TUGAS AKHIR – SM 141501
ANALISIS REDUKSI MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT
YUNITA INDRIANA SARI NRP 1212 100 017 Dosen Pembimbing
Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si.
JURUSAN MATEMATIKA
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2016
FINAL PROJECT – SM 141501
MODEL REDUCTION ANALYSIS OF DISCRETE-TIME LINEAR SYSTEM
YUNITA INDRIANA SARI NRP 1212 100 017 Supervisor
Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si.
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Faculty of Mathematics and Natural Science Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 2016
vii
ANALISIS REDUKSI MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT
Nama : Yunita Indriana Sari
NRP : 1212 100 017
Jurusan : Matematika
Dosen Pembimbing : Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si.
ABSTRAK
Reduksi Model adalah penyederhanaan sistem yang berorde besar agar sistem tersebut memiliki orde yang lebih kecil tanpa kesalahan yang signifikan. Pada Tugas Akhir ini, dibahas mengenai reduksi model dengan menggunakan metode pemotongan setimbang dengan menganalisis sistem awal, mengkaji pembentukan sistem setimbang, dan konstruksi model tereduksi. Proses reduksi model diawali dengan membentuk sistem setimbang dari sistem awal yang bersifat stabil, terkendali, dan teramati dengan matriks transformasi . Setelah didapatkan sistem setimbang, selanjutnya dilakukan pemotongan nilai singular Hankel yang kecil. Setelah itu dilakukan simulasi reduksi model menggunakan MATLAB. Hasil simulasi menunjukkan bahwa model tereduksi yang dihasilkan memiliki sifat yang sama dengan sistem awal, yaitu sifat stabil, terkendali, teramati. Selain itu, pemotongan nilai singular Hankel dapat dilakukan sesuai kebutuhan dalam pengaplikasian reduksi model pada permasalahan di kehidupan nyata. Selanjutnya, dilakukan perbandingan model awal dan model tereduksi dengan menggunakan respon frekuensi.
Kata kunci : Reduksi Model, Sistem Linier Waktu Diskrit, Metode Pemotongan Setimbang, Singular Hankel.
viii
“Halaman ini sengaja dikosongkan”
ix
MODEL REDUCTION ANALYSIS OF DISCRETE-TIME LINEAR SYSTEMS
Name of Student : Yunita Indriana Sari
NRP : 1212 100 017
Department : Mathematics
Supervisor : Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si.
ABSTRACT
Model Reduction is a great simplification of the order system so that the system has a smaller order without any significant errors. In this paper, we discuss the reduction of the model using Balanced Truncation method by analyzing the initial system, review the construction of balanced systems, and construction of reduced model. The reduction process begins by setting up a balanced system of the initial system that is stable, controllable, and observable with the transformation matrix T.
Having obtained the balance system, then we crop small Hankel singular values. After that, we simulate the reduced model using MATLAB. The simulation results indicate that the reduced model has the same properties as the initial syste. In addition, cutting Hankel singular value can be done as needed in application modeled on the reduction of problems in real life. Furthermore, the comparison of the initial model and the reduced model is done by using the frequency response.
Keyword : Model Reduction, Discrete-Time Linear Systems, Balanced Truncation Method, Singular Hankel.
x
“ Halaman ini sengaja dikosongkan ”
xi
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum warrahmatullahi wabarakatuh.
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat, taufik serta hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul
“ANALISIS REDUKSI MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT”
yang merupakan salah satu persyaratan akademis dalam menyelesaikan Program Sarjana Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengethuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
Tugas Akhir ini dapat diselesaikan dengan baik berkat kerja sama, bantuan dan dukungan dari banyak pihak.
Sehubungan dengan hal itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih dan penghargaan kepada:
1. Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi kepada penulis dalam mengerjakan Tugas Akhir ini sehingga dapat terselesaikan dengan baik.
2. Dra. Titik Mudjiati, M.Si, Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si, Dra. Sri Suprapti H., M.Si, dan Drs. Inu Laksito W., M.I.Komp., dan selaku Dosen Penguji yang telah memberikan saran demi perbaikan Tugas Akhir.
3. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Ketua Jurusan Matematika ITS yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya Tugas Akhir ini.
4. Drs. Soetrisno, MI.Komp. selaku Dosen Wali yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya Tugas Akhir ini dan seluruh jajaran
xii
dosen dan staf jurusan Matematika ITS yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.
5. Ibuk, Bapak, Adek Lia, dan Adek Rara atas semangat, kasih sayang, dan doa yang tiada henti kepada penulis.
6. Mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2012 yang telah memberikan inspirasi dan semangat kepada penulis.
7. Teman-teman IX-6 dan XII IPA 1 yang selalu memberi dukungan untuk penulis.
8. Keluarga Besar Himatika ITS dan UKM KSR PMI ITS atas semua pengalaman dan dukungannya.
9. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir.
Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dari pembaca. Akhir kata, semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.
Surabaya, Juli 2016 Penulis
xiii DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL... i
LEMBAR PENGESAHAN ... v
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... ix
KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR TABEL ... xvii
DAFTAR SIMBOL ... xix
DAFTAR LAMPIRAN ... xxi
BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Batasan Masalah ... 3
1.4 Tujuan ... 3
1.5 Manfaat ... 3
1.6 Sistematika Penulisan Tugas Akhir ... 4
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Penelitian Terkait ... 5
2.2 Landasan Teori ... 6
2.2.1. Sistem Linear Waktu Diskrit ...6
2.2.2. Sifat Kestabilan ...8
2.2.3. Sifat Keterkendalian ...9
2.2.4. Sifat Keteramatan ...10
2.2.5. Reduksi Model ...11
2.2.5.1. Sistem Setimbang...11
2.2.5.2. Model Tereduksi ...12
BAB III. METODOLOGI 3.1 Tahapan Penelitian ... 15
3.2 Diagram Alir Metode Penelitian ... 16 BAB IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
xiv
4.1 Kajian Sistem Awal ... 19
4.1.1. Sifat Kestabilan ... 19
4.1.2. Sifat Keterkendalian ... 21
4.1.3. Sifat Keteramatan ... 24
4.2 Kajian Sistem Setimbang ... 27
4.2.1. Konstruksi Matriks Transformasi ... 28
4.2.2. Pembentukan Sistem Setimbang ... 30
4.2.3. Sifat Kestabilan Sistem Setimbang ... 32
4.2.4. Sifat Keterkendalian Sistem Setimbang ... 35
4.2.5. Sifat Keteramatan Sistem Setimbang ... 35
4.3 Kajian model Tereduksi ... 35
4.3.1. Pemotongan Sistem Setimbang ... 37
4.3.2. Analisis Model Tereduksi ... 38
4.3.2.1. Sifat Kestabilan Model Tereduksi ... 39
4.3.2.2. Sifat Keterkendalian Model Tereduksi ... 41
4.3.2.3. Sifat Keteramatan Model Tereduksi ... 43
4.4 Simulasi... 45
BAB V. PENUTUP 5.1 Kesimpulan ... 69
5.2 Saran ... 70
DAFTAR PUSTAKA ... 71
LAMPIRAN ... 73
BIODATA PENULIS ... 99
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian ... 17 Gambar 4.1 Konstruksi Matriks ... 29 Gambar 4.2 Proses Reduksi Model ... 36 Gambar 4.3 Respon Frekuensi Sistem Awal dan Sistem
Setimbang ... 51 Gambar 4.4 Grafik Nilai Singular Hankel ... 54 Gambar 4.5 Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 1 ... 55 Gambar 4.6 Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 2 ... 57 Gambar 4.7 Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 3 ... 59 Gambar 4.8 Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 4 ... 61 Gambar 4.9 Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 5 ... 63 Gambar 4.10 Grafik Respon Frekuensi Sistem Awal dan Model Tereduksi Orde 6 ... 65 Gambar 4.11 Grafik Perbandingan Respon Frekuensi Model Awal dan Model Tereduksi ... 66 Gambar 4.12 Grafik Perbandingan Error Respon Frekuensi
Model Tereduksi ... 67
xvi
“Halaman ini sengaja dikosongkan”
xvii
DAFTAR TABEL
Halaman TABEL 4.1 Nilai Error Model Tereduksi ... 66
xviii
“Halaman ini sengaja dikosongkan”
xix
DAFTAR SIMBOL Matriks untuk model awal Matriks untuk model awal Matriks untuk model awal Matriks untuk model awal Nilai karakteristik matriks
Gramian keterkendalian pada model awal Gramian keteramatan pada model awal
Matriks keterkendalian Matriks keteramatan
̃ Matriks untuk sistem setimbang ̃ Matriks untuk sistem setimbang ̃ Matriks untuk sistem setimbang
̃ Matriks untuk sistem setimbang
̃ Gramian keterkendalian pada sistem setimbang
̃ Gramian keteramatan pada sistem setimbang Matriks diagonal untuk
Gramian kesetimbangan
Matriks unitary
Matriks transformasi untuk sistem setimbang ̃ Matriks untuk model tereduksi
̃ Matriks untuk model tereduksi ̃ Matriks untuk model tereduksi
xx
“ Halaman ini sengaja dikosongkan “
xxi
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman LAMPIRAN A Simulasi Reduksi Model untuk Sistem Awal Tidak Stabil, Terkendali, Teramati ... 73 LAMPIRAN B Simulasi Reduksi Model untuk Sistem Awal Stabil, Tidak Terkendali, dan Teramati ... 75 LAMPIRAN C Simulasi Reduksi Model untuk Sistem Awal Stabil, Terkendali, dan Tidak Teramati ... 78 LAMPIRAN D Simulasi Reduksi Model untuk Sistem Awal ... 82 LAMPIRAN E Simulasi Reduksi Model dengan menggunakan MATLAB ... 96
xxii
“Halaman ini sengaja dikosongkan”
69 BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi tentang kesimpulan yang dihasilkan berdasarkan penelitian yang telah dilaksanakan serta saran yang diberikan jika penelitian ini ingin dikembangkan.
5.1 Kesimpulan
Dari analisa dan pembahasan yang telah disajikan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa :
1. Algoritma reduksi model untuk sistem diskrit dengan menggunakan metode pemotongan setimbang adalah dari sistem awal yang bersifat stabil, terkendali, teramati lalu ditentukan gramian keterkendalian dan gramian keteramatan. Setelah itu dilakukan konstruksi matriks transformasi untuk mengkonstruksi sistem setimbang.
Selanjutnya dilakukan pemotongan variabel keadaan untuk memperoleh model tereduksi.
2. Model tereduksi memiliki sifat yang sama dengan model awal, yaitu sifat kestabilan, keterkendalian, dan keteramatan.
3. Dari beberapa kasus yang telah dikerjakan, pemotongan variabel keadaan untuk mendapatkan model tereduksi dapat dilakukan sesuai kebutuhan dalam pengaplikasian reduksi model pada permasalahan dalam kehidupan nyata. Apabila menginginkan hasil yang lebih akurat namun mengabaikan waktu komputasi, maka dilakukan pemotongan variabel keadaan yang sedikit. Sedangkan, apabila menginginkan waktu komputasi yang lebih singkat, maka dilakukan pemotongan variabel keadaan yang besar.
70
5.2 Saran
Adapun saran dari Tugas Akhir ini adalah
1. Mengkaji reduksi model dengan sistem awal yang tidak memiliki sifat stabil, terkendali, dan teramati.
2. Mengkaji reduksi model menggunakan metode lainnya.
71
DAFTAR PUSTAKA
[1] Gregoriadis, K. M. (1995). Optimal Model Reduction via Linear Matrix inequalities: Continuous and Discrete-Time Cases. System and Control Letter 26, 321- 333.
[2] Arif, D. K. (2014). Konstruksi dan Implementasi Algoritma Filter Kalman pada Model Tereduksi.
Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.
[3] Ghosh, Sudipta dan Senroy, Nilanjan. (2013). Balanced Truncation Based Reduced Order Modelling of Wind Farm. Electrical Power and Energy Systems 53, 649-655.
[4] He, Xiao., Kong, Qiongxiang., & Xiao, Zhihua. (2015).
Fast Simulation Methods for Dynamic Heat Transfer through Building envelope Based on Model-Order- Reduction. Procedia Engineering 121, 1764-1771.
[5] Jun, Myungsoo., Smith, Kandler., & Graf, Peter. (2015).
State-space Representation of Li-ion Battery Porous Electrode Impedance Model with Balanced model Reduction. Journal of Power Sources 273, 1226-1236.
[6] Zhou, K., Doyle, J. C., & Glover, K. (1996). Robust and Optimal Control. New Jersey: Prentice-Hall.
[7] Subiono. (2012). Sistem Linear. Surabaya: Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
[8] Staffans, O. 2009. Transfer Function. Abo Akademi University Press, Finlandia.
[9] Arif, D.K. dkk. (2014). Construction of the Kalman Filter Algorithm on the Model Reduction. International Journal Control and Automation (IJCA), Vol 7. No 9, 257- 270.
[10] Anton, Howard dan Rorres, Chris. 2005. Elementary Linear Algebra 9th Edition. New York: John Wiley &
Sons.
72
[11] Bemporad, Alberto. (2010). Automatic Control 2:
Discrete-Time Linear Systems. Trento: University of Trento.
[12] Ogata, Katsuhiko. (1995). Discrete-Time Control Systems.
New Jersey. Prentice Hall.
[13] Bemporad, A..(2010). Automatic Control 2: Model Reduction. Trento: University of Trento.
99
BIODATA PENULIS
Penulis memiliki nama lengkap Yunita Indriana Sari. Dilahirkan di Jombang pada tanggal 24 Oktober 1993 dan merupakan anak pertama dari 3 bersaudara. Pendidikan formal yang telah ditempuh yaitu SDN Pucang III Sidoarjo, SMPN 1 Sidoarjo. Setelah menyelesaikan pendidikannya di SMAN 3 Sidoarjo, penulis melanjutkan pendidikan S1 di Jurusan Matematika ITS pada tahun 2012. Pada masa perkuliahan penulis memilih Matematika Terapan sebagai bidang keahliannya.
Selama menjadi mahasiswa ITS, penulis aktif mengikuti organisasi intra kampus yaitu Himpunan Mahasiswa Matematika ITS (Himatika ITS) dan UKM Korps Sukarela ITS.
Selama penulisan Tugas Akhir ini, penulis tidak lepas dari kekurangan. Untuk kritik, saran, dan pertanyaan mengenai Tugas Akhir ini dapat dikirimkan melalui e-mail ke indrianasariy@gmail.com.
