TRIGONOMETRI 1 1. DEFINISI

70 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd

TRIGONOMETRI 1

1. DEFINISI

Contoh : Sebuah segitiga siku – siku ABC siku siku di A, jika AB = 4 cm, AC = 3 cm. Tentukan nilai dari Sin B

Alternatif Penyelesaian: BC2 _{= AC}2 _{+ AB}2 BC2 _{= 3}2 _{+ 4}2 BC2 _{= 9 + 16} BC2 _{= 25} BC = √25 BC = 5 cm Sin B =AC BC Sin B =3 5

2. SUDUT SUDUT ISTIMEWAH

𝛂 𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟒𝟓𝟎 𝟔𝟎𝟎 𝟗𝟎𝟎 Sin 0 1 2 1 2√2 1 2√3 1 Cos 1 1 2√3 1 2√2 1 2 0 Tan 0 1 3√3 1 _√3 ~ 3. SISTEM KOORDINAT Koordinat Kutub.

Contoh: Ubalah koordinat cartesius ( 4, 3 ) menjadi koordinat kutub! Alternatif Pemyelesaian : Diketahui : x = 4, y = 3 A B C

Y r X (𝐫, 𝛂) 𝐱 = 𝐫. 𝐒𝐢𝐧 𝛂 𝐝𝐚𝐧 𝐲 = 𝐫. 𝐂𝐨𝐬𝛂

71 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd r2 _{= x}2 _{+ y}2 r2 _{= 4}2 _{+ 3}2 r2_{= 16 + 9} r2_{= 25} r = √25 r = 5

4. ATURAN DALAM KWADRAN

KWADRAN SUDUT HASIL

I O0 _{- 90}0 _{Semua Positif}

II 910 - ₁₈₀0 _{Sin saja yang Positif}

III 1810_-2700 _{Tan saja yang Positif}

IV 2710 _{- 360}0 _{Cos saja yang positif}

Contoh : Tentukan nilai Sin 2100 Alternatif Penyelesaian:

Sin 2100 _{= - ½}

5. SUDUT SUDUT BERELASI

1. Sudut ( 900_{± x)}

Contoh : Hitunglah Sin 600_! Alternatif Penyelesaian:

Sin 600 _{= Sin ( 90}0 _{– 60}0 _{) = Cos 30}0 ₌ 1

2√2

2. Sudut (1800± x)

Contoh : Hitunglah Cos 2250_! Alternatif penyelesaian ;

Cos 2250 _{= Cos ( 180}0 _{+ 45}0 _{) = - Cos 45}0 _{= −}1

2√2 = Cos x = Sin x = Cot x = Sec x = Cosec x = Tan x = Cos x = - Sin x = - Cot x = Sec x = - Cosec x = - Tan x Sin ( 1800_{− x ) = Sin x} Cos( 1800− x ) = - Cos x Tan ( 1800− x ) = - Tan x Cosec ( 1800_{− x ) = Cosec x} Sec ( 1800− x ) = - Sec x Cot ( 1800_{− x ) = - Cot x} Sin ( 1800_{+ x ) = - Sin x} Cos( 1800+ x ) = - Cos x Tan ( 1800+ x ) = Tan x Cosec ( 1800_{+ x ) = - Cosec x} Sec ( 1800+ x ) = - Sec x Cot ( 1800_{+ x ) = Cot x}

72 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd 3. Sudut (2700_{± x)}

Contoh : Hitunglah Tan 2100_! Alternatif Penyelesaian :

Tan 2100 _{= Tan ( 270}0 _{– 60}0_{) = Cotan 60}0 ₌ 1

3√3

4. Sudut (3600_{− x) Dan Sudut ( - x )}

Contoh : Tentukan nilai dari Sin -300_! Alternatif Penyelesaian : Sin -300 _{= - Sin 30}0 _{= ½} 6. IDENTITAS TRIGONOMETRI 1. Sin2x + Cos2x = 1 2. 1 + Tan2_{x = Sec}2_x 3. 1 + Cot2_{x = Cosec}2_x 4. Tan x =Sin x Cos x 5. Cot x =Cos x Sin x 6. Cosec x = 1 Sin x 7. Sec x = 1 Cos x 8. Tan x = 1 Cot x

Contoh : Buktikan dalam segitiga sembarang ABC berlaku Cos ½(A + B ) = Cos ½ C Alternatif Jawaban : A + B + C = 1800 A + B = 1800 _{– C} Cos ½ ( A + B ) = Cos ½ ( 1800 _{– C )} = Cos ( 900 _{– ½ C )} = Cos ½ C ( terbukti ) Sin ( 2700_{− x ) = - Cos x} Cos( 2700− x ) = - Sin x Tan ( 2700_{− x ) = Cot x} Cosec ( 2700− x ) = -Sec x Sec ( 2700− x ) = - Cosec x Cot ( 2700_{− x ) = Tan x} Sin ( 2700_{+ x ) = - Cos x} Cos( 2700+ x ) = Sin x Tan ( 2700_{+ x ) = - Cot x} Cosec ( 2700+ x ) = -Sec x Sec ( 2700+ x ) = Cosec x Cot ( 2700_{+ x ) = -Tan x} Sin ( 3600_{− x ) = - Sin x} Cos( 3600_{− x ) = Cos x} Tan ( 3600− x ) = - Tan x Cosec ( 3600_{− x ) = - Cosec x} Sec ( 3600− x ) = Sec x Cot ( 3600_{− x ) = Cot} Sin (− x ) = -Sin x Cos(− x ) = Cos x Tan ( − x ) = - Tan x Cosec (− x ) = - Cosec x Sec (− x ) = Sec x Cot (− x ) = - Cot x

73 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd 7. Aturan Sinus

Contoh :Pada ∆ABC, AC = 5,4 cm ∠B = 700 _{dan ∠C = 80}0_{. Hitunglah sisi AB} Alternatif Penyelesaian: AB SinC= AC SinB AB Sin 800= 5,4 Sin 700 AB = 5,4 ×Sin 800 Sin 700 = 5,66

Jadi panjang AB adalah 5,66 cm 8. Aturan Cosinus

Contoh 1 : Pada ∆ABC diketahui b = 4, c = 8 dan ∠A=600_{. Hitunglah panjang a!} Alternatif Penyelesaian: a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{-2bc.Cos A} a2 _{= 4}2 _{+ 8}2 _{– 2(4)(8).Cos 60}0 a2 _{= 16 + 64 – 64.( ½ )} a2 _{= 80 – 32} a2 _{= 48} a = √48 = 4√3

Jadi panjang sisi a adalah 4√3 cm

Contoh 2 : Diketahui sebuah segitiga panajng sisi – sisinya 7 cm, 8 cm, dan 9 cm. hitunglah sudut dihadapan sisi 9 cm

1.

a

2

_{= b}

2

_{+ c}

2

_{– 2bc.Cos A}

2.

b

2

_{= a}

2

_{+ c}

2

_{– 2ac.Cos B}

3.

c

2

_{= a}

2

_{+ b}

2

_{– 2ab.Cos C}

1.

2.

3.

74 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd Alternatif Penyelesaian: Cos C = a2+b2−c2 2ab Cos C = 72+82−92 2(7)(8) = 49+64−81 112 = 2 7= 0,2857 ∠ C = 730_{24’ ( dari tabel )} 9. Luas Segitiga

1. Diketahui alas dan tingginya

2. Diketahui ketiga sisinya

3. Diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit kedua sisinya

Contoh : Hitunglah luas ∆ABC jika ∠A= 300_{, b = 4 dan c = 15 cm!} Alternatif Penyelesaian:

L ∆ ABC = ½ bc Sin A

L ∆ ABC = ½ ( 4 ) ( 15 ) Sin 300 L ∆ ABC = 2 ( 15 ) ½

L ∆ ABC = 15

Jadi luas segitiga ABC adalah 15 cm2 4. Diketahui dua sudut dan satu sisi

ab.Sin C bc.Sin A ac.Sin B

75 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd Contoh : Hitunglah luas segitga ABC jika ∠B = 600_{, ∠C = 30}0_{, dan a = 8 cm!}

Alternatif jawaban L ∆ ABC =a

2_{Sin B. Sin C}

2Sin(B + C) L ∆ ABC = 82.Sin 600.Sin300

2.Sin(60+30)

L ∆ ABC = 64.1/2√3.1/2

2.Sin90

L ∆ ABC =16√3

2 = 8√3

Jadi luas segitiga ABC adalah 8√3 cm 10. Luas Segi-n beraturan

1. Luas Segi Empat

Contoh : Tentukan luas segi empat ABCD, Jika AC = 6 cm dan BD = 10 cm dan sudut yang dibentuk oleh kedua diagonal tersebut adalah 600_!

Alternatif Penyelesaian: L.ABCD = ½ AC.BD.Sin O = ½ ( 6 ) ( 10 ) Sin 600 = 30 ( ½ )

= 15

Jadi luas segi empat ABCD adalah 15 cm2 2. Diketahui jari - jari

Contoh : Tentukan luas segi 6 beraturan jika panjang jari – jari lingkaran 7 cm Alternatif Penyelesaian: Luas segi – n = n 2r 2_Sin 360 n Luas segi-6 = 6 2× 7 2_Sin 3600 6

Luas segi-6 = 3 x 49 x Sin 600 Luas segi- 6 = 147

2 √3

Jadi luas segi enam beraturan itu adalah 147

2 √3 cm2

76 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd 3. Diketahui panjang sisi segi-n

Contoh :Hitunglah panjang segi – lima beraturan yang panjang sisinya 12 cm Alternatif Penyelesaian: Luas segi-n = n.S 2_{[Sin (}(n−2).1800 2n )] 2 2Sin[(n−2).1800 n ] Luas segi – 5 = 5×12 2_[Sin(5−2)1800 2×5 ] 2 2sin[(n−2)1800 n ]

Luas segi-5 = 5×144×sin 54

0 2

2×(0,95)

Luas segi-5 = 720×(0,81)_1,9 2 Luas segi-5 = 472,392_1,9 = 248,63

77 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd

LATIHAN SOAL TRIGONOMETRI I

1. Jika A sudut lancip dan Cos A = 3

5 maka nilai dari Sin A.Tan A−1

2Tan2_A adalah… a. 1 6 d. 625 16 b. 3 160 e. 160 3 c. 16 625 2. Jika Tan A = a x. maka x

√a2_+x2 sama dengan…

a. Sin A d. Sec A

b. Cos A e. Cosec A

c. Cot A

3. Hasil dari sin 560 _{– cos 34}0 _adalah…

a. 0 d. 1

b. ½ e. ½ √2

c. ¼

4. Hasil dari Sin 1350×Cos 2100×Tan 450

Cos 1350_{×Sin 120}0_{×Cot 315}0 adalah…

a. 1 d. ½ √2

b. ½ e. – 1

c. 1/3 √3

5. Nilai x dari persamaan Sin ( 100 _{– 3x ) = Cos ( 2x} + 600 _{) adalah…}0

a. 10 d. 25

b. 15 e. – 20

c. 20

6. Nilai dari Sec 602 0_{− 1 adalah…}

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

7. Nilai dari Cos 7800 _adalah… a. −√3

2 d. ½

b. −1/2 e. 1

2√3

c. 0

8. Dalam ∆ABC sembarang maka nilai dari Tan ½ ( A + B ) sama dengan…

a. Cot ½ C d. Sec ½ C

b. Sin ½ C e. Cos ½ C

c. Cosec ½ C

9. Diketahui A + B = 2700_{, maka nilai dari Cos A +} Sin B adalah…

a. 1 d. – 1

b. ½ e. 0

c. 1/3 √3

10. Sinus dari sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek pada pukul 01.00 adalah…

a. 1 d. 0

b. 1

2√3 e. -1/2

c. 1/2

11. Sebuah menara dilihat dari suatu tempat yang jaraknya 300 m dari kaki menara dengan sudut elevasi 300_{, maka tinggi menara tersebut adalah…}

a. 150 m d. 300√3 m

b. 300

√3 m e. 450√3 m

c. 100 m

12. Pilot pesawat yang sedang terbang dengan ketinggian 350 m melihat sebuah kapal nelayan yang sedang berlayar. Apabila sudut depresi pilot terhadap kapal sebesar 300_{, maka jarak pandang} pilot terhadap kpal nelayan adalah…m

a. 600 d. 750

b. 650 e. 800

c. 700

13. Bentuk sederhana dari Sec x.Cos x

Tan x adalah…

a. Cos x d. Cot x

b. Sin x e. Sec x

c. Cosec x

14. Bentuk sederhana dari Sin x

1+Cos x+ 1+Cos x Sin x adalah… a. 2Cosec x d. 2Sec x b. 2Sin x e.2Tan x

71 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd c. 2Sin x.Cos x

15. Bentuk sederhana dari tan x.Cosec2 _{x – Cot x} adalah…

a. Sin x d. Sec x

b. Cos x e. Cot x

c. Tan x

16. Jika Sin A + Cos B = 6

5 maka nilai Sin A.Cos A

adalah… a. 9 50 d. 12 50 b. 11 50 e. 13 50 c. 1 2

17. Bentuk sederhana dari Sin A + Cot A.Cos A adalah…

a. Sec A d. Cosec A

b. Sin A e. Tan A

c. Cot A

18. Bentuk sederhana dari Cos x

Sin2_x−1 adalah…

a. Sin x d. – Sec x

b. Sec x e. – Sin x

c. Tan x

19. Jika 8Tan x = 15, maka nilai dari Sin x – Cos x adalah… a. 1 17 d. 8 17 b. 5 17 e. 17 7 c. 7 17 20. Diketahui Sin A = 4 5 dan Cos B = 5 13 dengan sudut

A dan B sudut lancip, maka nilai dari Tan A + Tan B adalah… a. 3 5 d. 5 16 b. 4 13 e. 7 6 c. 12 13

21. Diketahui A dan B adalah titik – titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p√2

meter, maka panjang terowongan itu adalah … meter.

a. p √5 d. 4p

b. p √17 e. 5p

c. 3√2

22. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 Km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 Km ke pelabuhan C Jarak pelabuhan A ke C adalah ... Km.

a. 10 √95 d. 10 √71

b. 10 √91 e. 10 √61

c. 10 √85

23. Sebuah kapal berlayar kearah timur sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah … mil.

a. 10 √37 d. 30 √(5 + 2√3)

b. 30 √7 e. 30 √(5 – 2√3)

c. 30 √(5 + 2√2)

24. Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC = ....

a. 5/7 d. 2/7

b. 2/7 √6 e. 1/7 √6

c. 24/49

25. Jika panjang sisi- sisi Δ ABC berturut – turut adalah AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm, sedang sudut BAC = α, sudut ABC = β, sdut BCA = γ, maka sin α : sin β : sin γ = ….

a. 4 : 5 : 6 b. 5 : 6 : 4

c. 6 : 5 : 4 e. 6 : 4 : 5

d. 4 : 6 : 5

26. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, √21 cm adalah ….

a. 1/5 √21 d. 1/6 √5

b. 1/6 √21 e. 1/3 √5

72 Matematika SMU 10|Trigonometri I Oleh: Nur Huda,S.Pd 27. Diketahui panjang jari – jari lingkaran luar Δ PQR

seperti pada gambar adalah 4 cm dan panjang PQ = 6cm. Nilai cos sudut PQR = ....

a. 3/4 √7 d. 1/3 √7

b. 1/4 √7 e. 4/7 √7

c. 3/7 √7

28. Nilai cos sudut BAD pada gambar adalah ….

a. 17/33 d. 30/34

b. 17/28 e. 33/35

c. 3/7

29. Diketahui Δ PQR dengan PQ = 6 cm, QR = 4 cm, dan sudut PQR = 90°. Jika QS garis bagi sudut PQR, panjang QS = ….

a. 12/10 √2 d. 5/6 √2

b. 12/5 √2 e. 6√2

c. 24/5 √2

30. Luas segitiga ABC adalah ( 3 + 2√3 ) cm. Jika panjang sisi AB = ( 6 + 4√3 ) cm dan BC = 7 cm, maka nilai sisi ( A + C ) = ….

a. 6√2 d.

3

4

6

7



b. 6√2 e.

3

4

3

7



c. ½