Metode Numerik 1
Daftar Pustaka:
• P. L. DeVries, A First Course in Computational Physics (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994)
• W. H. Press, et. al., Numerical Recipes in Fortran 77, 2nd Ed. (Cambridge
University Press, New York, 1992)
(online / free download: http://www.nrbook.com/a/bookfpdf.php)
Imam Fachruddin
Isi
• akar fungsi
• solusi sistem persamaan linear • fitting dengan least square • interpolasi
• integrasi
Akar Fungsi
akar fungsi f(x) Contoh: 7x -6 3x2 = 3x2 +7x-6=(3x-2)(x+3) = 0 x = 2/3 dan -3 0 x 1 -x = x2 =1 x = 1 dan -1f(x) = 0
x = ?
Pada dua contoh di atas akar fungsi dapat dicari secara analitik.
Problem:
Sebuah lampu dipasang di pinggir sebuah piringan berjari-jari 10 cm. Sebuah plat bercelah sempit diletakkan di dekat piringan itu. Tepat di belakang celah itu dipasang sebuah sensor cahaya yang menghadap tegak lurus ke celah. Piringan diputar konstan 1 rad/s dan plat beserta sensor digeser lurus konstan 10 cm/s. Saat ini posisi celah dan lampu seperti pada gambar 1. Kapan sensor cahaya menerima cahaya terbanyak?
Sensor menerima cahaya terbanyak pada saat posisi lampu dan celah membentuk garis tegak lurus terhadap plat, seperti pada gambar 2.
v ω r lampu sensor x = r cos (ωt) = vt celah plat gambar 1 gambar 2
cos (t) = t
?
Grafik ini menunjukkan bahwa cos(x) = x
pada x sedikit kurang dari 0.75.
Cari secara numerik akar fungsi dari f(x) = cos(x) - x
Bisakah lebih akurat lagi? Plot cos(x) dan x:
Bisection
Prinsip: Kurung akar fungsi di antara dua batas, lalu paruh batas itu terus menerus sampai batas itu sedemikian sempit dan dengan
demikian lokasi akar fungsi diketahui dengan keakuratan tertentu. Langkah:
1. Perkirakan akar fungsi (bisa dengan cara memplot fungsi). 2. Tentukan batas awal yang
mengurung akar fungsi.
3. Belah dua daerah berisi akar fungsi itu.
4. Tentukan daerah yang berisi akar fungsi.
5. Ulangi langkah 3 dan 4 sampai dianggap cukup.
6. Tentukan akar fungsi.
akar fungsi a d ef c b Batas e, f atau nilai di tengahnya bisa dipilih sebagai akar fungsi.
• Menentukan daerah yang berisi akar fungsi: Jika z merupakan akar fungsi, maka
f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda tanda.
f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c ada akar fungsi.
f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c tidak ada akar fungsi
x z
a c b
• Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti:
Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.
kesalahan relatif semu = perkiraan sebelum - perkiraan berikut perkiraan berikut
Kesalahan
kesalahan mutlak = | perkiraan – nilai sebenarnya |
kesalahan mutlak semu = | perkiraan sebelum – perkiraan berikut | perkiraan – nilai sebenarnya
nilai sebenarnya
perkiraan sebelum - perkiraan berikut perkiraan berikut
kesalahan relatif semu = kesalahan relatif =
Dalam perhitungan numerik, nilai sebenarnya justru sering tidak diketahui, yang didapat hanya perkiraan terbaik. Karena perkiraan langkah berikut dianggap lebih akurat, yaitu lebih mendekati nilai sebenarnya, maka kesalahan yang dihitung
Newton-Raphson
Prinsip: Buat garis singgung kurva f(x) di titik di sekitar akar fungsi. Titik tempat garis singgung itu memotong garis nol ditentukan sebagai akar fungsi.
x
f(x) akar fungsi yang diperoleh
p(x) = garis singgung kurva f(x) di titik f(a) a
Diperoleh: x a c f(x) p(x)
0
p(c)
=
(a)
f'
f(a)
a
c
=
−
(a)
a)f'
(x
f(a)
p(x)
=
+
−
x a c f(x)
(a)
f'
f(a)
a
c
=
−
Langkah:1. Perkirakan akar fungsi.
2. Buat garis singgung pada titik sesuai akar fungsi yang
diperkirakan itu, lalu cari titik potongnya dengan garis nol.
3. Titik potong itu merupakan perkiraan akar fungsi baru. 4. Ulangi langkah 2 dan 3 sampai
dianggap cukup.
5. Titik potong garis nol dan garis singgung kurva yang terakhir dinyatakan sebagai akar fungsi. c a f(x) akar fungsi sebenarnya x
x f(x) x f(x) 1 2 1 2 Contoh perkiraan akar
fungsi awal yang baik
perkiraan akar fungsi
makin mendekati akar fungsi sebenarnya.
Contoh perkiraan akar fungsi awal yang buruk
perkiraan akar fungsi
makin menjauhi akar fungsi sebenarnya.
Menghitung akar fungsi dengan metode Newton-Raphson:
kesalahan relatif semu:
1 i 1 i i rel
x
x
x
+ +−
=
∆
Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu sudah mencapai / melampaui batas yang diinginkan.
(
i
0,
1,
2,
...;
x
a
)
)
(x
f'
)
f(x
x
x
0 i i i 1 i+=
−
=
=
Kecepatan Konvergensi
Pencarian akar fungsi dimulai dengan perkiraan akar fungsi yang
pertama, lalu diikuti oleh perkiraan berikutnya dan seterusnya sampai perkiraan yang terakhir, yang kemudian dinyatakan sebagai akar fungsi hasil perhitungan tersebut. Proses itu harus bersifat konvergen yaitu, selisih perkiraan sebelum dari yang setelahnya makin lama makin kecil. Setelah dianggap cukup, proses pencarian akar fungsi berhenti.
Kecepatan konvergensi sebuah proses yaitu, kecepatan proses itu untuk sampai pada hasil akhir.
ε
x
x
...
x
x
x
x
x
x
2−
1>
3−
2>
4−
3 n−
n−1≤
(ε = bilangan kecil)Contoh pencarian akar fungsi dengan metode Bisection: x a b 2
x
3x
4x
1x
3 4 3 2 3 2 1 2 1x
x
,
ε
x
x
,
ε
x
x
ε
=
−
=
−
=
−
akar fungsiKecepatan konvergensi bersifat linear:
ε
i+1=
21ε
iJika 2 21 3 1 21 2
ε
,
ε
ε
ε
=
=
i 1 i ix
x
)
(x
f'
)
f(x
x
x
i i i 1 i+=
−
)
(x
f'
)
f(x
x
x
ε
i i 1 i i i≡
−
+=
?
)
(x
f'
)
f(x
ε
1 i 1 i 1 i=
=
+ + +ekspansi deret Taylor:
f(x
)
f(x
ε
)
f(x
)
ε
f'
(x
)
21ε
i2f'
'
(x
i)
...
i i i i i 1 i+
=
−
=
−
+
−
...
)
(x
'
f'
ε
)
(x
f'
)
ε
(x
f'
)
(x
f'
i+1=
i−
i=
i−
i i+
2 i i i i i 2 i 21 i i i i i i i 2 i 21 i i i 1 iε
)
(x
2f'
)
(x
'
f'
)
(x
f'
)
(x
'
f'
ε
)
(x
f'
ε
)
f(x
...
)
(x
'
f'
ε
)
(x
f'
...
)
(x
'
f'
ε
)
(x
f'
ε
)
f(x
ε
≅
+
−
≅
+
−
−
+
−
=
+Kecepatan konvergensi pada metode Newton-Raphson bersifat kurang lebih kuadratik:
2 i i i 1 i
ε
)
(x
2f'
)
(x
'
f'
ε
+≅
Dengan begitu, metode Newton-Raphson lebih cepat dari metode Bisection. Pada metode Newton-Raphson:
Contoh hasil pencarian akar fungsi untuk soal cos(x) = x: metode Bisection Newton-Raphson akar 0.7390795 0.7390851 f(akar) 9.3692161E-06 -7.7470244E-09 jumlah langkah 12 4
Keterangan: • Pencarian akar berhenti jika kesalahan relatif semu sama atau kurang dari 1.0E-05.
• Batas awal kiri dan kanan untuk metode Bisection 0.72 dan 0.75.
• Perkiraan akar fungsi pertama untuk metode Newton-Raphson 0.72.
Solusi Sistem
Persamaan Linear
Sistem persamaan linear:
n n nn 3 n3 2 n2 1 n1 3 n 3n 3 33 2 32 1 31 2 n 2n 3 23 2 22 1 21 1 n 1n 3 13 2 12 1 11
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
ija
b
i n buah persamaan dengan n buah unknown jx
dan diketahui i, j = 1, 2, …, n?
x
j=
Soal:
(3)
0
z
y
x
(2)
2
3z
2y
x
(1)
6
2z
3y
2x
=
−
+
=
−
+
−
−
=
+
−
Jawab:(3)
3
2z
2.5y
(2)
1
2z
0.5y
(1)
6
2z
3y
2x
=
−
−
=
−
−
=
+
−
1
2
2z
3y
6
x
2
0.5
2z
1
y
1
z
−
=
−
+
−
=
=
+
−
=
=
eliminasi x: pers. (2) + 0.5 pers. (1) pers. (3) – 0.5 pers. (1) substitusi mundur: pers. (3) mencari z pers. (2) mencari y pers. (1) mencari x(3)
8
8z
(2)
1
2z
0.5y
(1)
6
2z
3y
2x
=
−
=
−
−
=
+
−
eliminasi y: pers. (3) – 5 pers. (2) 3 persamaan dan 3 unknownDalam bentuk matriks: Soal: Jawab:
−
=
−
−
−
−
0
2
6
z
y
x
1
1
1
3
2
1
2
3
2
−
−
=
−
−
−
3
1
6
z
y
x
2
2.5
0
2
0.5
0
2
3
2
−
−
=
−
−
8
1
6
z
y
x
8
0
0
2
0.5
0
2
3
2
1
2
2z
3y
6
x
2
0.5
2z
1
y
1
z
−
=
−
+
−
=
=
+
−
=
=
Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss mencari solusi sebuah sistem persamaan linear dengan cara seperti ditunjukkan pada contoh sebelum ini:
=
n 3 2 1 n 3 2 1 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
n)
...,
k,
j
n;
...,
1,
k
i
1;
n
...,
1,
(k
b
a
a
b
b
a
a
a
a
a
b
b
,
a
a
1) (k k 1) -(k kk 1) -(k ik 1) (k i (k) i 1) -(k kj 1) -(k kk 1) -(k ik 1) -(k ij (k) ij i (0) i ij (0) ij=
+
=
−
=
−
=
−
=
=
=
− −
=
1) -(n n (2) 3 (1) 2 (0) 1 n 3 2 1 1) -(n nn (2) 3n (2) 33 (1) 2n (1) 23 (1) 22 (0) 1n (0) 13 (0) 12 (0) 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
0
0
0
a
a
0
0
a
a
a
0
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
halaman berikut i ij (m) i (m) ijb
a
b
a
,
≡
,
pada langkah ke m1)
n
...,
1,
(j
a
x
a
b
x
a
b
x
1) -j -(n j -n j, -n n 1 j -n k k 1) -j -(n k j, -n 1) -j -(n j -n j n 1) -(n nn 1) -(n n n−
=
−
=
=
∑
+ = −
=
1) -(n n (2) 3 (1) 2 (0) 1 n 3 2 1 1) -(n nn (2) 3n (2) 33 (1) 2n (1) 23 (1) 22 (0) 1n (0) 13 (0) 12 (0) 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
0
0
0
a
a
0
0
a
a
a
0
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
Substitusi mundur:Jadi, metode Eliminasi Gauss terdiri dari dua tahap:
= =
1. triangulasi: mengubah matriks A menjadi matriks segitiga (matriks B dengan begitu juga berubah)
=
X B
A atau AX = B
2. substitusi mundur: menghitung x mengikuti urutan terbalik, dari yang terakhir ( ) sampai yang pertama ( )xn x1
=
X B
A
Pada kasus yang lebih umum bisa saja terdapat beberapa sistem
persamaan linear dengan nilai B yang berlainan, namun memiliki nilai A yang sama.
Dalam bentuk matriks sistem seperti ini dituliskan sebagai:
AX = B
Kasus Beberapa Sistem Persamaan Linear
atau
Keterangan: • A matriks n x n, X dan B matriks n x m, dengan m = jumlah sistem persamaan linear, n = jumlah persamaan / unknown dalam tiap sistem persamaan tersebut
• Tiap kolom matriks X merupakan solusi untuk kolom yang sama pada matriks B.
Langkah dan rumus pada metode Eliminasi Gauss berlaku sama untuk kasus ini. Hanya saja, di sini matriks X dan B terdiri dari beberapa kolom, bukan hanya satu.
Contoh dua sistem persamaan linear yang memiliki nilai A sama tapi B berbeda.
=
n1 31 21 11 n1 31 21 11 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
=
n2 32 22 12 n2 32 22 12 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
=
n2 n1 32 31 22 21 12 11 n2 n1 32 31 22 21 12 11 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
Metode Eliminasi Gauss:
m)
...,
1,
r
n;
...,
k,
j
b
a
a
b
b
n;
...,
1,
k
i
1;
n
...,
1,
(k
a
a
a
a
a
m)
...,
1,
r
n;
...,
1,
j
(i,
b
b
,
a
a
1) (k kr 1) -(k kk 1) -(k ik 1) (k ir (k) ir 1) -(k kj 1) -(k kk 1) -(k ik 1) -(k ij (k) ij ir (0) ir ij (0) ij=
=
−
=
+
=
−
=
−
=
=
=
=
=
− − ir ij (m) ir (m) ijb
a
b
a
,
≡
,
pada langkah ke m • rumus triangulasi:• rumus substitusi mundur:
m)
...,
1,
r
1;
n
...,
1,
(j
a
x
a
b
x
m)
...,
1,
(r
a
b
x
1) -j -(n j -n j, -n n 1 j -n k kr 1) -j -(n k j, -n 1) -j -(n r j, -n r j, n 1) -(n nn 1) -(n nr nr=
−
=
−
=
=
=
∑
+ = −Catatan:
Dalam rumus-rumus metode Eliminasi Gauss terdapat
pembagian oleh elemen diagonal matriks yaitu, oleh elemen diagonal matriks A.
Jika secara kebetulan elemen diagonal itu nol, maka akan timbul error.
Karena itu, pada setiap langkah dalam proses triangulasi matriks A perlu dilakukan pemeriksaan, apakah elemen matriks A yang bersangkutan sama dengan nol.
Jika bernilai nol, maka baris berisi elemen diagonal nol itu harus ditukar dengan salah satu baris setelahnya, sehingga elemen diagonal menjadi bukan nol. Perubahan baris pada matriks A harus disertai perubahan baris yang sama pada matriks B.
Soal: Jawab:
=
−
−
−
−
−
−
2
2
2
2
5
1
3
1
2
1
4
3
2
3
2
1
3
1
4
2
4 3 2 1x
x
x
x
1
3.5
0.5x
3
x
1
x
4 3 4=
+
=
=
−
=
−
−
−
−
−
−
1
1
3
2
5
.
3
5
.
1
1
0
5
.
2
5
.
0
2
0
5
.
0
5
.
3
0
0
3
1
4
2
4 3 2 1x
x
x
x
−
=
−
−
−
−
−
−
1
3
1
2
5
.
3
5
.
1
1
0
5
.
0
5
.
3
0
0
5
.
2
5
.
0
2
0
3
1
4
2
4 3 2 1x
x
x
x
−
=
−
−
−
−
−
5
.
0
3
1
2
25
.
2
75
.
1
0
0
5
.
0
5
.
3
0
0
5
.
2
5
.
0
2
0
3
1
4
2
4 3 2 1x
x
x
x
−
=
−
−
−
−
2
3
1
2
2
0
0
0
5
.
0
5
.
3
0
0
5
.
2
5
.
0
2
0
3
1
4
2
4 3 2 1x
x
x
x
1
2
3x
x
4x
2
x
1
2
2.5x
0.5x
1
x
4 3 2 1 4 3 2=
−
−
+
=
=
+
+
−
=
baris 2 ditukar dengan baris 3Data Fitting dengan
Metode Least Square
x f(x) p(x) • f( ) mewakili data; i = 1, …, N; N = jumlah data • p(x) merupakan fungsi yang dicocokkan (fitted) terhadap data f( ) Keterangan: i x i x Sifat fitting: tidak selalu p( ) = f( ) untuk semua i. x xi i x
• Selisih antara p(x) dan f(x) untuk titik data tertentu:
(
i 1,...,N)
x a ) f(x ) p(x ) f(x ∆ m 0 j j i j i i i i = − = −∑
= =• p(x) merupakan polinomial orde m:
∑
= = + + + + + = m 0 j j j m m 3 3 2 2 1 0 a x a x a x ... a x a x a p(x)• Jumlah kuadrat selisih antara p(x) dan f(x) untuk semua titik data:
(
)
∑
∑
∑
∑
= = = = − = − = = N 1 i 2 m 0 j j i j i N 1 i 2 i i N 1 i 2 i f(x ) p(x) f(x ) a x ∆ S(Secara umum, p(x) juga bisa merupakan polinomial bentuk yang lain seperti, polinomial Legendre.)
Fungsi p(x) ditentukan dengan mencari nilai (j = 0, …, m) yang membuat
S bernilai minimum. j
a
g(a) merupakan titik minimum jika: 0 dx dg(x) a x = =
Titik Minimum
0 dx g(x) d a x 2 2 > = dan a x g(x) a x dx dg(x) =Spesial: fungsi kuadratik
g(x) = ax2 +bx+cg(x) memiliki satu titik minimun jika a > 0 atau
sebaliknya satu titik maksimum jika a < 0.
2a dx g(x) d b 2ax dx dg(x) 2 2 = + =
(
)
∑
∑
∑ ∑
(
)
= = = = + + = − = N 1 i i 2 m 0 j 2j i 2 j N 1 i 2 m 0 j j i j i m 0 a f(x ) a x a x f (x) a S ,..., ...S merupakan fungsi kuadratik dalam (j = 0, …, m):
(
)
(
k 0,...,m)
x x a ) f(x 2 a a ..., , a S N 1 i k i m 0 j j i j i k m 0 = − − = ∂ ∂∑
∑
= =(
)
(
k 0,...,m)
x 2 a a ..., , a S N 1 i 2k i k m 0 = > = ∂ ∂∑
= 0 2 2S memiliki satu titik minimum pada nilai (j = 0, …, m) tertentu.
j
a
j
Mencari
(j = 0, …, m):
(
)
(
k 0,...,m)
0 x x a ) f(x 2 a a ..., , a S N 1 i k i m 0 j j i j i k m 0 = = − − = ∂ ∂∑
∑
= = ja
(
k 0,...,m)
)x f(x a x N 1 i k i i m 0 j j N 1 i k j i = = ∑
∑ ∑
= = = + Definisikan:∑
∑
= = + ≡ ≡ N 1 i k i i k N 1 i k j i kj x b f(x )x cmaka diperoleh sebuah sistem persamaan linear: m c a bk
(
k 0,...,m)
0 j j kj = =∑
=dalam bentuk matrik: C A = B atau CA = B
Contoh: Terdapat tiga data f(x) yaitu, f(1) = 30, f(2) = 70 dan f(3) = 120. Cari fungsi p(x) yang dapat melukiskan data itu.
x 1 2 3 f(x) 120 70 30 p(x) Dari data itu jelas p(x) bukan fungsi linear.
Jadi, dicoba fungsi kuadratik:
2 2 1 0 a x a x a p(x) = + + = 1390 530 220 a a a 98 36 14 36 14 6 14 6 3 2 1 0
Sistem persamaan linier untuk mencari aj :
= 5 25 0 a a a 2 1 0 = 5 45 220 a a a 1 0 0 4 1 0 14 6 3 2 1 0 Jadi, p(x) =5x
(
x+5)
Cek: p(1) = 30, p(2) = 70, p(3) = 120OK
!
Contoh: Kuat medan listrik E di sekitar sebuah benda berbentuk lempeng diukur pada jarak 10 cm dari pusat massanya dan arah yang
bervariasi. Arah dinyatakan dalam sudut θ terhadap sumbu y yang ditetapkan sebelum pengukuran. Diperoleh data sebagai berikut:
θ [derajat] E [V/cm] 10 0.01794775 15 0.03808997 20 0.05516225 25 0.05598281 30 0.04795629 35 0.04807485 40 0.06273566 45 0.07853982 50 0.07395442 55 0.04201338 θ y E
Dicoba beberapa polinomial dengan orde berbeda, diperoleh: 03 -1.0339E S 07 -0211842E 8.08580979 -a 05 -7880805E 3.48780878 a 03 -8111303E 1.32447838 a 03 -4853211E 8.98371348 a 3 2 1 0 = = = = = 05 -8.1573E S 08 -4163944E 1.06395175 -a 06 -2596346E 1.36204619 a 05 -0401015E 5.86233269 -a 04 -6358352E 8.80218597 a 03 -1844471E 1.06199622 a 02 -4975570E 3.55780065 -a 5 4 3 2 1 0 = = = = = = = 07 -3.1629E S 11 -5740421E 1.87618431 a 09 -5243949E 3.25286380 -a 07 -6890119E 1.91280600 a 06 -4228010E 3.23048922 -a 05 -6865594E 8.98571563 -a 03 -1692495E 4.00765809 a 02 -2868015E 4.63183987 -a 01 -7649403E 1.86475453 a 7 6 5 4 3 2 1 0 = = = = = = = = = 11 -1.7528E S 14 -5946927E 1.45951183 a 12 -4324134E 3.31744672 a 10 -0789355E 2.74178633 -a 09 -3458547E 8.26282987 a 07 -8386570E 1.13225450 a 05 -9268855E 1.36889599 -a 04 -8305538E 3.35896109 a 03 -4407800E 3.40276873 -a 02 -5173997E 1.59630008 a 02 -9248139E 1.75726083 -a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 = = = = = = = = = = = m = 3: m = 5: m = 7: m = 9:
Interpolasi
x f(x) p(x) • f( ) mewakili data; i = 1, …, N; N = jumlah data • p(x) merupakan fungsi interpolasi berdasarkan data f( ) Keterangan: i x i x Sifat interpolasi: p( ) = f( ) untuk semuai . x xi i xNilai (i = 0, …, N-1) ditetukan dengan menetapkan bahwa untuk semua titik data:
Digunakan p(x), suatu polinomial berorde m = N – 1, dengan N = jumlah data:
f(x) x a ... x a x a a p(x) = 0 + 1 + 2 2 + + N-1 N-1 ≅
Interpolasi Lagrange
i a(
i 1,...,N)
) f(x ) p(xi = i =Jadi, diperoleh persamaan linear:
) f(x x a ... x a x a a ) p(x ... ) f(x x a ... x a x a a ) p(x ) f(x x a ... x a x a a ) p(x ) f(x x a ... x a x a a ) p(x N 1 -N N 1 -N 2 N 2 N 1 0 N 3 1 -N 3 1 -N 2 3 2 3 1 0 3 2 1 -N 2 1 -N 2 2 2 2 1 0 2 1 1 -N 1 1 -N 2 1 2 1 1 0 1 = + + + + = = + + + + = = + + + + = = + + + + =
N = 2: 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 0 x x ) f(x ) f(x a x x ) f(x x ) f(x x a − − = − − − = ) f(x x a a ) p(x ) f(x x a a ) p(x 2 2 1 0 2 1 1 1 0 1 = + = = + = ) f(x x x x x ) f(x x x x x p(x) 2 1 2 1 1 2 1 2 − − + − − = N = 3: ) f(x x a x a a ) p(x ) f(x x a x a a ) p(x ) f(x x a x a a ) p(x 3 2 3 2 3 1 0 3 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 1 0 1 = + + = = + + = = + + = 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 0 )x x (x )x x (x )x x (x ) )f(x x (x ) )f(x x (x ) )f(x x (x a )x x (x )x x (x )x x (x ) )f(x x (x ) )f(x x (x ) )f(x x (x a )x x (x )x x (x )x x (x ) f(x x )x x (x ) f(x x )x x (x ) f(x x )x x (x a − + − + − − + − + − = − + − + − − + − + − − = − + − + − − + − + − = ) f(x x x x x x x x x ) f(x x x x x x x x x ) f(x x x x x x x x x p(x) 3 2 3 2 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 1 3 1 3 2 1 2 − − − − + − − − − + − − − − =
∑
= = N 1 i i i)f(x ) x l(x, p(x)Secara umum, untuk N data rumus interpolasi Lagrange:
∏
≠ − − = i j i j j i x x x x ) x l(x, Untuk x = xk (k = 1, …, N): ≠ = − − = = − − = − − =∏
∏
≠ ≠ k) (i 0, ... x x x x ... k) (i 1, x x x x x x x x ) x , l(x j i k k i j i j j i i j i j j k i k ) f(x ) p(x δ ) x , l(xk i = ik k = kPada bagian sebelum ini interpolasi menggunakan seluruh N data f( ) yang tersedia, yang berarti menggunakan polinomial p(x) berorde N-1.
Perlukah memakai semua N data yang ada?
Kini, misal N = 4 dan x berada di sekitar x4 , maka diperoleh:
− − − − − − = − − − − − − = 4 2 4 3 2 3 1 2 1 2 4 1 4 3 1 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x ) x l(x, x x x x x x x x x x x x ) x l(x,
Dapat dilihat bahwa, .
− − − − − − = − − − − − − = 3 4 3 2 4 2 1 4 1 4 4 3 4 2 3 2 1 3 1 3 x x x x x x x x x x x x ) x l(x, x x x x x x x x x x x x ) x l(x, ) x l(x, ) x l(x, ) x l(x, ) x l(x, 1 < 2 < 3 < 4
Ini berarti, semakin jauh dari x pengaruh data f( ) semakin kecil dalam
menentukan nilai p(x). Data yang penting yaitu yang berada di sekitar titik x. Karena itu, cukup data-data di sekitar titik x yang digunakan.
Dengan kata lain, untuk interpolasi cukup digunakan polinomial p(x) berorde rendah, contoh berorde 3 (fungsi kubik).
i
x
i
Interpolasi Lagrange Kubik menggunakan polinomial p(x) berorde 3 sebagai fungsi interpolasi:
Interpolasi Lagrange Kubik
j a Diperoleh f(x) x a x a x a a p(x) = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 ≅
Untuk mencari nilai (j = 0, 1, 2, 3) diperlukan 4 data f( ) di sekitar x:xi
(
i i 1 0 i-1 1 i 2 i 1 3 i 2)
3 2 1 0), f(x ), f(x ), f(x ) x x x ; x x ,x x,x x ,x x f(x ≤ ≤ + = = = + = +untuk membentuk sistem persamaan linear:
(
j 0,1,2,3)
) f(x x a x a x a a0 + 1 j + 2 j2 + 3 3j = j =∏
∑
≠ = − − = = j k j k k j 3 0 j j j x x x x ) x l(x, ) )f(x x l(x, p(x)Langkah pertama dengan begitu, menentukan (j = 0, 1, 2, 3) dengan melihat posisi x di antara titik data (i = 1, …, N).xi xj
Interpolasi Multidimensi
Jika data bergantung pada lebih dari satu variabel, maka dilakukan interpolasi multidimensi. Metode interpolasi yang telah disampaikan bisa dipakai untuk melakukan interpolasi multidimensi. Sebagai contoh di sini ditunjukkan
interpolasi 2 dimensi. Untuk dimensi lebih tinggi berlaku cara yang sama.
∑
∑
= = = n 1 i m 1 j j i j i) S(y,y )f(x,y ) x S(x, y) p(x,Pada contoh di atas, interpolasi menggunakan (n x m) data f(x,y). Interpolasi dilakukan per dimensi: Untuk satu titik data x tertentu dilakukan interpolasi di sepanjang sumbu y, hal yang sama dilakukan untuk semua titik data x yang lain. Prinsip yang sama berlaku untuk interpolasi berdimensi lebih tinggi.
Contoh, interpolasi Lagrange kubik:
∏
∏
∑
∑
≠ ≠ = = − − = − − = = j s j s s j i k i k k i 3 0 i 3 0 j j i j i y y y y ) y l(y, x x x x ) x l(x, ) y , )f(x y l(y, ) x l(x, y) p(x,Kembali ke contoh problem least square: θ [derajat] E [V/cm] 10 0.01794775 15 0.03808997 20 0.05516225 25 0.05598281 30 0.04795629 35 0.04807485 40 0.06273566 45 0.07853982 50 0.07395442 55 0.04201338 θ y E
Dengan interpolasi, cari nilai p(x) di sepanjang titik data.
Kuat medan listrik E di sekitar sebuah benda berbentuk lempeng diukur pada jarak 10 cm dari pusat massanya dan arah yang
bervariasi. Arah dinyatakan dalam sudut θ terhadap sumbu y yang ditetapkan sebelum pengukuran. Diperoleh data sebagai berikut:
Integrasi
x f(x)
Menghitung luas daerah di bawah kurva:
a b
∫
b a dx f(x) x f(x) a b analitik numerik∑
i i if(x) w∑
∫
= ≅ = N 1 i i i b a ) f(x w dx f(x) IIntegral numerik sering disebut juga sebagai quadrature; integrasi numerik disebut sebagai integrasi dgn menjumlah quadrature.
Meski tidak terlihat pada rumus akhir, pada integrasi numerik integrand f(x) diinterpolasi dengan suatu polinomial:
∑
∫
= ≅ = N 1 i i i b a ) f(x w dx f(x) I p(x) f(x) ≅ polinomial Akan dibahas: • quadrature trapezoid • quadrature SimpsonQuadrature Trapezoid
Kurva integrand f(x) diinterpolasi dengan sebuah garis lurus (f(x) diinterpolasi dengan fungsi linier / polinomial orde 1):
Untuk menarik garis lurus diperlukan minimal 2 titik, dipilih titik f(a) dan f(b):
sx r p(x) ), p(x w dx p(x) dx f(x) I N 1 i i i b a b a + = = ≅ =
∫
∫
∑
= f(b) p(b) f(a), p(a) = = x f(x) a b p(x)∫
b a dx p(x)Rumus quadrature trapezoid: ) a (b 2 1 bw aw a -b w w 2 2 2 1 2 1 − = + = + ) bw s(aw ) w r(w ) a s(b 2 1 a) -r(b sb) (r w sa) (r w dx sx) (r 2 1 2 1 2 2 2 1 b a + + + = − + + + + = +
∫
sx r p(x) = + a) (b 2 1 w w1 = 2 = −(
f(a) f(b))
2 h dx f(x) I b a + ≅ =∫
(h =b−a)Dengan diketahui hanya p(a) dan p(b) (r dan s tidak dicari), maka integrasi numerik dikerjakan untuk N = 2:
p(b) w p(a) w ) p(x w ) p(x w ) p(x w dx p(x) 1 1 2 2 1 2 2 1 i i i b a + = + = =
∑
∫
= ? w , w1 2 =luas trapezoid (lihat gambar) Mencari w1 danw2 :
Quadrature Simpson & Boole
Cara yang sama seperti pada quadrature trapezoid bisa dipakai untuk polinomial p(x) orde lebih tinggi. Contoh, quadrature Simpson memakai p(x) fungsi
kuadratik / polinomial orde 2 untuk menginterpolasi integrand f(x):
Untuk membuat kurva kuadratik diperlukan
minimal 3 titik, dipilih titik f(a), f(b) dan f(c): 2 N 1 i i i c a c a tx sx r p(x) ), p(x w dx p(x) dx f(x) I =
∫
≅∫
=∑
= + + = f(c) p(c) f(b), p(b) f(a), p(a) = = = x f(x) a c p(x)∫
b a dx p(x) b dengan 2 c a b = +) a (c 3 1 w c w b w a ) a (c 2 1 cw bw aw a -c w w w 3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 − = + + − = + + = + + ) w c w b w t(a ) cw bw s(aw ) w w r(w ) a t(c 3 1 ) a s(c 2 1 a) -r(c ) tc sc (r w ) tb sb (r w ) ta sa (r w dx ) tx sx (r 3 2 2 2 1 2 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 2 3 2 2 2 1 c a 2 + + + + + + + + = − + − + + + + + + + + + = + +
∫
2 tx sx r p(x) = + + a) (c 3 2 w a) (c 6 1 w w 2 3 1 − = − = =Integrasi numerik dikerjakan untuk N = 3:
p(c) w p(b) w p(a) w ) p(x w dx p(x) 1 2 3 3 1 i i i c a + + = =
∑
∫
= ? w , w , w1 2 3 = Mencari w1,w2,w3:Diperoleh Rumus quadrature Simpson:
(
f(a) 4f(b) f(c))
3 h dx f(x) I c a + + ≅ =∫
2 a c h = −dengan yaitu jarak antar titik xi tempat f(x) dihitung: h =b−a = c−b
Dengan cara yang sama, menggunakan p(x) polinomial orde 3 diperoleh rumus quadrature Simpson :38
(
f(a) 3f(b) 3f(c) f(d))
8 3h dx f(x) I d a + + + ≅ =∫
− = − = − = = b a c b d c 3 a -d hdan dengan p(x) polinomial orde 4 rumus quadrature Boole:
(
7f(a) 32f(b) 12f(c) 32f(d) 7f(e))
45 2h dx f(x) I e a + + + + ≅ =∫
− = − = − = − = = d e c d b c a b 4 a -e hIntegrasi Komposit
Polinomial orde rendah memadai untuk menginterpolasi sebuah fungsi dalam
daerah yang sempit. Untuk daerah yang lebar diperlukan orde yang lebih tinggi. Alternatif lain yaitu, membagi daerah fungsi yang lebar itu dalam beberapa
daerah yang sempit, lalu di tiap daerah yang sempit itu digunakan polinomial orde rendah untuk interpolasi.
Quadrature trapezoid dan Simpson pada dasarnya memadai untuk daerah
integrasi yang sempit, namun dengan membagi daerah integrasi dalam beberapa daerah yang sempit, maka quadrature trapezoid dan Simpson bisa dipakai juga untuk daerah integrasi yang lebar. Integral total merupakan jumlah semua integral untuk daerah yang sempit. Integrasi seperti ini disebut integrasi komposit.
Bergantung pada integrand f(x), daerah integrasi yang lebar bisa dibagi dalam beberapa daerah sempit yang sama atau berbeda panjang. Juga, semua integral untuk daerah yang sempit bisa dihitung menurut rumus quadrature yang sama, misal semuanya trapezoid, atau berbeda-beda, sesuai kurva di tiap daerah
sempit itu. Kasus sederhana yaitu, bila daerah integrasi dibagi sama panjang dan untuk tiap daerah digunakan rumus quadrature yang sama.
Contoh, daerah integrasi [a,b] dibagi dalam N bagian sama panjang. − = + + + + = =
∫
∫
∫
∫
∫
+ + + N a b d dx f(x) dx f(x) ... dx f(x) dx f(x) dx f(x) I b d -b d -b 2d -b 2d a d a d a a b a• integrasi komposit menggunakan quadrature trapezoid
(
)
[
21 0 N 1 2 N 1]
b a f ... f f f f h dx f(x) I =∫
≅ + + + + + − N ..., 0, i ih), f(a f , N a b h = − i = + =• integrasi komposit menggunakan quadrature Simpson
(
)
(
)
[
21 0 2N 1 3 2N 1 2 4 2N 2]
b a f ... f f f ... f f 2 f f 3 2h dx f(x) I =∫
≅ + + + + + − + + + + − 2N ..., 0, i ih), f(a f , 2N a b h = − i = + =f(x)
x
a b
Integrasi komposit trapezoid untuk daerah integrasi [a,b] yang dibagi 8 sama panjang: h
(
)
[
21 0 8 1 2 3 4 5 6 7]
b a f f f f f f f f f h dx f(x) I =∫
≅ + + + + + + + +f(x)
x
a b
Integrasi komposit yang menggunakan quadrature trapezoid dan Simpson; daerah integrasi [a,b] yang dibagi 3:
h1 h1 2h2
(
a a h1 c)
(
c c h2 b)
b a f 4f f 3 h2 f 2f f 2 h1 dx f(x) I =∫
≅ + + + + + + + c Simpson trapezoidx
Integrasi Monte Carlo
Mungkin saja cara-cara integrasi numerik yang sudah disampaikan sulit atau tidak bisa diterapkan untuk mengevaluasi suatu integral. Pada keadaan ini, integrasi Monte Carlo dapat dipilih.
Integrasi Monte Carlo tidak menggunakan interpolasi seperti pada cara-cara integrasi numerik sebelum ini. Integral dianggap sebagai satu persegi panjang, dengan lebar daerah integrasi dan tinggi nilai rata-rata integrand f(x), yang diperoleh melalui statistik dengan memanfaatkan bilangan acak:
f(x) a b <f(x)> b x a : acak bilangan x ) f(x n 1 f(x) i i n 1 i i ≤ ≤ = >= <
∑
=∑
∫
= ≅ = n 1 i i b a ) f(x n 1 a) -(b f(x)dx I (b-a)<f(x)>Persamaan Differensial
Persamaan differensial (PD) yang dimaksud yaitu persamaan differensial biasa, bukan persamaan differensial parsial, untuk orde 1 dan 2.
Dua masalah yang akan dibahas yaitu: • PD dengan syarat awal
PD dengan Syarat Awal
Bentuk umum PD orde 1: f(x,y) dx dy y'= = ? y(x)=
∫
∫
= x x y y0 0 y)dx f(x, dy∫
+ = x x 0 0 y)dx f(x, y y(x) 0 0) y y(x = Diketahui:Integrasi: Masalah persamaan
differensial berubah menjadi masalah persamaan integral.
∫
+ + = + h x x 0 0 0 0 y)dx f(x, y h) y(xDicari y(x) pada titik x = x0 +h :
Menurut metode Euler: x f(x,y) 0 x x0 +h ) y , f(x0 0
Metode Euler
x y(x) 0 x x0 +h ) y , hf(x y dx ) y , f(x y h) y(x 0 0 0 h x x 0 0 0 0 0 0 + ≅ + ≅ +∫
+ h) y(x0 + h) y(x0 + sebenarnya yg diperoleh 0 y f(x,y) dianggap konstan dan dihitung padax = x0. Diperoleh:Modifikasi dilakukan dalam memilih nilai f(x,y) yang dianggap konstan. Dipilih f(x,y) pada titik :
x f(x,y)
0
x x0 +h
Metode Euler yang Dimodifikasi
x y(x) 0 x x0 +h )) y , hf(x y h, hf(x y h)) y(x h, hf(x y h) y(x 0 0 21 0 21 0 0 21 0 21 0 0 0 + + + ≅ + + + ≅ + h) y(x0 + h) y(x0 + sebenarnya yg diperoleh 0 y h x x 21 0 + = h x 21 0 + h)) y(x h, f(x 21 0 21 0 + + Diperoleh:
dengan dihitung memakai metode Euler: h) y(x 21 0 + ) y , hf(x y h) y(x 21 0 0 0 21 0 + ≅ + h x 21 0 + h)) y(x h, f(x 21 0 21 0 + +
Kali ini dipakai nilai f(x,y) yang merupakan rata-rata dari dua nilai f(x,y), masing-masing pada titik dan :
x f(x,y)
0
x x0 +h
Metode Euler yang Lebih Baik (Improved)
[
]
[
f(x ,y ) f(x h,y hf(x ,y ))]
h y h)) y(x h, f(x ) y , f(x h y h) y(x 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 21 0 0 + + + + ≅ + + + + ≅ + Diperoleh:dengan y(x0 +h) dihitung memakai metode Euler:
) y , hf(x y h) y(x0 + ≅ 0 + 0 0 0 x x0 +h
[
f(x0,y0) f(x0 h,y(x0 h))]
21 + + +Ini sama dengan menggunakan quadrature trapezoid untuk mengevaluasi integral:
[
f(x ,y ) f(x h,y(x h))]
h y)dx f(x, 21 0 0 0 0 h x x 0 0 + + + ≅∫
+PD Orde 2
Masalah PD orde 2 berubah menjadi masalah PD orde 1. Bentuk umum PD orde 2: f(x,y,y')
dx y d ' y' 2 2 = =
Definisikan fungsi baru u:
0 0 y' u y' u = = ? y(x) = 0 0 0 0) y , y'(x ) y' y(x = = Diketahui: u) y, f(x, u' y) u(x, y' = =
Contoh penyelesaian dengan metode Euler yang lebih baik (improved):
(
)
(
)
0 0 1 0 0 1 0 21 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 21 0 0 hf u u y' u u u h y h) y(x y) u(x, y' ) u , hu y h, f(x f ) u , y , f(x f f f h u h) u(x u) y, f(x, u' + = = + + = + = + + = = + + = + = Alur perhitungan: 0 0, u y u1 f1, y(x0 +h), u(x0 +h) 0 0 0 0 0 0 h x , u(x h) u , y(x h) y x + → + → + → 0 fPD dengan Syarat Batas
Contoh, gelombang yang merambat di sepanjang tali bisa digambarkan dengan PD orde 2. Jika ujung-ujung tali itu diikat sehingga tidak bisa bergerak, maka kita temui kasus PD dengan syarat batas.
c(x)y' b(x)y a(x) ) y' y, g(x, ' y' (2) e(x)y d(x) y) f(x, y' (1) − − = = − = = terikat terikat
Bentuk umum PD orde 1 & 2 linear:
? y(x) = n n 0 0 n 0 y ) y(x y ) y(x x x x = = ≤ ≤ Diketahui:
Dicari pada titik xi = x0 +ih (i=1,...,n −1) dengan .
n x x h = n − 0 ) y(x yi = i
a(x) b(x)y c(x)y' ' y' (2) d(x) e(x)y y' (1) = + + = + i i i i i i i i i i a y b y' c ' y' (2) d y e y' (1) = + + = + 2 1 i i 1 i i 1 i 1 i i h y 2y y ' y' 2h y y y' − + − + + − ≅ − ≅
Metode Finite Differences
i i i 1 i 1 i i 2 1 i i 1 i i i i 1 i 1 i a y b 2h y y c h y 2y y (2) d y e 2h y y (1) ≅ + − + + − ≅ + − − + − + − +
Jadi, pada akhirnya ditemui masalah sistem persamaan linear:
(
)
2 i 1 i i i 2 i 1 i i i 1 i i i 1 i h a y 2 h c 1 y h b 2 y 2 h c 1 (2) h 2d y hy 2e y (1) ≅ + + − − − ≅ + + − + − + −yang dapat diselesaikan menggunakan metode, contoh, Eliminasi Gauss.
Namun, sistem persamaan linear juga dapat diselesaikan dengan cara lain yaitu, iterasi. Contoh: iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Siedel.
Iterasi Jacobi
Pencarian dihentikan setelah didapat nilai yang konvergen yaitu, yang tidak atau sedikit berubah dari nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya:
n) ..., 1, (i b x a i n 1 j j ij = =
∑
= − =∑
≠ n i j j ij i ii i b a x a 1 xPencarian solusi dimulai dengan nilai awal (i = 1, …, n) hasil perkiraan /
tebakan. Dengan nilai tebak awal ini diperoleh nilai perkiraan berikut melalui:
sistem persamaan linear: solusi:
(0) i x (1) i x n) ..., 1, (i x a b a 1 x n i j (0) j ij i ii (1) i = − =
∑
≠Demikian seterusnya berulang-ulang, nilai perkiraan pada langkah ke k diperoleh dari nilai perkiraan pada langkah ke k-1:
n) ..., 1, (i x a b a 1 x n i j 1) -(k j ij i ii (k) i = − =
∑
≠ i x kecil bilangan ε ε, x x 1 (k) i 1) -(k i < = −Jika pada tiap langkah pencarian dilakukan dengan urutan i yang makin besar, maka semua sudah diperoleh ketika mencari .
Sebaliknya, jika dilakukan dengan urutan i yang makin kecil, maka semua sudah diperoleh ketika mencari .
Karena itu, nilai atau itu bisa langsung dipakai untuk mencari , sehingga iterasi mencapai nilai konvergen menjadi lebih cepat:
Iterasi Gauss-Siedel
Rumus iterasi Jacobi dapat ditulis:
(k) i x − − =
∑
∑
> < j i 1) -(k j ij i j 1) -(k j ij i ii (k) i b a x a x a 1 x (k) i j x < (k) i j x > (k) i x (k) i j x < (k) i j x > xi(k) 1) 2, ..., n, (i x a x a b a 1 x n) ..., 2, 1, (i x a x a b a 1 x i j (k) j ij i j 1) -(k j ij i ii (k) i i j 1) -(k j ij i j (k) j ij i ii (k) i = − − = = − − =∑
∑
∑
∑
> < > <Sebelum ini dikenal metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition untuk mencari solusi sebuah sistem persamaan linear. Pada metode ini terdapat substitusi mundur dan maju. Pada substitusi mundur (maju), nilai dihitung dari nilai ( ), sehingga kesalahan (ketidakakuratan) pada ( ) terakumulasi pada . Dengan kata lain, terjadi perambatan kesalahan.
Pada metode iterasi tidak terdapat perambatan kesalahan seperti itu. Semua elemen x dilihat secara sama. Pada tiap langkah
dilakukan pemeriksaan konvergensi untuk semua elemen x. Jadi, untuk tiap elemen x terdapat kesempatan yang sama untuk
mencapai keakuratan yang diinginkan.
Namun, pada metode iterasi ada keharusan menentukan nilai awal, yang bisa saja sulit dilakukan atau menimbulkan masalah, misalnya membuat iterasi terlalu lama mencapai konvergensi.
i x xj>i i j x> xi i j x< i j x<
Aplikasi Iterasi Jacobi dan Gauss-Siedel pada PD dengan Syarat Batas
PD orde 1:(
)
2 i 1 i i i 2 i 1 i i i 1 i i i 1 i h a y 2 h c 1 y h b 2 y 2 h c 1 c(x)y' b(x)y a(x) ' y' (2) h 2d y hy 2e y e(x)y d(x) y' (1) ≅ + + − − − − − = ≅ + + − − = + − + − Iterasi Jacobi: PD orde 2:(
)
(
)
+ + − + − − ≅ − + ≅ + + 1) -(k 1 i i 1) -(k 1 -i i 2 i 2 i (k) i 1) -(k 1 i 1) -(k 1 -i i i (k) i y 2 h c 1 y 2 h c 1 h a h b 2 1 y (2) y y h 2d h 2e 1 y (1)Iterasi Gauss-Siedel (contoh untuk i membesar, i = 1, …, n-1):
