NILAI MUTLAK NILAI MUTLAK
Definisi 1.8 (Nilai Mutlak).
Definisi 1.8 (Nilai Mutlak). Nilai mutlak dari bilangan realNilai mutlak dari bilangan real aa, dinotasikan dengan, dinotasikan dengan aa ,,
didefinisikan dengan didefinisikan dengan , , 00 :: , , 0.0. a a aa a a a a aa
Dari Definisi 1.8 tersebut tampak bahwa
Dari Definisi 1.8 tersebut tampak bahwa aa
00 atauatau aa adalah bilangan nonnegatif untukadalah bilangan nonnegatif untuksetiap bilangan real
setiap bilangan real aa. Sebagai contoh,. Sebagai contoh,
1 1 1
1,, 0 0
00, dan, dan 2 2
22..Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu, di antaranya seperti Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu, di antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.
yang tertuang dalam fakta berikut ini.
Teorema 1.9. Teorema 1.9. a.
a. aab b
a a bb untuk setiapuntuk setiap aa,,bb
R R ..b.
b. MisalkanMisalkan cc
00 dandan aa
R R ,, a a
cc jika dan hanya jikajika dan hanya jika
c c
a a
cc..c.
c. MisalkanMisalkan cc
00 dandan aa
R R ,, a a
cc jika dan hanya jikajika dan hanya jika a a
cc atauatau a a
cc..Bukti. Bukti. a.
a. JikaJika aa00 atauatau bb
00makamaka abab
0 0
00 dandan a a bb
00. Jika. Jika a ba , , b
00 makamaka abab
00,, aa
aa, dan, dan b b
bb, sehingga, sehingga aab b
aabb dandan a a b b
aabb. Jika. Jika aa
00 dandan bb
00 makamaka0 0
ab
ab
,, a a
aa, dan, dan b b
bb, sehingga, sehingga aab b
aabb dandan a b a b a b
a b
aabb. Untuk kasus. Untuk kasus0 0
a
a
dandan bb
00, penyelesaiannya serupa dengan kasus sebelumnya., penyelesaiannya serupa dengan kasus sebelumnya.b.
b. MisalkanMisalkan a a
cc. Untuk. Untuk aa
00, kita peroleh, kita peroleh a a
a a
cc, sehingga didapat, sehingga didapat 00
a a
cc. Untuk. Untuk0 0
a
a
, kita peroleh, kita peroleh a a
a a
cc atauatau a a
cc, sehingga didapat, sehingga didapat
c c
aa
00. Dengan. Denganmenggabun
menggabungkan hasil dari kgkan hasil dari kedua kasus tersebut, kita edua kasus tersebut, kita perolehperoleh
c c
a a
cc..Untuk sebaliknya, misalkan
Untuk sebaliknya, misalkan
c c
a a
cc. Hal tersebut mengandung arti. Hal tersebut mengandung arti
c c
aa dandan a a
cc..Dengan kata lain,
Dengan kata lain,
a a
cc dandan a a
cc. Lebih sederhana, yang demikian dapat dituliskan. Lebih sederhana, yang demikian dapat dituliskansebagai
sebagai a a
cc..c.
c. MisalkanMisalkan a a
cc. Untuk. Untuk aa00, kita peroleh, kita peroleh a a
a a
cc. Untuk. Untuk aa00, kita peroleh, kita peroleh aa
a a
cc atauatau a a
cc. Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus tersebut, kita. Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus tersebut, kitaperoleh
Untuk sebaliknya, jika
Untuk sebaliknya, jika a a
cc atauatau a a
cc makamaka a a
cc atauatau
a a
cc. Dengan kata lain,. Dengan kata lain, aa
cc.. ■■Perhatikan kembali sifat nilai mutlak yang terdapat pada Teorema 1.9.
Perhatikan kembali sifat nilai mutlak yang terdapat pada Teorema 1.9. Untuk yang bagian a.,Untuk yang bagian a., jika
jika a a
bb makamaka a a a a a
a 22
aa22 . Untuk bagian b., jika. Untuk bagian b., jika c c
aa makamaka
a a
a a
aa ..Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang dinamakan dengan Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang dinamakan dengan Ketidaksamaan Segitiga
Ketidaksamaan Segitiga. Ketidaksamaan ini mempunyai kegunaan yang sangat luas di. Ketidaksamaan ini mempunyai kegunaan yang sangat luas di dalam matematika, khususnya di dalam kajian analisis dan aljabar.
dalam matematika, khususnya di dalam kajian analisis dan aljabar.
Teorema 1.10 (Ketidaksamaan Segitiga).
Teorema 1.10 (Ketidaksamaan Segitiga). JikaJika aa,,bb
R R makamaka a a b
b a
a b
b dandankesamaan terjadi atau
kesamaan terjadi atau a a b
b a
a b
b jikajika a a
kbkb, dengan, dengan k k
00..Bukti.
Bukti. Seperti yang telah dibahas sebelumnya, jikaSeperti yang telah dibahas sebelumnya, jika aa,,bb
R R maka dapat diperoleh bahwamaka dapat diperoleh bahwaa
a a a aa
dandan
b b
b b
bb . Jika kedua ketidaksamaan ini kita jumlahkan maka. Jika kedua ketidaksamaan ini kita jumlahkan maka
a b a b
a a b a bb a b
atauatau a a b
b a
a b
b . Bukti untuk pernyataan berikutnya. Bukti untuk pernyataan berikutnyaditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca.
ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca. ■■
Lebih jauh, sebagai konsekuensi dari Teorema 1.10, kita memiliki akibat berikut ini. Lebih jauh, sebagai konsekuensi dari Teorema 1.10, kita memiliki akibat berikut ini.
Akibat 1.11.
Akibat 1.11. JikaJika aa,,bb
R R makamaka a b a b
a a b
b dandan a a b
b a
a b
b ..Bukti.
Bukti. Perhatikan bahwaPerhatikan bahwa a a a b
a b b
b. Dengan menggunakan ketidaksamaan segitiga,. Dengan menggunakan ketidaksamaan segitiga,
a
a
a a b b
b b a
a b b
b b
atauatau a a b
b a
a b
b . Dengan cara yang serupa dapat kita. Dengan cara yang serupa dapat kitaperoleh bahwa
peroleh bahwa b b
b b a
a a
a a
a b a
b a
. . Akibatnya,Akibatnya, b b a
a a
a b
b atauatau aa b
b
a a bb . Akhirnya, kita memiliki. Akhirnya, kita memiliki aa b b a a b b a a bb
atauatau a b a b
a a b
b ..Selanjutnya, perhatikan bahwa
Selanjutnya, perhatikan bahwa a a b
b a
a
b b
a a
b b a
a b
b , , berdasarkanberdasarkanketidaksamaan
Selanjutnya, kita akan melihat bagaimana konsep terurut dari
Selanjutnya, kita akan melihat bagaimana konsep terurut dari R R ini diaplikasikan untukini diaplikasikan untuk
menyelesaikan masalah-masalah ketidaksamaan. menyelesaikan masalah-masalah ketidaksamaan.
Contoh 1.12.
Contoh 1.12. Tentukan himpunan penyelesaian dari ketidaksamaanTentukan himpunan penyelesaian dari ketidaksamaan 4 4 x x
2 2 6
6..Penyelesaian.
Penyelesaian. Perhatikan bahwaPerhatikan bahwa
4
4 2 x x
2 4
4 x x
2 2 6
6 4 4 x x
2 2 2 2 6 6 2
2 4
4 8 x x
8
xx 22..Tampak bahwa ketidaksamaan
Tampak bahwa ketidaksamaan 4 4 x x
2 2 6
6 dipenuhi oleh semuadipenuhi oleh semua x x
x x
: : xx
22
..■ ■
Contoh 1.13.
Contoh 1.13. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaanCari semua penyelesaian dari ketidaksamaan x x 22
xx
66.. Penyelesaian.Penyelesaian. Perhatikan bahwaPerhatikan bahwa
2 2 22 6 6 66 0 0 22 33 00 x x
x x
x x
x x
x x
xx
..Darinya kita peroleh bahwa
Darinya kita peroleh bahwa x x
2 2 0
0 dandan x x
3 3 0
0, atau, atau x x
2 2 0
0 dandan x x
3 3 0
0. Untuk. Untukkasus yang pertama kita dapatkan
kasus yang pertama kita dapatkan x x
22 dandan x x
33, atau dengan kata lain, atau dengan kata lain
2 2
x x
33..Untuk kasus yang kedua kita peroleh bahwa
Untuk kasus yang kedua kita peroleh bahwa x x
22 dandan x x
33. Perhatikan bahwa pada. Perhatikan bahwa padakasus kedua tersebut tidak ada nilai
kasus kedua tersebut tidak ada nilai x x yang memenuhinya. Dengan demikian,yang memenuhinya. Dengan demikian,
ketidaksamaan
ketidaksamaan x x 22
xx
66 dipenuhi dipenuhi oleh oleh semuasemua x x
x x
R R ::
22
xx
33
..■ ■
Contoh 1.14.
Contoh 1.14. Selidiki apakah ketidaksamaanSelidiki apakah ketidaksamaan 2 2 2 2 2 2 33 x x x x
memiliki penyelesaian. memiliki penyelesaian. Penyelesaian.Penyelesaian. Perhatikan bahwaPerhatikan bahwa
2 2 2 2 2 2 33 2 2 3 3 88 2 2 0 0 00 2 2 33 22 3 3 22 3 3 x x xx x x xx x x x x xx
..Yang demikian berarti
Yang demikian berarti
3 3 x x
8 8 0
0 dandan 2 2 x x
3 3 0
0, atau, atau
3 3 x x
8 8 0
0 dandan 2 2 x x
3 3 0
0. Untuk. Untukkasus yang pertama kita peroleh
kasus yang pertama kita peroleh x x
88 // 33 dandan x x
33// 22. Namun hal itu tidak mungkin. Namun hal itu tidak mungkinterjadi, artinya tidak ada
terjadi, artinya tidak ada x x yang memenuhi. Untuk kasus yang kedua kita perolehyang memenuhi. Untuk kasus yang kedua kita peroleh x x
88// 33dan
dan x x
3// 23 2, atau dengan kata lain, atau dengan kata lain
88// 3 3
x x
3// 23 2. Jadi . Jadi ketidaksamaanketidaksamaan2 2 2 2 2 2 33 x x x x
memiliki penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaiannya adalah memiliki penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaiannya adalah
Contoh 1.15.
Contoh 1.15. Cari himpunan penyelesaian dariCari himpunan penyelesaian dari 2 2 x x
1 1 5
5..Penyelesaian.
Penyelesaian. Berdasarkan Teorema 1.9.b.,Berdasarkan Teorema 1.9.b.,
5 5 2
2 1 x x
1 5
5 atauatau
6 6 2
2 x x
44. Darinya kita. Darinya kitaperoleh
peroleh
3 3
x x
22. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
x x
R R ::
33
xx
22
Bisa juga ketidaksamaan tersebut diselesaikan dengan cara lain. Perhatikan bahwa Bisa juga ketidaksamaan tersebut diselesaikan dengan cara lain. Perhatikan bahwa
2 2 11, , 11// 22 2 2 11 2 2 1 1 , , 11// 22.. x x xx x x x x xx
jika
jika
jika
jika
Penyelesaiannya dibagi menjadi dua kasus, yaitu : Penyelesaiannya dibagi menjadi dua kasus, yaitu : Kasus I,
Kasus I, xx 1 1 2//2..
Kita peroleh
Kita peroleh 2 1 2 x x
1 2
2 1 xx
1 5
5. Akibatnya,. Akibatnya, 2 2 x x
44 atauatau x x
22. Pada kasus ini, himpunan. Pada kasus ini, himpunanpenyelesaian dari
penyelesaian dari 2 2 x x
1 1 5
5 adalahadalah
x x
R R :: x x
11//22
x x
R R :: x x
22
x x
R R ::
11//22
xx
22
l.l.Kasus II,
Kasus II, xx //22.. Kita peroleh
Kita peroleh 2 2 1 x x
1
2 1 2 x x
1
2 1 2 xx
1 5
5. Akibatnya,. Akibatnya,
2 2 x x
66 atauatau x x
33. Pada kasus. Pada kasusini, himpunan penyelesaian dari
ini, himpunan penyelesaian dari 2 2 x x
1 1 5
5 adalahadalah
x x
R R :: x x
11//22
x x
R R :: x x
33
x x
R R ::
33
xx
11//22
..Penyelesaian seluruhnya dari
Penyelesaian seluruhnya dari 2 2 x x
1 1 5
5 adalah himpunan penyelesaian kasus I digabungadalah himpunan penyelesaian kasus I digabungdengan himpunan penyelesaian kasus II. Akibatnya, kita dapatkan himpunan penyelesaian dengan himpunan penyelesaian kasus II. Akibatnya, kita dapatkan himpunan penyelesaian keseluruhan dari
keseluruhan dari 2 2 x x
1 1 5
5 adalahadalah
x x
R R ::
33
xx
22
..■ ■
Contoh 1.17.
Contoh 1.17. Tentukan himpunan penyelesaian dariTentukan himpunan penyelesaian dari x x
xx
1 1 2
2..Penyelesaian.
Penyelesaian. Sebelum melangkah jauh di dalam menyelesaikan ketidaksamaan tersebut,Sebelum melangkah jauh di dalam menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, perhatikan bahwa perhatikan bahwa , , 00 , , 00
jika
jika
jika
jika
x x xx x x x x xx
dandan
1 1, , 11 1 1 1 1 , , 11..jika
jika
jika
jika
x x xx x x x x xx
PenyelesaPenyelesaiannya kita bagi iannya kita bagi menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu :: Kasus I, Kasus I, xx .. 1 1 1 1
Kita peroleh
Kita peroleh x x
xx dandan x x
1 1
x x
1 1
xx
11. Akibatnya,. Akibatnya, x x
x x
1 1
x x
xx
1 1
22atau
atau
2 2 x x
33 atauatau x x
33// 22. Pada kasus ini, himpunan penyelesaian dari. Pada kasus ini, himpunan penyelesaian dari x x
xx
1 21
2adalah adalah
x x
R R :: x x
33//22
x x
R R :: x x
11
x x
R R ::
33//22
xx
11
.. Kasus II, Kasus II, xx 00.. Kita perolehKita peroleh x x
xx dandan x x
1 1
xx
11. Akibatnya,. Akibatnya, x x
x x
1 1
x x
xx
1 1
22 atauatau 1 1 2
2..Ketidaksamaan
Ketidaksamaan 1 1 2
2 dipenuhi oleh semuadipenuhi oleh semua x x
R R . Untuk kasus II, himpunan penyelesaian. Untuk kasus II, himpunan penyelesaiandari
dari x x
xx
1 1 2
2 adalahadalah
x x
R R ::
11
x x
00
x x
R R
x x
R R ::
11
xx
00
.. Kasus III,Kasus III, xx 00..
Kita peroleh
Kita peroleh x x
xx dandan x x
1 1
xx
11. Akibatnya,. Akibatnya, x x
x x 1 1
x x
xx
1 1
22 atauatau 2 2 x x
11 atauatau1/ 1/ 22
x
x
. Untuk kasus III, himpunan penyelesaian dari. Untuk kasus III, himpunan penyelesaian dari x x
xx
1 21
2 adalahadalah
x x
R R :: x x
00
x x
R R :: x x
11//22
x x
R R ::00
xx
11//22
..Dengan menggabungkan himpunan penyelesaian untuk kasus I, kasus II, dan kasus III, Dengan menggabungkan himpunan penyelesaian untuk kasus I, kasus II, dan kasus III, diperoleh seluruh nilai
diperoleh seluruh nilai x x
R R yang memenuhi ketidaksamaanyang memenuhi ketidaksamaan x x
xx
1 2.1
2., yaitu, yaitu
x x
R R ::
33//22
xx
11//22
.. ■■Contoh 1.18.
Contoh 1.18. Selidiki apakah ketidaksamaanSelidiki apakah ketidaksamaan x x
3 3
xx 2 2
44 memiliki penyelesaian.memiliki penyelesaian.Penyelesaian.
Penyelesaian. Sebelum melangkah jauh di dalam menyelesaikan ketidaksamaan tersebut,Sebelum melangkah jauh di dalam menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, perhatikan bahwa perhatikan bahwa
3 3, , 33 3 3 3 3 , , 33..jika
jika
jika
jika
x x xx x x x x xx
dandan
2, 2, 22 2 2 2 2 , , 22..jika
jika
jika
jika
x x xx x x x x xx
PenyelesaPenyelesaiannya kita bagi iannya kita bagi menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu ::
Kasus I,
Kasus I, xx ..
Kita peroleh
Kita peroleh x x
3 3
x x
3 3
xx
33 dandan x x
2 2
x x
2 2
xx
22. . Akibatnya,Akibatnya,
3
3 22 33 22 44
x
x
x x
x x
xx
atauatau
2 2 x x
33 atauatau x x
3// 23 2. Untuk kasus ini, kita. Untuk kasus ini, kitatidak mempunyai penyelesaian dari
tidak mempunyai penyelesaian dari x x
3 3
xx 2 2
44 karenakarena1 1
2 2
x x
R R :: x x
33//22
x x
R R ::xx
22
..Kasus II,
Kasus II, xx 33..
Kita peroleh
Kita peroleh x x
3 3
x x
3 3
xx
33 dandan x x
2 2
xx
22. . Akibatnya,Akibatnya,
3 2
3 2 33 22 44
x
x
x x
x x
xx
atauatau 5 5 4
4. Pernyataan ini merupakan sesuatu yang. Pernyataan ini merupakan sesuatu yangmustahil. Jadi untuk kasus ini, kita tidak mempunyai penyelesaian. mustahil. Jadi untuk kasus ini, kita tidak mempunyai penyelesaian.
Kasus III,
Kasus III, xx 33..
Kita peroleh
Kita peroleh x x
3 3
xx
33 dandan x x
2 2
xx
22. Akibatnya,. Akibatnya, x x
33
x x
22
x x
33
xx
22
44atau
atau 2 2 x x
55 atauatau x x
55// 22. Untuk kasus ini, kita tidak mempunyai penyelesaian dari. Untuk kasus ini, kita tidak mempunyai penyelesaian dari3 3 2 2 44 x x
xx
karenakarena
x x
R R :: x x
33
x x
R R ::xx
55//22
..Secara keseluruhan, kita tidak memiliki solusi untuk ketidaksamaan
Secara keseluruhan, kita tidak memiliki solusi untuk ketidaksamaan x x
3 3
xx 2 2
44..■ ■
2 2
