Bab III Reduksi Orde Model Sistem LPV

Metode reduksi orde model melalui LMI telah digunakan untuk mereduksi orde model sistem LTI baik untuk kasus kontinu maupun diskrit. Melalui metode ini telah dihasilkan pula bentuk dari model tereduksinya. Pada bab ini reduksi orde model melalui LMI pada sistem LTI akan diperumum agar dapat digunakan dan diterapkan untuk mereduksi orde model sistem LPV.

Dalam bab ini, rumusan masalah reduksi orde model pada sistem LPV diberikan pada subbab III.1. Beberapa lemma yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah reduksi orde model dan menurunkan bentuk model tereduksi disajikan dalam subbab III.2. Selanjutnya inti dari bab III yaitu teorema yang memberikan syarat cukup eksistensi reduksi orde model pada sistem LPV beserta bentuk model tereduksinya diberikan pada subbab III.3.

III.1 Rumusan Masalah Reduksi Orde Model Sistem LPV

Diberikan model sistem LPV yang stabil kuadratik berorde n dengan representasi ruang keadaan

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( ) ( )

0 , , 0 , x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t x x ρ ρ ρ ρ = + = + = & (II.27)

dengan x t

( )

vektor keadaan, u t

( )

vektor masukan, dan y t

( )

vektor keluaran,

( )

∈ n,

( )

∈ m,

( )

∈ p

x t u t y t , A, B, C, D adalah fungsi-fungsi kontinu sebagaimana dalam (II.2). Fungsi transfer dari realisasi sistem diatas adalah

( )

( )

{

(

)

1

}

1 1 , 0, 1 L L i i i i i i i i i T_α α C sI A − B D α α = = =

∑

− + ∀ ≥

∑

= . (II.14)

Masalah reduksi orde model sistem LPV (II.27) dapat dirumuskan sebagai mencari model sistem LPV berorde

(

k <n

)

yang tetap stabil kuadratik (notasi r pada ,A B Cr r, r, dan Dr melambangkan sistem tereduksi) :

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( ) ( )

0 , , 0 , r r r r r r r r x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t x x ρ ρ ρ ρ = + = + = & (III.1) sedemikian sehingga T_α T_αr γ ∞

− < , untuk suatu γ yang diberikan, dengan

( )

( )

{

(

)

}

( )

( )

(

)

1 1 1 1 , . L i i i i i i L r r r r r i i i i i i T C sI A B D T C sI A B D α α α α − = − = = − + ⎧ ⎫ = _⎨ − + _⎬ ⎩ ⎭

∑

∑

(III.2)

III.2 Lemma Pendukung

Berikut lemma-lemma yang diperlukan dalam pembuktian teorema reduksi orde model sistem LPV. Yang pertama lemma dibawah ini berisi tentang eliminasi variabel K yang tak diketahui dari suatu ketaksamaan matriks dan parametrisasi salah satu matriks K yang feasible [6].

Lemma III.1 Diberikan matriks R∈ m m× , R=RT, U∈ m l× , dan V∈ m k×

sedemikian sehingga U dan V mempunyai rank kolom penuh. Misalkan U_⊥, V_⊥ adalah matriks sedemikian hingga

[

U U_⊥

] [

, V V_⊥

]

adalah matriks bujur sangkar yang invertibel dengan U U_⊥T =0, V V_⊥T =0, maka terdapat matriks K∈ l k×

sedemikian sehingga

R UKV+ T +VK UT T <0 (III.3) jika dan hanya jika

U RU_⊥T _⊥ <0, dan V RV_⊥T _⊥ <0. (III.4) Jika (III.4) dipenuhi dan

(

P Q P_{2 22 2}−1 T

)

−1well defined, maka salah satu solusi dari (III.3) diberikan oleh

K =

(

P Q P_{2 22 2}−1 T

) (

−1 P₁−P Q Q_{2 22 12}−1 T

)

, (III.5) dengan

dan U+, V+merepresentasikan pseudoinvers dari matriks U,V .

Bukti :

( )

⇒ :

Kalikan persamaan (III.3) dari kiri dengan UT_⊥ dan dari kanan dengan U_⊥ didapat U RU_⊥T _⊥+U UKV U_⊥T T _⊥ +U VK U U_⊥T T T _⊥ <0.

Karena 0U U_⊥T = , maka

U RU_⊥T _⊥ <0.

Kalikan persamaan (III.3) dari kiri dengan V_⊥T dan dari kanan dengan V_⊥ didapat V RV_⊥T _⊥+V UKV V_⊥T T _⊥ +V VK U V_⊥T T T _⊥ <0.

Karena 0V V_⊥T = , maka

V RV_⊥T _⊥ <0.

( )

⇐ :

Misalkan W_UV adalah basis dari ker

( )

U ∩ker

( )

V . Matriks W_U dan W_V adalah matriks sedemikian sehingga U_⊥ =

[

W_UV W_U

]

basis ker

( )

U dan

[

_{UV V}

]

basis ker

( )

V_⊥ = W W V . l dimensi dari ker

( )

U dan k dimensi dari

( )

ker V .

Maka,

[

W_UV W_U W_V

]

basis ker

( )

U ⊕ker

( )

V , dan

T =

[

W_UV W_U W_V Z basis

]

m. Matriks T non singular, sehingga persamaan (III.3) ekivalen dengan

TRTT +

( ) ( ) ( )

TU K TV T + TV KT

( )

TU T <0. (III.6) Blok partisi dari TU, TV, dan TRTT menyesuaikan dengan partisi dari

TU =

[

0 0 U U_{1 2}

]

TV =

[

0 V₁ 0 V₂

]

, (III.7) dengan

[

]

( 2) 1 2 dengan 2 p l l U U ∈ + × l≤ +p l dan

[

]

( 2) 1 2 dengan 2 p m k V V ∈ + × k≤ +p m adalah matriks dengan rank kolom penuh.

Dinotasikan

(

_{1 2}

)

1 11 12 21 22 2 T l k T V K K U U K K K V × ⎛ _{⎞ ⎛ ⎞} ⎜ ⎟ =⎜_⎜ ⎟_⎟∈ ⎜ _{⎟ ⎝ ⎠} ⎝ ⎠ . (III.8) Partisi 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 T R R R R R R R R TRT R R R R R R R R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ,

maka persamaan (III.6) dapat ditulis sebagai

11 12 13 14 12 22 23 11 24 21 31 23 11 33 34 12 14 24 21 34 12 44 22 22 0 T T T T T T T T T R R R R R R R K R K R R K R R K R R K R K R K K ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ < ⎢ _{+ +} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{+ + + +} ⎥ ⎣ ⎦ , (III.9)

dengan K_ij sembarang karena K sembarang.

Secara khusus, jika diberikan sembarang matriks K_ij, maka matriks

(

_{1 2}

)

11 12 1 21 22 ₂ T T V K K U U K K _V + +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _⎟⎜ ⎟ ⎝ _⎠⎝ ⎠ (II.10)

menyelesaikan persamaan (III.8). Sehingga masalah diatas tereduksi menjadi mencari kondisi pada matriks R_ij yang menjamin feasibility (III.9) untuk suatu

ij

11 12 13 12 22 23 11 31 23 11 33 0 T T T R R R R R R K R R K R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ + _⎥< ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∏

, (III.11) 14 14 1 44 22 22 24 21 24 21 34 12 34 12 0 T T T T R R R K K R K R K R K R K − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + + −_⎢ + _{⎥ ⎢} + _⎥< ⎢ ₊ ⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∏

. (III.12)

Jika diberikan K₁₁, K₁₂, dan K₂₁, maka dapat dicari K₂₂ sedemikian hingga (III.12) dipenuhi. Sehingga persamaan (III.3) feasible jika dan hanya jika persamaan (III.11) feasible untuk suatu K₁₁.

Persamaan (II.11) ekivalen dengan

1 1 11 12 11 13 1 12 11 1 13 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T I _{I R R R R} R R I I I R R I − − − − ⎡ ⎤ ⎡ _{− −} ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − < ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎣ ⎦

∏

, yaitu 11 1 22 12 11 12 11 32 1 11 32 33 13 11 13 0 0 0 0 0 T T T T R R R R R K K R R R R − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − + Λ < ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + Λ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , (III.13)

dengan Λ =₃₂ K₂₃T −K K_{13 11}T −1K₁₂. Karena K₁₁ sembarang maka (III.13) feasible jika dan hanya jika

11 1 22 12 11 12 1 33 13 11 13 0 , 0 , 0 , T T R R R R R R R R R − − < ⎧ ⎪ − < ⎨ ⎪ − < ⎩ (III.14)

atau dengan komplemen Schur ekivalen dengan

11 12 11 13 13 33 12 22 0 , 0. T T R R R R R R R R ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ < ⎢ ⎥< ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (III.15)

Dengan mengalikan (III.15) dari kiri dengan U_⊥T dan V_⊥T dan dari kanan dengan dan

Lemma berikutnya adalah Bounded Real Lemma yang mengubah kendala pada sebuah sistem LTI yang berbentuk norm H_∞ ke dalam bentuk kendala yang berupa LMI yang ekivalen [1,13,20,21].

Lemma III.2 (Bounded Real Lemma) Diberikan sistem LTI dengan fungsi transfer G s

( )

= +D C sI

(

−A

)

−1B. Maka, sistem stabil dan G s

( )

_∞ <γ jika dan hanya jika terdapat matriks X = XT >0, sedemikian sehingga

0 T T T T A X XA XB C B X I D C D I γ γ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥< ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . (III.16) Bukti :

( )

⇒ :

Akan dibuktikan bahwa G s

( )

_∞ <γ ekivalen dengan R=γ2I−D DT >0 dan terdapat X sebagai solusi definit positif dari ketaksamaan aljabar Riccati

A XT +XA+

(

XB C D+ T

)(

γ2I−D DT

) (

−1 B XT +D CT

)

+C CT <0. (III.17) Didefinisikan kuantitas-kuantitas berikut :

(

)

2 1 1 2 1 1 2 , , , . T T N N T N R I D D A A BR D C B BR C I DR D C γ − − − = − = + = = + (III.18)

Diberikan ε >0 cukup kecil sedemikian sehingga

φ_ε =γ2I−G_ε~

( ) ( )

s G_ε s >0, (III.19) dengan 0 A B G C D I ε ε ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . (III.20)

Karena φ_ε 0, maka G_ε

( )

s γ

∞

> < . Representasi ruang keadaan dari φ_εadalah

2 0 T T T T T T A B C C I A C D D D B I D D ε φ ε γ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = −_⎢ − − _⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . (III.21)

Dengan realisasi φ_ε diatas, maka matriks Hamiltonian T N N N N _{T T} N N N A B B H C C εI A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢− − − ⎥ ⎣ ⎦ (III.22)

tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner. Lebih lanjut, pasangan matriks

(

A_N,B_N

)

terstabilkan karena terdapat matriks 12 T

N

F = −R− D C sedemikian

sehingga 12 T

N N N N N

A +B F =A −B R− D C=A stabil. Karena

(

A_N,B_N

)

terstabilkan, maka H_N∈ dom Ric

( )

. Misalkan X = Ric

(

H_N

)

, maka X memenuhi persamaan aljabar Riccati

A XT_N +XA_N +XB B X_{N N}T +C CT_{N N} +εI =0. Karena ε >0, maka

A XT_N +XA_N +XB B X_N T_N +C CT_{N N} <0, (III.23) atau

A XT +XA+

(

XB C D+ T

)(

γ2I−D DT

) (

−1 B XT +D CT

)

+C CT <0. Dengan komplemen Schur, persamaan diatas ekivalen dengan

0 T T T T A X XA XB C B X I D C D I γ γ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥< ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Karena A stabil dan pasangan ⎛_⎜A_N,⎡_⎣CT_N εI⎤_⎦T⎞_⎟

⎝ ⎠ terobservasi, maka X >0.

( )

⇐ :

Misalkan terdapat X >0 sebagai solusi dari ketaksamaan aljabar Riccati (III.17). Misalkan matriks Q>0 sedemikian sehingga

A XT +XA+

(

XB C D+ T

)(

γ2I−D DT

) (

−1 B XT +D CT

)

+C CT + =Q 0. (III.24) Misalkan G s

( )

A B C D ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dan

( )

( ) ( )

~ s I G s G s φ = − . Dengan menggunakan transformasi similaritas T I 0 X I ⎡ ⎤ = ⎢₋ ⎥ ⎣ ⎦ (III.25) pada φ

( )

s , maka didapat

( )

~

( ) ( )

0 T T T T T T A B s I G s G s L L A XB C D D C B X B R φ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − =_⎢ − + _⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , (III.26) dengan

(

) (

)

1 2 1 0 T T T L=⎡_⎣⎢ XB C D R+ − D C+B X +Q⎤_⎥⎦ > . (III.27) Definisikan ₁

(

_{T T}

)

A B M L L− X B C D ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , (III.28) maka didapat φ

( )

s =M~

( ) ( )

s M s + −R

(

D CT +B X LT

) (

−2 XB C D+ T

)

. (III.29) Dengan menggunakan matrix inversion formula didapat

R−

(

D CT +B X LT

) (

−2 XB C D+ T

)

>0, (III.30) sehingga φ

( )

s >0 yang ekivalen dengan G s

( )

_∞ <γ . Karena X >0 dan

(

XB C D+ T

)(

γ2I−D DT

) (

−1 B XT +D CT

)

+C CT + >Q 0, maka dengan menggunakan terema kestabilan Lyapunov didapat A stabil.

Bounded Real Lemma untuk sistem LTI diatas dapat diperluas ke sistem LPV yang stabil kuadratik [18]. Dalam kasus ini kestabilan sistem hanya menjadi syarat cukup saja. Hal ini diberikan dalam lemma berikut.

Lemma III.3 (Generalized Bounded Real Lemma) Diberikan himpunan kompak ℘⊂ ℜs dan sistem LPV

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

, , untuk setiap . x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t F ρ ρ ρ ρ ρ _℘ = + = + ∈ & (II.3)

Jika terdapat fungsi kontinu W:ℜ →s n n× sedemikian sehingga W >0 dan

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

0 T T T T A t W WA t WB t C t B t W I D t C t D t I ρ ρ ρ ρ ρ γ ρ ρ ρ γ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥_< ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (III.31)

untuk setiap ρ∈℘, maka sistem LPV (II.3) stabil kuadratik dan terdapat skalar γ sedemikian sehingga T_α

( )

ρ _∞ <γ .

Lemma III.4 [12,20] Diberikan X∈ n n× , Y∈ n n× dengan X =XT >0dan 0

T

Y =Y > . Misalkan k bilangan bulat positif , maka terdapat matriks

1 12 12 12 12 2 12 2 * , 0 dan * * n k T T X X X X _Y X X X X X − × ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∈ ⎢ ⎥> ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (III.32)

jika dan hanya jika

n 0 dan rank n n n X I X I n k I Y I Y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ≥ ≤ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (III.33)

Tanda * menotasikan elemen yang tidak diperhatikan.

Bukti :

( )

⇐ :

Dengan komplemen Schur, n 0 n X I I Y ⎡ ⎤ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ekivalen dengan 1 ₀ X −Y− ≥ . Sehingga

terdapat matriks X₁₂∈ n k× sedemikian sehingga =X −Y−1= X₁₂X₁₂T . Dengan mendefinisikan X₂:=I_k, maka didapat

1 12 12 2 2 12 2 12 2 * , 0, dan * * T T T X X X X _Y X X X X X X − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ _{⎡ ⎤} = _{⎢ ⎥}> _{⎢ ⎥} =_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

( )

⇒ :

Dengan matrix inversion formula didapat

Y =X−1+X−1X₁₂

(

X₂−X₁₂T X X1 ₂

)

X₁₂T X−1, (III.34) maka

(

)

1 1 1 1 1 1 12 2 12T 2 12T Y X X X X X X X X X − − _=⎡ − ₊ − ₋ − _⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ atau

(

)(

) (

)

1 1 1 1 1 1 1 12 2 12T 2 12T Y X X X X X X X X X − − − ₌⎡ − _{− −} − ₋ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Dengan matrix inversion formula didapat

(

) (

) (

) (

) (

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 12 2 12 2 12 12 12 1 1 1 12 2 12 2 12 12 12 1 12 2 12 = = . T T T T T T T Y X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X − − − − − − − − − ⎡ ⎤ = + − _⎢⎣ − − − _⎥⎦ ⎡ ⎤ − _⎢ − + _⎥ ⎣ ⎦ − (III.36)

Karena Y >0, maka Y−1>0, sehingga

Y−1=X −X₁₂X₂−1X₁₂T ≥0 (III.37) yang berakibat n 0 n X I I Y ⎡ ⎤ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . (III.38) Di lain pihak

rank

(

X −Y−1

)

= rank

(

X₁₂X₂−1X₁₂T

)

≤k, (III.39) sehingga rank n n X I n k I Y ⎡ ⎤ ≤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

III.3 Reduksi Orde Model Sistem LPV

Berikut ini disajikan teorema yang memberikan syarat cukup eksistensi reduksi orde model pada sistem LPV beserta bentuk model tereduksinya [17].

Teorema III.1 Diberikan sistem LPV berorde n yang stabil kuadratik

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( ) ( )

0 , , 0 x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t x x ρ ρ ρ ρ = + = + = & (II.27)

dan γ >0. Terdapat model tereduksi berorde

(

k<n

)

dari sistem (II.27) yaitu

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( ) ( )

0 , , 0 r r r r r r r r x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t x x ρ ρ ρ ρ = + = + = & (III.1) sedemikian sehingga T_α

( )

T_αr

( )

γ ∞

− < jika terdapat matriks definit positif dan

simetri X Y, ∈ n n× sedemikian sehingga

0 1,..., T i i i T i A X XA XB i L B X γI ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ < = ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ , (III.40) 0 1,..., T T i i i i A Y YA C i L C γI ⎡ ₊ ⎤ < = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , (III.41) n 0 n X I I Y ⎡ ⎤ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , (III.42) rank n n X I n k I Y ⎡ ⎤ ≤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . (III.43)

Jika (III.40) – (III.43) dipenuhi, maka salah satu solusi feasible dari masalah reduksi orde model diberikan oleh :

1 1 1 , , , . r T i i r i i r T i i r i i A N MN N A N B N YB C C N D D − − − − − = − = − = − = (III.44)

Bukti:

Untuk sembarang fungsi kontiu α ,

( )

( )

( )

1 0 0 (III.45) i i L r r r i i i i _{r r} i i i i A B T T A B C C D D α α α = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − = _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∑

( )

1 1 0 -0 L i i r r i i i _{r r} i i i i i A B C C sI D D A B α − = ⎧ _{⎛ ⎡ ⎤⎞ ⎡ ⎤} ⎫ ⎪_{⎡ ⎤ ⎡ ⎤}⎪ = _{⎨⎣ ⎦⎜}⎜ −_{⎢ ⎥⎟}⎟ _{⎢ ⎥}+_⎣ − _⎦⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎝ ⎣ ⎦⎠ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭

∑

.

Dari Bounded Real Lemma yang diperumum, T_α

( )

T_αr

( )

γ

∞

− < jika terdapat

matriks W∈ (n k+ × +) (n k), W >0 sedemikian sehingga

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

0 T T T T A t W WA t WB t C t B t W I D t C t D t I ρ ρ ρ ρ ρ γ ρ ρ ρ γ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥_< ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Ketaksamaan matriks di atas dapat ditulis sebagai

R

( )

ρ +UK

( )

ρ VT +VKT

( )

ρ UT <0 untuk semua ρ, (III.46)

dengan

( )

( )

1 1 , L L i i i i i i R ρ ρR K ρ ρ L = =

=

∑

=

∑

dan R_i, U V, , dan L_i sebagai

0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 T T i i i i T T i i i i i B A A C W W W R B W I D C D I γ γ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤ + ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{⎢ ⎥} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ = ⎢ _{⎣ ⎦} ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , 0 0 0 0 0 0 W I U I ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , 0 0 0 , 0 0 0 I V I ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r r i i i _{r r} i i A B L C D ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .

Ketaksamaan matriks (III.46) dipenuhi jika dan hanya jika

R_i+UL V_{i i}T +VL UT_i T <0 i=1,....,L. (III.47) Berdasarkan Lemma III.1, ketaksamaan matriks (III.47) ekivalen dengan

U R U_⊥T _{i ⊥} <0, dan V R V_⊥T _{i ⊥} <0 i=1,...,L, (III.48) dengan

[

]

1 _{0 0 0} 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 T I W T I U V I I − ⊥ ⊥ ⎡ ⎤ _{⎡ ⎤} =_{⎢ ⎥} =_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Kemudian berdasarkan Lemma III.4, dapat didefinisikan

1 -1 * * dengan * * * * Y X W W − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥ = ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ _{⎣ ⎦}

yang ekivalen dengan

1 0 dan rank 1 n n n n Y I Y I n k I X− I X− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ≥ ≤ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ atau n 0 dan rank n n n X I X I n k I Y I Y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ≥ ≤ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,

sehingga (III.42) dan (III.43) dipenuhi. Dengan memanfaatkan komplemen Schur dan matrix inversion formula, ketaksamaan matriks (III.48) ekivalen dengan ketaksamaan matriks (III.40) dan (III.41).

Untuk membuktikan bentuk model tereduksi (III.44), pilih matriks

, dengan T 0, n k T Y N W NN Y X N N I × ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥} = − ≥ ∈ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ matriks dengan rank

kolom penuh m≤k dan I adalah matriks identitas ukuran k k× . Maka, berdasarkan persamaan (III.5) didapat bentuk model tereduksi

1 T 1 T 1 i i i _T i i N MN N A N N YB L C N D − − − − ⎡ _{− −} ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ , (III.49) dengan M =A Y_iT +YA_i.

Kestabilan kuadratik dari model yang tereduksi L_i akan dibahas dalam bab selanjutnya.

Dalam teorema reduksi orde model sistem LPV di atas, kendala (III.40) – (III.42) berupa kendala konveks, sedangkan kendala (III.43) non konveks. Hal ini menyebabkan masalah mencari pasangan matriks definit positif dan simetri X,Y yang memenuhi kendala (III.40) – (III.43) menjadi masalah feasibility yang non konveks. Penyelesaian dari masalah ini akan dibahas dalam bab selanjutnya.