EKIVALENSI PRESENT WORTH FUTURE WORTH ANNUAL WORTH GRADIENT SERIES. Christina Wirawan 1

EKIVALENSI

PRESENT WORTH FUTURE WORTH ANNUAL WORTH GRADIENT SERIES

KONSEP

Diperlukan terutama untuk memilih alternatif Ekivalensi tergantung pada :

Ekivalensi tergantung pada :

Tingkat suku bunga Jumlah uangg

Waktu penerimaan/pengeluaran

Cara bunga atau keuntungan dibayarkan

Ekivalensi : bila kita merasa sama antara pembayaran masa yad atau serangkaian

pembayaran masa yad dengan nilai sekarang pembayaran masa yad dengan nilai sekarang (present)

Contoh ekivalensi :

Rencana Total pinjaman Total bunga Rasio awal periode

1 15000 1200 0.08

2 25000 2000 0.08

3 15767 1261.36 0.08

NOTASI

i (interest) : tingkat suku bunga per periode ( b ) j l h i d b

n (number) : jumlah periode pembungaan P (present worth) : nilai uang saat ini (awal periode)

periode)

F (future worth) : nilai uang masa yad (akhir periode)

(akhir periode)

A (annual worth) : nilai uang tetap (konstan) perperiode

(konstan) perperiode

G (gradient series) : nilai uang dengan kenaikan tetap perperiode

HUBUNGAN

P

F

A1 A2 A3

0 1 2 3 4 5 n-2 n

P selalu pada awal (titik 0) F selalu pada akhir (n)

Future & Present

n

i

P

F

=

P

(

1

+

i

)

F

=

(

1

+

)

F

_;

_%;

₎

(

i

n

P

F

P

F

=

Contoh :

Bila uang $500 dideposito, berapa uang pada 3 tahun yang akan datang, dengan ti k t k b 6%

Future & Present

06

,

0

;

3

;

500

=

=

=

n

i

P

F = ?

06

,

0

;

3

;

500

n

i

P

n = 3 i = 0,06 P 500 P=500

P

5

.

595

)

06

.

0

1

(

500

)

1

(

+

=

+

3

=

=

n

i

P

F

=

=

=

P

Future & Present

n n

F

i

F

P

(

1

)

)

(

1

+

=

=

_n

i

)

(

)

1

(

+

)

%

(

P

i

F

P

(

;

i

%;

n

)

F

P

F

P

=

Contoh :

Empat tahun lagi ‘A’ harus bayar rumah p g y senilai $800, bila suku bunga sebesar

5%/thn. Berapa uang yang harus ditabung sekarang?

Future & Present

F=800 ; n = 4; i = 5% F = 800 n = 4 i = 5% 0 1 2 3 4

16

658

1

800

1

F

P

658

,

16

)

05

,

0

1

(

1

800

)

1

(

1

4

=

+

=

+

=

_n

i

F

P

P

=

=

=

P

Future & Present

Pak Amir menabung di bank senilai $500. B dib ik l h b k d l h

Bunga yang diberikan oleh bank adalah

6%/tahun, tapi dibayar tiap 3 bulan. Berapa tab ngan Pak Amir pada akhir tah n ke 3? tabungan Pak Amir pada akhir tahun ke-3?

P = $5000; i = 6%/thn; i = 6%/4 = 1,5%/3 bln; n = 4 x 3 = 12

F = ? n = 12 i = 1,5% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P=500 12

P

)

196

,

1

(

500

)

015

.

0

1

(

500

)

1

(

+

=

+

12

=

=

n

i

P

F

=

=

P

Untuk cash flow :

Tahun 0 1 2 3 4 5

Cash flow 1000 0 0 -400 0 -600 Tingkat suku bunga 12%/tahun

Tentukan berapa F di tahun ke-6 Tentukan berapa F di tahun ke-6

Uniform Series (Annual Worth)

(

)

Hubungan A dan F : n

i

P

F

=

(

1

+

)

= 0 1 2 3 4 A 0 1 2 3 4 A 0 + _{1 2 3 4} + A + 1 2 3 4 A 1 2 3 4 A 0 0 0 1 2 3 4 F 0 1 2 3 4 F1 0 1 2 3 4 F2 1 2 3 4 F3 1 2 3 4 F4 0 0 F

( )

i

A

( )

i

A

( )

i

A

A

F

=

( )

1

+

3

+

( )

1

+

2

+

( )

1

+

+

( )

i A

( )

i A

( )

i A

( )

i A A F = 1+ n−1 +...+ 1+ 3 + 1+ 2 + 1+ +

( )

1+ i F A

( )

1+ i n + + A

( )

1+ i 4 + A

( )

1+ i 3 + A

( )

1+ i 2 + A

( )

1+ i

( )

1+ i F = A

( )

1+ i +...+ A

( )

1+ i + A

( )

1+ i + A

( )

1+ i + A

( )

1+ i

( )

1+ i F = A

[

( )

1+ i n +...+

( ) ( ) ( ) ( )

1+ i 4 + 1+ i 3 + 1+ i 2 + 1+ i

]

[

( )

( ) ( ) ( )

]

[

1+ 1 + ...+ 1+ 3 + 1+ 2 + 1+ +1

]

= A i − i i i F n

( )

[

1+ −1

]

= n i A iF

[

( )

]

( )

⎥

⎤

⎢

⎡

₊

₋

=

A

i

F

n

1

1

⎥

⎦

⎢

⎣

=

i

A

F

F

_;

_%;

₎

(

F

i

n

A

F

=

Contoh :

$

Seseorang mendepositokan $500 di bank setiap tahun. Bank memberikan bunga

/ h l h h

5%/tahun. Berapa uangnya setelah 5 tahun? F = ? n = 5 A 500 i = 5% 0 1 2 3 4 5 A=500

( )

1

1

⎥

⎤

⎢

⎡

_{+ i}

₋

A

F

n

( )

⎤

⎡

⎥

⎦

⎢

⎣

=

i

A

F

(

)

2763

%

5

1

%

5

1

500

5

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

₊

₋

=

%

5

_⎦

⎣

)

5

%;

5

;

(

500

)

%;

;

(

=

=

_A

F

_i

_n

F

F

2763

)

526

,

5

(

500

)

5

%;

5

;

(

500

)

%;

;

(

=

=

=

=

A

F

n

i

A

F

A

F

)

,

(

( )

⎥

⎤

⎢

⎡

_{+ i}

₋

A

F

n

1

1

( )

⎥

⎦

⎢

⎣

=

i

A

F

⎥

⎤

⎢

⎡

=

F

i

A

( )

⎥

_⎦

⎢

⎣

+

−

=

1

1

i

n

F

A

UNIFORM SERIES SINKING FUND

)

%;

;

(

i

n

F

A

F

A

=

(

;

i

%;

n

)

F

F

A

Contoh :

Budi membaca pengumuman bahwa sebidang Budi membaca pengumuman bahwa sebidang tanah dapat dibeli seharga $1000. Budi

bertekad menabung selama 1 tahun Bila bank bertekad menabung selama 1 tahun. Bila bank memberikan bunga 6% pertahun yang dibayar bulanan berapa yang harus ditabung perbulan bulanan berapa yang harus ditabung perbulan

F = 1000

n = 12 i = 0 5% i = 0,5%

( )

⎥

⎤

⎢

⎡

=

F

i

A

( )

%

5

0

1

1

⎤

⎡

⎥

⎦

⎢

⎣

+

i

n

−

(

1

0

,

5

%

)

1

81

,

10

%

5

.

0

1000

₁₂

⎥

=

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

)

%;

;

(

=

i

n

F

A

F

A

)

6

%;

5

,

0

;

(

1000

=

F

A

=

=

⎥

⎤

⎢

⎡

+

=

⎥

⎤

⎢

⎡

=

F

i

P

(

1

i

)

n

i

A

( )

( )

( )

⎤

⎡

⎥

⎦

⎢

⎣

+

−

+

=

⎥

⎦

⎢

⎣

+

−

=

1

1

)

1

(

1

1

i

n

P

i

i

n

F

A

( )

( )

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

1

1

1

n n

i

i

i

P

A

( )1+i n−1

( )

_⎦

⎣

1 i

+

−

1

_{UNIFORM SERIES CAPITAL}

RECOVERY FACTOR

)

%;

;

(

i

n

P

A

P

A

=

(

;

;

)

P

Contoh :

Seseorang mendepositokan $5000 ke bank Seseorang mendepositokan $5000 ke bank dengan bunga 8% per tahun. Ia

menginginkan mengambil uangnya tahunan menginginkan mengambil uangnya tahunan (tiap tahun sama) selama 5 tahun. Berpaa tiap pengambilan yang didapat ?

tiap pengambilan yang didapat ?

A=?

n = 5 i = 8%

0 1 2 3 4 5

( )

( )

1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ₊ = _n n i i P A

( )

(

1 0 08

)

08 0 1 1 5 ⎤ ⎡ ₊ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ + i n −

(

)

(

1 0,08

)

1 1252 08 , 0 1 08 , 0 5000 ₅ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + =

)

%;

;

(

=

i

n

P

A

P

A

)

5

%;

8

;

(

5000

=

P

A

P

=

=

( )

⎥

⎤

⎢

⎡

₁

₊

n

i

i

P

A

( )

( )

⎥

_⎦

⎢

⎣

+

−

=

1

1

i

n

P

A

( )

⎥

⎤

⎢

⎡

₊

n

₋

i

A

P

( )

1

1

( )

⎥

_⎦

⎢

⎣

+

=

_n

i

i

A

P

1

)

%;

;

(

i

n

A

P

A

P

=

(

;

i

%;

n

)

A

A

P

Contoh :

Seorang investor akan mendapat $140/bulan Seorang investor akan mendapat $140/bulan selama 5 tahun. Dengan bunga 1%

perbulan Berapa nilai sekarang kontrak perbulan. Berapa nilai sekarang kontrak tersebut? n = 60 i = 1% 0 1 2 3 4 5 59 60 P=? i = 1% 0 1 2 3 4 5 59 60 P=?

( )

( )

1 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −} = _n n i i i A P

( )

(

)

70 6293 1 01 , 0 1 140 1 60 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ _{+ −} ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ i + i n

(

)

(

1 0,01

)

6293,70 01 , 0 , 140 ₃₀ ⎥ = ⎦ ⎢ ⎣ + =

P

P

70

6293

)

955

44

(

140

)

60

%;

1

;

(

140

)

%;

;

(

=

=

=

=

A

P

n

i

A

P

A

P

70

,

6293

)

955

,

44

(

140

=

=

Bila anda ditawari untuk membeli kontrak

t b t h $6800 k k h d

Hitung nilai P untuk kasus berikut 30 i = 15% 0 1 2 3 4 30 20 20 P i 15% 0 1 2 3 4 P

Dengan tingkat suku bunga 15%/tahun, b il i F t k h fl b ik t? berapa nilai F untuk cash flow berikut?

Berapa P untuk cash flow berikut ? 200 P = ? 100 P = ? i = 10% 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Gradient Series

Penerimaan/pengeluaran yang diproyeksi ik d k ik t t

naik dengan kenaikan tetap Dimulai dari tahun ke-2

(N 2)G (N-1)G (N-2)G (N-3)G 2G 3G 6 8 G 2G 0 1 2 3 4 6 7 8

( )

i G

( )

i n G i n G G F = 1+ n−2 + 2 1+ n−3 +Κ + ( − 2) (1+ ) + ( −1)

( )

n 1

( )

n 2 2

( )

1 2

( )

1 ( 2)(1 ) ( 1)(1 )] [ ) 1 ( +i F = G + i n−1 + +i n−2 +Κ + n − +i 2 + n − + i

( )

i

( )

i i i nG G F iF F + − = [ 1+ n−1 + 1+ n−2 +Κ + (1+ )2 + (1+ ) +1]−

( )

( )

( )

i i i i i i n n n 1 1 ] 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 [ + −1 + + −2 +Κ + + 2 + + + = + −

( )

⎥

⎤

⎢

⎡

_{+ i}

₋

G

F

n

1

1

( )

⎥

⎦

⎢

⎣

−

=

n

i

i

F

F

F

=

( )

⎤

⎡

⎤

⎡

₊

n

₋

i

G

( )

1

1

1

( )

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

_n

i

n

i

i

i

G

P

1

1

1

1

( )

( )

⎥

⎤

⎢

⎡

₊

₋

₋

⎦

⎣

⎦

⎣

n

in

i

G

P

( )

1

1

( )

⎥

_⎦

⎢

⎣

+

=

_n

i

i

G

P

1

2

)

%;

;

(

P

i

n

G

P

=

(

;

i

%;

n

)

G

G

P

=

( )

⎤

⎡

⎤

⎡

₊

_i

₋

_i

G

( )

1

n

1

( )

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

=

i

i

n

i

i

i

G

A

_n

1

1

1

1

( )

( )

⎥

⎤

⎢

⎡

₊

₋

₋

⎦

⎣

⎦

⎣

in

i

G

A

n

1

1

( )

( )

⎥

_⎦

⎢

⎣

+

−

=

i

i

i

G

A

_n

1

2

)

%;

;

(

A

i

n

G

A

=

G

(

;

i

%;

n

)

A

=

Pak Cecep membeli mobil baru. Ia ingin

b k t k t bi

menabung sekarang untuk menutup biaya pemeliharaan mobilnya, perawatan dimulai ari tah n ke 2 sebesar $100 dan tiap tah n ari tahun ke-2 sebesar $100 dan tiap tahun naik $100 sampai tahun ke-5. Berapa uang yang harus ditabung Cecep sekarang? Suku yang harus ditabung Cecep sekarang? Suku bunga = 5%/tahun

200 300400 n = 5 200 100 n = 5 i = 5% 0 1 2 3 4 5 P=?

)

%;

;

(

=

i

n

G

P

G

P

=

=

Bu Dewi membeli mesin obras. Mesin ini akan memerlukan biaya operasi dan

akan memerlukan biaya operasi dan

perawatan sebesar $120 pada tahun pertama dan akan meningkat sebagai berikut :g g

Tahun 1 2 3 4 5

Tahun 1 2 3 4 5

Biaya 120 150 180 210 240

Berapa uang yang harus dideposito sekarng untuk menutup biaya biaya tersebut bila

180 210240 120 0 1 2 3 4 150 5 120 0 1 2 3 4 5 120 = + 0 1 2 3 4 60 30 90 5 120 P=? _P1 P2

(

5% 5

)

(

5% 5

)

2 1+ = P G P A P P P

(

)

(

)

) 237 , 8 ( 30 ) 329 , 4 ( 120 5 %; 5 ; 5 %; 5 ; + = + = G P G A P A

Suatu perusahaan tekstil membeli mesin

b Bi t d b ik i

baru. Biaya perawatan dan perbaikan mesin diekspektasi sbb :

h

Tahun 1 2 3 4

Biaya 24000 18000 12000 6000 Berapa proyeksi ini bila diekivalensikan ke P ? (i = 10%/thn)( )