ESTIMASI MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIVARIAT BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL ORDE DUA
SKRIPSI
DYAH WIDIANTINI
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
ESTIMASI MODEL REGRESI NONPARAMETRIK
MULTIVARIAT BERDASARKAN
ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL ORDE DUA
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga
Disetujui Oleh :
Pembimbing I,
Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001
Pembimbing II,
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Orde Dua Penyusun : Dyah Widiantini
NIM : 080810540
Tanggal Ujian : 18 Juni 2012
Disetujui oleh :
Pembimbing I,
Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001
Pembimbing II,
Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001
Mengetahui :
Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji hanya untuk Allah Tuhan semesta alam, atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tak terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul ”Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Orde Dua”.
Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Allah SWT, yang telah banyak memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada
penulis.
2. Kedua orang tua dan adik-adik penulis, yang telah memberikan dukungan, kasih, dan kepercayaan yang begitu besar.
3. Dr. Miswanto M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak membantu dengan arahan-arahannya.
4. Dra. Utami Dyah P, M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga, yang telah banyak memberikan arahan dan saran demi kesuksesan penulis.
5. Drs. Suliyanto, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah memberikan banyak arahan, masukan, perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai harganya.
6. Drs. Eko Tjahjono, M.Si. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan banyak arahan, masukan, waktu, tenaga dan pikiran yang sangat bemanfaat. 7. Toha Saifudin, S.Si, M.Si selaku dosen penguji I dan Dr. Fatmawati, M.Si selaku
dosen penguji II yang telah banyak memberikan saran dan masukan agar penulisan skripsi ini dapat lebih baik lagi.
8. Seluruh dosen Matematika Universitas Airlangga, terima kasih untuk segala ilmu yang diberikan.
9. Keluarga besar UPTD Ponsos Kalijudan, khususnya kepada Ibu Hj. Rosalia Endang Setyawati selaku kepala asrama, terima kasih atas doa, bimbingan, dan nasehatnya selama ini. Juga teman-teman asrama putra dan putri angkatan 2008, 2009, dan 2011, khususnya teman sekamarku, Titi, Widya, dan Silvi. Aku akan selalu merindukan kebersamaan dengan kalian selama 4 tahun terakhir ini. Semoga suatu saat nanti kita bisa reuni bersama...!!!
10.Abang, yang telah setia menemani dan banyak memberikan motivasi serta saran yang membangun, sehingga penulis bisa belajar banyak hal darinya.
12.Teman-teman Matematika 2008, juga untuk kakak-kakak 2007 dan adik-adik di 2009, terima kasih untuk segala bantuannya.
13.Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun terus penulis harapkan agar skripsi ini dapat lebih baik lagi.
Surabaya, Juli 2012 Penyusun
Dyah Widiantini, 2012. Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Orde Dua. Skripsi ini dibawah bimbingan Drs. Suliyanto, M.Si dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si., Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya
ABSTRAK
Tujuan penulisan skripsi ini membahas estimasi model regresi nonparametrik multivariat menggunakan estimator polinomial lokal orde dua. Estimasi model regresi nonparametrik multivariat diperoleh dalam bentuk eksplisit yang merupakan fungsi dari bandwidth dan fixed point arbitrary , sehingga estimasinya dilakukan dengan memilih bandwidth optimal yang meminimumkan Generalized Cross Validation (GCV). Setelah estimasi model regresi nonparametrik multivariat diperoleh, selanjutnya dibahas estimasi selang kepercayaan untuk rata-rata estimasi model regresi nonparametrik multivariat.
Data yang digunakan dalam penerapan model regresi nonparametrik multivariat adalah data berat badan balita pada di Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 sebanyak 30 pengamatan dengan variabel respon adalah berat badan balita dalam satuan kilogram dan kedua variabel prediktornya adalah tinggi badan balita dalam satuan meter dan lingkar kepala balita dalam satuan meter. Hasil penerapan model regresi nonparametrik multivariat pada data berat badan balita dengan selang kepercayaan diperoleh estimasi bagi rata-rata berat badan balita pada pengamatan ke-1 adalah , pada pengamatan ke-2 sebesar , sampai pada pengamatan ke-30 yaitu sebesar dengan nilai bandwidth optimal untuk variabel prediktor sebesar dan variabel prediktor sebesar . Untuk kesesuaian hasil estimasi model regresi nonparametrik multivariat diperoleh nilai dan eror random
Kata Kunci: Regresi nonparametrik multivariat, Estimator polinomial lokal
Dyah Widiantini, 2012. The Estimation of Multivariate Nonparametric Regression Model based on Second Order Local Polynomial Estimator. This Skripsi is under adviced by Drs. Suliyanto, M.Si and Drs. Eko Tjahjono, M.Si., Mathematics Department, Faculty of Sains and Technology, Airlangga University, Surabaya
ABSTRACT
The purpose of this Skripsi is to estimate multivariate nonparametric regression model based on second order local polynomial estimator. Estimation of multivariate nonparametric regression model is obtained in explicit form from function bandwidth and fixed point arbitrary , so that estimation can be done with choose optimal bandwidth which minimized Generalized Cross Validation (GCV). Furtehermore, we explain the confidence level for mean of estimation of multivariate nonparametric regression model.
In this case, we used data of baby’s weight in 2006 at Rumah Sakit Haji Surabaya. There are thirty observations where the response variable is weight of baby in kilogram and predictor variables are baby’s height in meter and head circumference of baby in meter. The results of multivariate nonparametric regression model in data of baby’s weight with confidence level 95% for mean of estimation baby’s weight on first observation is , on second observation is , then on thirty observation is with an optimal bandwidth value for is and is . For compatibility of the result multivariate nonparametric regression is obtained and error random
.
Key Words : Multivariate nonparametric regression, Second order local
DAFTAR ISI
2.4 Fungsi Kernel Multivariat ... 10
2.5 Pemilihan Bandwidth Optimal ... 11
2.6 Deret Taylor Multivariat ... 12
2.8 Estimator Polinomial Lokal Orde Dua ... 12
2.9 Distribusi Normal ... 13
2.10 Software S-PLUS 2000 ... 18
2.11 Software Minitab ... 21
2.12 Pertumbuhan Balita ... 21
BAB III METODE PENELITIAN ... 22
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 26
4.1 Estimasi Titik pada Model Regresi Nonparametrik Multivariat ... 26
4.2 Selang Kepercayaan Estimator Model Regresi Nonparametrik Multivariat ... 34
4.3 Penerapan pada Data ... 38
4.3.1 Data ... 38
4.3.2 Analisis Data ... 38
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 42
5.1 Kesimpulan ... 42
5.2 Saran ... 43
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
4.1 Plot data awal tinggi badan balita terhadap berat badan balita 39 29
4.2 Plot data awal lingkar kepala balita terhadap berat badan balita 39
4.3 Plot selang kepercayaan bagi rata-rata berat badan balita 40
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul
1 Data berat badan balita di Rumah Sakit Haji Surabaya Tahun 2006
2 Program estimasi model regresi nonparametrik multivariat
3 Output program estimasi model regresi nonparametrik multivariat
a Bandwidth optimal untuk variabel respon berat badan balita dengan
variabel prediktor tinggi badan balita dan variabel prediktor lingkar
kepala balita
b Estimasi untuk variabel respon berat badan balita dengan variabel
prediktor tinggi badan balita dan variabel prediktor lingkar kepala
balita pada tiap pengamatan
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Analisis regresi digunakan untuk menelaah hubungan antara dua variabel
atau lebih, terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum
diketahui dengan sempurna, atau untuk mengetahui pengaruh dari beberapa
variabel prediktor terhadap variabel respon dalam suatu fenomena yang kompleks.
Dalam analisis regresi terdapat dua macam pendekatan, yaitu pendekatan
parametrik dan pendekatan nonparametrik. Pendekatan parametrik digunakan
ketika sudah ada asumsi terhadap bentuk fungsi regresi berdasarkan teori atau
pengalaman masa lalu. Sedangkan pendekatan nonparametrik tidak terikat oleh
asumsi bentuk fungsi regresi tertentu. Dalam kasus nyata hubungan antara
variabel respon dengan variabel prediktor seringkali tidak diketahui bentuk fungsi
regresinya. Oleh karena itu pendekatan regresi nonparametrik banyak sekali
digunakan. Estimasi regresi nonparametrik dilakukan berdasarkan data
pengamatan dengan teknik smoothing tertentu. Ada beberapa teknik smoothing
yang digunakan dalam regresi nonparametrik yang memuat satu variabel
prediktor, diantaranya adalah Histogram, Estimator Kernel, Estimator Spline,
Estimator Penalized Spline, Estimator K-NN, Estimator Deret Fourier, Estimator
Wavelet dan Deret Orthogonal (Eubank, 1988).
Model regresi nonparametrik yang memuat lebih dari satu variabel prediktor
, dengan adalah variabel respon pada
pengamatan ke , adalah fungsi regresi multivariat pada pengamatan ke
yang diasumsikan kontinu dan tidak diketahui bentuknya dan eror random
.
Estimator polinomial lokal merupakan estimator yang didasarkan pada
prinsip meminimumkan jumlah kuadrat eror dengan pembobot fungsi kernel,
sedangkan ukuran bobot ditentukan oleh parameter yang disebut bandwidth.
Polinomial lokal merupakan suatu pendekatan yang fleksibel dan efisien dalam
metode statistik (Zhang and Chan, 2010). Estimator polinomial lokal orde satu
dikenal sebagai estimator lokal linier, sedangkan estimator polinomial lokal dapat
digunakan untuk lebih dari satu orde, sesuai yang diinginkan. Orde inilah yang
akan menjadi derajat polinomial lokal yang sesuai bagi fungsi regresinya (Fan and
Gijbelis, 1996).
Berdasarkan uraian tersebut dalam skripsi ini dibahas estimasi model regresi
nonparametrik multivariat menggunakan estimator polinomial lokal orde dua,
yang bersumber dari buku “Nonparametric and Semiparametric Models”, dan
ditambah aplikasinya pada data berat balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada
tahun 2006 menggunakan software S-PLUS 2000.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat
2. Bagaimana menerapkan model regresi nonparametrik multivariat
berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua pada data berat badan
balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 dengan
menggunakan program dalam software Minitab dan S-PLUS 2000 ?
1.3 Tujuan
1. Mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan
estimator polinomial lokal orde dua.
2. Menerapkan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan
estimator polinomial lokal orde dua terhadap data berat badan balita
pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 dengan
menggunakan program dalam software Minitab dan S-PLUS 2000.
1.4 Manfaat
1. Menambah wawasan mengenai model regresi nonparametrik
multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua.
2. Mengetahui aplikasi model regresi nonparametrik multivariat pada data
riil, khususnya penerapan model regresi nonparametrik multivariat
berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua pada data berat badan
balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006
1.5 Batasan Masalah
Mengacu pada rumusan masalah di atas, maka ruang lingkup dalam
penulisan skripsi ini dibatasi pada penggunaan model regresi nonparametrik
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Matriks
Matriks adalah susunan bilangan real dalam bentuk persegi panjang yang
mempunyai baris dan kolom dan dinotasikan :
elemen-elemen diagonal utama yang dinotasikan sebagai berikut
Definisi 2.2 Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen selain diagonal utama
bernilai nol yang dinotasikan dalam bentuk :
Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut :
1. Jika adalah transpose dari matriks , maka
3. Jika adalah matriks nonsingular, maka adalah matriks nonsingular, dan
(Myers and Milton, 1991)
2.1.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.3
Diberikan matriks berukuran dan sebuah vektor tak nol berukuran
. Nilai eigen dari adalah bilangan real sedemikian sehingga .
Vektor yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen yang bersesuaian
dengan .
(Myers and Milton , 1991)
Nilai-nilai eigen dari matriks diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
.
2.1.3 Matriks Definit Positif Definisi 2.4
Misalkan matrik berukuran dan adalah vektor
berdimensi dari variabel real, maka disebut bentuk kuadratik
dalam dan disebut matrik dari bentuk kuadratik.
Definisi 2.5
Bentuk kuadratik dikatakan definit positif jika untuk semua
. Matrik disebut definit positif jika bentuk kuadratik yang bersesuaian
dengan matrik adalah definit positif.
(Myers and Milton , 1991)
Teorema 2.1
Matriks simetri adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari
matriks bernilai positif.
(Rencher, 2000) Bukti :
Dengan menggunakan definisi 2.3 untuk setiap nilai eigen dari yang
bersesuaian dengan vektor eigen memenuhi persamaan . Dengan
mengalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan diperoleh :
atau
Menurut definisi 2.5 , karena definit positif maka bentuk kuadratik
definit positif, sehingga Untuk setiap maka
Akibatnya
Misalkan nilai eigen dari yang bersesuaian dengan vektor eigen
definisi 2.5 maka bentuk kuadratik definit positif . Akibatnya menurut
definisi 2.5 matriks definit positif.
2.1.4 Matriks Kalkulus Definisi 2.6
Misalkan adalah vektor, adalah skalar, dan
fungsi dari vektor . Maka turunan dari adalah :
dan turunan terhadap adalah :
Turunan kedua dari terhadap adalah :
Misalkan terdapat vektor dan matriks simetris , maka :
2.2 Bandwidth
Bandwidth atau parameter penghalus yang biasanya dinotasikan dengan ,
merupakan pengontrol keseimbangan antara kemulusan fungsi dan kesesuaian
fungsi terhadap data. Jika besar maka estimasi fungsi yang diperoleh akan
semakin mulus, sedangkan jika kecil maka estimasi fungsi yang diperoleh akan
semakin kasar atau fungsi-fungsi menjadi semakin fluktuatif. Oleh karena itu
dalam memilih nilai optimal sangat penting agar estimator yang diperoleh juga
optimal.
(Eubank, 1988)
2.3 Fungsi Kernel Univariat
Sebuah fungsi dikatakan sebagai fungsi kernel jika memenuhi sifat :
(i) untuk semua
(ii) , simetri disekitar
(iii)
(iv)
(v)
Beberapa jenis fungsi kernel univariat adalah :
a. Kernel Uniform :
b. Kernel Segitiga :
c. Kernel Epairichnikov :
e. Kernel Triweight :
f. Kernel Cosinus :
g. Kernel Gaussian :
Secara umum fungsi kernel dengan parameter penghalus atau bandwidth
(h) dinotasikan sebagai berikut :
(2.1)
(Hardle, 1990)
2.4 Fungsi Kernel Multivariat
Misalkan menyatakan banyaknya pengamatan untuk setiap variabel
random maka pengamatan ke-i dari setiap d variabel random dinyatakan
dalam vektor :
(2.2)
Fungsi kernel untuk nilai bandwidth yang berbeda dapat dinotasikan
sebagai berikut :
(2.3)
dengan , maka berakibat
.
Fungsi kernel multivariat dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.3),
(2.4)
Persamaan (2.4) di atas merupakan fungsi kernel multivariat.
(Hardle et.al, 2004)
2.5 Pemilihan Bandwidth Optimal
Suatu kriteria untuk bandwidth akan dibatasi pada kelas estimator linier.
Ini berarti untuk setiap ada matriks berukuran sehingga:
(2.5)
Salah satu metode untuk mendapatkan optimal adalah dengan menggunakan
metode Generalized Cross Validation (GCV) yang dirumuskan sebagai berikut :
(2.6)
dengan
.
Nilai optimal diperoleh dari h yang meminimumkan nilai GCV.
2.6 Deret Taylor Multivariat
Misalkan adalah ruang vektor berdimensi . Jika dan ,
dan fungsi mendekati titik , maka :
(2.7)
(Casper, 1965)
2.7 Model Regresi Nonparametrik Multivariat
Model regresi nonparametrik multivariat dinotasikan sebagai berikut :
(2.8)
dengan adalah variabel respon, adalah fungsi regresi
nonparametrik multivariat kontinu yang tidak diketahui bentuknya dengan
dan eror random .
(Zhang and Chan, 2010)
2.8 Estimator Polinomial Lokal Orde Dua
Suatu fungsi dikatakan memiliki lokal pada suatu titik dalam jika
fungsi tersebut memiliki minimum lokal, yaitu jika terdapat persekitaran dari
maksimum lokal, yaitu jika terdapat persekitaran dari sedemikian hingga
untuk semua persekitaran dari .
Dalam model regresi nonparametrik multivariat (2.8), fungsi akan
diestimasi dengan estimator polinomial lokal orde dua. Fungsi dapat
dihampiri dengan deret Taylor multivariat orde dua di sekitar
sebagai berikut:
(2.9)
Substitusikan (2.9) ke (2.8) maka diperoleh model regresi nonparametrik
multivariat pada pengamatan ke sebagai berikut :
Persamaan (2.10) dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai berikut :
Estimator polinomial lokal orde dua adalah nilai yang meminimumkan
fungsi :
(2.10)
dengan adalah fungsi kernel multivariat.
(Hardle et.al, 2004)
2.9 Distribusi Normal
Variabel random berdistribusi normal dengan mean dan varians jika
probability density function (pdf) nya berbentuk :
dan ditulis .
Misalkan variabel random atau , maka diperoleh fungsi
Jacobian . Akibatnya variabel random mempunyai pdf sebagai
berikut :
Ini menunjukkan bahwa variabel random berdistribusi normal baku dan ditulis
.
(Hogg, et. al., 2004) Teorema 2.2
Moment Generating Function (mgf) dari variabel random adalah
Bukti :
■
Teorema 2.3
Jika variabel random berdistribusi normal dengan mean dan varians , maka
mgf dari adalah
Bukti :
Misalkan , maka sehingga mgf dari adalah
(dari teorema 2.2)
Teorema 2.4
Jika variabel random independen ; maka variabel
random
Bukti :
Menurut teorema 2.3 diperoleh mgf dari adalah
Sehingga mgf dari adalah :
Akibatnya variabel random
Teorema 2.5 (Teorema Limit Pusat)
Jika sampel random dari distribusi normal dengan mean dan
varian , maka variabel random
akan berdistribusi normal baku dengan mean dan varian .
Bukti :
Diasumsikan mgf ada untuk , sehingga fungsi
juga ada untuk . Fungsi
merupakan mgf dari , hal itu menunjukkan bahwa
dan . Dengan menggunakan rumus
Taylor untuk di sekitar terdapat sebuah bilangan antara dan
sedemikian sehingga
Selanjutnya dihitung mgf dari adalah
,
Substitusikan dengan , sehingga diperoleh :
dengan nilai antara dan dan . Akibatnya
diperoleh
Karena kontinu pada dan untuk , maka
sehingga
untuk semua bernilai real. Menurut (2.14) membuktikan bahwa variabel random
mempunyai limit distribusi normal baku. ■
(Hogg, et. al., 2004)
2.10 Software S-PLUS 2000
S-PLUS adalah suatu paket program yang memungkinkan membuat
program sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia banyak program internal
yang siap digunakan. Kelebihan dari paket program ini adalah baik program
internal maupun program yang pernah dibuat dapat digunakan sebagai sub
program dari program yang akan dibuat. Beberapa perintah internal yang
digunakan dalam S-PLUS adalah sebagai berikut :
a. function( )
merupakan perintah untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan dalam
program.
Bentuknya : function(...)
b. length( )
merupakan perintah untuk menunjukkan banyaknya data.
Bentuknya : length(...)
c. rep(a,b)
merupakan perintah untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a
sebanyak b.
d. matrix(a,b,c)
merupakan perintah untuk membentuk sebuah matriks yang anggotanya a
dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c.
Bentuknya : matrix(...,...,...)
e. cat( )
merupakan perintah untuk menuliskan argumentasi dalam bentuk karakter dan
kemudian mencetak hasil atau file yang telah ditetapkan.
Bentuknya : cat(“....”)
f. for( )
merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan berulang kali
sesuai dengan kondisi yang telah ditentukan.
Bentuknya : for(kondisi){pernyataan}
g. sum( )
merupakan perintah untuk menjumlahkan semua bilangan anggota dari suatu
vektor.
Bentuknya : sum( ... )
h. if-else
merupakan perintah untuk menjalankan pernyataan pertama jika kondisi benar
dan pernyataan kedua akan dieksekusi jika kondisi bernilai salah.
Bentuknya : if(kondisi)
{
pernyataan pertama
else pernyataan kedua
i. while
merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan terus menerus
selama kondisi ungkapan logika pada while berlaku benar.
Bentuknya : while(logika)
{
pernyataan
}
j. rbind
perintah untuk menggabungkan beberapa vektor baris ke dalam satu bentuk
matriks.
Bentuknya adalah: rbind(….)
k. cbind
perintah untuk menggabungkan beberapa vektor kolom ke dalam satu bentuk
matriks.
Bentuknya adalah : cbind(…..)
l. repeat
merupakan perintah untuk mengulangi eksekusi pernyataan secara terus
menerus, sehingga diperlukan pernyataan lain untuk menghentikan perulangan
eksekusi.
Bentuknya : repeat
{
if(pernyataan kedua) break }
(Everiit, 1994)
2.11 Software Minitab
Minitab merupakan salah satu software dalam ilmu statistik yang banyak
digunakan. Minitab pertama kali ditemukan pada tahun 1972, yang pada saat itu
masih bernama sistem “Omnitab”. Minitab adalah software yang mudah dipelajari
dan memuat banyak aplikasi dalam statistik. Selain itu, software ini juga dapat
digunakan pada berbagai macam tipe komputer, seperti komputer mikro,
komputer mini, dan sebagainya.
Beberapa command pada Minitab antara lain NAME, TINTERVAL, TTEST,
TWOT, ONEWAY, STOP, dan NOTE.
(Berenson et.al, 1988)
2.12 Pertumbuhan Balita
Di masyarakat, cara pengukuran status gizi yang paling sering digunakan
adalah antropometri gizi. Dewasa ini dalam program gizi masyarakat, penentuan
status gizi balita pun menggunakan metode antropometri sebagai cara untuk
menilai status gizi. Pengukuran antropometri ada dua tipe yaitu pertumbuhan dan
ukuran komposisi tubuh. Penilaian pertumbuhan merupakan komponen esensial
dalam surveilan kesehatan anak karena hampir setiap masalah yang berkaitan
dengan fisiologi, interpersonal, dan domain sosial dapat memberikan efek yang
Antropometri sebagai indikator status gizi dapat dilakukan dengan
mengukur beberapa parameter. Parameter adalah ukuran tunggal dari tubuh
manusia, antara lain umur, berat badan, tinggi badan, lingkar kepala, lingkar
lengan, lingkar dada, dan tebal lemak bawah kulit.
Ukuran komposisi tubuh balita yang paling sering diukur di posyandu
adalah berat badan. Ada beberapa faktor yang mempengaruhi berat badan balita,
antara lain umur, tinggi badan, dan lingkar kepala. Pertumbuhan balita dikatakan
baik jika berat badannya seimbang dengan umur, tinggi badan, dan lingkar
kepalanya.
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang terkait dengan tujuan penulisan ini adalah sebagai
berikut :
1. Mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan
estimator polinomial lokal orde dua melalui langkah-langkah berikut :
Langkah 1.
Mengasumsikan sebagai fungsi respon sebanyak pengamatan dan
dengan sebagai variabel prediktor
sebanyak , memenuhi model regresi nonparametrik multivariat
, dengan adalah fungsi regresi
multivariat yang tidak diketahui bentuknya.
Langkah 2.
Melakukan hampiran terhadap fungsi menggunakan pendekatan
polinomial lokal orde dua di sekitar , yaitu sebagai berikut :
dengan
Langkah 3.
Menyatakan elemen-elemen dari vektor sebagai berikut :
dengan,
Langkah 4.
Meminimumkan fungsi terhadap vektor parameter :
dengan
Langkah 5.
Mendapatkan estimator bagi vektor parameter .
Langkah 6.
Mendapatkan estimasi model regresi nonparametrik multivariat, yaitu
Langkah 7.
Langkah 8.
Memperoleh estimasi bagi , yaitu :
Kemudian menghitung nilai , sehingga estimasi bagi
adalah
Langkah 9.
Menentukan distribusi dari variabel random sesuai dengan yang tertera pada
persamaan (2.20) :
Langkah 10.
Menentukan nilai .
Langkah 11.
Mendapatkan selang kepercayaan bagi model regresi nonparametrik
multivariat pada pengamatan ke- , yaitu :
2. Menerapkan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator
polinomial lokal orde dua terhadap data berat badan balita pada Rumah
Langkah 1.
Menginputkan data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya
pada tahun 2006 yang memenuhi asumsi model regresi nonparametrik
multivariat dengan berat badan balita sebagai variabel respon, tinggi badan
balita sebagai variabel prediktor pertama dan lingkar kepala balita sebagai
variabel prediktor kedua.
Langkah 2.
Membuat scatterplot antara variabel respon dengan setiap variabel
prediktor.
Langkah 3.
Membuat program dalam software S-PLUS 2000.
Langkah 4.
Mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat pada data berat
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Estimasi Titik pada Model Regresi Nonparametrik Multivariat
Diasumsikan data pengamatan berpasangan dengan
adalah variabel respon ke i dan adalah variabel
prediktor multivariat ke-i memenuhi model regresi nonparametrik multivariat :
(4.1)
dengan adalah fungsi regresi nonparametrik multivariat yang tidak
diketahui bentuknya dan diasumsikan eror identik independen normal dengan
mean 0 dan varians .
Model regresi (4.1) dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai berikut :
(4.2)
dengan
,
dan vektor eror random .
Vektor pada persamaan (4.2) tidak diketahui bentuknya akan diestimasi
dengan estimator polinomial lokal orde dua sebagai berikut :
(4.3)
Elemen-elemen dari vektor pada (4.3) dapat dijelaskan sebagai berikut :
Sehingga dari (4.3) diperoleh bentuk :
(4.6)
Persamaan (4.6) dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan sebagai
berikut :
(4.7)
Sistem persamaan (4.7) dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai
berikut :
(4.8)
dengan
Estimasi model regresi nonparametrik multivariat pada persamaan (4.8)
dengan menggunakan estimator polinomial lokal orde dua dengan pembobot
fungsi kernel diperoleh dengan meminimumkan fungsi :
(4.9)
dengan merupakan fungsi kernel multivariat berdimensi-d dengan
bandwidth yang dinyatakan sebagai berikut :
Jika dinyatakan dalam notasi matriks, persamaan (4.9) akan menjadi sebagai
berikut :
(4.11)
dengan
Persamaan (4.11) jika dijabarkan sebagai berikut :
(4.12)
Langkah untuk mendapatkan fungsi pada (4.12) mencapai minimum adalah
. Berdasarkan Teorema 2.2, maka diperoleh :
Karena , maka :
Dari persamaan (4.13) diperoleh :
bahwa nilai positif, dari sini diperoleh bahwa matriks adalah
definit positif. Karena adalah bentuk kuadratik, dan ,
maka diperoleh . Maka, matriks
definit
positif.
Setelah memperoleh pada persamaan (4.14), maka substitusikan ke
dalam persamaan (4.8). Maka diperoleh estimasi model regresi nonparametrik
multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua adalah :
(4.15)
dengan
Sehingga, estimator polinomial lokal orde dua untuk pengamatan ke-i
adalah :
(4.16)
dengan adalah baris ke- dari matriks .
4.2 Selang Kepercayaan Estimator Model Regresi Nonparametrik Multivariat
Fungsi pada persamaan (4.16) merupakan estimasi model regresi
nonparametrik multivariat pada pengamatan ke- berdasarkan estimator
polinomial lokal orde dua. Selanjutnya akan ditentukan selang kepercayaan bagi
estimator model regresi nonparametrik multivariat pada pengamatan ke- yang
Fungsi akan diestimasi dengan terlebih dahulu vektor dari eror
random pada persamaan (4.8) diestimasi oleh :
(4.17)
Diperoleh estimasi bagi adalah :
(4.18)
Selanjutnya akan dihitung nilai varians dari , berdasarkan teorema 2.3
diperoleh :
(4.19)
Estimasi bagi pada persamaan (4.19) adalah :
(4.20)
Dari persamaan (4.2) diketahui bahwa vektor random ).
Maka, , sehingga kombinasi linier dari persamaan (4.16)
diperoleh Akibatnya variabel
random –
. Selang kepercayaan )
100% bagi adalah sebagai berikut :
Untuk mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan
estimator polinomial lokal orde dua pada persamaan (4.16) dan menentukan
selang kepercayaan pada persamaan (4.21), maka algoritma yang digunakan
adalah sebagai berikut :
Langkah 1.
Menginputkan variabel respon Y dan variabel prediktor X dari persamaan (4.8).
Langkah 2.
Menentukan fungsi Kernel yang akan digunakan yaitu fungsi Kernel Gaussian.
Langkah 3.
Menentukan nilai bandwidth (h) awal yang berbeda untuk masing-masing variabel
prediktor.
Langkah 4.
Menghitung nilai yaitu
Langkah 5.
Menghitung pada persamaan (4.16).
Langkah 6.
Menghitung
Langkah 7.
Menghitung GCV pada persamaan (2.6).
Langkah 8.
Mendapatkan nilai bandwidth (h) optimal untuk masing-masing variabel prediktor
Langkah 9.
Mendapatkan estimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan
estimator polinomial lokal dengan menentukan nilai .
Langkah 10.
Mendapatkan estimasi pada persamaan (4.17).
Langkah 11.
Menghitung estimasi bagi pada persamaan (4.18).
Langkah 12.
Menghitung pada persamaan (4.19).
Langkah 13.
Mendapatkan estimasi bagi yaitu pada
persamaan (4.20).
Langkah 14.
Menghitung nilai statistik uji
Langkah 15.
Mendapatkan selang kepercayaan ) 100% bagi pada
4.3 Penerapan pada Data 4.3.1 Data
Data yang digunakan untuk penerapan model regresi nonparametrik
multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua ini adalah data
sekunder yang diambil dari RSU Haji Surabaya pada tahun 2006 sebanyak 30
pengamatan, yang diambil dari Hidayah (2007) (lihat lampiran 1). Data tersebut
merupakan data tentang berat badan balita berdasarkan tinggi badan balita dan
lingkar kepala balita. Variabel respon pada data adalah berat badan balita (dalam
satuan kilogram), sedangkan sebagai variabel prediktor pertama adalah tinggi
badan balita (dalam satuan meter), dan variabel prediktor kedua adalah lingkar
kepala balita (dalam satuan meter).
Untuk mendapatkan estimator model regresi nonparametrik multivariat yang
menunjukkan seberapa besar pengaruh tinggi badan balita dan lingkar kepala
balita terhadap berat badan balita, langkah yang dilakukan adalah menentukan
model hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor secara serentak
dengan menggunakan pendekatan estimator polinomial lokal orde dua.
4.3.2 Analisis Data
Gambaran awal tentang data dapat dilakukan dengan membuat scatterplot
antara berat badan balita dengan tinggi badan balita dan berat badan balita dengan
Gambar 4.1 Plot data awal tinggi badan balita terhadap berat badan balita
Gambar 4.2 Plot data awal lingkar kepala balitaterhadap berat badan balita
Nilai bandwidth (h) optimal untuk tiap prediktor pada masing-masing
pengamatan ditentukan oleh kriteria GCV dengan menggunakan program pada
software S-Plus 2000 (lihat Lampiran 2). Nilai bandwidth (h) optimal pada untuk
lingkar kepala balita sebesar , diperoleh nilai minimum GCV sebesar
(lihat Lampiran 3a).
Nilai bandwidth (h) optimal akan digunakan untuk mencari nilai
pada tiap pengamatan. Dengan menggunakan program pada software S-Plus 2000
(pada Lampiran 2), diperoleh nilai estimasi model regresi nonparametrik
multivariat pada setiap pengamatan (lihat Lampiran 3b) dengan Mean Square
Error (MSE) sebesar .
Selanjutnya, dilakukan uji normalitas pada eror dengan menggunakan uji
One sample Kolmogorov-Smirnov pada software S-PLUS 2000. Berdasarkan uji
tersebut, diperoleh nilai p-value sebesar 0.5 (lihat lampiran 3c). Dengan nilai
sebesar 5%, maka dapat disimpulkan bahwa eror berdistribusi normal dengan
mean sebesar dan varian sebesar .
Plot selang kepercayaan 95% bagi rata-rata berat badan balita akan
digambarkan melalui software Minitab 14 sebagai berikut :
Berdasarkan Lampiran 3b, diperoleh hasil estimasi selang kepercayaan 95%
bagi rata-rata berat badan balita pada pengamatan ke-1 adalah
, pada pengamatan ke-2 sebesar
, sampai pada pengamatan ke-30 yaitu sebesar
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat diambil beberapa
kesimpulan sebagai berikut :
1. Hasil estimasi model regresi nonparametrik multivariat menggunakan
estimator polinomial lokal orde dua adalah , dengan
. Selang pepercayaan
untuk rata-rata estimasi model regresi nonparametrik
multivariat adalah :
2. Penerapan data dalam model regresi nonparametrik multivariat adalah data
berat badan balita pada Rumah Sakit Haji pada tahun 2006 sebanyak 30
pengamatan dengan variabel respon adalah berat badan balita dalam
dan kedua variabel prediktornya adalah tinggi badan balita
dalam satuan meter dan lingkar kepala balita dalam satuan meter. Hasil
penerapan model regresi nonparametrik multivariat pada data berat badan
balita diperoleh diperoleh hasil estimasi selang kepercayaan 95% bagi
rata-rata berat badan balita pada pengamatan ke-1 adalah
, pada pengamatan ke-2 sebesar
sebesar , dengan bandwidth optimal untuk
variabel prediktor sebesar dan variabel prediktor sebesar .
Untuk kesesuaian hasil estimasi model regresi nonparametrik multivariat
diperoleh nilai dan eror random
5.2 Saran
Saran bagi penulis selanjutnya dapat mencari estimasi model regresi
nonparametrik multivariat dengan menggunakan estimator lain, misalnya
estimator Spline atau Penalized Spline, dengan lebih banyak variabel prediktor,
DAFTAR PUSTAKA
1. Berenson, M. L., Levine D. M., and Rindskopf, D., 1988, Applied Statistics A First Course, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
2. Eubank, R.L., 1988, Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Marcel Dekker, New York.
3. Everitt, S., 1994, A Handbook of Statistical Analysis Using S-PLUS, Chapman &Hall, London.
4. Fan, J. and Gijbels, I., 1996, Local Polynomial Modelling and Its Applications, Press, New York.
5. Casper, G., 1965, Calculus of Several Variables, Harper and Row, New York.
6. Hardle, W., 1990, Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press, New York.
7. Hardle, W., Muller, M., Sperlich, S., and Werwatz, A., 2004, Nonparametric and Semiparametric Models, Springer, New York.
8. Hidayah, S., 2007, Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multiprediktor dengan Error Lognormal berdasarkan Estimator Penalized Spline, Skripsi, Departemen Matematika, Universitas Airlangga.
9. Hogg, R.V., McKean, J.W., and Craig, A.T., 2004, Introduction to Mathematical Statistic Sixth Edition, UpperSaddle River, New Jersey.
10.Lewis, F. L., and Syrmos, V. L., 1995, Optimal Control Second Edition, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons, Inc.
11.Myers, R. H. and Milton, J. S., 1991, A First Course in The Theory of Linear Statistical Models, PWS-KENT Publishing Company, Boston.
12.Rencher, A. C., 2000, Linear Model in Statistics, Department of Statistics Brigham Young University Provo, Utah.
14.Zhang, Z. G., and Chan, S. C., 2010, On Kernel Selection of Multivariate Local Polynomial Modelling and its Application to Image Smoothing and
Lampiran 1 : Data Berat Badan Balita di Rumah Sakit Haji Surabaya Tahun
}
Lampiran 3 : Output Program Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat
1 0.6 1.55023 1 0.7 1.55023 1 0.8 1.55023 1 0.9 1.55023 1 1 1.55023 1.1 0.2 1.550224 1.1 0.3 1.550223 1.1 0.4 1.550223 1.1 0.5 1.550223 1.1 0.6 1.550224 1.1 0.7 1.550224 1.1 0.8 1.550224 1.1 0.9 1.550224 1.1 1 1.550224
h1 optimal h2 optimal GCV minimal 1.1 0.3 1.550223
$h1.opt: [1] 1.1
$h2.opt: [1] 0.3
Keterangan :
data : nama data pada data set dalam software S-Plus, yaitu data berat badan balita
b. Estimasi untuk Variabel Respon Berat Badan Balita dengan Variabel Prediktor Tinggi Badan Balita dan Variabel Prediktor Lingkar Kepala Balita pada Tiap Pengamatan
> estimasi(databalita,1.1,0.3,0.05)
Keterangan:
MSE = 0.992158139962808
c. Uji Normalitas pada Error
One sample Kolmogorov-Smirnov Test of Composite Normality
ks = 0.0506, p-value = 0.5
alternative hypothesis: True cdf is not the normal distn. with estimated parameters
sample estimates:
mean of x standard deviation of x
