1. dr. H. A. A. van Eerde (Universiteit Utrecht) 2. drs. F. H. J. van Galen (Universiteit Utrecht) 3. Dr. Eng. Anto Satriyo Nugroho, M. Eng.

(1)

(2)

2. drs. F. H. J. van Galen (Universiteit Utrecht)

(3)

(4)

... iii

... v

PERANCANGAN SISTEM TRACKING DAN DISTURBANCE REJECTION BERBASIS NEURAL NETWORKS PADA AUTONOMOUS UNDERWATER VEHICLE (AUV) ... 1

Abdul Muis Prasetia1, Trihastuti Agustinah2, Joko Susila3 dan Rusdhianto Effendie A.K.4 1 Implementasi Pengolahan Citra Dan Fuzzy Logic Untuk Menentukan Setting Point Suhu Oven Selama Proses Pemanggangan Roti ... 12

Ali Rizal Chaidir1*_{, Muhammad Rivai}2_{... 12}

Waypoint Tracking Control pada Quadrotor Menggunakan Integral Sliding Mode dengan Speed Control ... 22

Anisa Ulya Darajat, Swadexi Istiqphara ... 22

Prediksi Kebutuhan Listrik Di Jawa Timur Dengan Metode Arima Double Seasonal Dan Anfis Sebagai Upaya Optimalisasi Energi Dan Sumber Daya Mineral ... 32

1_{Anita Trias Anggareni dan}2_{Suhartono ... 32}

PENGENALAN EKSPRESI WAJAH MENGGUNAKAN JARINGAN SYARAF TIRUAN KOHONEN SELF ORGANIZING MAP (K-SOM) ... 40

Bagus Hardiansyah1, M. Isa Irawan 2, Dwi Ratna Sulistyaningrum 3 ... 40

BILANGAN DOMINASI PADA GRAF HASIL OPERASI COMB LINTASAN DENGAN LINTASAN, SIKEL, DAN BINTANG ... 48

Darmaji1_{, Reni Umilasari}2_{... 48}

BENTUK - BENTUK IDEAL PADA SEMIRING ... 58

Dian Winda Setyawati1_{, Soleha}2_{... 58}

PEMODELAN KEMISKINAN DI PROVINSI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION (SUR) SPASIAL ... 63

Dibyo adi wibowo1, Setiawan2, Vita Ratnasari3 ... 63

Pembentukan Geometri Fractal dengan menggunakan sistem Lindenmayer ... 68

Dwi Juniati, Ketut Budayasa ... 68

Prediksi Harga Saham dengan Menggunakan Artificial Neural Network ... 78

Edwin Riksakomara ... 78

Analisis Sistem Dinamik Model Epidemi Tipe SITRS Antar Dua Wilayah ... 84

Eko Alan Kusumayadi S.P.L1, Hariyanto2, Mardlijah3 ... 84

IDENTIFIKASI GAS CAMPURAN MENGGUNAKAN KOLOM PARTISI DAN SENSOR QUARTZ CRYSTAL MICROBALANCE ... 96

(5)

viii 25 April 2015 Universitas Negeri SUrabaya

EXPONENTIAL SMOOTHING DENGAN PENDEKATAN STATE SPACE UNTUK

PERAMALAN DATA INFLASI (Studi Kasus Inflasi Kota Banda Aceh dan Inflasi Nasional) 344

Nurhariyadi1_{, Agus Suharsono}2_{, Suhartono}2_{... 344}

APLIKASI METODE POWER SPECTRUM PADA PEMBUATAN SISTEM PENGKONVERSI SUARA UCAPAN MENJADI TEKS ... 354

Nurul Hidayat1, Yoga Arifianto2 ... 354

PENDUGAAN TINGKAT PARTISIPASI ANGKATAN KERJA DAN TINGKAT PENGANGGURAN TERBUKA DI KABUPATEN PAMEKASAN MENGGUNAKAN SMALL AREA ESTIMATION DENGAN PENDEKATAN HIERARCHICAL BAYES . 362 Putu Gita Suari Miranti1, Agnes Tuti Rumiati2, Vita Ratnasari3 ... 362

PENGELOMPOKAN KECAMATAN DI KOTA SURABAYA SEBAGAI UPAYA MONITORING PERSEBARAN PENYAKIT INFEKSI MENULAR SEKSUAL PASCA PENUTUPAN LOKALISASI DOLLY ... 374

Ratu Sawitri Rizqi Putri1, Destri Susilaningrum2 ... 374

Implementasi Kendali Logika Fuzzy Untuk Mengontrol Pergerakan Olfactory Mobile Robot Dalam Mengikuti Dinding Obyek ... 384

Rendyansyah1_{, Muhammad Rivai}2_{, Djoko Purwanto}3_{... 384}

PENDEKATAN FRACTIONALLY INTEGRATED SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (FI-STAR) UNTUK DATA INFLASI ... 396

Rini Tri Hadiyati1, Irhamah2, Heri Kuswanto3 ... 396

PENAKSIRAN PARAMETER BIVARIATE ZERO-INFLATED POISSON REGRESSION (BZIPR) 406 Riska Lita Umami1, Purhadi2 ,I Nyoman Latra3 ... 406

Implementasi Metode Fuzzy pada Kontrol Suhu Oven dalam Proses Pemanggan Kue 415 Rizki Dwi Irianti1_{, Muhammad Rivai}2_{, Djoko Purwanto}3_{... 415}

Transformasi Wavelet KontinupadaRuang dengan Faktor Dilasi Vektor ... 425

Rizky Darmawan1, Mahmud Yunus2 ... 425

AUTOMATIC CLUSTERING FUZZY LOGICAL DENGAN MATLAB ... 431

Robert Kurniawan1, ... 431

Faktor yang Mempengaruhi Partisipasi Tenaga Kerja Perempuan Provinsi Banten Tahun 2012 dengan Binary Logistic Regression... 440

Achmad Fauzi Bagus Firmansyah1, Robert Kurniawan2*) ... 440

ESTIMASI KURVA REGRESI NONPARAMETRIK SPLINE TRUNCATED MULTIRESPON ... 448

Rosalina Salhuteru1, I Nyoman Budiantara 2, Ismaini Zain 2 ... 448

Jumlah Ideal Fuzzy dari Near-Ring ... 457

(6)

Saman Abdurrahman

Universitas Lambung Mangkurat, samunlam@gmail.com

Abstrak. Dalam tulisan ini akan dibahas dua permasalahan, yaitu jumlah antara ideal fuzzy dari near-ring, dan jumlah antara

ideal normal fuzzy dari ring. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah jumlah dua atau lebih ideal fuzzy dari

near-ring R adalah ideal fuzzy dari near-near-ring R, dan jumlah dua atau lebih ideal normal fuzzy dari near-near-ring R adalah ideal normal fuzzy dari near-ring R.

Kata kunci: near-ring, ideal fuzzy, normal.

Pendahuluan

Aljabar abstrak adalah salah satu cabang dari matematika. Salah satu konsep yang dipelajari dalam aljabar abstrak adalah near-ring. Menurut Satyanarayana et al [1], near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan pada near-ring. Operasi pertama pada near-ring sebarang tidak harus membentuk grup abelian, terhadap operasi kedua membentuk semigrup, dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan.

Pada tahun 1991, Abou-Zaid [2] melakukan penelitian pada struktur subnear-ring, dan ideal pada near-ring yang dipadukan dengan kosep fuzzy, sehingga menghasilkan struktur baru, yaitu

subnear-ring fuzzy, dan ideal fuzzy pada near-ring.

Penelitian yang dilakukan oleh Abou-Zaid [3], melahirkan banyak ide bagi peneliti lainnya, sehingga banyak peneliti yang mengembangkan ide dari Abou-Zaid [2], diantaranya, Abdurrahman [3] melakukan penelitian ideal fuzzy dari near-ring, yang meliputi hubungan antara ideal dengan ideal fuzzy dari suatu near-ring.

Mengingat pada penelitian sebelumnya telah dibahas subring fuzzy dan ideal fuzzy

near-ring, maka pada penelitian ini akan diselidiki sifat jumlah ideal fuzzy dari near-near-ring, yang

dimotivasi oleh pernyataan Satyanarayana et al [1], yaitu jika A dan B adalah ideal dari near-ring R, maka A + B adalah ideal dari R. Dari sifat ini muncul suatu pertanyaan, apakah sifat ini berlaku atau dipertahankan oleh ideal di himpunan fuzzynya?. Berangkat dari permasalahan ini, maka dalam tulisan ini akan dibahas hasil jumlah dari ideal fuzzy, dan hasil jumlah dari ideal normal fuzzy dari suatu near-ring.

Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur dari berbagai sumber baik berupa buku, atau jurnal ilmiah, khususnya yang berkaitan dengan near-ring, subnear-ring, ideal near-ring, subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy near-ring.

Pada tahap awal dipelajari konsep-konsep dasar tentang near-ring, subnear-ring, dan ideal

near-ring. Konsep dasar ini yang nantinya akan banyak membantu dalam memahami konsep subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy near-ring.

(7)

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015 ISBN No. 978-979-028-728-0

458 25 April 2015 Universitas Negeri SUrabaya

Setelah memahami konsep subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy

near-ring, selanjutnya mendefinisikan jumlah dari dua subset fuzzy, membuktikan beberapa lemma

atau teorema yang terkait, dan menentukan asumsi-asumsi sehingga terbentuk sifat baru, yang mendukung pada pembuktian hasil jumlah antara ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy

near-ring.

Langkah terakhir, dengan menggunakan lemma-lemma dan teorema-teorema yang saling terkait, maka diperoleh teorema jumlah antara ideal fuzzy ring, dan ideal normal fuzzy

near-ring, yang hasilnya dituangkan dalam bentuk definisi atau teorema.

Hasil Dan Pembahasan

Sebelum membahas hasil jumlah antara ideal fuzzy dari near-ring, dan ideal normal fuzzy dari

near-ring, berikut diberikan beberapa definisi, lemma, dan teorema yang mendukung pada

pembahasan berikutnya.

Definisi 1. (Satyanarayana et al., [1]) Himpunan R tidak kosong dengan dua operasi biner + dan

disebut near ring, jika memenuhi:

(1) (R, +) adalah grup (tidak harus grup abelian), (2) (R, .) adalah semigrup,

(3) untuk setiap x,y,z R berlaku salah satu sifat distributif kanan atau kiri

(i). distributif kanan : (x + y) . z = x . z + y . z

(ii). distributif kiri : x . (y + z) = x . y + x . z

Suatu near-ring disebut near-ring kanan jika memenuhi aksioma (1), (2), dan (3) bagian (i), dan disebut near-ring kiri jika memenuhi aksioma (1), (2), dan (3) bagian (ii). Selanjutnya yang dimaksud near-ring adalah near-ring kiri, kecuali ada keterangan lebih lanjut, dan x y dapat juga ditulis xy.

Pada near-ring, grupnya tidak harus abelian terhadap operasi +, maka dalam mendefinisikan ideal dari near-ring subgrupnya harus merupakan subrup normal.

Definisi 2. (Satyanarayana et al., [1]) Diberikan near-ring R. Subgrup normal dari R disebut

ideal dari R, jika

(1). RI I

(2). (r + i)s rs I untuk setiap r, s R dan i I.

Subgrup normal I dari R, memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri dari R, dan memenuhi kondisi (2) disebut ideal kanan dari R.

Definisi 3. (Mordeson et al., [4]) Diberikan X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan

disebut subset fuzzy dari X jika . Selanjutnya himpunan semua subset fuzzy dari X

dinotasikan dengan (X).

Definisi 4. (Mordeson et al., [4]) Jika , (X), maka jika dan hanya jika (x) (x) untuk

setiap x X.

Definisi 5. (Kandasamy, [5]) Diberikan near-ring R dan (R). Subset fuzzy disebut

subnear-ring fuzzy dari R jika untuk setiap x,y R berlaku:

(x y) min{ (x), (y)}, dan (xy) min{ (x), (y)}.

Definisi 6. (Kandasamy, [5]) Diberikan near-ring R dan (R). Subset fuzzy disebut ideal

(8)

(1) (x y) min{ (x), (y)}, (2) (x) (y + x y),

(3) (xy) (y), dan (4) ((x + z)y xy) (z).

Suatu disebut ideal kiri fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1), (2), dan (3), sedangkan disebut ideal kanan fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1), (2), dan (4).

Lemma 7. (Abdurrahman et al., [3]) Diberikan near-ring R. Jika adalah subnear-ring fuzzy

dari R, maka (0R) (x), dan ( x) (x) untuk setiap x R.

Definisi 8. (Abou-Zaid., [2]) Diberikan near-ring R, dan , (R). Jumlah dan didefinisikan

dengan,

( )(x)

untuk setiap x R.

Setelah diberikan definisi, lemma, dan teorema yang mendukung pada pembahasan jumlah ideal fuzzy dari near-ring, dan jumlah ideal normal fuzzy dari near-ring, berikut disajikan lemma dan teorema yang menjadi bahasan dalam tulisan ini.

Lemma 9. Jika dan adalah subnear-ring fuzzy dari near-ring R, maka ( )(0R) ( )(x),

dan ( )( x) ( )(x) untuk setiap x R.

Bukti:

Diambil sebarang x R, maka x = y + z untuk suatu y, z R. Mengingat dan adalah

subnear-ring fuzzy dari R, maka menurut Lemma 7: (0R) (y), (0R) (z), dan (x) = ( x). Akibatnya:

( )(0R) sup[min{ (0R), (0R)}] sup[min{ (y), (z)} ( )(x).

dan,

( )(x) sup[min{ (0R), (x)}] sup[min{ (0R), ( x)}]

)( x).

Teorema 10. Diberikan 1, 2, 1 dan 2 adalah subnear-ring fuzzy dari near-ring R. Jika 1 2,

dan 1 2 maka 1 1 2 2.

Bukti:

Diambil sebarang x R, dengan x = y + z untuk suatu y,z R, maka

( 1 1)(x) = sup[min{ 1(y), 1(z)} sup[min{ 2(y), 2(z)} = ( 2 2)(x).

Akibatnya, 1 1 2 2

Akibat 11. Diberikan 1, 2, 1 dan 2 adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika 1 2, dan 1 2,

maka 1 1 2 2.

Teorema 12. Jika dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka adalah ideal fuzzy dari

near-ring R.

Bukti:

Diambil sebarang x, y R dengan x = a + b dan y = c + d untuk suatu a, b, c, d R, maka:

1). ( )(x y) = ( )(a + b (c + d)) = ( )(a c + c + b c d)

= sup[min{ (a c), (c + b c d)}]

sup[min{min{ (a), (c)}, min{ (c + b c), (d)}}] = sup[min{min{ (a), (c)}, min{ (b), (d)}}]

min[sup{min{ (a), (b)}}, sup{min{ (c), (d)}}] = min{( )(x), ( )(y)},

(9)

= sup[min{ (y + a y), (y + b y)}] = sup[min{ (a), (b)}] = ( )(x),

2). ( )(xy) = ( )(x(c + d)) = ( )(xc + xd)

= sup[min{ (xc), (xd)}] sup[min{ (c), (d)}] = ( )(y), dan

4). ( )[(x + z)y xy] = ( )[(x + z)y xy + 0R] = sup[min{ [(x + z)y xy], (0R)}]

sup[min{ (z), (0R)] = ( )(z).

Jadi, adalah ideal fuzzy dari near-ring R.

Teorema 13. Diberikan near-ring R. Jika 1, 2, ..., n adalah ideal fuzzy dari R, maka 1 2 ... n adalah ideal fuzzy dari R.

Bukti:

Misalkan 1, 2, ..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Akan dibuktikan 1 2 ... n ideal

fuzzy dari R.

Untuk membuktikan 1 2 ... n adalah ideal fuzzy dari R, digunakan induksi matematika pada

bilangan bulat positif n 2.

1). Untuk n = 2, maka menurut Teorema 12, 1 2 adalah ideal fuzzy dari R.

2). Diasumsikan untuk n = k, 1 2 ... k adalah ideal fuzzy dari R.

Akan dibuktikan untuk n = k + 1, 1 2 ... k k + 1 adalah ideal fuzzy dari R.

Mengingat 1 2 ... k, dan k + 1 adalah ideal fuzzy dari R, maka menurut Teorema 12,

1 2 ... k k + 1 adalah ideal fuzzy dari R.

Dari semua kasus, terbukti bahwa 1 2 ... k k + 1 adalah ideal fuzzy dari R. Oleh karena itu

dengan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa 1 2 ... n adalah ideal fuzzy dari R,

untuk semua bilangan bulat positif n 2.

Akibat 14. Diberikan 1, 2, ..., n dan 1, 2, ..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika

1 2 ... n, dan 1 2 ... n maka ( 1 2 ... n) ( 1 2 ... n).

Teorema 15. Diberikan near-ring R. Jika dan adalah ideal fuzzy dari R, maka R {x R

| ( ) ( )(0R)} adalah ideal dari R.

Bukti:

Misalkan dan ideal fuzzy dari near-ring R. Akan dibuktikan R adalah ideal dari near-ring

R. Berdasarkan definisi R , maka 0R R yang mengakibatkan R dan R R.

Selanjutnya, diambil sebarang x, y, z R , maka ( )(x) ( )(y) ( )(z) ( )(0R).

Mengingat dan adalah ideal fuzzy dari R maka, menurut Teorema 12, adalah ideal fuzzy

dari R, sehingga

1) ( )(x y) min{( )(x), ( )(y)} ( )(0R), sehingga menurut Lemma 9, nilai

keanggotaan ( )(x y) ( )(0R), yang mengakibatkan x y R .

2) ( )(y + x y) ( )(x) ( )(0R), maka y + x y R .

3) ( )(xy) ( )(y) ( )(0R), sehingga menurut Lemma 9, nilai keanggotaan ( )(xy)

( )(0R), yang mengakibatkan xy R , dengan kata lain RR R .

4) ( )((x + z)y xy) ( )(z) ( )(0R), sehingga menurut Lemma 9, nilai keanggotaan

( )((x + z)y xy) ( )(0R), yang mengakibatkan (x + z)y xy R .

Jadi, R adalah ideal dari near-ring R.

Akibat 16. Jika 1, 2, ..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka R adalah ideal

dari R.

Teorema 17. Diberikan 1, 2, 1 dan 2 adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika 1 2, 1 2,

dan 1(0R) 2(0R) 1(0R) 2(0R), maka .

(10)

Mengingat 1, 2, 1 dan 2 adalah ideal fuzzy dari R, 1 2, dan 1 2, maka menurut Akibat

11, 1 1 2 2 sehingga menurut Teorema 15, , dan ideal dari R. Selanjutnya

diambil sebarang x , maka

( 1 1)(x) = ( 1 1)(0R) = sup{min { 1(0R), 1(0R)}= sup{min { 2(0R), 2(0R)} = ( 2 2)(0R).

Dari analisa di atas, maka ( 2 2)(0R) = ( 1 1)(x) ( 2 2)(x), sehingga menurut Lemma 9,

nilai keanggotaan ( 2 2)(x) = ( 2 2)(0R). Akibatnya x , dengan kata lain

Berikut diberikan definisi ideal normal fuzzy dari near-ring R, dan selanjutnya himpunan

semua ideal normal fuzzy dari near-ring R, dinotasikan dengan N(R).

Definisi 18. (Abdurrahman, [6]) Diberikan ideal fuzzy dari near-ring R. Ideal fuzzy disebut

normal, jika ada x R sedemikian hingga (x) 1.

Setelah definisi ideal normal fuzzy dari near-ring R, selanjutnya diberikan beberapa sifat dari ideal normal fuzzy dari R.

Teorema 19. Jika N(R), maka (0R) 1.

Bukti:

Misalkan N(R), maka ada x sedemikian hingga (x) 1. Di lain pihak, menurut Lemma 9,

(0R) (z) untuk setiap z , akibatnya, (0R) (x) 1, dengan kata lain (0R)

Akibat 20. Jika , N(R), maka N(R).

Akibat 21. Jika 1, 2, ..., n N(R), maka 1 2 ... n N(R).

Akibat 22. Jika 1, 2, 1, 2 N(R) dengan 1 2, dan 1 2 maka .

Lemma 23. Diberikan A dan B adalah ideal dari near-ring R. Jika A dan B adalah fungsi

karakteristik dari A dan B, maka A B N(R) dan A + B.

Bukti:

Mengingat A dan B adalah fungsi karakteristik dari ideal A dan B, maka menurut Abdurrahman

et al., [3] (Teorema 4.1.9), A dan B adalah ideal fuzzy dari R, sehingga menurut Teorema 12 dan

Definisi 18, maka A B N(R), sehingga menurut Teorema 19: ( A B)(0R) 1. Selanjutnya,

{x | ( A B)(x) ( A B)(0R)} {x | ( A B)(x) 1}

{x = y + z | sup{min{ A(y), B(z)}} 1} = {x = y + z | A(y) = B(z) 1} {x = y + z | y A dan z B} A

Setelah diberikan beberapa sifat dari ideal normal fuzzy dari near-ring R, selanjunya diberikan sifat dari , yang dibentuk dari suatu ideal fuzzy dari R.

Teorema 24. Diberikan dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika *_{(x) (x) + 1 (0} R)

dan *(x) (x) + 1 (0R) untuk setiap x R, maka ( )* N(R), dan ( ) ( )*.

Bukti:

Misalkan dan ideal fuzzy dari R dengan *(x) (x) + 1 (0R), dan *(x) (x) + 1 (0R)

untuk setiap x R. Akan dibuktikan ( )*

N(R), dan ( ) ( )*.Mengingat dan

adalah ideal fuzzy dari R, maka menurut Teorema 12, ideal fuzzy dari R, sehingga untuk setiap

x, y, z R, berlaku:

1) ( )*(x y) ( )(x y) + 1 ( )(0R) min{( )(x), ( )(y)} + 1 ( )(0R)

min{( )*(x), ( )*(y)},

2) ( )*(y + x y) ( )(y + x y) + 1 ( )(0R) ( )(x) + 1 ( )(0R)

( )*(x),

3) ( )*(xy) ( )(xy) + 1 ( )(0R) ( )(y) + 1 ( )(0R) ( )*(y), dan

(11)

( )*(z).

Berdasarkan analisa di atas, maka ( )* adalah ideal fuzzy dari R. Mengingat ( )*(0R) (

)(0R) + 1 ( )(0R), maka nilai keanggotaan dari ( )*(0R) 1, dengan kata lain ( )*

N(R). Akibatnya menurut Lemma 9, ( )(x) ( )(0R) )*(0R) untuk setiap x R.

Karena ( )(0R) 1 dan ( )* (x) ( )(x) + 1 ( )(0R), maka ( )(x) ( )*(x)

untuk setiap x R, yang mengakibatkan ( ) ( )*.

Selanjunya diberikan sifat dari , yang berhubungan dengan suatu ideal fuzzy dari

near-ring R yang memiliki nilai keanggotaan 0 untuk suatu x R.

Lemma 25. Diberikan , dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika ( )*(x) 0 untuk

suatu x R, maka ( )(x) 0.

Bukti:

Mengingat , dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka menurut Teorema 12, dan Teorema

24, maka ideal dari R, dan ( )* N(R). Misalkan ( )*(x) 0 untuk suatu x R.

Akan dibuktikan ( )(x) 0.

Andaikan ( )(x) 0.

Karena ( )*(x) 0 dan ( )* (x) ( )(x) + 1 ( )(0R), maka ( )(0R) ( )(x)

+ 1. Mengingat ( )(x) 0, maka ( )(0R) 1 yang mengakibatkan ( )(0R) [0,1], sehingga

kontradiksi dengan ( )(0R) [0,1] yang mengakibatkan pengandaian salah, seharusnya (

)(x) 0, dengan kata lain ( )(x) 0 untuk suatu x R.

Selanjunya diberikan beberapa sifat dari , yang berhubungan dengan suatu ideal normal

fuzzy dari near-ring R.

Lemma 26. Diberikan , dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R. N(R) jika dan hanya

jika ( )*. Bukti: ( )* ( )(x) ( )*(x) untuk setiap x ( )(x) ( )(x) + 1 ( )(0R) untuk setiap x ( )(0R)

Akibat 27. Jika , dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka (( )*)* ( )*.

Akibat 28. Jika , N(R), maka (( )*)* = .

Akibat 29. Jika 1, 2, ..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka R adalah ideal

dari R.

Akibat 30. Jika 1, 2, ..., n N(R), maka R = R .

Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua atau lebih ideal fuzzy dari ring R adalah ideal fuzzy dari R, dan jumlah dua atau lebih ideal normal fuzzy dari

near-ring R adalah ideal normal fuzzy dari near-near-ring R. Jumlah ideal fuzzy dari near-near-ring yang diteliti pada tulisan

ini, hanya terbatas pada ideal-ideal fuzzy dari near-ring yang sama, tetapi penelitian ini dapat dijadian sebagai referensi untuk melakukan penelitian pada direct sum ideal fuzzy dari near-ring.

Daftar Pustaka

(12)

1. Satyanarayana, Bh., and Prasad, KS., 2013. Near-ring, Fuzzy Ideals, and Graph Theory, Taylor and Francis Group, LLC.

2. Abou-Zaid ., 1991. On fuzzy subnear-rings and ideals, Fuzzy Sets and Systems, 44(1), pp. 139

146.

3. Abdurrahman, S., Thresye., Hijriati, N., 2012. Ideal fuzzy near-ring, Jurnal Matematika Murni

dan Terapan Epsilon, 6(2), hal 13 19.

4. Mordeson, JN., Malik, DS., and Kuroki, N., 2003. Fuzzy semigroup, Springer-Verlag, Berlin

Heidelberg.

5. Kandasamy, WBV., 2003, Smarandache fuzzy algebra, American Research Press Rehoboth.

6. Abdurrahman, S., 2014. Karakterisasi Ideal maksimal fuzzy near-ring, Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD) Yogyakarta, hal 1199 1207.