REDUKSI ORDE MODEL SISTEM LINEAR PARAMETER VARYING
MELALUI LINEAR MATRIX INEQUALITIES
TESIS
Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh
MUHAMMAD WAKHID MUSTHOFA
NIM : 20105016
Program Studi Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2007
i
ABSTRAK
REDUKSI ORDE MODEL SISTEM LINEAR PARAMETER VARYING MELALUI LINEAR MATRIX INEQUALITIES
Oleh
Muhammad Wakhid Musthofa NIM : 20105016
Tesis ini membahas reduksi orde model sistem Linear Parameter Varying (LPV) melalui ketaksamaan matriks linear (Linear Matrix Inequalities / LMIs). Langkah langkah untuk mendapatkan bentuk model tereduksi, pertama akan diturunkan teorema yang memberikan syarat cukup eksistensi reduksi orde model pada sistem LPV beserta bentuk model tereduksinya. Syarat cukup eksistensi reduksi orde model pada sistem LPV merupakan masalah feasibility non konveks yang sulit diselesaikan, oleh karena itu masalah feasibility non konveks ini diubah menjadi masalah feasibility konveks dengan menggunakan metode alternating projection meskipun hanya memberikan kekonvergenan lokal. Untuk keperluan komputasi, nilai awal dari metode alternating projection dipilih dari metode pemotongan setimbang (balanced truncation method) yang berada dalam lingkungan solusi feasible. Pada sistem LPV yang stabil kuadratik, metode ini menghasilkan sistem tereduksi yang stabil kuadratik pula. Sebagai simulasi, metode ini diaplikasikan pada sistem LPV berorde empat yang direduksi menjadi sistem LPV berorde tiga dan dua. Hasil simulasi menunjukkan bahwa kelakuan masing-masing state pada kedua sistem tereduksi sesuai dengan sistem asli.
ii
ABSTRACT
MODEL REDUCTION OF LINEAR PARAMETER VARYING SYSTEMS BASED ON LINEAR MATRIX INEQUALITIES
By
Muhammad Wakhid Musthofa NIM : 20105016
In this thesis, a model reduction for Linear Parameter Varying (LPV) systems based on Linear Matrix Inequalities (LMIs) is studied. Firstly, we derive a theorem that gives sufficient conditions for the existence of the model reduction for LPV systems and by using its solution, the reduced-order model can be obtained. But it is difficult to solve it since the conditions are not convex. A local solution may be obtained by using the alternating projection method. The initial values of the alternating projection method obtained from the balanced truncation method. The quadratic stability of the reduced-order can be guaranted if the full-order system is quadratic stabil. The proposed method is applied to fourth-full-order LPV system for reducing the system to third and second-order. From the simulation result, we obtain that the bahavior of the reduced-systems are similar to the full-order system.
Keywords. Model reduction, LPV systems, LMIs, Alternating Projection Method.
REDUKSI ORDE MODEL SISTEM LINEAR PARAMETER VARYING MELALUI LINEAR MATRIX INEQUALITIES
Oleh
MUHAMMAD WAKHID MUSTHOFA NIM : 20105016
Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung
Menyetujui Tanggal 12 Juni 2007
Pembimbing
iv
PEDOMAN PENGUNAAN TESIS
Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
D
K
an tidak sepatutnya orang-orang mukmin itu semuanya pergi ke medan
perang. Mengapa sebagian dari setiap golongan diantara mereka tidak
pergi untuk bertafaqquh fiddin (memperdalam pengetahuan agama mereka) dan
untuk memberi peringatan kepada kaumnya apabila mereka telah kembali agar
mereka dapat menjaga dirinya. (Q.S. At Taubah : 122)
S
ebaik-baik diantara kamu adalah yang mempelajari Alquran dan
mengajarkannya (H.R Bukhori dari Utsman bin Affan)
upersembahkan sebagai wujud pelaksanaan amanah
dan ibadah kepada Allah Rabb semesta alam
Sebagai rasa cinta kepada Rasulullah Muhammad suri tauladan umat
Dan teruntuk istriku tercinta Siska Yuniarti,
juga teruntuk buah hatiku yang masih dalam kandungan.
Semoga kita menjadi keluarga Mujahid yang berjihad dengan Istiqomah....
vi
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahi rabbil ’alamin, segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah swt yang atas segala rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Sholawat serta salam semoga tercurah kepada Nabi Muhammad saw beserta para sahabat dan seluruh umat hingga di akhir zaman.
Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari bahwa Tesis ini tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan dalam segala hal dari berbagai pihak. Untuk itu dengan segenap kerendahan hati, penulis menyampaikan terima kasih kepada :
1. Dr. Roberd Saragih, sebagai dosen pembimbing tesis ini yang telah meluangkan waktu dan pikiran membimbing dan mengarahkan penulis dalam penyusunan dan perbaikan tesis ini.
2. Dr. Kuntjoro Adji Sidarto dan Dr. Janson Naiborhu yang telah berkenan menjadi penguji dalam ujian tesis.
3. Dr. Irawati sebagai wali akademik, yang telah memberikan pengarahan kepada penulis selama menempuh program magister di Institut Teknologi Bandung.
4. Bapak dan Ibu Dosen di Program Studi Matematika FMIPA ITB, yang telah membimbing penulis selama proses perkuliahan.
5. Dirjen Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional, yang telah memberikan Beasiswa Program Pasca Sarjana (BPPS), sehingga penulis dapat menempuh pendidikan di Institut Teknologi Bandung tanpa adanya hambatan finansial yang berarti.
6. Dekan dan seluruh staf Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta, khususnya Ketua Program Studi dan staf jurusan Matematika, atas doa dan dukungannya.
vii
7. Ibu Mugiyatilah, Bapak Waridi dan Ibu Suyatmi sebagai orang tua dan mertua penulis, yang dengan tulus mencurahkan kasih sayang dan memanjatkan doa yang tiada putus untuk kesuksesan putra-putrinya.
8. Istri tercinta Siska Yuniarti yang telah setia mendampingi dan menjadi penyejuk mata bagi penulis.
9. Rekan-rekan mahasiswa S-2 Matematika, atas kesediaanya berdiskusi dan berbagi ilmu.
10. Semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan tesis ini selesai, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Jazaakumullahi khairan katsiran. Semoga Allah swt membalas kebaikan Saudara dengan kebaikan yang banyak. Semoga tulisan ini bermanfaat bagi para pembaca.
Bandung, 12 Februari 2007 Penulis
viii
DAFTAR ISI
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS iv
KATA PENGANTAR vi
DAFTAR ISI viii
DAFTAR GAMBAR x
Bab I Pendahuluan 1
I.1 Latar Belakang Masalah ……….……… 1
I.2 Rumusan Masalah ……….………. 2
I.3 Tujuan Penulisan ……….…... 3
I.4 Sistematika Pembahasan ……….……... 3
Bab II Landasan Teori 5
II.1 Sistem Linear Parameter Varying (LPV) ………... 5
II.2 Sistem LPV Politopik ……….….. 8
II.3 Ketaksamaan Matriks Linear (Linear Matrix Inequality / LMI) ………. 9
II.4 Reformulasi Masalah Optimisasi ke dalam Bentuk LMI ... 12
II.5 Metode Pemotongan Setimbang Tergeneralisasi ( Generalized Banalced Truncation Method) ……….……… 13
Bab III Reduksi Orde Model Sistem LPV 16
III.1 Rumusan Masalah Reduksi Orde Model Sistem LPV ……...……… 16
III.2 Lemma Pendukung ……….…… 17
ix
Bab IV Metode Alternating Projection 30
IV.1 Metode Alternating Projection……….…… 30
IV.2 Penerapan Metode Alternating Projection pada Masalah Reduksi Orde Model ... 41
IV.3 Algoritma Reduksi Orde Model ………....……….. 45
IV.4 Bukti Metode Alternating Projection Mempertahankan Kestabilan Sistem Tereduksi ……… 48
IV.5 Simulasi Program ………... 52
Bab V Kesimpulan 59
DAFTAR PUSTAKA 60
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1 Data paramater a33 dan b dalam politop konveks ... 53 12
Gambar 4.2. Perbandingan state x orde penuh dan orde tereduksi 1
pada reduksi ke orde tiga ... 55 Gambar 4.3. Perbandingan state x orde penuh dan orde tereduksi 2
pada reduksi ke orde tiga ... 55 Gambar 4.4. Perbandingan state x orde penuh dan orde tereduksi 3
pada reduksi ke orde tiga ... 56 Gambar 4.5. Perbandingan state x orde penuh dan orde tereduksi 1
pada reduksi ke orde dua ... 57 Gambar 4.6. Perbandingan state x orde penuh dan orde tereduksi 2
