapat ditulis:

m m m m

T

C C T T

A A A A

X

Y

X Y X Y

.

Estimasi dari

B

setelah outlier dikeluarkan

ˆ

m C A

B

adalah: 1

ˆ

m m m m m C T T T T A A A A A

B

X X X X

X Y X Y

ˆ

T 1 T_m _m 1 _m _m _m 1 T_m

ˆ

A A A A A A

B X X X

Ι Ι Q

Q Y

Ι Q

X B

Sehingga

ˆ

1 1

ˆ

m m m mm C T T A A A AA

B

B X X X

Ι Q

E

, dimana

ˆ

m m m T A A A

E

Y

X B

diperoleh pula T 1 1 1 1 1

ˆ

_~

_,

_Var

ˆ

m m m m m m C T T T T T A

N

p A A A A A

B

B X X

Σ X X X Ι Q

E

X X X Ι Q

Permasalahan di atas bersifat umum, sehingga nilai optimal yang diperoleh bisa saja bukan nilai yang paling optimal. Oleh karena itu digunakan pengganda Lagrange,

sehingga nilai optimal yang diperoleh diharapkan merupakan nilai yang paling optimal pada daerah kepercayaan yang telah ditentukan.

Untuk kasus spesial

θ

₁ dari

θ

, maka LD dapat dimodifikasi sebagai:

1 2

ˆ

1

ˆ ˆ

2 1

LDL

_m

2 ln

ln

C_m

,

C_m A

θ θ

L

θ

L

θ θ θ

A A dimana

θ β Σ

,

θ β θ Σ

₁

,

₂ , sehingga

θ β Σ

ˆ

ˆ ˆ

,



ˆ ˆ

ˆ

LDL

_m

2 ln

,

ln

C_m

,

C_m_m A

B Σ

L

B Σ

L

B Σ B

A AA

Fungsi likelihood dengan kendala sebanyak m pengamatan yang diduga outlier

adalah:



12 1 2 2

1 ˆ

_,

ˆ

2

T C C C C C Am Am Am Am Am m m m tr C C A A _mn n C A

L

B

Σ B

e

Σ B Y X B Y X B

Σ B

1 1

ˆ

m m m m C T T A A A A

B

X X X

Ι Q

E

(8)

8



_ˆ

1 _ˆ

_ˆ

m m m m m T C A A A A A

n

Σ B

Y X B

1 ˆ ˆ

T

ˆ ˆ

_m T T

ˆ ˆ

_m A A

n

E E

B B

X X B B

. sehingga diperoleh



1 1

1 ˆ

ˆ

m m m m m m C T A A A A A A

n

Σ B

Σ

E Ι Q

Q Ι Q

E

dan



ˆ ˆ

ˆ

LDL

_m

LDL

_m

2 ln

,

ln

_m

,

C_m A A

B Σ

L

B Σ

L

B Σ B

A A

Dengan me-ln-kan dan membuang

ˆ

m A

B

pada persamaan di atas, maka diperoleh:



_ˆ

ˆ

LDL

2 ln 2

ln

ln 2

ln

2

m m C A A

mn

n

mn

n

_{Σ B}

n

ˆ

1 ˆ

ˆ

ln

_ˆ

m m m T A A A

n

E C E

dimana 1 1 m m m m A A A A

C

Ι Q

Q Ι Q

.

Selanjutnya menentukan nilai eigen dari

m A

C

didapat ₁

, , , .

₂



_m

LDL

m A didekati dengan 2 1

LDL

_A m

λ

_{i i} i

Z

 

, sehingga

LDL ~

A v2, dimana

v mq

. ;

2

_~

2 i q

Z



Jika didapat 1 db misalkan

,

maka

LDL

_A

.

Z

2

~ .

_q2, dimana ₂

1

ii ii

h

ii

h

elemen diagonal ke-i dari

H

dimana

H X X X X

T 1 . Penentuan outlier dengan membandingkan

LDL

m

A dengan 2

v. Dengan kata lain:

Tolak

H

₀ jika

LDL

_Ahitung

.

_tabel2

,

dimana

H

₀:

A

_mbukan outlier dan

H

₁:

A

_m adalah

outlier.

Kesimpulan

Estimasi parameter pada model linear multivariat dengan Metode LDL digunakan untuk mendeteksi outlier pada pengamatan dalam model linear multivariat.

Daftar Pustaka

Barnett, V. & Lewis, T. 1994. Outliers in Statistical Data,

3

rd edition, John Wiley, Great Britain.

Christensen, R. 1991. Linear Model for Multivariate, Time Series, and Spatial Data, Springer-Verlag, New York.

Cook, R.D. 1977. Detection of Influential Observation in Linear Regression,

(9)

9

Diaz-Garcia, J.A., Gonzalez-Farias, G. & Alvarado-Castro, V. 2007. Exact Distributions for Sensitivity Analysis in Linear Regression, Applied Mathematical Sciences, 22:1083-1100.

Filzmoser, P. 2005. Identification of Multivariate Outliers: A Performance Study, Austrian Journal of Statistics. 2:127-138.

Hawkins, D.M. 1980. Identifications of Outliers, Chapman and Hall, New York. Luknanto, D. 2000. Pengantar Optimasi Nonlinear, Jogyakarta.

Makkulau, Linuwih, S., Purhadi, & Mashuri, M. 2007a. Outlier Detection for the Value of

Y Variable (Residual Outlier) in Multivariate Regression Models, Proceeding International Conference and Workshop on Basic and Applied Science, Universitas Airlangga, Agustus 2007, Surabaya.

Makkulau, Linuwih, S., Purhadi, & Mashuri, M. 2007b. Pendeteksian Outlier pada Model Linear Multivariat dengan Pergeseran Rata-rata, Prosiding Seminar Nasional Statis-tika VIII, Jurusan Statistika FMIPA ITS, November 2007, Surabaya.

Makkulau, Linuwih, S., Purhadi, & Mashuri, M. 2008. Prosedur Pendeteksian Outlier pada Model Linear Multivariat dengan Metode Likelihood Displacement Statistic, Prosiding Seminar Nasional Matematika IV, Jurusan Matematika FMIPA ITS, Desember 2008, Surabaya.

Makkulau, Linuwih, S., Purhadi, & Mashuri, M. 2009. Pendeteksian Outlier Model Linear Multivariat pada Produksi Gula dan Tetes Tebu, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember, Februari 2009, Jember. Peña, D. & Guttman, I. 1993. Comparing Probabilistic Methods for Outlier Detection in

Linear Models, Biometrika, Technometrics, August 2001. 3:603-610.

Peña, D. & Prieto, F.J. 2001. Multivariate Outlier Detection and Robust Covariance Matrix Estimation, American Statistical Association and the American Society for Quality,

Technometrics. Vol. 43, No. 3.

Rencher, A.C. & Schaalje, G.B. 2008. Linear Models in Statistics, 2nd edition. John Wiley & Sons, New York.

Rousseeuw, P.J. 1984. Least Median of Squares Regression, Journal of the American Statistical Association. Vol. 79, 871-880.

Rousseeuw, P.J. & Hubert, M. 1997. Recent Developments in PROGRESS, dalam L1-Statistical Procedure and Related Topics, edited by Y. Dodge, Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes and Monograph Series, Hayward, California, Vol. 31, 201-214.

Srivastava, M.S. & von Rosen, D. 1998. Outliers in Multivariate Regression Models,

Journal of Multivariate Analysis. Vol. 65, 195-208.

Xu, J., Abraham, B., & Steiner, S.H. 2005. Outlier Detection Methods in Multivariate Regression Models. http://www.bisrg.uwaterloo.ca/archive/RR-06-07.pdf [4 April 2007].

(10)

10

ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL LINEAR MULTIVARIAT DENGAN METODE LIKELIHOOD DISPLACEMENT STATISTIC-LAGRANGE (ESTIMATION PARAMETER IN MULTIVARIATE LINEAR MODELS WITH LIKELIHOOD DISPLACEMENT STATISTIC-LAGRANGE METHOD)

1

Makkulau, 2Susanti Linuwih, 3Purhadi, dan 4Muhammad Mashuri

1

Mahasiswa S-3 Statistika FMIPA ITS, Surabaya Kampus ITS Sukolilo, Surabaya 60111

Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Haluoleo, Kendari 2,3,4

Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Kampus ITS Sukolilo, Surabaya 60111

e-mail: 1 [email protected], 2 [email protected],

3

[email protected], 4 [email protected]

Abstrak

Outlier dibedakan atas outlier pada pengamatan (data) univariat atau multivariat dan outlier pada model linear univariat atau multivariat, dimana model linear multivariat adalah model linear dengan variabel dependen (variabel respon) lebih dari satu. Outlier

adalah suatu pengamatan yang menyimpang sedemikian jauh dari pengamatan lain. Penelitian ini mengkaji estimasi parameter pada model linear multivariat dengan Metode

Likelihood Displacement Statistic-Lagrange disingkat Metode LDL digunakan untuk mendeteksi outlier pada pengamatan dalam model linear multivariat.

Kata kunci: Likelihood Displacement Statistic-Lagrange; Model Linear Multivariat; Pendeteksian Outlier.

Absract

Outliers can be divided into outliers in univariate or multivariate observations and outliers in univariate and multivariate linear models, where multivariate linear models is linear models with dependent variable more than one. Outlier is an observation (data) that lies in an abnormal distance from other observations. This research study the parameter estimation at multivariate linear model by using Likelihood Displacement Statistic-Lagrange Method (LDL Method) used to outlier detection at observation in linear model multivariate.

Keywords: Likelihood Displacement Statistic-Lagrange; Multivariate Linear Models; Outlier Detection.