PROSIDING SEMINAR NASIONAL

(1)

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)

Yogyakarta, 27 Desember 2014

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

Yogyakarta, 27 Desember 2014

Tema :

Revitalisasi Pendidikan Matematika Menuju AFTA 2015

Editor :

Dr. Suparman, M.Si., DEA.

Sugiyarto, P.hD.

Dr. Tutut Herawan, M.Si.

Bidang Ilmu :

Pendidikan Matematika dan Matematika

(2)

Prosiding ISSN :9 772407 749004

Yogyakarta, 27 Desember 2014

xiv

Pemodelan Bayesian SUR Spasial Autoregressive pada Kasus

Heteroskedastisitas ... 1124 Deteksi Abnormality melalui BIRADS untuk Memprediksi Posisi dan

Potensi Keganasan Kanker pada Kasus Kanker Payudara (Ca mammae)

di Jawa Timur dengan Pendekatan Multinomial Normit Analysis ... 1137 Penerapan Logika Fuzzy Mamdani untuk Diagnosa Penyakit Hipertiroid ... 1146 JARINGAN SYARAF RADIAL BASIS FUNCTION (RBF) UNTUK

KLASIFIKASI PENYAKIT KARIES GIGI ... 1158 Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar

Max-Plus ... 1167 MODIFIKASI DISTRIBUSI PERJALANAN COMMUTER LINE

JABODETABEK DENGAN MODEL GRAVITASI VOORHEES ... 1175 Pengaruh Tingkat Kemiringan Tanah dan Pola Tanam Graf Tangga

Segitiga Terhadap Sirkulasi Udara Pada Perkebunan Kopi ... 1181 PERUBAHAN NILAI TUKARIMPOR DAN HARGA KONSUMEN DI

KAMBOJA DAN INDONESIA: BUKTI DARI VEKTOR

AUTOREGRESI (VAR) ... 1187 KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING ... 1199 Metode Numerik Pada Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode

Beda Hingga ... 1208 Solusi Numerik Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Sapuan

Ganda ... 1214 Mengkonstruksi Algoritma Bentuk Numerik Pada Sistem Persamaan

Linear ... 1222 Pemodelan GSTARX Dengan Intervensi Pulse dan Step Untuk

Peramalan Wisatawan Mancanegara ... 1230 Nilai Strong Rainbow Connection pada Graf Khusus dan Hasil

Operasinya ... 1242 PENGEMBANGAN TOTAL SELIMUT SUPER PADA GRAF

SHACKLETRIANGULAR BOOK ... 1249 BILANGAN KROMATIK PADA PENGOPERASIAN GRAF

LINTASAN DENGAN GRAF LINGKARAN ... 1257 PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC PADA

(3)

KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING

Saman Abdurrahman

Program Studi Matematika FMIPA Unlam

Jl. A. Yani KM 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan, samunlam@gmail.com

ABSTRAK

Dalam tulisan ini dibahas konsep ideal maksimal fuzzy near-ring, yang meliputi hubungan antara ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring.

Kata kunci: Near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy, ideal prima fuzzy.

ABSTRACT

In the paper discuss concept fuzzy maximal ideal of near-ring, which includes the relationship between fuzzy maximal ideal of ring and fuzzy prime fuzzy ideal of near-ring.

Keywords: Fuzzy near-ring, fuzzy maximum ideal, fuzzy prime ideal

PENDAHULUAN

Near-ring yang dikontruksi oleh

Pilz (1983), Clay (1992) dan Kandasamy (2002), merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan pada near-ring. Operasi pertama pada near-ring sebarang tidak harus abelian, terhadap operasi kedua membentuk semigrup, dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan.

Seiring dengan perkembangan zaman, penelitian pada near-ring tidak hanya berkisar pada strukturnya tetapi mulai memadukan dengan teori lain, diantaranya dengan himpunan fuzzy yang

diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965.

Abou-Zaid (1991) melakukan

fuzzyfikasi pada struktur near-ring,

sehingga melahirkan definisi near-ring

fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy ring, dan ideal prima fuzzy near-ring. Jun dan Ozturk (2001) melakukan

penelitian pada ideal maksimal fuzzy

gamma near-ring, Young dan Hee (2002)

melakukan penelitian pada ideal prima

fuzzy near-ring, dan Satyanarayana dan

Kuncham (2005) melakukan penelitian pada ideal prima fuzzy gamma near-ring. Mengingat penelitian sebelumnya sudah membicarakan ideal prima fuzzy dan ideal maksimal fuzzy pada near-ring, maka pada tulisan ini akan diteliti sifat

(4)

Prosiding

ISSN: 9 772407 749004

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

₁₂₀₀

dari ideal maksimal fuzzy, yang meliputi hubungan dengan ideal prima fuzzy pada near-ring.

Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur berupa buku-buku dan jurnal-jurnal ilmiah, khususnya yang berkaitan dengan ring,

near-ring fuzzy, ideal fuzzy near-near-ring, ideal

malsimal fuzzy near-ring dan ideal prima

fuzzy near-ring.

Pada tahap awal dipelajari konsep-konsep dasar tentang near-ring,

subnear-ring, ideal near-ring, ideal

maksimal near-ring dan ideal prima

near-ring. Konsep-konsep dasar ini yang

nantinya akan banyak membantu untuk memahami konstruksi near-ring fuzzy,

subnear-ring fuzzy, ideal near-ring fuzzy,

ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring.

Setelah memahami konstruksi

near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy ring dan ideal prima fuzzy near-ring, dibuktikan beberapa lemma dan

teorema yang terkait sehingga diperoleh “hubungan antara ideal di himpunan klasik dan himpunan fuzzynya”.

Selanjutnya ditentukan asumsi-asumsi sehingga terbentuk sifat baru, yang mendukung pada pembahasan

hubungan antara ideal maksimal fuzzy

near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring

Langkah terakhir, dengan menggunakan lemma-lemma dan teorema-teorema yang saling terkait, maka diperoleh hubungan antara ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima

fuzzy near-ring, yang hasilnya dituangkan

dalam bentuk teorema.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Definisi 1. (Pilz 1983) Himpunan tidak kosong dengan dua operasi biner + dan  disebut near ring, jika memenuhi:

1. ( , +) adalah grup (tidak harus grup

abelian),

2. ( , .) adalah semigrup,

3. untuk setiap x,y,z berlaku salah

satu sifat distributif kanan atau kiri (i). distributif kanan :

(ii). distributif kiri :

Selanjutnya yang dimaksud

near-ring adalah near-near-ring kiri, kecuali ada

keterangan lebih lanjut, dan xy dapat juga ditulis xy.

Definisi 2. (Clay 1992) Diberikan near-ring . Subgrup H dari disebut subnear-ring dari (ditulis dengan H ), jika memenuhi HH H.

(5)

Pada near-ring, grupnya tidak harus abelian terhadap operasi +, maka dalam mendefinisikan ideal di near-ring subgrupnya harus merupakan subrup normal.

Definisi 3. (Satyanarayana 2013) Diberikan ( , +, .) adalah near-ring. Subgrup normal dari disebut ideal dari , jika

1. RI I

2. (r + i)s – rsI untuk setiap r,sR dan

iI.

Subgrup normal I dari , memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri dari , dan memenuhi kondisi (2) disebut

ideal kanan dari .

Definisi 4. (Mordeson, 2005) Diberikan X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan  disebut subset fuzzy di X jika

 . Selanjutnya himpunan

semua subset fuzzy di X dinotasikan dengan (X).

Definisi 5. (Mordeson, 2005) Jika

, (X), maka untuk setiap xX: 1.    jika dan hanya jika (x)  (x), 2.   jika dan hanya jika (x)  (x),

Definisi 6. (Mordeson, 2005) Diberikan

 (X) dan t[0,1]. Level subset dari 

dinotasikan dengan t yang didefinisikan

dengan,

t  {xR | (x)  t}.

Lemma 7. (Mordeson, 2005) Jika

, (X), maka

1.   maka a a untuk setiap

a[0,1]

2. a  b maka b a untuk setiap

a,b[0,1]

3.    jika dan hanya jika a  a

untuk setiap a[0,1]

Definisi 8. (Abou-Zaid, 1991) Diberikan near-ring dan  . Subset fuzzy  disebut subnear-ring fuzzy di jika untuk setiap  berlaku:

1.   min{ ,  }, dan 2.   min{ ,  }.

Selanjutnya,  disebut ideal fuzzy di jika  adalah subnear-ring fuzzy di dan untuk setiap  berlaku: 3.    ,

4.    , dan

5.    .

Suatu  disebut ideal kiri fuzzy di jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan (4), sedangkan  disebut ideal kanan

fuzzy di jika memenuhi kondisi (1), (2),

(3) dan (5).

Definisi 9. (Williams. P, 2008) Diberikan ideal fuzzy  di near-ring .

Ideal fuzzy  disebut normal, jika ada

 sedemikian hingga   1.

(6)

Prosiding

ISSN: 9 772407 749004

₁₂₀₂

normal fuzzy dari dinotasikan dengan

N( ).

Lemma 10. (Abdurrahman, 2012) Diberikan near-ring . Jika  adalah

subnear-ring fuzzy di , maka    , dan    untuk setiap

 .

Teorema 11. Diberikan near-ring . Jika  adalah ideal fuzzy di , maka

 |    adalah

ideal di .

Teorema 12. Diberikan  dan  adalah ideal fuzzy di near-ring . Jika   dan

   , maka .

Teorema 13. Diberikan near-ring .

Jika , N( ) dan  , maka .

Lemma 14. Diberikan near-ring . Jika A ideal di , maka A ideal normal fuzzy

di dan   A. Bukti:

Misalkan A ideal di dan A fungsi

karakteristik dari A. Mengingat A adalah ideal di , maka A sehingga A  1 dan menurut [Abdurrahman

2012, Teorema 4.1.9], A adalah ideal

fuzzy di yang mengakibatkan A ideal

normal fuzzy di . Selanjutnya,

  { R | A  A }

 {  | A  1}

 { R | A }  A. ■

Setelah diberikan beberapa sifat dari ideal normal fuzzy di near-ring , berikut diberikan sifat dari fungsi karakteristik dari suatu ideal di .

Lemma 15. Diberikan near-ring . Jika A dan B ideal di , maka A B jika dan hanya jika A B.

Bukti:

( ) Misalkan A dan B adalah fungsi

karakteristik dari ideal A dan B di dengan A B. Akan dibuktikan A B,

yaitu A  B untuk setiap R.

Untuk membuktikan A B, akan dilihat

dari tiga kondisi berikut:

1. jika A, maka B sehingga

A  B  1,

2. jika A dan B, maka

A  0  1  B , dan

3. jika  , maka

A  B  0

Berdasarkan (1), (2), dan (3) maka

A  B untuk setiap  .

( ) Misalkan A dan B adalah ideal di dan A B. Akan dibuktikan A B.

Diambil sebarang A, maka A  1.

Mengingat A B dan B [0,1], maka

1  A  B untuk setiap  ,

sehingga B  1 yang mengakibatkan

B, dengan kata lain A B. ■

Lemma 16. Diberikan near-ring . Jika

(7)

yang didefinisikan dengan,    + 1   untuk setiap  , maka 

ideal normal fuzzy di dan   . Bukti:

Misalkan  ideal fuzzy di dan

  dimana    + 1   untuk setiap  . Mengingat  ideal fuzzy di dan definisi  , maka

untuk setiap  , berlaku: 1)    + 1   min{ ,  } + 1    min{ + 1   ,  + 1   }  min{ ,  }. 2)    + 1    min{ ,  } + 1    min{ + 1   ,  + 1   }  min{ ,  }. 2)    + 1     + 1     . 3)    + 1     + 1     . 4)    + 1     + 1     . 5)    + 1    1. 6)  ,  [0,1] dan   1, maka    ≤   1, untuk setiap  . Mengingat   1 dan  (x)   + 1   , maka (x)   yang mengakibatkan   . Jadi,  adalah ideal normal fuzzy di dan   . ■

Lemma 17. Diberikan ideal fuzzy  di near-ring . Jika   0 untuk suatu

 , maka   0.

Lemma 18. Ideal fuzzy  di near-ring adalah normal jika dan hanya jika  

 .

Akibat 19. Jika  adalah ideal fuzzy di , maka ( )   .

Akibat 20. Jika  ideal normal fuzzy di near-ring , maka ( )  .

Definisi 21. (Williams. P, 2008) Diberikan near-ring . Ideal fuzzy  di

disebut maksimal, jika memenuhi

kondisi:

(1)  tidak konstan,

(2)  adalah elemen maksimal di

( N( ), ).

Contoh 22. Diberikan adalah

near-ring, dengan operasi pergandaan

pada didefinisikan, untuk setiap  . Jika 2 adalah ideal maksimal di dan  ( ) yang didefinisikan dengan,

(x) 

untuk setiap z , maka  ideal maksimal

(8)

Prosiding

ISSN: 9 772407 749004

₁₂₀₄

Setelah diberikan definisi ideal maksimal fuzzy di near-ring , berikut diberikan sifat dari elemen maksimal  di

N( ).

Lemma 23. Jika  N( ) dengan 

elemen maksimal yang tidak konstan di

( N( ), ), maka nilai keanggotaan dari

 adalah 0 dan 1.

Bukti:

Misalkan  N( ) dengan  elemen

maksimal yang tidak konstan di ( N( ),

). Akan dibuktikan nilai keanggotaan dari  adalah 0 dan 1.

Mengingat  N( ), maka  .

Misalkan  untuk suatu  . Klaim   0.

Andaikan  , maka 0   1. Didefinisikan subset fuzzy , dengan (x)  untuk setiap

 . Akan ditunjukkan  well-defined. Misalkan  dengan .

Mengingat  adalah pemetaan, maka    sehingga

 +    + 

Jadi    , dengan kata lain 

well-defined.

Selanjutnya, akan dibuktikan  adalah ideal fuzzy di .

Diambil sebarang  , maka

a)      min{ }  min{(x), (y)}, b)      min{ }  min{(x), (y)}, c)      , d)      , e)      .

Jadi,  adalah ideal fuzzy di .

Akibatnya menurut Lemma 16,   N( ) sehingga   1.

Berdasarkan analisa di atas, maka    + 1   untuk setiap   + 1   + 1     dan   1    . Akibatnya      .

Jadi,  tidak konstan dan   .

Mengingat   , maka  bukan elemen maksimal di ( N( ), ). Ini kontradiksi

(9)

), sehingga pengandaian salah, seharusnya  untuk suatu  . Jadi, nilai keanggotaan dari  adalah 0 dan 1. ■

Selanjutnya diberikan beberapa sifat dari ideal maksimal fuzzy  di near-ring , yang berhubungan dengan fungsi karakteristik dan .

Teorema 24. Jika  adalah ideal maksimal fuzzy di near-ring , maka

(1) nilai kenggotaan  adalah 0 dan 1,

(2)  adalah normal, (3) R  ,

(4) adalah maksimal di .

Bukti:

(1) Mengingat  adalah ideal maksimal fuzzy di maka menurut Definisi 111,  tidak konstan. Karena  tidak konstan dan    + 1   untuk setiap  , maka  tidak konstan, sehingga menurut Definisi 111 dan Lemma 113,  adalah elemen maksimal tidak konstan di ( N( ), ) dan nilai keanggotaan dari

 adalah 0 dan 1.

(2) Dari (1), diambil  (a)  0 untuk suatu a , sehingga menurut Lemma 17, (a)  0. Di lain pihak,

0   (a)  (a) + 1    0 + 1    1     1. Jadi,  adalah normal.

(3) Misalkan R adalah fungsi

karakteristik dari . Dari (2) diperoleh,  adalah normal, maka menurut Lemma 18 dan Definisi 21,    dan    elemen maksimal di ( N( ), ), sehingga menurut (1)

nilai keanggotaan dari  adalah 0 dan 1. Di lain pihak,

 {x |    }  {x |   1}. Berdasarkan analisa di atas, maka

(x) 

Jadi,  adalah fungsi karakteristik dari yang mengakibatkan R  .

(4) Menurut Teorema 11, adalah ideal di . Misalkan A adalah ideal fuzzy di dan A adalah fungsi karakteristik

dari A sedemikian hingga A.

Akibatnya menurut Lemma 14, (3) dan Lemma 15, maka A N( ) dan

R  A, R   dan  R A.

Mengingat ,A N( ),  R A

dan    adalah elemen maksimal di ( N( ), ), maka   A atau A 

, dimana , (x)  1 untuk setiap  . Selanjutnya, jika   A, maka   yang

mengakibatkan  A atau jika

(10)

Prosiding

ISSN: 9 772407 749004

₁₂₀₆

mengakibatkan A  , sehingg adalah ideal maksimal dari . ■ Berikutnya diberikan sifat dari ideal maksimal di near-ring , yang berhubungan dengan ideal maksimal

fuzzy dari .

Teorema 25. Diberikan M ideal dari near-ring dan  ( ) yang didefinisikan dengan,

(x) 

untuk setiap  . Jika M maksimal dari , maka  ideal maksimal fuzzy dari .

Berikut diberikan sifat dari ideal maksimal di near-ring , yang berhubungan dengan fungsi karakteristinya.

Akibat 26. Ideal M adalah maksimal di near-ring jika dan hanya jika fungsi karakteriatik dari M adalah ideal maksimal fuzzy di .

Setelah diberikan definisi dan sifat ideal maksimal fuzzy di near-ring , selanjutnya diberikan sifat yang menunjukkan hubungan antara ideal maksimal fuzzy dan ideal prima fuzzy dari , yang merupakan akhir dari pembahasan tulisan ini.

Lemma 27. Diberikan near-ring . Jika

 adalah ideal maksimal fuzzy  di , maka  adalah ideal prima fuzzy di atau  .

Bukti:

Mengingat  ideal maksimal fuzzy di , maka menurut Teorema 26, R   dan

adalah ideal maksimal di , sehingga

menurut [Pilz. G, 1983, Lemma 71], adalah ideal prima di atau . Selanjutnya, jika adalah ideal prima di

dan R  , maka menurut [Abdurrahman 2011, Akibat 4.14],  adalah ideal prima fuzzy di atau jika dan   , maka menurut Lemma 15,    . ■

Kesimpulan

Beberapa hasil penting atau sifat-sifat yang dapat dijadikan sebuah kesimpulan dari tulisan ini adalah sebagai berikut:

1) Jika  adalah ideal maksimal fuzzy di

near-ring , maka nilai kenggotaan dari  adalah 0 dan 1,  adalah normal, R   dan adalah maksimal di .

2) Ideal M adalah maksimal di near-ring jika dan hanya jika M adalah ideal

maksimal fuzzy di .

3) Jika  adalah ideal maksimal fuzzy  di near-ring , maka  adalah ideal prima fuzzy di atau  .

PUSTAKA

Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N, 2013, Ideals prima fuzzy

(11)

near-Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)

ring, Jurnal Matematika Murni

dan Terapan Epsilon, vol. 07, no. 01, hal 21 – 32.

Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N, 2012, Ideals fuzzy near-ring, Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon, vol. 6, no. 2, hal 13 – 19.

Abou-Zaid. S, 1991, On fuzzy

subnear-rings and ideals, Fuzzy Sets and

Systems, vol. 44, pp. 139-146. Clay. J.R, 1992, Nearrings, geneses and

applications, Oxford, New York.

Jun. Y.B, Sapanci. M. and zt rk. M.A, 1998, Fuzzy ideal in gamma

near-ring, Tr. J. of Math, vol. 22, no.

__, pp. 449-459.

Kandasamy. W.B.V, 2002, Smarandache

near-rings, American Research

Press Rehoboth.

Mordeson, J.N, Bhutani. K.R. and Rosenfeld. A, 2005, Fuzzy group

theory, Springer-Verlag, Berlin

Heidelberg.

Pilz. G, 1983, Near-ring, the theory and

applications 2nd ed., North-Holland Mathematict Studies, vol. 23, North-Holland, Amsterdam. Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2005,

Fuzzy prime ideal of gamma near-ring, Soochow Journal of Mathematics, vol. 31, no. 1, pp. 121-129.

Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2013,

Near-ring, Fuzzy Ideals, and Graph Theory, Taylor and Francis

Group, LLC.

Williams. P, 2008, Fuzzy ideals in

near-subtraction semigroups,

International journal of Computational and Mathematical Sciences, vol. 2, no. 1, pp. 39-46.

PROSIDING SEMINAR NASIONAL