Pemodelan resiko jantung koroner dengan pendekatan logistik nonparametrik berdasarkan estimator polinomial lokal ABSTRAK

(1)

1

Pemodelan resiko jantung koroner dengan pendekatan logistik nonparametrik berdasarkan estimator polinomial lokal

1

Elly Ana, 2Siti Amanah

1

Prodi Matematika, Universitas Airlangga, Surabaya

2

Alumni S1 Prodi Matematika Kampus C Unair, Jl Mulyorejo, Surabaya

e-mail : elly_ana_agus@yahoo.com

ABSTRAK

Penyakit jantung koroner merupakan penyakit yang paling banyak menyebabkan kematian. Di Indonesia, telah terjadi pergeseran penyakit jantung dan pembuluh darah dari urutan ke-10 pada tahun 1980 menjadi urutan ke-8 pada tahun 1986. Berbagai penelitian telah dilakukan selama 50 tahun terakhir dan diperoleh hubungan yang jelas antara kematian yang disebabkan penyakit jantung koroner dengan hipertensi, merokok, usia, jenis kelamin, kolesterol dan diabetes. Dalam makalah ini, dibahas tentang pemodelan resiko penyakit jantung koroner dengan pendekatan regresi nonparametrik logistik berdasarkan estimator polinomial lokal dan algoritma lokal skoring. Adapun variabel responnya adalah terjadinya serangan jantung koroner (Y =1) atau tidak (Y = 0), dan variabel prediktor, usia (X1), kadar kolesterol darah (X2), dan BMI (Body Mass Index) (X3). Dari pemodelan tersebut diperoleh hasil bahwa, semakin bertambah usia, kolesterol, dan BMI akan meningkatkan peluang terjadinya serangan jantung koroner. Dari model dapat dilihat pula bahwa variabel yang dominan adalah variabel BMI (X3), dengan koefisien terbesar, yaitu 0.2198283. Berdasarkan model yang diperoleh dapat diinterpretasikan untuk contoh kasus seseorang yang berusia 63 tahun dengan kolesterol 420 mg/dl dan BMI 31.37 kg/m2 , maka perbandingan peluang terkena serangan jantung koroner 6 kali lebih besar .

Kata kunci : Regresi logistik, model aditif, estimator polinomial lokal, algoritma local scoring.

Pendahuluan

Jantung Koroner adalah jenis penyakit yang banyak menyerang penduduk Indonesia. Kondisi ini terjadi akibat penyempitan/penyumbatan di dinding nadi koroner karena adanya endapan lemak dan kolesterol sehingga mengakibatkan suplaian darah ke jantung menjadi terganggu. Perubahan pola hidup, pola makan, dan stres juga dapat mengakibatkan terjadinya penyakit ini.

Seminar Nasional Statistika IX

(2)

2

Model pendugaan resiko terkena jantung koroner dengan beberapa variabel prediktor menarik untuk diteliti. Dalam tulisan ini kami melibatkan variabel usia, kadar kolesterol dan bodi mass index (BMI) sebagai faktor yang diduga memacu penyakit jantung koroner dengan model pendekatan logit nonparametrik additiv melalui estimator polinomial lokal. Secara umum hubungan antara variabel bebas dan tak bebas dalam regresi dengan respon biner dapat dinyatakan sebagai:

)

(

1 log

₁ _ji j p j i i

_m

_x

_,

_i

₁

_,

₂

_,

_...,

_n

₍₁₎ dengan i i

1 log

adalah logit function dan ₁

(

_ji

)

j p

j

m

x

adalah fungsi regresi yang

diestimasi melalui tehnik smoothing. Dalam hal ini digunakan estimator polinomial lokal dengan algoritma lokal skoring (Hastie dan Tibshirani, 1990).

DATA

Data yang digunakan adalah data dari Chapmann tahun 1979 dalam Dixon and Massay (1979) dengan variabel respon terkena jantung koroner (y=1) atau tidak (y=0) dan variabel prediktor usia, kadar kolesterol dan BMI (bodi mass index).

Estimasi Model Regresi Logistik Nonparametrik Aditif Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal

Data berpasangan dari 75 pasien diasumsikan mengikuti model regresi logistik nonparametrik aditif seperti pada persamaan 1 .

Fungsi

m

_j pada persamaan 1, yang tidak diketahui bentuknya diestimasi dengan pendekatan estimator polinomial lokal (Scimek, 2000). Dalam mengestimasi kurva regresi

ji j

x

m

dengan pendekatan polinomial lokal digunakan fungsi bobot

K

_h

x

_j

x

_j₀ . Fungsi bobot ini dinamakan fungsi kernel. Bentuk bobot polinomial lokal ditentukan oleh fungsi kernel K(.)(Hardle,1990) sedangkan ukuran bobotnya ditentukan oleh parameter h yang disebut bandwidth.

Didefinisikan matrik-matrik yang akan digunakan adalah :

d j jn j jn j jn d j j j j j j d j j j j j j j

x

X

0 2 0 1 0 0 2 2 0 2 1 0 2 0 1 2 0 1 1 0 1

1

1 









n

y

Y



2 1 d



0 (2)

(3)

3 dan j jd j j j

ˆ

1 0



, j = 1, 2,..., p (3)

Fungsi polinomial lokal untuk n pengamatan dengan prediktor ke-j dapat dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :

j j j j jd j j d j jn j jn j jn d j j j j j j d j j j j j j jn j j j j j

x

m

x

m

x

m















1 0 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 2 0 1 2 0 1 0 1 2 1

1

(4)

Sehingga estimator polinomial lokal pada persamaan (4) dapat ditulis sebagai:

j j j j

X

m

ˆ

(5) DidefinisikanpulaW=diag

K

_h

x

_j

x

_j₀ berukuran n x n . 0 0 2 0 1

0

j jn h j j h j j h

x

K

x

K

x

K

W









(6)

adalah matriks yang berisi fungsi bobot, dimana K(.) adalah fungsi kernel K.

Nilai

ˆ

_jpada persamaan (3) didapatkan dengan meminimumkan fungsi kuadrat terkecil terboboti

S

W

n i i 1 2

Sehingga bentuk estimator polinomial lokal pada persamaan (5) dapat ditulis sebagai

j j j j

X

m

ˆ

(

)

ˆ

dengan

ˆ

_j

[

X

T_j

WX

_j

]

1

X

T_j

WY

(7) dan

m

ˆ

_j

X

_j

X

_j

[

X

T_j

WX

_j

]

1

X

T_j

WY

(8)

Selanjutnya dilakukan estimasi fungsi penghalus untuk masing-masing prediktor secara aditif dengan menggunakan metode likelihood estimation .

Secara lengkap bentuk estimator model regresi logistik nonparametrik aditif berdasarkan estimator polinomial lokal adalah :

(4)

4 p j j ji i i

_m

_x

1

)

(

ˆ

1 ˆ

log

= p j p j k k k T j j T j j

X

BX

X

B

Z

m

X

1 1

₍

₎

)

(

(9)

Dengan B didefinisikan sebagai :

n n

B

1

0

1

0

1

2 2 1 1









dan

Z merupakan variabel adjusted dependent yaitu Z =

p j j j

y

B

X

m

1 1

₍

₎

)

(

Sedangkan estimasi

m

_j

(

X

_j

)

dilakukan dengan metode local scoring (Hastie dan Tibshirani, 1990).

Data Nilai Awal Masing-Masing Prediktor

Langkah awal yang dilakukan untuk mendapatkan model regresi logistik nonparametrik aditif berdasarkan estimator polinomial lokal adalah menentukan nilai awal fungsi penghalus untuk masing-masing variabel prediktor yang akan digunakan pada algoritma local scoring. Untuk mendapatkan nilai awal yang optimal maka harus didapatkan pula orde polinomial, x0, dan parameter penghalus optimal dengan kriteria

GCV (Eubank, 1988).

a. Untuk Prediktor Usia

Berdasarkan hasil output S-Plus maka diperoleh nilai GCV minimum = 0.1372664 pada orde

d

₁ = 1, x0 = 43 dan parameter penghalus

h

₁ = 20.5. Nilai estimator

ˆ

₁ adalah

sebagai berikut :

0.01000586

0.1518961

ˆ

₁

dengan demikian, fungsi nilai awal untuk variabel prediktor usia terhadap terjadinya serangan jantung koroner dapat dituliskan sebagai berikut :

)

(

ˆ

₁

X

₁

m

= 0.1518961 + 0.01000586(

X

₁- 43) = -0.2783559 + 0.01000586

X

₁ b. Untuk Prediktor Kolesterol

(5)

5

Berdasarkan hasil output S-Plus maka diperoleh nilai GCV minimum = 0.143881 pada orde

d

₂ = 1, x0 = 283 dan parameter penghalus

h

₂ = 50.5. Nilai estimator

ˆ

₂

adalah sebagai berikut :

2

ˆ

001516451

.

0 1306645

.

0

dengan demikian, fungsi nilai awal untuk variabel prediktor kolesterol terhadap terjadinya serangan jantung koroner dapat dituliskan sebagai berikut :

)

(

ˆ

₂

X

₂

m

= 0.1306645 + 0.001516451(X2- 283) = -0.2984911 + 0.001516451X2 c. Untuk Prediktor BMI

Berdasarkan hasil output S-Plus maka diperoleh nilai GCV minimum = 0.1372313 pada orde

d

₃ = 1, x0 = 25.89 dan parameter penghalus

h

3 = 5.025. Nilai estimator

ˆ

3

adalah sebagai berikut :

3

ˆ

=

03253524

.

0 1327004

.

0

dengan demikian, fungsi nilai awal untuk variabel prediktor BMI terhadap terjadinya serangan jantung koroner dapat dituliskan sebagai berikut :

)

(

ˆ

₃

X

₃

m

= 0.1327004 + 0.03253524(

X

₃- 25.89) = -0.7096369 + 0.03253524

X

₃

Untuk mendapatkan model logistik yang menggambarkan hubungan antara variabel respon Y (terjadi atau tidak terjadinya serangan jantung koroner) dengan variabel prediktor usia

X

₁ , kolesterol

X

₂ , dan BMI

X

₃ dilakukan melalui iterasi menggunakan algoritma local scoring dengan software S-Plus 2000. Berdasarkan hasil iterasi program dengan algoritma local scoring diperoleh nilai MSE = 0.1112123 dengan estimasi nilai parameternya sebagai berikut :

1

ˆ

_{= [-2.43936394 0.07762493]}T 2

ˆ

_{= [-0.179183667 0.008716451]}T 3

ˆ

_{= [-0.2063204 0.2198283]}T

Estimasi model regresi logistiknya dapat dituliskan sebagi berikut :

)

1 (

Y

X

P

3 1 3 1 ) ( ˆ ) ( ˆ

1 ˆ

j j ji j j ji x m x m i

e

(6)

6 dengan

)

2198

.

0 0087

.

0 0776

.

0

13.935 -exp(

))

89 .

25 (

2198

.

0 2063

.

0 )

283 (

0087

.

0 1792

.

0 )

43 (

0776

.

0 4393

.

2 exp(

)

(

ˆ

exp(

3 2 1 3 2 1 3 1

X

x

m

j ji j Kesimpulan

Berdasarkan model diatas, semakin bertambah usia, kolesterol, dan BMI akan semakin meningkatkan peluang terjadinya serangan jantung koroner. Dari model dapat dilihat pula bahwa variabel yang dominan adalah variabel BMI (X3), hal ini dikarenakan variabel BMI memiliki nilai koefisien yang terbesar, yaitu 0.2198. Model diatas dapat diinterpretasikan untuk contoh kasus seseorang yang berusia 63 tahun dengan kolesterol 420 mg/dl dan BMI 31.37 kg/m2 , maka perbandingan antara peluang terjadi serangan jantung koroner dan peluang tidak terjadi serangan jantung koroner sebesar

6.186981

))

37 .

31 (

2198283

.

0 )

420 (

008716451

.

0 )

63 (

07762493

.

0 93534625

.

13 exp(

1

Sehingga peluang terjadinya serangan jantung koroner ( ) pada orang tersebut sebesar

86086

.

0

.

Daftar Pustaka

Dixon, J.,W. And Massey, J.,F., 1979, Pengantar Analisis Statistika, Edisi keempat, Gajah Mada University Press, Yogyakarta

Eubank, R.M., 1988, Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Marcel Dekker, New York.

Fan, J. and Gijbels, I., 1996, Local Polynomial Modelling and Its Application, Chapman & Hall, London.

Hastie, T. J. and Tibshirani, R. J., 1990, Generalized Additive Models, Chapman & Hall, London.

Scimek, M., 2000, Smoothing and Regression Approaches Computation and Application,