Metode Numerik
Untuk dipakai dalam kuliah Analisis Numerik
Dapat diunduh dari http://staff.fisika.ui.ac.id/imamf/
Imam Fachruddin
Metode Numerik
Daftar Pustaka:
Imam Fachruddin
Departemen Fisika, Universitas Indonesia
Daftar Pustaka:
• P. L. DeVries, A First Course in Computational Physics (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994)
• W. H. Press, et. al., Numerical Recipes in Fortran 77, 2nd Ed. (Cambridge
University Press, New York, 1992)
(online / free download: http://www.nrbook.com/a/bookfpdf.php)
• R. H. Landau & M. J. Páez, Computational Physics: Problem Solving with Computers (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997)
• S. E. Koonin, Computational Physics (Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Redwood City, 1986)
Isi
• akar fungsi
• solusi sistem persamaan linear
1 25 • solusi sistem persamaan linear
• fitting dengan least square • interpolasi • integrasi • persamaan differensial 25 49 59 81 109
=
X B
A
Pada kasus yang lebih umum bisa saja terdapat beberapa sistem
persamaan linear dengan nilai B yang berlainan, namun memiliki nilai A yang sama.
Dalam bentuk matriks sistem seperti ini dituliskan sebagai:
AX = B
Kasus Beberapa Sistem Persamaan Linear
atau
Keterangan: • A matriks n x n, X dan B matriks n x m, dengan m = jumlah sistem persamaan linear, n = jumlah persamaan / unknown dalam tiap sistem persamaan tersebut
• Tiap kolom matriks X merupakan solusi untuk kolom yang sama pada matriks B.
Langkah dan rumus pada metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition berlaku sama untuk kasus ini. Hanya saja, di sini matriks X dan B terdiri dari beberapa kolom, bukan hanya satu.
Contoh dua sistem persamaan linear yang memiliki nilai A sama tapi B berbeda.
=
n1 31 21 11 n1 31 21 11 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
M
M
L
M
O
M
M
M
L
L
L
=
n2 32 22 12 n2 32 22 12 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
M
M
L
M
O
M
M
M
L
L
L
=
n2 n1 32 31 22 21 12 11 n2 n1 32 31 22 21 12 11 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
M
M
M
M
L
M
O
M
M
M
L
L
L
Metode Eliminasi Gauss:
m)
...,
1,
r
n;
...,
k,
j
b
a
a
b
b
n;
...,
1,
k
i
1;
n
...,
1,
(k
a
a
a
a
a
m)
...,
1,
r
n;
...,
1,
j
(i,
b
b
,
a
a
1) (k kr 1) -(k 1) -(k ik 1) (k ir (k) ir 1) -(k kj 1) -(k kk 1) -(k ik 1) -(k ij (k) ij ir (0) ir ij (0) ij=
=
−
=
+
=
−
=
−
=
=
=
=
=
− − ir ij (m) ir (m) ijb
a
b
a
,
≡
,
pada langkah ke m • rumus triangulasi:m)
...,
1,
r
n;
...,
k,
j
b
a
b
b
(k-1) kr kk ik ir ir=
−
=
=
• rumus substitusi mundur:
m)
...,
1,
r
1;
n
...,
1,
(j
a
x
a
b
x
m)
...,
1,
(r
a
b
x
1) -j -(n j -n j, -n n 1 j -n k kr 1) -j -(n k j, -n 1) -j -(n r j, -n r j, n 1) -(n nn 1) -(n nr nr=
−
=
−
=
=
=
∑
+ = −• rumus substitusi maju untuk menghitung y (kini Y matriks n x m):
m)
...,
1,
r
n;
...,
2,
(i
l
y
l
b
y
m)
...,
1,
(r
l
b
y
1 i 1 j jr ij ir ir 11 1r 1r=
=
−
=
=
=
∑
− =• rumus substitusi mundur untuk menghitung x:
m)
...,
1,
r
n;
...,
2,
(i
l
y
ii ir=
=
=
m)
...,
1,
r
1;
n
...,
,
(i
x
u
y
x
m)
...,
1,
(r
y
x
n 1 i n j jr j i, n r i, n r i, -n nr nr=
−
=
−
=
=
=
∑
+ − = − −1
Perhatikan metode LU Decomposition, anggap matriks L dan U telah diperoleh. Jika kemudian terdapat lagi sistem persamaan linear dengan A sama dan B berbeda, maka matriks L dan U yang telah diperoleh itu bisa langsung dipakai untuk sistem persamaan yang baru tersebut.
Kini perhatikan metode Eliminasi Gauss, anggap triangulasi matriks A sudah dikerjakan. Jika kemudian terdapat lagi
sistem persamaan linear dengan A sama dan B berbeda, maka sistem persamaan linear dengan A sama dan B berbeda, maka hasil triangulasi matriks A yang sudah diperoleh tidak dapat dipakai untuk sistem persamaan yang baru. Untuk sistem yang baru tersebut proses triangulasi matriks A harus dilakukan lagi dari awal.
Hal ini disebabkan, matriks B harus berubah mengikuti proses triangulasi matriks A, sementara proses penguraian matriks A menjadi matriks L dan U tidak melibatkan matriks B.
Dalam rumus-rumus baik pada metode Eliminasi Gauss
maupun LU Decomposition terdapat pembagian oleh elemen diagonal matriks yaitu, oleh elemen diagonal matriks A pada metode Eliminasi Gauss, dan elemen diagonal matriks L pada metode LU Decomposition.
Jika secara kebetulan elemen diagonal itu nol, maka akan timbul error.
Karena itu, pada setiap langkah dalam proses triangulasi
matriks A (metode Eliminasi Gauss) atau pencarian matriks L matriks A (metode Eliminasi Gauss) atau pencarian matriks L dan U (metode LU Decomposition) perlu dilakukan
pemeriksaan, apakah elemen matriks A atau L yang bersangkutan sama dengan nol.
Jika bernilai nol, maka baris berisi elemen diagonal nol itu harus ditukar dengan salah satu baris setelahnya, sehingga elemen diagonal menjadi bukan nol. Perubahan baris pada matriks A (metode Eliminasi Gauss) harus disertai
perubahan baris yang sama pada matriks B. Perubahan baris pada matriks L (metode LU Decomposition) harus disertai perubahan baris yang sama pada matriks A dan B.
Soal: Jawab:
1 2 3 4x
2 -4
1
3
2
x
-1
2
3 -2
2
=
x
3 -4
1
2
2
x
1 -3 -1
5
2
1 2 3 4x
2 -4
1
3
2
x
0
0
3.5 -0.5
3
=
x
0
2 -0.5 -2.5
-1
x
0 -1 -1.5
3.5
1
1 2 3 4x
2 -4
1
3
2
x
0
2 -0.5 -2.5
-1
=
x
0
0
3.5 -0.5
3
x
0 -1 -1.5
3.5
1
baris 2 ditukar dengan baris 31
3.5
0.5x
3
x
1
x
4 3 4=
+
=
=
0 -1 -1.5
3.5
x
4
1
0 -1 -1.5
3.5
x
4
1
1 2 3 4x
2 -4
1
3
2
x
0
2 -0.5
-2.5
-1
=
x
0
0
3.5
-0.5
3
x
0
0 -1.75
2.25
0.5
1 2 3 4x
2 -4
1
3
2
x
0
2 -0.5 -2.5
-1
=
x
0
0
3.5 -0.5
3
x
0
0
0
2
2
1
2
3x
x
4x
2
x
1
2
2.5x
0.5x
1
x
4 3 2 1 4 3 2=
−
−
+
=
=
+
+
−
=
-1
2
3 -2
A =
3 -4
1
2
1 -3 -1
5
−
=
44 43 42 33 32 22l
l
l
1
0
l
l
3
0
0
l
1
L
=
1
0
0
0
u
1
0
0
u
u
1
0
U
34 24 23
−
−
=
44 43 33l
l
1
1
0
l
2
3
0
0
0
1
0
0
0
2
L
−
−
=
44 43 33l
l
1
1
0
l
0
1
0
0
2
3
0
0
0
2
L
2
B =
2
2
2 -4
1
3
3 -4
1
2
A =
-1
2
3 -2
1 -3 -1
5
1
−
1
l
43l
44
1
−
1
l
43l
44
1 -3 -1
5
2
2
B =
2
2
−
−
−
=
1
0
0
0
u
1
0
0
1.25
0.25
1
0
1.5
0.5
2
1
U
34
−
−
−
=
44l
1.75
1
1
0
3.5
0
1
0
0
2
3
0
0
0
2
L
−
−
−
−
=
1
0
0
0
1/7
1
0
0
1.25
0.25
1
0
1.5
0.5
2
1
U
−
−
−
=
2
1.75
1
1
0
3.5
0
1
0
0
2
3
0
0
0
2
L
Iterasi Jacobi
n)
...,
1,
(i
b
x
a
i n 1 j j ij=
=
∑
=
−
=
∑
≠ n i j j ij i ii ib
a
x
a
1
x
Pencarian solusi dimulai dengan nilai awal (i = 1, …, n) hasil perkiraan /
tebakan. Dengan nilai tebak awal ini diperoleh nilai perkiraan berikut melalui:
sistem persamaan linear: solusi:
(0) i
x
(1) ix
n)
...,
1,
(i
x
a
b
a
1
x
n i j (0) j ij i ii (1) i
=
−
=
∑
≠Demikian seterusnya berulang-ulang, nilai perkiraan pada langkah ke k diperoleh
Pencarian dihentikan setelah didapat nilai yang konvergen yaitu, yang tidak atau sedikit berubah dari nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya:
Demikian seterusnya berulang-ulang, nilai perkiraan pada langkah ke k diperoleh dari nilai perkiraan pada langkah ke k-1:
n)
...,
1,
(i
x
a
b
a
1
x
n i j 1) -(k j ij i ii (k) i
=
−
=
∑
≠ ix
kecil
bilangan
ε
ε,
x
x
1
(k) i 1) -(k i<
=
−
Jika pada tiap langkah pencarian dilakukan dengan urutan i yang makin besar, maka semua sudah diperoleh ketika mencari .
Sebaliknya, jika dilakukan dengan urutan i yang makin kecil, maka semua sudah diperoleh ketika mencari .
Karena itu, nilai atau itu bisa langsung dipakai untuk mencari , Rumus iterasi Jacobi dapat ditulis:
(k) i
x
−
−
=
∑
∑
> < j i 1) -(k j ij i j 1) -(k j ij i ii (k) ib
a
x
a
x
a
1
x
(k) i jx
< (k) i jx
> (k) ix
(k)x
x
(k)x
(k)Karena itu, nilai atau itu bisa langsung dipakai untuk mencari , sehingga iterasi mencapai nilai konvergen menjadi lebih cepat:
(k) i j
x
< (k) i jx
>x
i(k) 1) 2, ..., n, (i x a x a b a 1 x n) ..., 2, 1, (i x a x a b a 1 x i j (k) j ij i j 1) -(k j ij i ii (k) i i j 1) -(k j ij i j (k) j ij i ii (k) i = − − = = − − =∑
∑
∑
∑
> < > <Kita lihat kembali metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition untuk mencari solusi sebuah sistem persamaan linear. Pada metode ini terdapat substitusi mundur dan maju. Pada substitusi mundur (maju), nilai dihitung dari nilai ( ), sehingga kesalahan (ketidakakuratan) pada ( ) terakumulasi pada . Dengan kata lain, terjadi perambatan kesalahan.
Pada metode iterasi tidak terdapat perambatan kesalahan seperti itu. Semua elemen x dilihat secara sama. Pada tiap langkah
i
x
x
j>i i jx
>x
i i jx
< i jx
<Pada metode iterasi tidak terdapat perambatan kesalahan seperti itu. Semua elemen x dilihat secara sama. Pada tiap langkah
dilakukan pemeriksaan konvergensi untuk semua elemen x. Jadi, untuk tiap elemen x terdapat kesempatan yang sama untuk
mencapai keakuratan yang diinginkan.
Namun, pada metode iterasi ada keharusan menentukan nilai awal, yang bisa saja sulit dilakukan atau menimbulkan masalah, misalnya membuat iterasi terlalu lama mencapai konvergensi.
