KOSET TEOREMA LAGRANGE DAN SUBGRUP NORMAL

(1)

RESUME RESUME “KOSET TEOREMA

“KOSET TEOREMA LAGRANGE LAGRANGE DAN SUBGRDAN SUBGRUP NORMALUP NORMAL”” Dituju untuk memenuhi tugas

Dituju untuk memenuhi tugas Perk

Perkuliahan Struktur uliahan Struktur AljabarAljabar

Oleh: Oleh: IIS

IIS ROSMERIA ROSMERIA (A1C215001)(A1C215001) F

FEEBBBB  AAUUNNI I EESSA A PPUUTTRRII ((AA11CC22115500 S

SEESSI I SSUUNNDDAARRII ((AA11CC22115500 R

RIIA A NNIINNGGSSII! ! SSAAPPUUTTRRII ((AA11CC22115500 EKA

EKA RARATINTINDRA IDRA IK!SK!SAN D!AN D!ANIANI (A(A1C211C215050 D

DEENNI I NNOO""EERRAA ((AA11CC22115500##$$)) D%&e' Pe'*+,:

D%&e' Pe'*+,: D-. SOFNIDAR/ M.S D-. SOFNIDAR/ M.S

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JAMBI UNIVERSITAS JAMBI

(2)

A

A.. TTUUJJUUAANN

Setelah mempelajari koset teorema Lagrange dan

Setelah mempelajari koset teorema Lagrange dan subgrup normal, pembacasubgrup normal, pembaca

diharapkan untuk: diharapkan untuk:

1.

1. MemaMemahami koshami koset kiri, koseet kiri, koset kanan, sifat kanan, sifat-sifat-sifat koset dan dapt koset dan dapat menggat menggunakunakannyannya dalama dalam grup,

grup, 2.

2. MemaMemahami konhami konsep subsep subgrup normgrup normal, grup faktal, grup faktor dan dapat menor dan dapat menggunggunakanakannya dalanya dalamm penyelesaia

penyelesaian soal.n soal.

Sebagai penjabaran tujuan di atas, setelah mempelajari koset teorema Lagrange dan Sebagai penjabaran tujuan di atas, setelah mempelajari koset teorema Lagrange dan subgrup normal, pembaca dapat:

subgrup normal, pembaca dapat: 1.

1. MeneMenentukntukan kosean koset kiri atau kost kiri atau koset kanaet kanan dari suan dari suatu subgrtu subgrup dalam gup dalam grup terterup tertentuntu 2.

2. MeneMenentukntukan teoreman teorema yang berka yang berkenaaenaan dengan dengan koset-kn koset-koset suaoset suatu subgrtu subgrup dalam gruup dalam grupp tertentu

tertentu !.

!. MeneMenentukntukan banyan banyaknyaknya koset-ka koset-koset yaoset yang berbeng berbeda dari suatda dari suatu subgruu subgrup dalam grupp dalam grup tertentu

tertentu ".

". MeneMenentukntukan hubuan hubungan anngan antara ordtara order suater suatu grup dan ordu grup dan order dari suber dari subgrupnygrupnyaa #.

#. MeneMenentukntukan hubuan hubungan anngan antara petara periode suriode suatu elematu elemen dari gruen dari grup dan ordep dan order dari grupnyr dari grupnyaa $.

$. MeneMenentukntukan elemean elemen-elen-elemen yanmen yang kongrueg kongruen modulo sun modulo suatu subgatu subgrup dari grup tertrup dari grup tertentuentu %.

%. MengMengidenidentifikatifikasi apakasi apakah subgruh subgrup dari suatu grup dari suatu grup merupap merupakan subgkan subgrup normrup normal ataual atau tidak

tidak &.

&. MeneMenentukntukan syaraan syarat-syat-syarat agar suarat agar suatu subgrutu subgrup merupap merupakan subgkan subgrup normarup normal dari grupl dari grup tertentu

tertentu '.

'. MeneMenentukntukan teorean teorema yama yang berkng berkenaaenaan dengn dengan suban subgrup nogrup normalrmal 1(.

1(. Menentukan baMenentukan banyaknya enyaknya elemen dari suatu grup lemen dari suatu grup faktor.faktor.

B

B.. MMAATTEERRII

)dapun materi yang akan dipelajari sesuai dengan tujuan di

)dapun materi yang akan dipelajari sesuai dengan tujuan di atas, adalah:atas, adalah:

1.

1. MeneMenentukntukan Kosean Koset K! At K! Atau Kostau Koset Kanet Kanan Da! Suaan Da! Suatu Su"#tu Su"#!u$ Da%!u$ Da%a& G!u$a& G!u$ Te!tentu

Te!tentu

*e

*efifininisi %si %.1.1 +i+ika  ska  suauatu stu sububgrgrup dup darari grui grup p  ∘∘ / dan a/ dan a ∈∈  maka a 0  maka a 0 {{hh∘∘aa||hh∈∈ H H }} disebut koset kanan dari  dalam , sedangkan a 0_{disebut koset kanan dari  dalam , sedangkan a 0}

{{aa∘∘hh||hh∈∈ H H }} disebut koset kiri dari  dalam ._{disebut koset kiri dari  dalam .}

)pabila , / merupakan grup, dan S subgrup dari , maka : )pabila , / merupakan grup, dan S subgrup dari , maka :

(3)

aS 0

aS 0 {{aa++ss||ss∈∈SS}} dan Sa 0 dan Sa 0 {{ss++aa||ss∈∈SS}} apabila , / grup dan S subgrup dari  maka: apabila , / grup dan S subgrup dari  maka: aS 0

aS 0 {{aa ×× ss||ss∈∈SS}} dan Sa 0 dan Sa 0 {{ss ××aa||ss∈∈SS}} secara umum, a

secara umum, a ∘∘ s ditulis as dan s s ditulis as dan s ∘∘ a ditulis sa. a ditulis sa.

3ontoh

3ontoh 1. 1. Misalnya Misalnya   0 0 4..., 4..., -2, -2, -1, -1, (, (, 1, 1, 2, 2, ...5 ...5 sedangkan sedangkan , , / / merupakan merupakan grupgrup Misalnya S 0 4..., -$, -!,

Misalnya S 0 4..., -$, -!, (, !, $, ...5(, !, $, ...5 Maka

Maka S2 0 4S2 0 4..., (, ..., (, 1, 2, 1, 2, #, &, #, &, ...5 adala...5 adalah koset h koset kanan dkanan dari sari s S! 0 4..., -!, (, !,

S! 0 4..., -!, (, !, $, ', ...5 adalah koset kanan dari s$, ', ...5 adalah koset kanan dari s 1S 0 4..., -#, -2, 1,

1S 0 4..., -#, -2, 1, ", %, ...5 adalah koset kiri dari s.", %, ...5 adalah koset kiri dari s. 3ontoh

3ontoh 2. 2. Misalkan Misalkan 6 6 adalah adalah himpunan himpunan semua semua bilangan bilangan bulat. bulat. Maka Maka 6 6 dengan dengan operasioperasi penjumlahan meru

penjumlahan merupakan suatu grupakan suatu grup. p. ## adalah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan semua bilangan bulat

kelipatan #. Maka 

kelipatan #. Maka ## dengan operasi penjumlahan juga dengan operasi penjumlahan juga merupakan semuamerupakan semua

suatu grup. 

suatu grup. ##⊂⊂ 6, jadi  6, jadi ## merupakan subgrup dari 6. merupakan subgrup dari 6.

7oset kanan dimana 

7oset kanan dimana ## dalam 6 untuk " dalam 6 untuk " ∈∈ 6 adalah 6 adalah ##""

6 0 4..., -2, -1, (, 1, 2, ...5 6 0 4..., -2, -1, (, 1, 2, ...5  ## 0 4..., -1(, -#, 0 4..., -1(, -#, (, #, 1(, ...5(, #, 1(, ...5  ##" 0 4h  "" 0 4h  " '' hh ∈∈  ##55 →→  ##" 0 4..., -$, -1, " 0 4..., -$, -1, ", ', 1", ...5", ', 1", ...5 6 6##0 4!  h0 4!  h ''hh ∈∈  ##55 →→ ! !##0 4..., -%, -2, !, 0 4..., -%, -2, !, &, 1!, ...5&, 1!, ...5 "

"## koset kiri dari  koset kiri dari ## dan 6. dan 6.

3

3oonnttooh h !!.. MMiissaallnnyyaa  0 4i,

 0 4i, a, b, c, d, e5 sedangkan ,a, b, c, d, e5 sedangkan , ∘∘/ adalah grup dengan/ adalah grup dengan

i i 0 0 11/ / 22/ / !!// c c 0 0 2 2 !!// a a 0 0 1 1 2 2 !!// d d 0 0 1 1 !!// b 0 1 ! 2/ b 0 1 ! 2/ e 0 1 2/, dane 0 1 2/, dan ∘

∘ adalah operasi perkalian permutasi adalah operasi perkalian permutasi

asil kali anggtota  disajikan dalam tabel berikut ini: asil kali anggtota  disajikan dalam tabel berikut ini:

∘

∘ ii aa bb cc dd ee

i i

i i aa bb cc dd ee

(4)

b b bb ii aa dd ee cc cc cc dd ee ii aa bb dd dd ee cc bb ii aa e e c d a b i e e c d a b i

Subgrup dari  adalah 4i, a, b5, 4i, c5, 4i,

Subgrup dari  adalah 4i, a, b5, 4i, c5, 4i, d5, 4i, e5d5, 4i, e5

Misalnya S 0 4i, c5 Misalnya S 0 4i, c5

7oset kanan dari S dalam  adalah: 7oset kanan dari S dalam  adalah: SSi i 0 0 44ii, , cc55 SSc c 0 0 44cc, , ii55

SSa a 0 0 44iiaa, , ccaa5 5 0 0 44aa, , dd55 SSd d 0 0 44iidd, , ccdd5 5 0 0 44dd, , aa55 SSb b 0 0 44iibb, , ccbb5 5 0 0 44bb, , ee55 SSe e 0 0 44iiee, , ccee5 5 0 0 44ee, , bb55 7oset kiri dari S dalam 

7oset kiri dari S dalam  adalah:adalah:

iiS S 0 0 44ii, , cc55 ccS S 0 0 44cc, , ii55

aaS S 0 0 44aaii, , aacc5 5 0 0 44aa, , ee55 ddS S 0 0 44ddii, , ddee5 5 0 0 44dd, , bb55 bS 0 4bi, bc5 0 4b, d

bS 0 4bi, bc5 0 4b, d55 eS 0 4ei, ec5 0 4e, a5eS 0 4ei, ec5 0 4e, a5

3ontoh

3ontoh ". ". Misalnya Misalnya   0 0 41, 41, -1, -1, i, i, -i5 -i5 dengan dengan i i 00 √ √ −−11 atau i atau i22_{0 -1. Maka ,/}_{0 -1. Maka ,/}

merupakan grup dengan elemen identitas 1. merupakan grup dengan elemen identitas 1.

Misalnya S 0 41, -15. Maka S merupakan subgrup dari  Misalnya S 0 41, -15. Maka S merupakan subgrup dari  7oset kanan dari S dalam  adalah:

7oset kanan dari S dalam  adalah: SS1 1 0 0 4411, , --1155 SSi i 0 0 44ii, , --ii55 SS--11/ / 0 0 44--11, , 1155 SS--ii/ / 0 0 44--ii, , ii55 7oset kiri dari S dalam 

7oset kiri dari S dalam  adalah:adalah:

11S S 0 0 4411, , --1155 iiS S 0 0 44ii, , --ii55 --11//S S 0 0 44--11, , 1155 --ii//S S 0 0 44--ii, , ii55 3

3oonnttooh h ##.. MMiissaallkkaan n   0 0 4488, , 99, , 9 9 22_{, ), 6, 35 menyatakan grup transformasi dari segitiga}_{, ), 6, 35 menyatakan grup transformasi dari segitiga}

sama sisi )bc. sama sisi )bc.

Subgrup dari  adalah 48, 9, 9

Subgrup dari  adalah 48, 9, 9 22_{5, 48, )5, 48, 65, 48, 35}_{5, 48, )5, 48, 65, 48, 35}

Misalnya S 0 48, 9, 9

Misalnya S 0 48, 9, 9 22₅₅

7oset kanan dari S dalam  adalah 7oset kanan dari S dalam  adalah S8 0 48, 9, 9

S8 0 48, 9, 9 22₅₅ _SS)₎₀_{0 44)}_),_,₃_3,_,₆₆₅₅

S9 0 49, 9

(5)

S.9

S.9 22_{0 49}_{0 49}22_,_{, 88,}_{, 9}₉₅₅ _SS3_{3 0}_{0 443}_3,_{, 6}_6,_{, )}₎₅₅

7oset kiri dari S dalam 

7oset kiri dari S dalam  adalahadalah

8S 0 48, 9, 9 8S 0 48, 9, 9 22₅₅ _)S₎_{S 0}₀₄₄₎_),_,₆_6,_,₃₃₅₅ 9S 0 49, 9 9S 0 49, 9 22_,_{, 8855} _6S₆_{S 0}_{0 446}_6,_{, 3}_3,_{, )}₎₅₅ 9 9 22_{S 0 49}_{S 0 49}22_,_{, 88,}_{, 9}₉₅₅ ₃_3S_{S 0}_{0 443}_3,_{, )}_),_{, 6}₆₅₅

erhatikan lagi definisi koset. Misalkan S

erhatikan lagi definisi koset. Misalkan S adalah subgrup dari adalah subgrup dari  ∘∘//

Misalkan anggota dari S adalah h

Misalkan anggota dari S adalah h11, h, h22, h, h!!, ..., , ..., yang semuanya berlainan.yang semuanya berlainan.

+ika a

+ika a ∈∈  dan a  dan a ∉∉ S, maka anggota dan koset S, maka anggota dan koset kanan Sa adalah hkanan Sa adalah h11∘∘ a, h a, h22 ∘∘ a, h a, h!!∘∘

a, ..., yang semuanya berlainan pula. Sebab jika ada anggota dalam

a, ..., yang semuanya berlainan pula. Sebab jika ada anggota dalam Sa yang sama, yaitu hSa yang sama, yaitu h ii∘∘

a 0 h

a 0 h j j∘∘ a, dengan sifat a, dengan sifat kanselasi diperoleh hkanselasi diperoleh hii0 h0 h j j. al ini tidak mungkin karena anggota dari. al ini tidak mungkin karena anggota dari

S semuanya berlainan. 6egitu pula anggota dari koset kanan Sa

S semuanya berlainan. 6egitu pula anggota dari koset kanan Sa tidak ada yang sama dengantidak ada yang sama dengan

anggota dari S. Sebab andaikan ada yang sama, misalkan h

anggota dari S. Sebab andaikan ada yang sama, misalkan hii∘∘ a 0 h a 0 h j j, dengan h, dengan hii, h, h j j ∈∈ S, S,

yang berarti: yang berarti:

hhii-1-1∘∘ h hii ∘∘a/ a/ 0 0 hhii-1-1∘∘ h h j j

h

hii-1-1 ∘∘ h hii//∘∘ a 0 h a 0 hii-1-1 ∘∘ h h j j

ii∘∘ a/ 0 h a/ 0 hii-1-1 ∘∘ h h j j

a 0 h

a 0 hii-1-1 ∘∘ h h j j

S suatu subgrup maka S

S suatu subgrup maka S suatu grup. Sehingga, apabila hsuatu grup. Sehingga, apabila h j j ∈∈ S maka h S maka h-1-1 ∈∈ S pula. h S pula. hii, h, hii-1-1

∈

∈ _{S maka h}_{S maka h}

ii ∘∘ h hii-1-1// ∉∉ S karena sifat tertutup/. 7arena a 0 S karena sifat tertutup/. 7arena a 0 hhii-1-1 ∘∘ h hii maka a maka a ∈∈ S. al S. al

ini pun tidak

ini pun tidak mungkin, sebab tadi mengambil amungkin, sebab tadi mengambil a ∈∈  dengan a  dengan a ∈∈ S. S. Sekarang ambil b

Sekarang ambil b ∈∈  dengan b 0 a, dan  dengan b 0 a, dan bb ∈∈ S. Maka anggota dari koset kanan S S. Maka anggota dari koset kanan S

dalam  untuk b

dalam  untuk b ∈∈ , yaitu Sb adalah h , yaitu Sb adalah h11∘∘ b, h b, h22 ∘∘ b, h b, h!!∘∘ b, ... tentu anda dapat b, ... tentu anda dapat

menunjukkan bah;a anggota dari dalam Sb ini tidak

menunjukkan bah;a anggota dari dalam Sb ini tidak ada yang sama. 6egitu pula anggota dariada yang sama. 6egitu pula anggota dari

Sb tidak ada yang sama dengan anggota dari

Sb tidak ada yang sama dengan anggota dari S.S.

ernyataan ini dapat ditunjukkan melalui contoh !, yaitu S 0 4i, c5 ernyataan ini dapat ditunjukkan melalui contoh !, yaitu S 0 4i, c5 11// ++iikka a ii ∈∈ s dan c s dan c ∈∈ S maka Si 0 S dan Sc 0 S S maka Si 0 S dan Sc 0 S

(6)

22// ++iikka a aa ∉∉ S dan b S dan b ∉∉ S maka Sa S maka Sa ≠≠ S dan Sb S dan Sb ≠≠ S S

<ntuk memahami sifat-sifat koset, perlu anda perhatikan bah;a Sa/a

<ntuk memahami sifat-sifat koset, perlu anda perhatikan bah;a Sa/a-1-1_{0 Si 0 S dan}_{0 Si 0 S dan}

Sb/b

Sb/b-1-1_{0 Si 0 S}_{0 Si 0 S}

*alam contoh ! diketahui bah;a a dan b saling in=ers, yaitu a

*alam contoh ! diketahui bah;a a dan b saling in=ers, yaitu a-1-1_{0 b dan b}_{0 b dan b}-1-1_{0 a}_{0 a}

)mbil

)mbil Sa Sa 0 0 4a, 4a, d5 d5 dan dan Sb Sb 0 0 4b, 4b, e5e5 Sa/a

Sa/a-1-1_{0 Sa/b 0 4ab, ad5 0 4i, c5 0 S}_{0 Sa/b 0 4ab, ad5 0 4i, c5 0 S}

Sb/b

Sb/b-1-1_{0 Sb/a 0 4ba, ea5 0 4i, c5 0 S}_{0 Sb/a 0 4ba, ea5 0 4i, c5 0 S}

(.

(. Menentukan Menentukan TTeo!eo!e&a )ae&a )an# Be!ken# Be!kenaan Den#naan Den#an Kosean Koset*Koset t*Koset Suatu SuSuatu Su"#!u$ Da%a"#!u$ Da%a&& G!u$

G!u$ TeTe!tentu!tentu

Te

Teorema 7orema 7.1.1 +ika +ika S S adalah adalah subgrup subgrup dari dari , , dan dan aa ∈∈ S, maka Sa 0 S S, maka Sa 0 S

6ukti: 6ukti:

Sa adalah koset kanan dari S,

Sa adalah koset kanan dari S, yang anggotanya adalah hasil kali anggota S danyang anggotanya adalah hasil kali anggota S dan a, dari kanan. 7arena S

a, dari kanan. 7arena S adalah subgrup yang memenuhi sifat tertutup, dan aadalah subgrup yang memenuhi sifat tertutup, dan a

∈

∈ _{S maka}_{S maka hasil kali setiap anggota S}_{hasil kali setiap anggota S dengan a merupakan anggota S pula.}_{dengan a merupakan anggota S pula.}

+adi Sa +adi Sa ⊂⊂ S S

7arena a

7arena a ∈∈ S maka a-1 S maka a-1 ∈∈ S. +adi, S 0 4sa-1/ S. +adi, S 0 4sa-1/ a>sa>s ∈∈ S 5 S 5 ⊂⊂ Sa Sa

+adi Sa 0 S +adi Sa 0 S

Te

Teorema 7orema 7.2.2 +ika  +ika  adalah gadalah grup dan rup dan S adalaS adalah Subgrup h Subgrup dari , dari , maka Sa maka Sa 0 Sb jika 0 Sb jika dan hanydan hanyaa

jika ab

jika ab-1-1 ∈∈ _S._S.

6ukti: 6ukti: 1/

1/ )ka)kan dn dibuibuktiktikakan : n : Sa Sa 0 Sb0 Sb →→ ab ab-1-1 ∈∈ _S_S

Misalkan Sa 0 Sb Misalkan Sa 0 Sb M Maakkaa SSaa//bb-1-1_{0 Sb/b}_{0 Sb/b}-1-1 Sab Sab-1-1_{0 Si}_{0 Si} Sab

Sab-1-1_{0 S. 7arena i}_{0 S. 7arena i} ∈∈ _{S, maka ab}_{S, maka ab}-1-1_{0 i ab}_{0 i ab}-1-1_// ∈∈ _S_S

+adi Sa 0 Sb

(7)

2/

2/ )k)kan an didibubuktktikikan an abab-1-1 ∈∈ _S_S →→ _{Sa 0 Sb}_{Sa 0 Sb}

Misalkan ab

Misalkan ab-1-1 ∈∈ _S_S

Menurut teorema di atas Sab

Menurut teorema di atas Sab-1-1_{0 S}_{0 S}

Maka Sab Maka Sab-1-1_{/ b 0 Sb}_{/ b 0 Sb} Sa/ b Sa/ b--_{1b/ Sb}_{1b/ Sb} Sai 0 Sb Sai 0 Sb Sa 0 Sb Sa 0 Sb +adi ab

+adi ab-1-1 ∈∈ _S_S →→ _{Sa 0 Sb}_{Sa 0 Sb}

*ari 1/ dan 2/ diperoleh Sa 0

*ari 1/ dan 2/ diperoleh Sa 0 SbSb ↔↔ ab ab-1-1 ∈∈ _S_S

Te

Teorema 7orema 7.3.3 +ika S adalah subgrup dari grup , maka b +ika S adalah subgrup dari grup , maka b ∈∈ Sa jika dan hanya jika Sa 0 Sa jika dan hanya jika Sa 0 Sb.Sb.

6ukti : 6ukti : 1/

1/ )k)kan an didibubuktiktikakan bn b ∈∈ Sa Sa →→ Sa 0 Sb Sa 0 Sb *apat dilakukan dengan dua cara

*apat dilakukan dengan dua cara 3ara 1

3ara 1

aa ∈∈ Sb Sb →→ ab ab-1-1 ∈∈ _Sbb_Sbb-1-1_{atau ab}_{atau ab}-1-1 ∈∈ _S_S

Menurut ?eorema Menurut ?eorema ab ab-1-1 ∈∈ _S_S →→ _Sab_Sab-1-1_{0 S}_{0 S} Sab Sab-1-1_{b 0 Sb}_{b 0 Sb} Sai 0 Sb Sai 0 Sb Sa 0 Sb Sa 0 Sb 3ara 2 3ara 2 Misalnya b

Misalnya b ∈∈ Sa. Maka b 0 s Sa. Maka b 0 s j j . a untuk suatu s . a untuk suatu s j j ∈∈ S S

b a b a-1-1_{0 s}_{0 s} j j a/ aa/ a-1-1 b a b a-1-1_{0 s}_{0 s} j ja a aa-1-1// b a b a-1-1_{0 s}_{0 s} j j i i b a b a-1-1_{0 s}_{0 s} j j maka b a maka b a-1-1 ∈∈ _S_S

Menurut teorema, jika b a

Menurut teorema, jika b a-1-1 ∈∈ _{S maka Sa 0 Sb}_{S maka Sa 0 Sb}

2/

2/ )k)kan dan dibibukuktiktikan San Sa 0 Sba 0 Sb →→ b b ∈∈ Sa Sa 3ara 1

3ara 1 b

b ∈∈ Sa Sa →→ ba ba-1-1 ∈∈ _Saa_Saa-1-1

ba ba-1-1 ∈∈ _S_S Menurut ?eorema Menurut ?eorema Sba Sba-1-1_{0 S}_{0 S} Sba Sba-1-1_{a 0 Sa}_{a 0 Sa} Sbi 0 Sa Sbi 0 Sa Sb 0 Sa Sb 0 Sa )tau )tau Sa Sa 0 0 SbSb

(8)

3ara 2 3ara 2 b

b ∈∈ Sb, sebab S memuat i sehingga ib 0 b Sb, sebab S memuat i sehingga ib 0 b b

b ∈∈ Sb dan Sa 0 Sb. Sb dan Sa 0 Sb. Maka bMaka b ∈∈ Sa Sa jadi Sa 0 Sb

jadi Sa 0 Sb →→ b b ∈∈ Sa Sa

dari 1/ dan 2/ diperoleh b

dari 1/ dan 2/ diperoleh b ∈∈ Sa Sa ↔↔ Sa 0 Sb Sa 0 Sb

+.

+. MeneMenentukntukan Ban)aan Ban)akn)a Koskn)a Koset*Ket*Koset )anoset )an# Be!"e# Be!"e,a Da! Suat,a Da! Suatu Su"#!uu Su"#!u$ Da%a&$ Da%a& G!u$

G!u$ TeTe!tentu!tentu

?ujuan diatas sesuai dengan ?eorema berikut: ?ujuan diatas sesuai dengan ?eorema berikut:

Te

Teorema 7.4orema 7.4 +ika S adalah subgrup dari  maka:+ika S adalah subgrup dari  maka:

1.

1.  ada adalah glah gabunabungan sgan semua emua kosekoset kant kanan Saan Sa, den, dengan agan a ∈∈ . . 2.

2. <n<ntutuk sk setetiaiap ap a, b, b ∈∈  maka Sa 0 Sb  maka Sa 0 Sb atau Saatau Sa ∩∩ Sb 0 Sb 0 ∅∅ *apat pula dikatakan bah;a jika Sa

*apat pula dikatakan bah;a jika Sa ≠≠ Sb maka Sa Sb maka Sa ∩∩ Sb 0 Sb 0 ∅∅

6ukti : 6ukti : 1/

1/ )ka)kan dn dibuibuktikktikan an bahbah;a ;a  0 0 ¿¿aa∈∈GG SaSa 6ukti menggunakan kesamaan dua

6ukti menggunakan kesamaan dua himpunanhimpunan

aa// ))mmbbiil l  ∈∈  dan S koset kanan dari S di  dan S koset kanan dari S di , i, i ∈∈ S dan i S dan i ∈∈ S S 7arena i 0  maka 

7arena i 0  maka  ∈∈ S dan  S dan  ∈∈ ¿¿aa∈∈GG SaSa

+adi 

+adi  ⊂⊂ ¿¿aa∈∈GG SaSa

b/

b/ )mbil y)mbil y ∈∈ ¿¿aa∈∈GG SaSa , berarti ada p, berarti ada p ∈∈  sehingga  sehingga yy ∈∈ Sp, berarti ada SSp, berarti ada S11 ∈∈ S dan y 0 sS dan y 0 s11 p p

+ika s

+ika s11 ∈∈ S maka sS maka s11 ∈∈  

7arena s

7arena s11 ∈∈  dan p  dan p ∈∈  maka s  maka s11 p p ∈∈  atau y  atau y ∈∈  

+adi

+adi ¿¿aa∈∈GG SaSa ⊂⊂  

karena 

karena  ⊂⊂ ¿¿aa∈∈GG SaSa dan dan ¿¿aa∈∈GG SaSa ⊂⊂  maka   maka  ¿¿

¿

¿aa∈∈GG SaSa 2/

2/ )k)kan dan dibibukuktiktikan baan bah;h;aa ∀∀ a,b a,b ∈∈ , Sa 0 Sb atau Sa, Sa 0 Sb atau Sa ∩∩ Sb 0 Sb 0 ∅∅

)ndaikan Sa

)ndaikan Sa ∩∩ Sb Sb ≠≠ ∅∅

6erarti ada c

6erarti ada c ∈∈ Sa Sa ∩∩ Sb, Maka c Sb, Maka c ∈∈ Sa dan c Sa dan c ∈∈ Sb Sb

Menurut

Menurut teorema teorema cc ∈∈ Sa jika dan hanya jika Sa 0 Sa jika dan hanya jika Sa 0 ScSc cc ∈∈ Sb jika dan hanya jika Sb 0 Sb jika dan hanya jika Sb 0 ScSc

(9)

cc ∈∈ Sa Sa ∩∩ Sb, Sb, ⇔⇔ Sa 0 Sb 0 Sc Sa 0 Sb 0 Sc +adi Sa

+adi Sa ∩∩ Sb Sb ≠≠ ∅∅ ⇒⇒ _Sa0Sb_Sa0Sb

7ontraposisi dengan implikasi ini benar, yakni jika Sa

7ontraposisi dengan implikasi ini benar, yakni jika Sa ≠≠ Sb maka SaSb maka Sa ∩∩

Sb

Sb ≠≠ ∅∅ _{. ?erbukti}_{. ?erbukti}

*emikian pula untuk koset kiri dari S dalam . *emikian pula untuk koset kiri dari S dalam .

Te

Teorema 7.5orema 7.5 Misalkan ,Misalkan , oo/ adalah grup dan S merupakan subgrup dari . +ika i adalah/ adalah grup dan S merupakan subgrup dari . +ika i adalah

elemen identitas dari , a

elemen identitas dari , a ∈∈  dan a  dan a ≠≠ i maka Sa bukan subgrup dari . i maka Sa bukan subgrup dari .

Te

Teorema 7.6orema 7.6 +ika ,+ika , o o/ adalah grup dan S adalah subgrup dari  maka/ adalah grup dan S adalah subgrup dari  maka ∀∀ a,ba,b ∈∈  

berlaku S

berlaku S ∽∽ Sa. Sa.

6ukti: Misalkan a

6ukti: Misalkan a ∈∈  dan a  dan a ∉∉ S maka Sa S maka Sa ≠≠ S S

erhatikan pemetaa

erhatikan pemetaan f : n f : SS →→ Sa dengan fs/ 0 sa, Sa dengan fs/ 0 sa, ∀∀ s s ∈∈   )nggota dari Sa diperoleh dari perkalian setiap

)nggota dari Sa diperoleh dari perkalian setiap ss ∈∈ S dengan aS dengan a ∈∈

. . 6erarti

6erarti setiap setiap anggota anggota dari dari Sa Sa merupakan merupakan banyaknya banyaknya anggota anggota dari dari S.S. )kan dibuktikan pemetaan itu satu la;an satu.

)kan dibuktikan pemetaan itu satu la;an satu. Misalkan s

Misalkan s11ss22 ∈∈ S dan fs S dan fs11/ 0 fs/ 0 fs22//

7arena: fs

7arena: fs11/ 0 s/ 0 s11a dan fsa dan fs22/ 0 s/ 0 s22aa

*engan pelenyapan

*engan pelenyapan, yang berlaku dalam grup , yang berlaku dalam grup diperoleh sdiperoleh s110 s0 s22

+adi f adalah pemetaan satu la;an satu. +adi f adalah pemetaan satu la;an satu.

∀ ∀ _s_s

11ss22 ∈∈ S, jika fs S, jika fs11/ 0 fs/ 0 fs22/ maka s/ maka s110 s0 s22 Demikian

Demikian _{pula sebaliknya}_{pula sebaliknya}

emetaan g: Sa

emetaan g: Sa →→ S dengan gsa/ 0 s,S dengan gsa/ 0 s, ∀∀ s s ∈∈ S, juga S, juga pemetaan sa

pemetaan satu la;an satu.tu la;an satu. +adi S

+adi S ∽∽ Sa. Sa.

Te

Teorema 7.7orema 7.7 +ika ,+ika ,oo/ adalah grup, dan / adalah grup, dan S merupakan subgrup dari , makaS merupakan subgrup dari , maka ∀∀ a,b a,b ∈∈

 berlaku Sa

 berlaku Sa ∽∽ Sb. Sb.

-.

(10)

?ujuan ini sesuai dengan ?eorema berikut. ?ujuan ini sesuai dengan ?eorema berikut.

Te

Teorema 7.8orema 7.8 ?eorema Lagrange?eorema Lagrange

+ika  suat grup berhingga dan S adalah subgrup dari , maka order dari S +ika  suat grup berhingga dan S adalah subgrup dari , maka order dari S membagi habis order dari  ditulis nS/ @

membagi habis order dari  ditulis nS/ @ n//.n//.

6ukt

6ukti:i: MisalMisalkan  kan  adaladalah grah grup beup berhungrhungga dega dengan ngan order order m dan m dan subgsubgrup darup dari Sri S dengan order k. +adi 

dengan order k. +adi  mempunyai tepat m buah angka berlainan dan Smempunyai tepat m buah angka berlainan dan S mempunyai k anggota berlainan.

mempunyai k anggota berlainan. 6uatlah koset kanan dari S dalam .

6uatlah koset kanan dari S dalam . Menurut teorema: Menurut teorema: • •  0 0 ¿¿ a a_∈_∈GG SaSa •

• makamaka ∀∀ a,b a,b ∈∈  berlaku Sa  berlaku Sa

∩ ∩

Sb

Sb ≠≠ ∅∅ _{atau Sa 0 Sb.}_{atau Sa 0 Sb.}

7arena S berhingga dan

7arena S berhingga dan ∀∀ a,b a,b ∈∈ S berlaku Sa S berlaku Sa ∽∽ Sb, maka banyaknya Sb, maka banyaknya

anggota Sa0 banyaknya anggota Sb. *emikian pula S

anggota Sa0 banyaknya anggota Sb. *emikian pula S ∽∽ Sa. Sa.

+adi nSa/ 0 nSb/ 0 nS/ 0 k +adi nSa/ 0 nSb/ 0 nS/ 0 k

)pabila banyaknya koset kanan yang terbentuk

)pabila banyaknya koset kanan yang terbentuk l l buah maka m 0 buah maka m 0 l l k.k.

6erarti k faktor dari m

6erarti k faktor dari m atau m habis dibagi oleh k, dan ditulis k @ atau m habis dibagi oleh k, dan ditulis k @ m.m. +adi nS/ @ n/.

+adi nS/ @ n/.

Definisi 7.2

Definisi 7.2 +ika  suatu grup dan S adalah subgrup dari , maka yang disebut indeks dari S+ika  suatu grup dan S adalah subgrup dari , maka yang disebut indeks dari S

dalam  adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari S dalam

dalam  adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari S dalam , ditulis i, ditulis i gg

S/. +ika S suatu grup berhingga maka i

S/. +ika S suatu grup berhingga maka igg S/ 0 S/ 0

n n((GG)) n

n((SS)) ..

.

. MeneMenentukntukan Hu"unan Hu"un#an A#an Anta!nta!a Pe!o,a Pe!o,e Suatu E%ee Suatu E%e&en Da! G!u&en Da! G!u$ ,an O!,e! Da$ ,an O!,e! Da!! G!u$n)a

G!u$n)a

*efin

*efinisi %.isi %.2 2 +ika  +ika  suatsuatu gruu grup dan p dan S adaS adalah slah subgroubgroup daup dari  ,mari  ,maka yka yang diang disebusebut indt indekseks sari S dalam 

sari S dalam  adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari dalam , danadalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari dalam , dan ditulis i

ditulis i S/. +ika  suatu grup berhingga, maka i S/. +ika  suatu grup berhingga, maka igg S/ 0 S/ 0 n n((GG)) n n((SS)) . . 3ontoh: 3ontoh:

(11)

? 0 41, 2, !, ", #,

? 0 41, 2, !, ", #, $5 dengan operasi perkalian modulo % membentu$5 dengan operasi perkalian modulo % membentuk suatuk suatu grup. grup. +a;aban : +a;aban : A A%% 11 22 !! "" ## $$ 1 1 2 ! " # $ 1 1 2 ! " # $ 2 2 " $ 1 ! # 2 2 " $ 1 ! # ! ! $ 2 # 1 " ! ! $ 2 # 1 " " " 1 # 2 $ ! " " 1 # 2 $ ! # # ! 1 $ " 2 # # ! 1 $ " 2 $ $ # " ! 2 1 $ $ # " ! 2 1 BB

11.. CCppeerraassi i AA%% pada M pada M%% bersifat tertutup karna berdasarkan hasil operasi A bersifat tertutup karna berdasarkan hasil operasi A%% pada tabel pada tabel

terlihat bah;a semua hasil operasinya adalah anggota dari M

terlihat bah;a semua hasil operasinya adalah anggota dari M%.%.

22.. CCppeerraassi i AA%% pada M pada M%% bersifat komutatif,karena hasil operasi A bersifat komutatif,karena hasil operasi A%% pada tabel sime pada tabel simetristris

terhadap diagonal utama. terhadap diagonal utama.

!!.. CCppeerraassi i AA%% pada M pada M%% tabel terlihat bah;a setiap baris maupun kolom memiliki anggota tabel terlihat bah;a setiap baris maupun kolom memiliki anggota

yang berbeda,selanjutny

yang berbeda,selanjutnya akan diperhatikan melalui a akan diperhatikan melalui contoh-contoh berikut :contoh-contoh berikut : aa.. 2 2 AA%% !/ A!/ A%%" 0 2 A" 0 2 A%%  ! A ! A%% " /" / $ A $ A%%" " 0 0 2 2 AA%% ## ! ! 0 !0 ! b. b.  ! A ! A%%1 / A1 / A%% 2 0 ! A2 0 ! A%%  1 A 1 A%% 2 /2 / ! A ! A%% 2 2 0 0 ! ! AA%%22 $ $ 0 0 $$ cc.. 2 2 AA%%" / A" / A%%1 1 0 0 2 2 AA%%" A" A%% 1 /1 / 1 A 1 A%% 1 1 0 0 2 2 AA%% "" 1 1 0 0 1 1   ?D96<7?8 ?D96<7?8 //

6erdasarkan ! contoh diatas maka terbukti bah;a M

6erdasarkan ! contoh diatas maka terbukti bah;a M%,%,AA%%/ bersifat assosiatif./ bersifat assosiatif.

".

". 6erd6erdasarkasarkan tabel tean tabel terliharlihat bah;a adt bah;a ada 1 baris yana 1 baris yang persis sag persis sama dengma dengan barian baris palings paling atas, maka 1 adalah elemen identitas kiri

atas, maka 1 adalah elemen identitas kiri dan ada 1 kolom dan ada 1 kolom yang persis sama denganyang persis sama dengan kolom paling kiri, maka 1

kolom paling kiri, maka 1 adalah elemen identitas kanan.adalah elemen identitas kanan. Sehingga 1 adalah elemen identitas pada M

Sehingga 1 adalah elemen identitas pada M%,%,AA%%/ berdasarkan tabel 1 terlihat / berdasarkan tabel 1 terlihat bah;abah;a

1 A 1 A%%1 1 0 0 1 1 1 1 AA%% 1 0 11 0 1 2 A 2 A%%1 1 0 0 2 2 1 1 AA%%2 2 0 20 2 ! A ! A%% 1 1 0 0 ! ! 1 1 AA%% ! ! 0 !0 ! " A " A%% 1 1 0 0 " " 1 1 AA%%" " 0 "0 " # A # A%%1 1 0 0 # # 1 1 AA% #% # # 0 ## 0 # $ A $ A%%1 1 0 0 $ $ 1 1 AA%% $ $ 0 $0 $ 8ndentitas

8ndentitas kanan kanan 8dentitas 8dentitas kirikiri

#.

#. 6erd6erdasarkasarkan an tabel tabel terleterletak tak bah;bah;a ia in=ern=ers :s : 1 A 1 A%%10 1 A10 1 A%%10 1 E 110 1 E 1-1-10 10 1 2 A 2 A%%" 0 " A" 0 " A%%2 0 1 E22 0 1 E2-1-10 "0 " ! A ! A%% # 0 # A# 0 # A%%! 0 1 E!! 0 1 E! -1-1 0 # 0 # $ A $ A%% $ 0 $ A$ 0 $ A%%$ 0 1 E $$ 0 1 E $-1-1 0 $ 0 $ +adi, elemen M

(12)

7esimpulan: 7arena M

7esimpulan: 7arena M%,%,AA%%/ bersifat tertutup,bersifat assosiatif,memiliki identitas/ bersifat tertutup,bersifat assosiatif,memiliki identitas

dan semua elemennya memiliki in=ers maka M

dan semua elemennya memiliki in=ers maka M%,%,AA%%/ terbukti suatu/ terbukti suatu

grup. grup. Sub grup dari M

Sub grup dari M%,%,AA%%/ adalah :/ adalah :

) ) 0415 0415 *04 *04 1, 1, $5$5 S S 0 0 4 4 1, 1, 2, 2, "5 "5 3 3 0 0 4 4 2, 2, #5#5 6 0 41, 2, !, ", #, $5 6 0 41, 2, !, ", #, $5 S 0 41, 2, "5

S 0 41, 2, "5 dan * 0 41, $5 terhadap operasi perkalian modulo % merupakandan * 0 41, $5 terhadap operasi perkalian modulo % merupakan subgroup dari ?. 7oset-koset kana dari S dalam ? adalah S

subgroup dari ?. 7oset-koset kana dari S dalam ? adalah S11, S, S2,2,SS!,!,SS",",SS##, S, S$.$. *engan S *engan S11

0 S

0 S2200 SS""0 S0 S

SS!! 0 41.!, 2.!, ".!50 4!, $, #5 0 41.!, 2.!, ".!50 4!, $, #5

SS# 0# 041.#, 2.#, ".#5 0 4#, !, $541.#, 2.#, ".#5 0 4#, !, $5

SS$$ 0 41.$, 2.$, ".$5 04$, #, !5 maka S 0 41.$, 2.$, ".$5 04$, #, !5 maka S!!0 S0 S##0 S0 S$$

+adi banyaknya koset kanan Ss dalam  ada 2,

+adi banyaknya koset kanan Ss dalam  ada 2, atau iatau i  S / 0 2 nampak bah;a nS/ 0  S / 0 2 nampak bah;a nS/ 0

! dan n?/ 0 $ sehingga i ! dan n?/ 0 $ sehingga i??S/ 0S/ 0 n n((T T )) n n((SS)) ..

7oset-koset kanan dari * dalam ? adalah *

7oset-koset kanan dari * dalam ? adalah *11, *, *22, *, *!!, *, *"", *, *##, *, *$$dengan *dengan *110 *0 *$$0 *,0 *,

*

*220 42,#5 dan *0 42,#5 dan *!!0 *0 *""0 4!, "5 sehingga i0 4!, "5 sehingga i??*/ 0 */ 0 !. ?e!. ?entukanlah periode setiap elemenntukanlah periode setiap elemen

dari ?.

dari ?. +a;aban: p1/ 0 1, p2/ 0 !, +a;aban: p1/ 0 1, p2/ 0 !, p!/ 0 $, "/ p!/ 0 $, "/ 0 !, #/ 0 0 !, #/ 0 $, dan p$/ 0 2 p"/ $, dan p$/ 0 2 p"/ 0 !0 ! sebab "

sebab "!!_{0 $" kongruen 1}_{0 $" kongruen 1 modulo %/. erhatikan bah;a periode setiap elemen dari ?}_{modulo %/. erhatikan bah;a periode setiap elemen dari ?}

membagi habis n?/ 0 $, bukti: i

membagi habis n?/ 0 $, bukti: i??S/ 0S/ 0

n n((T T )) n n((SS)) 00 6 6 3 3 0 2. 0 2. Te

Teorema 7orema 7.9.9 +ika +ika   suatu suatu grup grup berhingga berhingga dan dan a a  ϵϵ maka maka pa/Fn/,pa/Fn/,yaitu periode ayaitu periode a

membagi habis order dari . membagi habis order dari . 6ukti:

6ukti:

Misalkan  suatu grup berhingga dengan order atau tingkat m.maka m/ 0 m Misalkan  suatu grup berhingga dengan order atau tingkat m.maka m/ 0 m ambil a

ambil a ∈∈ . +ika a 0 . +ika a 0 i maka pi/ 0 i maka pi/ 0 1 dan 1 membagi habis m. +adi1 dan 1 membagi habis m. +adi pa/Fn/. +ika a G 8, bu

pa/Fn/. +ika a G 8, buatlah grup siklik geatlah grup siklik generator a.nerator a. Misalkan pa/ 0 k, maka a

Misalkan pa/ 0 k, maka akk_{0 8 dan}_{0 8 dan misalkan himpunan perpangka}_{misalkan himpunan perpangkatan a adalah}_{tan a adalah}

S 0 4H, a

S 0 4H, a22_{, a}_{, a}!!_{, ..., a}_{, ..., a}k-1k-1_{, a}_{, a}kk_{0 i5. S adalah suatu grup siklik dengan generator a}_{0 i5. S adalah suatu grup siklik dengan generator a}

dan merupakan subgroup dari . Crder S yaitu ns/ 0 k sebab semua anggota dan merupakan subgroup dari . Crder S yaitu ns/ 0 k sebab semua anggota dari S berlainan.menurut teorema lagrange nS/F n/ atau kFm. *engan k 0 dari S berlainan.menurut teorema lagrange nS/F n/ atau kFm. *engan k 0 pa/. +adi pa/Fn/.

(13)

Te

Teorema 7.1orema 7.100 jika  suatu grup berhingga yajika  suatu grup berhingga yang berorder bilangan prima maka  meng berorder bilangan prima maka  merupakanrupakan

grup siklik. grup siklik. 6ukti:

6ukti:

Misalkan n/ 0 m dengan m suatu bilangan prima.maka pembagi dari m Misalkan n/ 0 m dengan m suatu bilangan prima.maka pembagi dari m hanyalah 8 dan m

hanyalah 8 dan m saja. Sehingga  tidak mempunyai subgroup sejati.ambil asaja. Sehingga  tidak mempunyai subgroup sejati.ambil a

∈

∈ _{ dan a G}_{ dan a G 8 maka himpunan perpangkatan a yaitu S 0 4a, a}_{8 maka himpunan perpangkatan a yaitu S 0 4a, a}22_{, a}_{, a}!!_{, H, a}_{, H, a}mm₀₀

i5 merupakan subgroup dari  karena  tidak mempunyai subgroup dan a G 8 i5 merupakan subgroup dari  karena  tidak mempunyai subgroup dan a G 8 maka S 0 . 7arena S suatu grup siklik

maka S 0 . 7arena S suatu grup siklik maka  merupakan grup siklik pula.maka  merupakan grup siklik pula.

+ika a, b, m bilangan-bilangan bulat dan m I (, a

+ika a, b, m bilangan-bilangan bulat dan m I (, a kongruen b mod m/ bila dankongruen b mod m/ bila dan

hanya bila ada bilangan bulat sedemikian hingga a-b

hanya bila ada bilangan bulat sedemikian hingga a-b 0 km.0 km.

/.

/. MeneMenentukntukan e%e&ean e%e&en*e%en*e%e&en )an# kon&en )an# kon#!ue#!uen &o,u%o suan &o,u%o suatu su"#!tu su"#!u$ ,a! #!uu$ ,a! #!u$$ te!tentu.

te!tentu.

*efinisi %.!

*efinisi %.! Misalkan  Misalkan  suatu grup, suatu grup, dan S medan S merupakan subgrupakan subgroup dari  roup dari  maka a kmaka a kongruenongruen dengan b modulo S bila dan hanya bila a.b

dengan b modulo S bila dan hanya bila a.b-1-1 ∈∈ _S._S.

Misalkan  subgroup dari ,

Misalkan  subgroup dari , dan didefenisikan relasi kongruen modulo ,dan didefenisikan relasi kongruen modulo , yaitu a b mod / j

yaitu a b mod / jika dan hanya jika ab-1  a, b , maka relasi ika dan hanya jika ab-1  a, b , maka relasi tersebuttersebut merupakan relasi ekui=alen.

merupakan relasi ekui=alen.

Teorema 7.11

Teorema 7.11 +ika  suatu grup dan  adalah subgroup dari , maka untuk setiap a +ika  suatu grup dan  adalah subgroup dari , maka untuk setiap a ∈∈ , ,

berlaku hubunga

berlaku hubungan a 0 4 yn a 0 4 y ∈∈  Fa J y  Fa J y mod 11/5 0 a5.mod 11/5 0 a5.

Te

Teorema 7.1orema 7.122 +ika  adalah grup dan S merupakan subgroup dari  maka untuk setiap a, b +ika  adalah grup dan S merupakan subgroup dari  maka untuk setiap a, b ∈

∈ _{ relasi a J}_{ relasi a J b mod S/ adalah relasi eki=alensi.}_{b mod S/ adalah relasi eki=alensi.}

6ukti: 6ukti:

Misalkan  subgroup dari grup

Misalkan  subgroup dari grup . )mbil sebarang a, b. )mbil sebarang a, b ∈∈ , kemudian , kemudian

didefenisikan a J b mod / ab

(14)

ii.. 99eefflleekkssiif Mf Miissaallkkaan an a ∈∈  sebarang. 7arena  subgroup dari , Maka aa  sebarang. 7arena  subgroup dari , Maka aa-1-1

0 e

0 e ∈∈ , a , a ∈∈ . sesuai dengan defenisi relasi di atas diperoleh a J a . sesuai dengan defenisi relasi di atas diperoleh a J a

mod / a

mod / a ∈∈ . +adi, relasi memenuhi sifat refleksif. . +adi, relasi memenuhi sifat refleksif.

iiii.. SSimimeettri ri MMiissaallkkaan n aa, , bb ∈∈  sebarang dengan a J b mod /.  sebarang dengan a J b mod /. 8ni berarti8ni berarti bah;a jika a J b mo

bah;a jika a J b mod / maka abd / maka ab-1-1_{  Kkarena  subgroup ba}_{  Kkarena  subgroup ba}0101_{ b J a}_{ b J a}

mod / +adi, relasi memenuhi sifat simetri. mod / +adi, relasi memenuhi sifat simetri.

iiiii.i. ??rraansnsititif if MiMisasalklkan an a, a, b, b, cc ∈∈  sebarang dengan a J b mod /  sebarang dengan a J b mod / dan b J cdan b J c mod /. )kan ditunjukka

mod /. )kan ditunjukkan a J c n a J c mod /. 7arena a J b mod /. 7arena a J b mod / maka abmod / maka ab-1-1_._.

*emikian juga, karena b J c mod /

*emikian juga, karena b J c mod / maka bcmaka bc-1-1_{. 7arena  subgroup dan ab}_{. 7arena  subgroup dan ab} --11_{, bc}_{, bc}-1-1_{, maka ab}_{, maka ab}-1-1_/bc_/bc-1-1_{/  atau ab}_{/  atau ab}-1-1_b/c_b/c-1-1_{. 7arena b}_{. 7arena b}-1-1_{b/ 0 e maka a}_{b/ 0 e maka a} ∈∈

cc-1-1_{ e unsur identitas/. +adi, ac}_{ e unsur identitas/. +adi, ac}-1-1_{ atau dengan kata lain a J}_{ atau dengan kata lain a J c mod /. al}_{c mod /. al}

ini menunjukkan bah;a relasi memenuhi sifat transitif. ini menunjukkan bah;a relasi memenuhi sifat transitif.

7arena ketiga sifat di

7arena ketiga sifat di atas dipenuhi oleh relasi kongruen mod N maka atas dipenuhi oleh relasi kongruen mod N maka relasirelasi tersebut merupakan relasi ekui=alen.

tersebut merupakan relasi ekui=alen. ?e

?elah ditunjukkan di atas bah;a jika lah ditunjukkan di atas bah;a jika  subgroup dari grup ,  subgroup dari grup , dan relasi kongruendan relasi kongruen mod N yang didefenisikan, a J b mod / ab

mod N yang didefenisikan, a J b mod / ab-1-1_{, a, b}_{, a, b} ∈∈ __{ merupakan relasi ekui=alen,}_{merupakan relasi ekui=alen,}

maka relasi kongruen tersebut akan membagi  dalam

maka relasi kongruen tersebut akan membagi  dalam kelas-kelas saling lepas, atau dengankelas-kelas saling lepas, atau dengan

kata lain relasi kongruen akan membagi 

kata lain relasi kongruen akan membagi  menjadi beberapa partisi yang berbeda. <ntukmenjadi beberapa partisi yang berbeda. <ntuk memahami lebih mendalam pengertian partisi yang diakibatkan oleh relasi kongruen mod memahami lebih mendalam pengertian partisi yang diakibatkan oleh relasi kongruen mod N di atas, berikut

N di atas, berikut ini akan ditunjukkan bah;a kelas ekui=alen yang ditentukan oleh aini akan ditunjukkan bah;a kelas ekui=alen yang ditentukan oleh a ∈∈  ditulis Ka/ sama dengan koset kanan a. Sesuai dengan defenisi Ka 0 4  :

 ditulis Ka/ sama dengan koset kanan a. Sesuai dengan defenisi Ka 0 4  :  a mod /5 a mod /5

)kan ditunjukkan bah;a Ka 0 a <ntuk itu, ambil  Ka

)kan ditunjukkan bah;a Ka 0 a <ntuk itu, ambil  Ka sebarang  Ka  a mod /  sebarang  Ka  a mod /  aa-1-1_{ }_{ }

aa-1-1_{a a  a ini berarti: Ka}_{a a  a ini berarti: Ka} _⊆_⊆_{a H i/}_{a H i/ Selanjutnya ambil sebarang y a y a y a}_{Selanjutnya ambil sebarang y a y a y a}-1-1_aa_aa-1-1_{y a}_{y a} --11_{e y a}_{e y a}-1-1_{ y a mod /  Ka. 8ni berarti a}_{ y a mod /  Ka. 8ni berarti a} _⊆_⊆_{Ka *ari i/ dan ii/ disimpulkan bah;a: Ka 0}_{Ka *ari i/ dan ii/ disimpulkan bah;a: Ka 0}

a 9elasi ekui=alen menempatkan  ke dalam kelas-kelas yang saling lepas, maka  a 9elasi ekui=alen menempatkan  ke dalam kelas-kelas yang saling lepas, maka  merupakan gabunga

merupakan gabungan dari semua kelas-kelas ekui=alen yang ditentukan oleh anggota dari n dari semua kelas-kelas ekui=alen yang ditentukan oleh anggota dari .. ?e

?etapi setiap kelas tapi setiap kelas ekui=alen yang ditentukan oleh anggota dari ekui=alen yang ditentukan oleh anggota dari  sama dengan koset  sama dengan koset kanankanan yang dibangkitkan oleh anggota tersebut. +uga telah ditunjukkan bah;a koset kanan tidak yang dibangkitkan oleh anggota tersebut. +uga telah ditunjukkan bah;a koset kanan tidak

(15)

kosong dan tiap dua koset kanan, akan saling lepas

kosong dan tiap dua koset kanan, akan saling lepas atau akan sama yang satu dengan lainnya,atau akan sama yang satu dengan lainnya,

maka  juga akan merupakan gabungan dari semua koset kanan yang berbeda dari

maka  juga akan merupakan gabungan dari semua koset kanan yang berbeda dari  di . di .

0.

0. Men#Men#,ent,entkaskas a$aka2 su a$aka2 su"#!u"#!u$ ,a! suat$ ,a! suatu #!u$ &e!uu #!u$ &e!u$aka$akan su"#!n su"#!u$ no!&au$ no!&a%% atau t,ak.

atau t,ak.

*efinisi %."

*efinisi %." +ika O subgru+ika O subgrup , maka O disebp , maka O disebut subgup normaut subgup normal dari  jika dan hal dari  jika dan hanya jika gOnya jika gO 0 Og untuk setiap g

0 Og untuk setiap g ∈∈ . .

3ontoh: 3ontoh:

 0 4i, a, b,

 0 4i, a, b, c, d, e5 dan ,c, d, e5 dan , ∘∘/ grup dengan/ grup dengan ∘∘. erhatikan permutasi dan. erhatikan permutasi dan

8 8 0 0 11/ / 22/ / !!// c c 0 0 2 2 !!// a a 0 0 1 1 2 2 !!// d d 0 0 1 1 !!// b 0 1 ! 2/ b 0 1 ! 2/ e 0 1 2/e 0 1 2/

erhatikan contoh subgrup S 0 4i,

erhatikan contoh subgrup S 0 4i, c5 pada kegiatan belajar 1,c5 pada kegiatan belajar 1, ∃∃ ∈∈  sehingga  sehingga

S G S S G S

+adi S 0 4i, c5 bukan subgrup normal. +adi S 0 4i, c5 bukan subgrup normal. )mbil sekarang O04i,a,b5 subgrup dari . )mbil sekarang O04i,a,b5 subgrup dari . 7oset kanan O dalam 

7oset kanan O dalam  adalahadalah

Oi 0 4i, a, b5

Oi 0 4i, a, b5 Oc 0 4ic, ac, bcOc 0 4ic, ac, bc5 0 4c, e, d55 0 4c, e, d5 Oa 0 4a, b, i5

Oa 0 4a, b, i5 Od 0 4id, ad, bdOd 0 4id, ad, bd5 0 4d, c, e55 0 4d, c, e5 Ob 0 4b, i, a5

Ob 0 4b, i, a5 Oe 0 4ie, ae, beOe 0 4ie, ae, be5 0 4e, d, c55 0 4e, d, c5 7oset kiri dari O dalam  adalah

7oset kiri dari O dalam  adalah

iiO O 0 0 44ii, , aa, , bb55 ccO O 0 0 44ccii, , ccaa, , ccbb5 5 0 0 44cc, , dd, , ee55 aaO O 0 0 44aa, , bb, , ii55 ddO O 0 0 44ddii, , ddaa, , ddbb5 5 0 0 44dd, , ee, , cc55 bO 0 4b, i, a5

bO 0 4b, i, a5 eO 0 4ei, ea, ebeO 0 4ei, ea, eb5 0 4e, c, d55 0 4e, c, d5

∀

∀ __ ∈∈ _{ memenuhi O 0 O}_{ memenuhi O 0 O}

+adi O 0 4i, a,

+adi O 0 4i, a, b5 subgrup normal.b5 subgrup normal. *efinisi si atas hanya dapat

*efinisi si atas hanya dapat digunakan pada subgrup yang berhingga.digunakan pada subgrup yang berhingga.

3.

3. Menentukan Menentukan S)a!at*S)a!S)a!at*S)a!at at A#a! A#a! Suatu Suatu Su"#!u$ Su"#!u$ Me!u$akan Me!u$akan Su"#!u$ Su"#!u$ No!&a% DNo!&a% Da!a! G!u$

(16)

*efinisi %.#

*efinisi %.# +ika O +ika O adalah suadalah subgrup dari bgrup dari grup 4,ogrup 4,o/ maka / maka O disebut O disebut subgrup nsubgrup normal dari ormal dari  jika dan hanya

jika dan hanya jika untuk setiap gjika untuk setiap g ∈∈  dan n dan n ∈∈ O berlaku hubungan O berlaku hubungan

g.n.g

g.n.g-1-1 ∈∈ _O_O

3ontoh

3ontoh 2 2 erhatikan erhatikan grup grup , , yaitu yaitu grup grup permutasi permutasi tiga tiga elemen, elemen, misalnya misalnya 1, 1, 2, 2, dan dan !! seperti contoh di atas yaitu:

seperti contoh di atas yaitu:

 0 41/ 0 i, 12/, 1!/, 2!/, 12!/, 1!2/5.  0 41/ 0 i, 12/, 1!/, 2!/, 12!/, 1!2/5.

erhatikanlah pula suatu subgrup dari , yaitu O 0 41/, 1!2/, 12!/5. erhatikanlah pula suatu subgrup dari , yaitu O 0 41/, 1!2/, 12!/5. eriksalah bah;a n adalah subgrup dari .

eriksalah bah;a n adalah subgrup dari . )mbil sembarang elemen g

)mbil sembarang elemen g ∈∈  dan sebarang elemen n  dan sebarang elemen n ∈∈ O, misalnya O, misalnya

g 0 12/ dan n

g 0 12/ dan n 0 1!2/. 7arena  suatu grup dan g0 1!2/. 7arena  suatu grup dan g ∈∈ , maka ada g , maka ada g-1-1 ∈∈

S. +ika

S. +ika g 0 12g 0 12/ / maka gmaka g-1-1_{0 21/. eriksalah bah;a g}_{0 21/. eriksalah bah;a g} _∘_∘_g_g-1-1_{0 g}_{0 g}-1-1 _∘_∘_{g 0 1/}_{g 0 1/}

erhatikan sekarang sekarang komposisi berikut ini erhatikan sekarang sekarang komposisi berikut ini

gg ∘∘ n n ∘∘ g g-1-1 0 12/ 0 12/ ∘∘ 1!2/ 1!2/ ∘∘ 21/ 0 2!/ 21/ 0 2!/ ∘∘ 21/ 0 12!/ 21/ 0 12!/ ∈∈ O. O.

)mbil elemen-elemen dari  dan O yang lain, dan bentuklah g

)mbil elemen-elemen dari  dan O yang lain, dan bentuklah g ∘∘ n n∘∘ g g-1-1

dengan g

dengan g ∈∈  dan n  dan n ∈∈ O. Misalnya: O. Misalnya: 1!/ 1!/ ∘ ∘ 12!/ 12!/∘∘  !!11// 00 22!!//∘∘  11!!// 00 11!!22// ∈∈ O O 2!/ 2!/ ∘∘ 1!2/ 1!2/ ∘∘  !!22// 00 11!!//∘∘  22!!// 00 1122!!// ∈∈ O O 1!2/ 1!2/ ∘∘ 1!2/ 1!2/ ∘∘  22!!11// 00 1122!!// ∘∘  22!!11// 00 1!2/ 1!2/ ∈∈ O O

3oba periksalah bah;a g

3oba periksalah bah;a g ∘∘ n g n g-1-1 ∈∈ _{O untuk setiap g}_{O untuk setiap g} ∈∈ _{ dan setiap}_{ dan setiap}

nn ∈∈ O. +adi O adalah subgrup normal dari . O. +adi O adalah subgrup normal dari . 3

3oonnttooh !h ! eerhrhaatitikkaan n ggrurup p ssiikklilik k  0  0 44aa, a, a22_{, a}_{, a}!!_{, ..., a}_{, ..., a}1212_{0 i5 dan suatu subgrup dari , yaitu}_{0 i5 dan suatu subgrup dari , yaitu}

 0 4i, a

 0 4i, a""_{, a}_{, a}&&_{5. eriksa lagi perkalian g}_{5. eriksa lagi perkalian g} ∘∘ _h_h ∘∘ _g_g-1-1_{untuk g}_{untuk g} ∈∈ _{ dan h}_{ dan h}

∈ ∈ _._.

Misalnya, a

(17)

aa!! ∘∘ _a_a&& ∘∘ _a_a-!-!_{0 a}_{0 a}&& ∈∈ _{ dan sebagainya. Oampak bah;a g}_{ dan sebagainya. Oampak bah;a g} ∘∘ _h_h ∘∘

gg-1-1 ∈∈ _{ untuk setiap g}_{ untuk setiap g} ∈∈ _{ dan h}_{ dan h} ∈∈ _{. +adi  0 4i, a}_{. +adi  0 4i, a}""_{, a}_{, a}&&_{5 merupakan}_{5 merupakan}

subgrup normal dari . subgrup normal dari . 3o

, / merupakan grup dan O 0 4i,

, / merupakan grup dan O 0 4i, a5 merupakan subgrup dari .a5 merupakan subgrup dari .

)pakah O merupakan subgrup normal dari P )pakah O merupakan subgrup normal dari P )mbil b

((

a a bc c dbd

))

||

a , b , c , da , b , c , d∈∈ R R ,, adad−−bb∨∨cc ≠≠00

}}

S0 S0

{{

((

aa00 00_d_d

))

))

00

((

2 2 33 1 1 22

))

((

22 −−33 − −2 2 44

)()(

− −2 2 66 − −2 2 66

))

@ @ ∈∈ SS +adi S bukan subgrup normal dari . +adi S bukan subgrup normal dari .

4.

4. MeneMenentukntukan Tan Teeo!eo!e&a )an# Be!&a )an# Be!kenakenaan Den#aan Den#an Su"#!un Su"#!u$ No!&a%$ No!&a%

6erdasarkan contoh sebelum

6erdasarkan contoh sebelumnya diketahui bah;a O 0 nya diketahui bah;a O 0 4i, a, b5 4i, a, b5 merupakan subgroupmerupakan subgroup normal karena telah memenuhi definisi subgroup normal. Selanjutnya akan ditentukan

normal karena telah memenuhi definisi subgroup normal. Selanjutnya akan ditentukan teorema yang berkenaan dengan subgroup normal.

teorema yang berkenaan dengan subgroup normal.

Te

Teorema 7.1orema 7.133 O adalah subgrou O adalah subgroup normal dari  jika dp normal dari  jika dan hanya jika gan hanya jika gOgOg-1-1 0 O untuk setiap g 0 O untuk setiap g ∈

∈ __

iOi

iOi-1-1₀_{0 44iiiii}_{i , , iiaaii, , iibbii5}_{5 0}_{0 44ii, , aa, , bb55} _ccO_Occ-1-1_{0 4cic, cac, cbc5 0 4i,}_{0 4cic, cac, cbc5 0 4i, b, a5}_{b, a5}

aOa

aOa-1-1_{0 4}_{0 4aaiibb, a}_{, aaabb, a}_{, abbbb5 0}_{5 0 44ii, , aa, b}_{, b55} _ddO_Odd-1-1_{0 4 did, dad, dbd5 0 4i, b, a5}_{0 4 did, dad, dbd5 0 4i, b, a5}

bOb

bOb-1-1_{0 4}_{0 4bbiiaa, b}_{, baaaa, b}_{, bbbaa5 0}_{5 0 44ii, a}_{, a, b}_{, b55} _eeO_Oee-1-1_{0 4eie, eae, ebe5 0 4i,}_{0 4eie, eae, ebe5 0 4i, b, a5}_{b, a5}

Teorema 7. 14

Teorema 7. 14 Setiap subgroup S dari  yang komutatif adalah subgroup normalSetiap subgroup S dari  yang komutatif adalah subgroup normal

Og Og

Oi 0 4i, a, b5

Oi 0 4i, a, b5 Oc 0 4ic, ac, bcOc 0 4ic, ac, bc5 0 4 c, e, d 55 0 4 c, e, d 5 Oa 0 4a, b, i5

Oa 0 4a, b, i5 Od 0 4id, ad, bd5 Od 0 4id, ad, bd5 0 4 d, c, e 50 4 d, c, e 5 Ob 0 4b, i, a5

Ob 0 4b, i, a5 Oe 0 4ei, ae, beOe 0 4ei, ae, be5 0 4e, d, c55 0 4e, d, c5 gO

gO

iiO O 0 0 44ii, , aa, , bb55 ccO O 0 0 44ccii, , ccaa, , ccbb5 5 0 0 4 4 cc, , dd, , e e 55 aaO O 0 0 44aa, , bb, , ii55 ddO O 0 0 44ddii, , ddaa, , ddbb5 5 0 0 4 4 dd, , ee, , c c 55 bO 0 4b, i, a5

bO 0 4b, i, a5 Dn 0 4ei, ea, eb5 Dn 0 4ei, ea, eb5 0 4 e, c, d 50 4 e, c, d 5 Maka teorema ini berkenaan dengan subgrup normal Maka teorema ini berkenaan dengan subgrup normal

(19)

Te

Teorema 7.1orema 7.155 Misalnya ,o/ adalah grup. +ika O Misalnya ,o/ adalah grup. +ika O dan  masing-masing adalah subgrupdan  masing-masing adalah subgrup

normal dari , maka O

normal dari , maka O ∩∩  merupakan subgrup normal dari .  merupakan subgrup normal dari . 6ukti:

6ukti:

)mbil sebarang a, b

)mbil sebarang a, b ∈∈ O O ∩∩ 

aa ∈∈ O O ∩∩   a a ∈∈ O dan a O dan a ∈∈  

b

b ∈∈ O O ∩∩   b b ∈∈ O dan b O dan b ∈∈  

aa ∈∈ O dan a O dan a ∈∈    a o b a o b ∈∈ O O

b

b ∈∈  dan b  dan b ∈∈    a o b a o b ∈∈  

a o b

a o b ∈∈ O dan a o b O dan a o b ∈∈  maka a o b  maka a o b ∈∈ O O ∩∩ 

jadi

jadi OO ∩∩  tertutup terhadap operasi o .. 1/ tertutup terhadap operasi o .. 1/ )mbil sebarang a

)mbil sebarang a ∈∈ O O ∩∩   a a ∈∈ O dan a O dan a ∈∈  

aa ∈∈ O dan O suatu subgroup normal maka a O dan O suatu subgroup normal maka a-1-1 ∈∈ _O_O

aa ∈∈  dan  suatu subgroup normal maka a  dan  suatu subgroup normal maka a-1-1 ∈∈ __

aa-1-1 ∈∈ _{O dan a}_{O dan a}-1-1 ∈∈ _{ maka a}_{ maka a}-1-1 ∈∈ _O_O ∩∩ __

jadi setiap elemen

jadi setiap elemen OO ∩∩  mempunyai in=ersH 2/ mempunyai in=ersH 2/

dari 1/ dan 2/ disimpulkan bah;a O

dari 1/ dan 2/ disimpulkan bah;a O ∩∩  adalah subgroup normal dari  adalah subgroup normal dari 

Teorema

Teorema 7.16 7.16 *alam setiap grup  dengan elemen identitas i, subgrup 4i5 dan  sendiri, *alam setiap grup  dengan elemen identitas i, subgrup 4i5 dan  sendiri,

merupakan subgrup normal merupakan subgrup normal *ibuktikan:

*ibuktikan:

Subgrup 4i5 dengan  0 4a, b, c, d, e5 merupakan subgrup normal Subgrup 4i5 dengan  0 4a, b, c, d, e5 merupakan subgrup normal 7oset kanan 7oset kanan i i o o a a 0 0 a a i i o o d d 0 0 dd i i o o b b 0 0 b b i i o o e e 0 0 ee i o c 0 c i o c 0 c

(20)

7oset kiri 7oset kiri a a o o i i 0 0 aa d d o o i i 0 0 dd b o i 0 b b o i 0 b e o i 0 ee o i 0 e c o i 0 c c o i 0 c Te

Teorema 7.1orema 7.177 Misalkan , o/ merupakan grup dan O adalah subgrup dari .Misalkan , o/ merupakan grup dan O adalah subgrup dari .

+ika i

+ika i O/ 0 O/ 0 2, maka O adalah subgrup normal dari .2, maka O adalah subgrup normal dari .

6ukti : 6ukti :

erhatikan koset kanan dari O 0 4i, a, b5 erhatikan koset kanan dari O 0 4i, a, b5 Oi 0 Oa 0 Ob 0 4i, a, b Oi 0 Oa 0 Ob 0 4i, a, b55 Oc 0 Od 0 Oe 0 4c, d, Oc 0 Od 0 Oe 0 4c, d, e5e5

ii

 S/S/

0

((nn))GG ((nn))SS

0

6 6 3 3 0 2 0 2 Te

Teorema 7.1orema 7.188 +ika O suatu subgrup dari , maka O adalah sugrup normal dari  jika +ika O suatu subgrup dari , maka O adalah sugrup normal dari  jika dandan

hanya jika hasil kali

hanya jika hasil kali dua koset kanan dari O dua koset kanan dari O dalam  adalah koset koset kanandalam  adalah koset koset kanan dari O dalam  pula.

dari O dalam  pula. *ibuktikan:

*ibuktikan:

O subgrup norma

O subgrup normal dari l dari   Oa Ob 0 O a Oa Ob 0 O aoo b/ untuk setiap a b/ untuk setiap a, b, b ∈

∈ _{. O subgrup}_{. O subgrup}

normal dari  maka Oa0 aO untuk setiap a

normal dari  maka Oa0 aO untuk setiap a ∈∈ . <ntuk setiap a, b . <ntuk setiap a, b ∈∈ , ,

Oa Ob 0 O aO/b Oa Ob 0 O aO/b 0 O Oa/b 0 O Oa/b 0 OO a 0 OO aoo b/ b/ 0 O a 0 O aoo b/ b/ a, b

a, b ∈∈  dan ,  dan , oo/ suatu grup maka a/ suatu grup maka a oo b/ b/ ∈∈ , berarti O a , berarti O a oo b/ adalah b/ adalah

koset kanan dari O dalam . +adi hasil kali dua koset kanan dari O adalah koset koset kanan dari O dalam . +adi hasil kali dua koset kanan dari O adalah koset kanan dari O dalam  pula.

kanan dari O dalam  pula.

15.

(21)

erhatikan O suatu subgrup normal dari . asil kali setiap dua koset kanan dari O erhatikan O suatu subgrup normal dari . asil kali setiap dua koset kanan dari O dalam  adalah koset kanan dari

dalam  adalah koset kanan dari O dalam  O dalam  pula. Selanjutnya dipandang himpunan semuapula. Selanjutnya dipandang himpunan semua koset kanan O dalam , dan diberi notasi >O dibaca O faktor /.

koset kanan O dalam , dan diberi notasi >O dibaca O faktor /. erhatikan bah;aerhatikan bah;a

elemen-elemen dari >O adalah himpunan-himpunan bagian dari  yang saling asing. elemen-elemen dari >O adalah himpunan-himpunan bagian dari  yang saling asing. Mengingat teorema !.&, hasil kali setiap

Mengingat teorema !.&, hasil kali setiap dua koset kanan O dalam  dua koset kanan O dalam  merupakan koset kananmerupakan koset kanan O dalam  pula. Ma

O dalam  pula. Maka operasi perkka operasi perkalian elemen-elemen alian elemen-elemen dalam >O merupadalam >O merupakan operasikan operasi biner, y

biner, yang tertutup. *engang tertutup. *engan kata lain, haan kata lain, hasil kali setiap dua esil kali setiap dua elemen dari >O berada lemen dari >O berada dalamdalam >O sifat tertutup

>O sifat tertutup terhadap perkalian dalam >O dipenuhi/. Selanjutnya tunjukkanlah bah;aterhadap perkalian dalam >O dipenuhi/. Selanjutnya tunjukkanlah bah;a operasi perkalian dari elemen-elemen dalam >O bersifat assosiatif, >O

operasi perkalian dari elemen-elemen dalam >O bersifat assosiatif, >O mempunyai elemenmempunyai elemen

identitas terhadap perkalian, dan setiap elemen >O mempunyai in=ers terhadap perkalian. identitas terhadap perkalian, dan setiap elemen >O mempunyai in=ers terhadap perkalian. Maka >O terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup. Selanjutnya >O disebut grup Maka >O terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup. Selanjutnya >O disebut grup faktor grup kuosien/  oleh O.

faktor grup kuosien/  oleh O.

Te

Teorema 7.1orema 7.199 +ika , R/ +ika , R/ suatu grup dan O adalah subgrup normal dari , maka >O terhadapsuatu grup dan O adalah subgrup normal dari , maka >O terhadap

operasi perkalian himpunan merupakan suatu grup. operasi perkalian himpunan merupakan suatu grup. +ika  adalah suatu grup

+ika  adalah suatu grup berhingga, berapakah order >OPberhingga, berapakah order >OP 8ngat bah;a >O adalah himpunan semua koset kanan O

8ngat bah;a >O adalah himpunan semua koset kanan O dalam , sedangkan banyaknyadalam , sedangkan banyaknya

koset kanan O dalam  adalah indeks dari O dalam , yaitu: koset kanan O dalam  adalah indeks dari O dalam , yaitu: iiGGO/O/ ¿¿

n n((GG)) n

n(( N N )) . Maka, n>O/. Maka, n>O/ ¿¿ i iGGO/O/ ¿¿

n n((GG)) n n(( N N ))

al ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini al ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini

Te

Teorema 7.2orema 7.200 +ika  suatu grup berhingga, dan O adalah subgrup normal dari , maka+ika  suatu grup berhingga, dan O adalah subgrup normal dari , maka

n>O/

n>O/ ¿¿ nnnn(((( N N GG))))

3

3oonnttooh h $$.. MMiissaallnnyya a  ¿¿ 4 4 aa ,, aa22 _,, aa33 _{, H,}_{, H,} aa1111 _,, aa1212 ¿¿ _{i5 adalah suatu}_{i5 adalah suatu}

grup siklik dan grup siklik dan O

O ¿¿ 4i, 4i, aa33 _,, _a_a66 _,, _a_a99 _{5 adalah suatu subgrup normal dari , n/ 0 12,}_{5 adalah suatu subgrup normal dari , n/ 0 12,} dan nO/ 0 ". eriksalah bah;a

(22)

n>O/

n>O/ ¿¿ nnnn(((( N N GG))))==¿¿

12 12 4

4 0 ! 0 ! dengan menunjukkadengan menunjukkan semua koset kanann semua koset kanan O dan  atau sem

O dan  atau semua elemen dari >Oua elemen dari >O Dlemen-elemen >O adalah Oi 0 O

Dlemen-elemen >O adalah Oi 0 O aa33 _{0 O}_{0 O} _a_a66 _{0 O}_{0 O} _a_a99 _{0 O,}_{0 O,}

O

O aa 0 O 0 O aa44 _{0 O}_{0 O} aa77 _{0 O}_{0 O} aa1010 _{0 4}_{0 4} aa _,, _a_a44 _,, _a_a77 _,, _a_a1010 _{5 dan}_{5 dan} O

O aa22 0 O0 O aa55 0 O0 O aa88 0 O0 O aa1111 0 40 4 aa22 ,, aa55 _,, _a_a88 _,, aa1111 ₅₅ +adi n>O/ 0 ! dan >O 0 4O, O

+adi n>O/ 0 ! dan >O 0 4O, O aa , O, O aa22 55

3on

3ontoh toh %.%.  0  0 4i, 4i, a, a, b, b, d, d, e/ e/ , , , R/ , R/ grugrup dp dari ari himhimpunpunan an perpermumutastasi di dengengan an opeoperasrasii perkalian permutasi perkalian permutasi i i 0 0 11/ / 22/ / !!// c c 0 0 2 2 !!// a a 0 0 1 1 2 2 !!// d d 0 0 1 1 !!// b 0 1 ! 2/ b 0 1 ! 2/ e 0 1 2/e 0 1 2/

erhatikan koset kanan dari O 0 4i, a, b5 erhatikan koset kanan dari O 0 4i, a, b5 Oi 0 Oa 0 Ob 0 4i, a, b5

Oi 0 Oa 0 Ob 0 4i, a, b5 Oc 0 Od 0 Oe 0 4c, d, e Oc 0 Od 0 Oe 0 4c, d, e55

aktor grup >O 0 4Oi,

aktor grup >O 0 4Oi, Oc5 0 K4i, a, b5, 4c, d, Oc5 0 K4i, a, b5, 4c, d, e5e5 n>O/ n>O/ ¿¿ nnnn(((( N N GG))))==¿¿ 6 6 3 3 0 20 2