• Tidak ada hasil yang ditemukan

Makalah Mtk Diskrit (Teorema Lattice)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Makalah Mtk Diskrit (Teorema Lattice)"

Copied!
11
0
0

Teks penuh

(1)

MAKALAH

SIFAT – SIFAT DASAR SISTEM ALJABAR YANG DIDEFINISIKAN OLEH KISI

SEBAGAI TUGAS SEMESTER GENAP TAHUN AKADEMIK 2011-2012 MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRET

DISUSUN OLEH AZHAR H21111035

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS TANJUNGPURA

PONTIANAK

2011

(2)

Kata pengantar

Puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah S. W. T. Yang Maha Esa sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Penyusunan ini berdasarkan hasil telaah pustaka yang berhubungan dengan mata kuliah “Matematika Diskret” tentang “Sifat – Sifat Dasar Sistem Aljabar Yang Didefinisikan Oleh Kisi”. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas semester genap.

Dalam menyelesaikan makalah ini, kami banyak mendapat saran, dukungan, bantuan, dan arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Nilamsari Kusumastuti M. Sc., selaku dosen mata kuliah Matemetika Diskret yang telah membimbing kami pada setiap perkuliahannya.

2. Kepada teman-teman yang telah bersama – sama mengikuti perkuliahan dan belajar bersama.

Kami berharap agar makalah ini dapat bermanfaat. Apabila terdapat kekurangan dan kekeliruan di dalam penulisan makalah ini, kami mengharapkan kritikan dan saran yang membangun, dari semua pihak demi kesempurnaan makalah ini.

Akhirnya kepada semua pihak yang terkait dalam penyusunan makalah ini, kami ucapkan terima kasih.

Pontianak, Juli 2011

(3)

BAB I

PENDAHULUAN

1. 1 Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang dan matematika diskrit.

Matematika diskret adalah sebagai salah satu topik pemabahasan pada matematika. Pada makalah ini pembahasan di bidang matematika diskret ini khusus membahas pada sifat – sifat dasar sistem aljabar yang didefinisikan oleh kisi. Sifat – sifat dasar sistem aljabar yang didefinisikan oleh kisi memiliki dasar – dasar yang harus dikuasai dan dipahami agar menjadi pegangan yang kuat dalam memahami sistem aljabar yang didefinisikan oleh kisi lebih lanjut.

Pada makalah ini, point pembahasannya adalah mengenai teorema – teorema operasi meet dan join serta pembuktiannya. Hal ini menarik untuk dibahas karena merupakan hal yang sangat mendasar dalam memahami pembahasan mengenai sifat – sifat dasar sistem aljabar yang didefinisikan oleh kisi, misalnya sifat komutatif operasi meet dan operasi join, sifat asosiatif operasi meet dan operasi join, sifat idempoten operasi meet dan operasi join serta sifat absorpsi operasi meet dan operasi join. Beberapa hal yang menjadi pembahasan pada makalah ini yaitu teorema – teorema, dan pembuktiannya dari setiap pembahasan.

1. 2 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan ini adalah sebagai berikut: 1) Sebagai tugas Semester Genap Tahun Akademik 2011 – 2012

2) Untuk mengetahui teorema-teorema yang berhubungan dengan sifat – sifat dasar sistem aljabar yang didefinisikan oleh kisi beserta pembuktiannya.

1. 3 Metodologi Penulisan

Pembahasan mengenai sifat – sifat dasar sistem aljabar yang didefinisikan oleh kisi beserta pembuktiannya ini dimulai dengan memaparkan teorema sifat komutatif operasi meet dan operasi join, lalu dibahas mengenai teorema sifat asosiatif operasi meet dan operasi join, selanjutnya dibahas mengenai teorema sifat idempoten operasi meet dan operasi join serta dilanjutkan dengan pembahasan mengenai teorema absorpsi operasi meet dan operasi join.

(4)

BAB II

PEMBAHASAN

2. 1 Teorema – Teorema Mengenai Operasi Join Dan Meet

Sekarang akan kita bahas beberapa sifat dasar yang dimiliki oleh sistem aljabar yang didefinisikan oleh kisi. Misalkan ( ) adalah sebuah sistem aljabar yang didefinisikan oleh sebuah kisi ( ).

Teorema 2.1.1

Kedua operasi join dan meet bersifat komutatif.

Bukti : Ini merupakan akibat langsung dari definisi batas atas terkecil dan batas bawah terbesar bagi sembarang dua unsur di dalam sebuah kisi. Teorema 2.1.2

Kedua operasi join dan meet bersifat asosiatif.

Bukti : Pertama – tama akan ditunjukkan bahwa operasi join adalah asosiatif. Artinya, untuk sembarang , , di dalam , berlaku

( ) ( ) Misalkan

( ) g dan

( ) Karena g adalah join dari dan ( ),

g g Lebih lanjut, g berarti bahwa

g g

Karena join dari dan adalah batas atas terkecil bagi dan , maka berdasarkan kenyataan bahwa g dan g kita memperoleh

(5)

Banyak teladan penting lain yang mengilustrasikan prinsip dualitas. Di dalam bidang rekayasa listrik, konsep tegangan dan kuat arus, tahanan dan penghantaran, induktansi dan kapasitansi adalah konsep – konsep dual. ( [ ] ) Di dalam teori graf, konsep rangkaian dan himpunan-potongan, tree dan cotree adalah konsep dual. ( [ ] ) Yang, bila digabungkan dengan kenyataan bahwa g akan menghasilkan

( ) g Jadi, kita telah menunjukkan bahwa

g Dengan cara serupa dapat kita tunjukkan bahwa

g

Dengan demikian, karena sifat tolak – setangkup ( ) yang dimiliki oleh setiap relasi pengurutan parsial, maka kita menyimpulkan bahwa

g

Berdasarkan prinsip dualitas, operasi meet juga asosiatif. Teorema 2.1.3

Untuk setiap di dalam , dan .

Bukti : Menurut ( ),

Karena , maka kita memperoleh

Dengan demikian

Berdasarkan prinsip dualitas, kita juga memperoleh

(6)

Hasil – hasil dalam teorema dikenal sebagai sifat idempoten operasi – operasi join dan meet.

Teorema 2.1.4

untuk sebarang dan di dalam ,

( ) ( )

Bukti : Karena ( ) adalah join dari dan , maka kita memperoleh

( ) ( )

Karena

( )

Maka berdasarkan ( ) maka kita memperoleh ( ) Karena

Jika g dan , maka g sebab g adalah batas atas terkecil bagi g dan .

Maka ( ) menjadi

( ) ( )

Dengan menggabungkan ( ) dan ( ), kita memperoleh

( ) Berdasarkan prinsip dualitas kita peroleh pula

( )

Hasil – hasil dalam teorema dikenal sebagai sifat penyerapan ( ) dari operasi – operasi join dan meet.

(7)

Sekarang marilah kita perhatikan kisi bilangan – bilangan asli yang diurutkan oleh relasi "lebih kecil atau sama dengan," ( ). Karena maksimum dari dua bilangan dan sama dengan maksimum dari dua bilangan dan , berarti operasi join di dalam ( ) bersifat komutatif. Begitu pula, opersi meet juga komutatif. Karena maks ( ( ) ) dan maks ( ( )) keduanya sama dengan maksimum dari tiga bilangan , , dan , maka operasi join di dalam ( ) bersifat asosiatif. Begitu pula, operasi meet juga asosiatif. Sifat idempoten dari operasi – operasi join dan meet merupakan akibat dari kenyataan bahwa maksimum dari dan adalah , dari kenyataan bahwa minimum dari dan adalah . Persamaan - persamaan

[ ( )] [ ( )] menghasilkan sifat penyerapan.

Sebagai teladan lain, perhatikan kisi bilangan – bilangan positif yang diurutkan oleh relasi "membagi habis," yaitu ( ). Karena kelipatan persekutuan terkecil dari dan sama dengan kelipatan persekutauan terkecil dari dan , berarti operasi join di dalam ( ) bersifat komutatif. Begitu pula, operasi meet di dalam sistem ini juga komutatif. Karena ( ) dan ( ) keduanya adalah kelipatan persekutuan terkecil ( ) dari ketiga bilangan , , dan , berarti operasi join bersifat asosiatif. Begitu pula, operasi meet di dalam sistem ini juga asosiatif. Pembagi persekutuan terkecil dari dan adalah , begitu pula pembagi persekutuan terbesar ( ) dari dan adalah . Oleh karena itu, terbuktilah sifat idempoten bagi operasi – operasi join dan meet. Persamaan – persamaan

[ ( )] [ ( )] menghasilkan sifat absorpsi.

2. 2 Contoh Soal Dan Penyelesaian 1. Soal latihan 2.2.1

(8)

3. Soal latihan 2.2.3

4. Soal latihan 2.2.4

(9)
(10)

BAB IV

PENUTUP

4. 1 Kesimpulan

Teorema-teorema yang berlaku pada join dan meet terdiri dari teorema-teorema pada topologi di R, teorema-teorema tentang limit fungsi dan kekontinuan serta teorema pada kontinu seragam.

4. 2 Saran

Diharapkan dalam pembahasan mengenai materi-materi matematika diskret disertai pembuktian secara langsung dan pembahasan

(11)

Referensi

Dokumen terkait

Menurut Kadir (dalam Murdiyanto, 2007) Matematika juga merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, memiliki peranan penting dalam berbagai

Matematika merupakan ilmu universal yang berguna bagi kehidupan manusia dan juga mendasari perkembangan teknologi modern, serta mempunyai peran penting dalam

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir

Matematika telah banyak memberikan sumbangan dalam perkembangan ilmu pengetahan maupun teknologi. Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern

perkem-bangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan da- ya pikir manusia. Dinyatakan pula, mata pelajaran Matematika perlu

Matematika merupakan ilmu universal yang berguna bagi kehidupan manusia dan juga mendasari perkembangan teknologi modern, serta mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin

Matematika merupakan ilmu universal yang berguna bagi kehidupan manusia dan juga mendasari perkembangan teknologi modern, serta mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin

Karakteristik Pembelajaran Matematika SD Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern yang mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan