Forum Diskusi Kb 5 Modul 2

(1)

FORUM DISKUSI M2 KB 5 FORUM DISKUSI M2 KB 5

1.

1. Makna program linier dengan mengaitkan konsep persamaan linier dan sistemMakna program linier dengan mengaitkan konsep persamaan linier dan sistem persamaan linier.

persamaan linier.

Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/min

maksimum/minimum imum (penyelesaia(penyelesaian n optimum).optimum).

Kaitannya adalah program linear adalah penerapan dari sistem persamaan linier Kaitannya adalah program linear adalah penerapan dari sistem persamaan linier yang terdiri dari beberapa persamaan linear yang saling berkaitan dalam yang terdiri dari beberapa persamaan linear yang saling berkaitan dalam menemukan solusi

menemukan solusi

2.

2. Apa yang Apa yang dimaksud dimaksud metode simmetode simpleks pleks dalam kdalam konep progronep program linieram linier. Berik. Berikan satu an satu kasuskasus dan penyelesainya dalam penerapan metode simpleks (berikan contok dengan dan penyelesainya dalam penerapan metode simpleks (berikan contok dengan melibatkan 6 variabel).

melibatkan 6 variabel).

Metode Simpleks pertama sekali diperkenalkan oleh George B.Dantzig dari USA Metode Simpleks pertama sekali diperkenalkan oleh George B.Dantzig dari USA (1950) melalui bukunya

(1950) melalui bukunya Linear Programming and ExtensionLinear Programming and Extension , menyebutkan bahwa, menyebutkan bahwa ide dari

ide dari linear programminglinear programming ini berasal dari ahli maini berasal dari ahli matematika Rusia tematika Rusia bernama bernama L.VL.V Kantorivich

Kantorivich yang payang pada tahun da tahun 1939 mene1939 menerbitkan sebuarbitkan sebuah karangan yh karangan yang berjudang berjudulul ““ Mathematical Methods in the OMathematical Methods in the O rganization and Planning of Productionrganization and Planning of Production ”.”. Dalam Dalam karangannya tersebut telah dirumuskan persoalan

karangannya tersebut telah dirumuskan persoalan linear programminglinear programming untuk untuk pertama kal

pertama kalinya. inya. Akan tetapi Akan tetapi ide inide ini rupanya i rupanya di Rudi Rusia tidak bsia tidak bisa berkembisa berkembang.ang. Malah ternyata

Malah ternyata dunia barat yandunia barat yang memanfaatkan ide ini sg memanfaatkan ide ini selanjutnyaelanjutnya Contoh:

Contoh:

Pembuatan meja membutuhkan 20 (satuan

Pembuatan meja membutuhkan 20 (satuan assemblingassembling) ) dan dan 3030 (satuan

(satuan finishingfinishing), sedangkan kursi membutuhkan 45 (satuan), sedangkan kursi membutuhkan 45 (satuan assemblingassembling) dan 25) dan 25 (satuan

(satuan finishingfinishing). ). Kendala Kendala kapasitaskapasitas assemblingassembling = 10.750 (satuan = 10.750 (satuan assemblingassembling)) dan

dan finishingfinishing = 9.750 (satuan = 9.750 (satuan finishingfinishing). ). Jika diingiJika diinginkan mininkan minimal ada 100 mal ada 100 unitunit meja yang harus dibuat,

meja yang harus dibuat, bagaimana solusi terbaiknya?bagaimana solusi terbaiknya?.. Langkah-langka

Langkah-langkah pada fasa I h pada fasa I :: 

 Buatkan tabel simpleksBuatkan tabel simpleks 

 Selesaikan kolom artificial (kolom basis)Selesaikan kolom artificial (kolom basis) 

 Siapkan baris ZSiapkan baris Z j j – – C C j j dengan 2 komponen terpisah, tanpa M dan dengan M. dengan 2 komponen terpisah, tanpa M dan dengan M.



 Selesaikan fasa I ini dengan melibatkan ZSelesaikan fasa I ini dengan melibatkan Z j j – – C C j j dengan M. dengan M.

Lakukan serangkaian OBE sehingga

(2)

 Lanjutkan ke fasa II dengan memasukkan tabel akhir, tanpa kolomartificial dan memasukkan Z j – C j yang tanpa M

Dari Persamaan x [x(-1)]

Cara mengubah nilai-nilai pada baris Z j – C j (karena ada nilai M di kolom

x6sehingga menjadi 0) :  Elemen (5,6) = (-M) x (1) + M = 0  Elemen (5,1) = (-M) x (1) + (-250) = -250-M  Elemen (5,2) = (-M) x (0) + (-200) = – 200  Elemen (5,3) = (-M) x (0) + (0) = 0  Elemen (5,4) = (-M) x (0) + (0) = 0  Elemen (5,5) = (-M) x (-1) + (0) = M  Elemen (5,6) = (-M) x (100) + (0) = -100M

Komponen Z j – C j dipisahkan antara yang dengan M dan tanpa M, tanpa perlu

dituliskan lagi M-nya. Baris Z j – C j yang tanpa M diletakkan pada bagian atas (baris

6) sedangkan baris Z j – C j yang dengan M dibawahnya atau (baris 7). Basis pada

tabel simpleks awal adalah x3,x4 dan x6. Iterasi pertama fasa I dapat dimulai dengan

hanya melibatkan komponen Z j – C j yang dengan M. Sehingga setelah dipilih ulang

(hanya melibatkan komponen Z j – C j yang dengan M saja).

Tabel 4.11. Tabel Awal yang Sudah Dipilah Ulang Pada Fasa I

Baris

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

Ruas

kanan

rasio

x

3

20

45

1

0

0 10750

537,5

x

4

30

25

0

1

0

0 9750

325 x

6

1

0

0 -1

1

100

Z j – C j -1 0 0 0 1 0 -100

Selanjutnya proses perhitungan sama dengan pengerjaan pada metode simpleks biasa. Variabel masuk x1, variabel keluar x6, pivot adalah elemen (3,1), karena

nilainya sudah 1, sehingga semua nilai pada baris pivot tidak perlu diubah.

Lakukan OBE pada baris 1, 2, dan 4 dengan mengacu pada baris 3.

Basis x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6 Ruas Kanan

x

3

20

45

1

0

10750

x

4

30

25

0

1

0

9750

x

6

1

0

0 -1

1

100

Z

j

–C

j

-250

-200

0

0 M

0

-250 – M

-200

0

0 M

0

-100M

Z

j

–C

j

-250

-200

0

-1

0

1

0

-100

(3)

Tabel 4.12. Tabel Simpleks Hasil Iterasi 1 Fasa I Baris x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ruas kanan x3 0 45 1 0 20 -20 8750 x4 0 25 0 1 30 -30 6750 x1 1 0 0 0 -1 1 100 Zj – Cj 0 0 0 0 0 1 0

Z j – C j di kolom ruas kanan = 0. Lanjutkan ke fasa II dengan menghilangkan

x6 (artificial) dan memasukkan baris Z j – C j tanpa M yang semula.

Tabel 4.13. Tabel Simpleks Awal Untuk Fasa II Tanpa Rasio

Baris x1 x2 x3 x4 x5 Ruas kanan x3 0 45 1 0 20 8750 x4 0 25 0 1 30 6750 x1 1 0 0 0 -1 100 Z j –C j -250 -200 0 0 0 0 Z j – C j 0 -200 0 0 -250 25000

Nilai Z j – C j = -250 pada kolom 1 terlebih dahulu harus diganti karena merupakan

basis sedemikian dengan OBE yang merujuk pada baris 3 sehingga diperoleh nilai-nilai seperti pada baris Z j – C j bagian bawahnya (baris 5).

(5,1) = (250) x (1) + (-250) = 0 (5,2) = (250) x (0) + (-200) = -200 (5,3) = (250) x (0) + (0) = 0 (5,4) = (250) x (0) + (0) = 0 (5,5) = (250) x (-1) + (0) = -250 (5,6) = (250) x (100) + (0) = 25000

Siapkan kembali untuk iterasi fasa II dengan hanya menampilkan matriks dengan Z j –

C j dibagian bawah dan tambahan kolom rasio sebagai berikut :

Tabel 4.13. Tabel Simpleks Awal Untuk Fasa II Dengan Rasio

Basis x1 x2 x3 x4 x5 Ruas Kanan Rasio

x3 0 45 1 0 20 8750 437,5

x4 0 25 0 1 30 6750 225

x1 1 0 0 0 -1 100 –

Z j – C j 0 -200 0 0 -250 25000

Selanjutnya, lakukan iterasi :

Variabel keluar x5(nilai Z j – C j terkecil)

Variabel Masuk x4(nilai rasio ruas kanan & koefisien kolom x5terkecil)

(4)

Lakukan OBE pada baris 1, 3, dan 4 dengan mengacu pada baris 2. Sehingga didapat hasil iterasi I pada fasa II seperti tabel diatas.

Tabel 4. 15. Hasil Iterasi I Pada Fasa II

Basis x1 x2 x3 x4 x5 Ruas Kanan Rasio x3 0 28,333 1 -0,667 0 4250 x4 0 0,8333 0 0,033 1 225 x1 1 0 0 0,033 0 350 Z j – C j 0 8,333 0 8,333 0 81250

Karena semua Z j – C j≥ 0 (sudah 0 atau positif), berarti solusi optimal.

x1= 3250 x2 = 0 x3= 4250 x4= 0 x5= 225 x6 = 0 Z = 81.250 Contoh 2.

Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = 150 x1 + 120 x2

Fungsi batasan : 3 x1 + 8 x2 ≤ 39

10 x1 + 4 x2 ≤ 62

x1 ≥ 3

x2≥ 2

Bentuk standar dari persoalan di atas adalah :

Maksimumkan Z = 150 x1 + 120 x2 – M x7 – M x8 Fungsi batasan : 3 x1 + 8 x2 + x3 = 39 10 x1 + 4 x2 + x4 = 62 x1 – x5 + x7 = 3 x2 + x6 + x8 = 2 di mana

x3= slack variable untuk fungsi batasan 1

x4= slack variable untuk fungsi batasan 2

x5= surplus variable untuk fungsi batasan 3

(5)

x7= surplus variable untuk fungsi batasan 4

x8= artificial variable untuk fungsi batasan 4

Tabel 4.16. Persiapan Fasa I

Basis x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 Kanan x3 3 8 1 0 0 0 0 0 39 x4 10 4 0 1 0 0 0 0 62 x7 1 0 0 0 -1 0 1 0 3 x8 0 1 0 0 0 -1 0 1 2 Z j -C j -15 -12 0 0 0 0 M M 0 Z j -C j -15 – M -12 – M 0 0 M M 0 0 -5M Z j -C j -15 -12 0 0 0 0 0 0 0 Z j -C j -1 -1 0 0 1 1 0 0 -5

Tabel 4.17. Awal Proses Iterasi

Basis x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 Kanan Rasio

x3 3 8 1 0 0 0 0 0 39 13

x4 10 4 0 1 0 0 0 0 62 6,2

x7 1 0 0 0 -1 0 1 0 3 3

x8 0 1 0 0 0 -1 0 1 2 ∞

Z j -C j -1 -1 0 0 1 1 0 0 -5 2

Tabel 4.18. Hasil Iterasi I (Variabel Masuk x1, variable keluar x7,Pivot= 1 )

Basis x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 Kanan Rasio

x3 0 8 1 0 3 0 -3 0 30 3,75

x4 0 4 0 1 10 0 -10 0 32 8

x1 1 0 0 0 -1 0 1 0 3 ∞

x8 0 1 0 0 0 -1 0 1 2 2

Z j -C j 0 -1 0 0 0 1 1 0 -2

(6)

Basis x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 R.Kanan Rasio x3 0 0 1 0 3 8 -3 -8 14 x4 0 4 0 1 10 0 -10 -4 24 x1 1 0 0 0 -1 0 1 0 3 x2 0 1 0 0 0 -1 0 1 2 Z j -C j 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Fasa I berakhir karena nilai Z j – C j pada kolom ruas kanan telah 0.

Langkah selanjutnya adalah menyiapkan tabulasi baru untuk fasa II (awal). Hilangkan kolom x7 dan x8(artificial variable), seperti tabel di bawah ini.

Tabel 4.20. Tabulasi Awal Untuk Fasa II

Basis x1 x2 x3 x4 x5 x6 R.Kanan Rasio

x3 0 0 1 0 3 8 14

x4 0 4 0 1 10 4 24

x1 1 0 0 0 -1 0 3

x2 0 1 0 0 0 -1 2

Z j -C j -15 -12 0 0 0 0 0

Harus dilakukan penyesuaian nilai pada kolom x1 dan x2 yang menjadi variable basis. Lakukan OBE dengan hasil sebagai berikut.

Tabel 4.21. Setelah dilakukan Opereasi Baris Elementer.

x3 0 0 1 0 3 8 14 x4 0 4 0 1 10 4 24 x1 1 0 0 0 -1 0 3 x2 0 1 0 0 0 -1 2 Z j -C j -15 -12 0 0 0 0 0 Z j -C j 0 -12 0 0 -15 0 45 Z j -C j 0 0 0 0 -15 -12 69

Maka proses tabulasi dapat dilanjutkan dengan hanya menggunakan baris Z j –

C j yang terakhir (yang telah di lakukan operasi baris elementer / OBE), sehingga

dihasilkan tabel seperti di bawah ini.

(7)

Basis x1 x2 x3 x4 x5 x6 R.Kanan Rasio x3 0 0 1 0 3 8 14 4,67 x4 0 4 0 1 10 4 24 2,4 x1 1 0 0 0 -1 0 3 -3 x2 0 1 0 0 0 -1 2 ∞ Z j -C j 0 0 0 0 -15 -12 69

Jika kita lihat nilai pada baris Z j – C j masih ada yang bernilai negative maka perlu

dilakukan Iterasi. Maka perlu diketahui variable yang akan masuk, variabel yang akan keluar dan pivot-nya. Dari tabel ini diketahui bahwa x5akan menjadi masuk dan x4 akan

menjadi variabel yang keluar dengan pivot 10.

Tabel 4.23. Hasil Iterasi I Fasa II (x5 masuk, x4 keluar)

x3 0 0 1 -0,3 0 6,8 0 –

x5 0 0 0 0,1 1 0,4 2,4 2,4

x1 1 0 0 0 0 0,4 5,4 3

x2 0 1 0 0 0 -1 2 ∞

Z j -C j 0 0 0 0 0 -6 105

Karena belum didapatkan solusi optimalnya, maka perlu dilakukan iterasi selanjutnya. Tabel. 4.24. Hasil Iterasi 2 Fasa II (x6 masuk, x3 keluar)

x6 0 0 0,147 -0,044 0 1 1 –

x5 0 0 -0,059 0,118 1 0 2 16,949

x1 1 0 -0,059 0,018 0 0 5 277,77

x2 0 1 0,147 -0,044 0 0 3 –

Z j -C j 0 0 0,882 -0,264 0 0 111

Masih terdapat nilai negatif pada baris Z j – C j, ini berarti solusi yang diberikan belum

optimal dan masih diperlukan iterasinya selanjutnya. Dari Tabel 4.24 di atas yang menjadi variabel masuk adalah x4menggantikan x5 sebagai variabel keluar

dan pivot adalah 0,118. Dengan melakukan perhitungan sama seperti yang dilakukan sebelumnya akan di dapat tabel hasil iterasi ke-3 seperti di bawah ini.

(8)

Basis x1 x2 x3 x4 x5 x6 R.Kanan x6 0 0 0,125 0 0,373 1 1,746 x4 0 0 -0,500 1 8,475 0 16,949 x1 1 0 -0,050 0 -0,153 0 4,695 x2 0 1 0,125 0 0,373 0 3,746 Z j -C j 0 0 0,750 0 2,237 0 115,475

Solusi optimal sudah didapat (nilai baris Z j – C j tidak ada lagi yang negatif). Dapat

disimpulkan bahwa : x1 = 4,695

x2 = 3,746

Z = 115,475

3. Apa yang dimaksud dengan teori permainan (game theory) dalam program linier. Berikan satu kasus dan penyelesaianya dalam penerapan teori permainan.

Game Theory adalah suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan. Dalam game theory dilibatkan dua atau lebih pengambil keputusan atau yang biasa disebut Pemain. Setiap pemain dalam game theory mempunyai keinginan untuk menang. Kasus-kasus dalam game theory, sebelum diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode game theory, diidentifikasi dulu berdasarkan : Jumlah pemain , Jumlah keuntungan dan kerugian atau yang biasa disebut dengan nilai permainan Jenis strategi yang digunakan.

Berdasarkan jumlah pemain ada dua jenis games yang dikenal, yaitu two-person games dan N- two-person games. Jumlah pemain yang terlibat dalam two-two-person games adalah dua, dan dalam N- person games adalah lebih dari dua. Sedangkan berdasarkan jumlah keuntungan dan kerugian dikenal dua jenis games, yaitu zero-sum games dan non zero-zero-sum games. Nilai permainan dalam zero-zero-sum games adalah nol, sedangkan dalam non zero-sum games nilai permainannya tidak sama dengan nol. Yang akan kita bahas disini adalah jenis TWO-PERSON ZERO-SUM GAMES.

Contoh:

Tentukan saddle point dari permainan dengan matriks pay-off berikut : Berdasarkan criteria maksimin untuk pemain baris : - nilai minimum pada baris 1 : -3 baris 2 : 0 baris 3 : -4 nilai maksimum dari (-3,0,-4) adalah 0, jadi nilai maksimin-nya = 0 1 2 3 -3 5 -2 6 -4

(9)

Jawab

Model matematis :

Maksimumkan W = y1 + y2 + y3 terhadap kendala : 7y1 + 5y2 d 1 2y1 + 3y2 + 6y3 d 1

5y1 + 6y2 + y3 d 1 y1 , y2 , y3 e 0

bentuk baku untuk simpleks :

maksimumkan W = y1 + y2 + y3 + 0S1 + 0S2 + 0S3 7y1 + 5y2 + S1 = 1

2y1 + 3y2 + 6y3 + S2 = 1 5y1 + 6y2 + y3 + S2 = 1

y1 , y2 , y3, S1, S2, S3 e 0 1 2 3 7 5 6

4. Selesaikan persoalan program linier berikut: x1+ 5x2+ 9x3 -6x4≥ 2 3x1- x2+ x3 -3x4≤ 10 -2x1- 3x2+ 7x3 -8x4 ≥ 0 semua x j ≥ 0 Maksimal Z = 2x1- 3x2+ 4x3 +x4 x1+ 5x2+ 9x3 -6x4≥ 2 3x1- x2+ x3 -3x4≤ 10

⇓

x1+ 5x2+ 9x3 -6x4= 2 x 3 3x1+ 15x2+ 27x3 -18x4= 6 3x1- x2+ x3 -3x4= 10 x 1 3x1- x2 + x3 -3x4 = 10 _ 16 x2+ 26 x3 -15x4= -4 ….(1) 3x1- x2+ x3 -3x4= 10 x 2 6x1- 2x2+ 2x3 -6x4= 20 -2x1- 3x2+ 7x3 -8x4= 0 x 3 -6x1- 9x2+ 21x3 -24x4= 0 + -11 x2+23 x3 -30x4= 20 ….(2) x1+ 5x2+ 9x3 -6x4≥ 2 x 2 2x1 + 10x2+ 18x3 -12x4= 4 -2x1- 3x2+ 7x3 -8x4 ≥ 0 x 1 -2x1- 3x2 + 7x3 -8x4 = 0 + 7 x2 + 25x3 -20x4= 4 ….(3)

Diperoleh hasil eliminasi diatas yaitu : 16 x2+ 26 x3 -15x4= -4 ….(1)

-11 x2+23 x3 -30x4= 20 ….(2)

(10)

Dalam sebuah matriks :

[ 16 26 −15

−11 23 −30

_{7 25 −20}

−420

_{4 ]}

Oleh karena bilangan 7 dan 23 merupakan bilangan prima, maka tidak dapat ditentukan penyelesaian dari program linear tersebut atau terdapat hasil tak terhingga.