BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Statistika MultivariatAnalisis statistika multivariat adalah teknik-teknik analisis statistik yang memperlakukan sekelompok variabel terikat yang saling berkorelasi sebagai suatu sistem dengan mempertimbangkan korelasi antar variabel variabel (Suryanto, 1988). Dalam analisis multivariat, data yang diolah merupakan hasil pengukuran dari beberapa variabel terikat (dependent) ditambah dengan hasil pengukuran dari satu atau beberapa variabel bebas (independent).
2.2 Matriks
Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Anton, 1987).
Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyak baris (garis horisontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. Jika A adalah sebuah matriks, maka digunakan untuk menyatakan entri yang terdapat di dalam barisidan kolomjdariA, i= 1,2,…,m ; j= 1,2,…,n. Jadi matriksm×nsecara umum dapat dituliskan sebagai berikut :
A= a a … a a a … a ⋮ a a⋮ …⋮ a⋮ atau A = a
a. Matriks Kuadrat (Square Matrix)
Sebuah matriks B dengan n baris dan n kolom (banyaknya baris dalam matriksBsama dengan banyaknya kolom dalam matriksB) dinamakan matriks kuadrat berorden(square matrix of order n) (Anton, 1987).
B = a a … a a a … a ⋮ a a⋮ …⋱ a⋮ b. Matriks Diagonal
Sebuah matriks kuadrat A yang berukuran m × m disebut matriks diagonal jika elemen-elemen yang berada di atas dan di bawah diagonal utamanya adalah nol atau elemen-elemen selain diagonal utamanya adalah nol.
A = a 0 … 0 0 a … 0 ⋮ 0 0⋮ …⋱ a⋮ c. Matriks Transpose
JikaAadalah sebarang matriksm×n, maka transposeAdinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matrikn× myang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dariA, dan seterusnya.
× = a a … a ( ) a a ⋮ a( ) a ⋮ a( ) … ⋮ … a ( ) ⋮ a( )( ) a ⋮ a( ) a a … a ( ) a
× = a!! a!" … a!( !) a! a!" ⋮ a!( !) a"" ⋮ a"( !) … ⋮ … a"( !) ⋮ a( !)( !) a" ⋮ a ( !) a! a" … a( !) a 2.3 Operasi Matriks A. Penjumlahan Matriks
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A+B, adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan (Anton, 1987).
B. Perkalian Matriks
Secara umum bentuk perkalian matriks dapat dinyatakan dengan : # ×$= × % ×$ & =∑ a ( & =)a a … a ( ) a * b b ⋮ b( ) b & = a ( + a ( + ⋯ + a( )(( )+ a ( Aturan-aturan dalam operasi matriks adalah :
1. A+B = B+A
2. A+(B+C) = (A+B)+C 3. A(BC) = (AB)C 4. C (A+B) = CA+CB
5. (B+C)A = AB+AC C. Determinan Matriks
Det(A) atau |A| merupakan determinan matriks kuadrat A = . / yang berukuran n × n. Det(A) atau |A| merupakan suatu bilangan skalar. Misalkan matriks A =0 (
& 12adalah suatu matriks kuadrat berukuran 2 × 2, maka :
det(A) =3 (
& 13= ad – bc
Untuk matriks kuadrat yang berukuran lebih dari 2 × 2 determinannya dapat dicari dengan menggunakan ekspansi kofaktor. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j
det(A) =∑ (−1)7 6 # a
=(−1) 6 # a + (−1) 6 # a + ⋯ + (−1) 6 # a Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i
det(A) = ∑ (−1)7 6 # a
=(−1)6 # a + (−1)6 # a + ⋯ + (−1)6 # a Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri dinyatakan oleh 8 , didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap ada setelah baris ke-idan kolom ke-jdihapus dariA(Anton, 1987).
Jika A adalah matriks kuadrat, bilangan (−1)6 8 dinyatakan oleh# dan dinamakan kofaktor dari (Anton, 1987). Matriks kofaktorA didefinisikan sebagai berikut :
C = # # ⋮ # # # ⋮ # ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ # # ⋮ #
Transpose dari matriks kofaktor ini dinamakanadjoint(A) D. Invers Matrik
Jika A adalah matriks kuadrat, AB = BA = I, maka matriks A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dariA (Anton, 1987: 34). Invers dari matriksAditulis . Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka :
!= !
9: ( )adj(A) (2.1)
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Jika Aadalah matriks kuadrat berukurann ×n, maka vektor tak nol x di dalam ; dinamakan vektor eigen dari A, jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yaitu :
x = λx (2.2)
Skalar ? disebut nilai eigen dari A dan x disebut dengan vektor eigen yang bersesuaian dengan A. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukurann×nmaka persamaan (2.2) ditulis sebagai :
Ax =?ӀA=( − ?Ӏ)A= 0 (2.3)
Persamaan (2.2) mempunyai penyelesaian jika :
1BC( − ?Ӏ)x = 0 (2.4)
2.5 Analisisprincipal component biplots (PCA Biplot)
Analisis komponen utama merupakan suatu teknik analisis statistik untuk mentransformasikan variabel-variabel awal yang masih saling berkorelasi satu dengan yang lain menjadi satu set variabel baru yang tidak berkorelasi lagi (Johnson & Wichern, 2007). Variabel-variabel baru itu dinamakan komponen utama (Principal Component).
Menurut Jolliffe (2010) Analisis principal component biplots (PCA Biplot) atau juga disebut dengan classical biplots adalah salah satu teknik statistika deskriptif berupa representasi grafik yang dapat menyajikan secara simultan n buah objek dan p buah variabel dalam satu grafik berdimensi dua. Dengan penyajian seperti ini, ciri –ciri variabel dan objek pengamatan serta posisi relatif antara objek pengamatan dengan variabel dapat dianalisis.
Tujuan dari analisis komponen utama menurut Fatimah & Nugraha (2005) adalah membentuk himpunan variabel yang saling tegak lurus sedemikian sehingga :
1. Koordinat observasi memberikan nilai untuk variabel yang baru. Variabel baru disebut komponen utama dan nilai dari variabel baru disebut nilai komponen utama (Principal Component Scores).
2. Setiap variabel baru merupakan kombinasi linear dari variabel variabel awal.
3. Variabel baru pertama menjelaskan ragam terbesar dalam data, variabel baru kedua menjelaskan ragam terbesar kedua, dan seterusnya sampai variabel baru ke-pmenjelaskan ragam terbesar kep.
4. pvariabel baru tersebut tidak saling berkorelasi.
Algoritma analisis komponen utama menurut Fatimah & Nugraha (2005) adalah sebagai berikut :
1. Mengumpulkan data dalam sebuah matriks. 2. Menghitung matriks kovarians dari data.
3. Menghitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks kovarians.
4. Membuat komponen utama. Nilai eigen disusun secara terurut menurun kemudian vektor eigen disusun sesuai dengan nilai eigennya. Vektor eigen yang tersusun itulah yang disebut dengan komponen utama.
5. Membentuk data baru. Data baru dihasilkan dengan mengalikan vektor transpose dari komponen utama dengan data normal.
Analisis ini didasarkan pada Singular Value Decomposition (SVD). SVD
bertujuan menguraikan suatu matriks X berukurann x p yang merupakan matriks peubah ganda yang terkoreksi terhadap rataannya dimana n adalah banyaknya objek pengamatan dan p adalah banyaknya peubah, menjadi 3 buah matriks. Pendekatan langsung untuk mendapatkan nilai singularnya, dengan persamaan yang digunakan adalah matriks X berukuran n x p yang berisi n objek dan p
variabel yang dikoreksi terhadap rata-ratanya dan mempunyai rank r, dapat dituliskan menjadi :
UdanAadalah matriks dengan kolom ortonormal (U'U = A'A =Ӏr) dan L adalah matriks diagonal berukuran r xr dengan unsur unsur diagonalnya adalah
akar dari nilai eigen eigen X'X. Unsur unsur diagonal matriks Lini disebut nilai singular matriksXdan kolom kolom matriksAadalah vektor eigen danX'X.
Kolom kolom untuk matriks U di peroleh dari D =
EFGHIG , i = 1,2,…,r dengan J adalah vektor yang merupakan kolom ke-i dari matriks U, K adalah vektor yang merupakan kolom ke-i dari matriks A dan? adalah nilai eigen ke-i. Unsur unsur diagonal matriksLdidefinisikan LM dengan 0≤ α ≤1 adalah matriks diagonal berukuran r x r dengan unsur unsur diagonalnya E? M E? M ≥ ⋯ ≥ E?OM dan definisi ini berlaku pula untuk L M dengan unsur unsur diagonalnya adalahP? M P? M≥ ⋯ ≥ P?O M (Mattjik dan Sumanjaya, 2011).
Menurut Jolliffe (2010), misalkan G = ULM dan H' = Q! RA' dengan α
besarnya0 ≤ ≤ 1. Persamaan (2.4) menjadi
X=UQRQ! RA'=GH' (2.5)
Maka unsur ke –(i,j) matriks X dapat di tuliskan sebagai berikut:
A =TUVWX (2.6)
dengan i = 1,2,…,n dan j = 1,2,…,p serta TUV dan WX masing-masing merupakan baris matriksGdan kolom matriksH. Pada TUVdan WX mempunyairdimensi. Jika X mempunyai rank dua, vektor baris TUV dan vektor WX dapat digambarkan dalam ruang dimensi dua. Jika X mempunyai rank lebih dua maka persamaan (2.4) menjadi sebagai berikut :
A =∑Y7 JY?YZ[ Y, m < r (2.7) dengan JY adalah elemen ke-(i,k) dari matriks U, R\] adalah elemen ke-(j,k) dari matriksAdan?YZ[ adalah elemen diagonal ke-kdari matriksL.
Jika ada sebanyak m elemen unsure yang dipertahankan, persamaan di atas dapat didekati dengan :
^_` =∑Y7 JY?YZ[ Y, m < r (2.8) ^_` =∑ JY?YM[Z Y7 ?Y M Z [ Y =∑Y7 gYℎY =g∗Vℎ∗
Dengan g∗V dan ℎ∗ masing masing berisi elemen unsur vektor g dan ℎ .Gabriel (1971) mengemukakan bahwa m = 2 disebut biplot, sehingga persamaan yang terakhir dapat di nyatakan sebagai berikut :
2
A
=Td∗Ve\∗ (2.9)dengan 2
A
merupakan unsur pendekatan matriks X pada dimensi dua,sedangkan Td∗V dan WX∗ masing masing mengandung dua unsur pertama vector Td WX.
Dari pendekatan matriks Xpada dimensi dua diperoleh matriksGdanH sebagai berikut : G= f ⋮ f ⋮ f f ⋮ f ⋮ f danH= ℎ ⋮ ℎ ⋮ ℎ$ ℎ ⋮ ℎ ⋮ ℎ$
MatriksG adalah titik-titik koordinat darinobjek dan matriks Hadalah titik-titik koordinat daripvariabel.
Gabriel (1971) menyatakan bahwa ukuran pendekatan matriks Xdengan biplot dalam bentuk sebagai berikut :
g =(FZ∑ 6 F[) Fh i
hjZ (2.10)
Dengan g adalah nilai keragaman,? adalah nilai eigen terbesar ke-1,? adalah nilai eigen terbesar ke-2 dan ?Y , k = 1,2,…,r adalah nilai eigen ke-k. apabila g mendekati nilai satu, maka biplot memberikan gambaran yang semakin baik mengenai informasi data yang sebenarnya.
Menurut Jolliffe (2010) untuk mendeskripsikan biplot perlu mengambil nilai dalam mendefinisikanGdanH. pemilihan nilai padaG = ULαdanH' = L1-α A' bersifat sembarang dengan syarat 0 ≤ ≤ 1. Pengambilan dua nilai yaitu = 0dan = 1berguna dalam interpretasi biplot.
Jika = 0didapatG = UL0= UdanH' = L1-αA' = L1A'sehingga X'X = (GH')'(GH')
= HU'UH'
= HH' (2.11)
Matriks U ortonormal danX'X =(n-1)S dengan n adalah banyaknya objek pengamatan dan S adalah matriks kovarian dari matriksX maka HH' =(n – 1)S. hasil
kaliWVX dan WX adalah sama dengan (n-1) kali kovarian Slm antar variabel ke-jdan variabel ke-k.
Nilai cosinus sudut antar dua vektor peubah menggambarkan korelasi antar kedua peubah. Semakin sempit sudut yang dibuat antara dua variabel maka
semakin tinggi korelasinya. Korelasi peubah ke-j dan ke-k sama dengan nilai cosinus sudut vector WXdanWn.
WX.Wn=oe\ope]p qrs t cos x = yz.yh oyzopyhp= y|zyh oyzopyhp= }zh E}zzE}hh= }zh }z. }h=~Y
Kedekatan antar objek pada gambar biplot dapat dilihat dengan menggunakan jarak Euclid antara Td danT\ sebanding dengan jarak mahalanobis antar objek pengamatan•ddan•\data pengamatan sesungguhnya.
Jarak mahalanobis (€ ) antara dua pengamatan •d dan •\ didefinisikan sebagai berikut :
€ .•d•\/=.xd− x\/V• !.•d− •\/ (2.12) Jarak Euclid (1 ) antara dua pengamatan Td dan T\ didefinisikan sebagai berikut:
1 .T T /=.T − T /V.T − T / (2.13)
Menurut Jolliffe (2010) mengemukakan bahwa € .•d•\/ = (‚ − 1) 1 .T T /. Hal ini dapat dibuktikan dengan persamaan (2.6) sebagai berikut :
A =TVUƒX dengan i=1,2,…,n
dan didistribusikan ke persamaan (2.12) sehingga akan menghasilkan persaman sebagai berikut :
€ .•d•\/=.ƒTd− ƒT\/V• !.ƒTd− ƒT\/
=(‚ − 1).Td− T\/V(Q )V(HVH) !(Q ).Td− T\/ (2.14)
denganH' = LA'( = 0)dan • !=(‚ − 1)(HVH) ! Sedangkan HVH=(„Q ′)V(„Q ′) = ALU'ULA' = AL2A' (2.15) Dan HVH != Q " V (2.16)
Persamaan (2.16) di subtitusikan ke dalam persamaan (2.14) maka akan menghasilkan persamaan sebagai berikut :
€ .•d•\/=(‚ − 1).Td− T\/VQ( ′ )Q "( ′ )Q.Td− T\/ =(‚ − 1).Td− T\/VQQ "Q.Td− T\/,
=(‚ − 1).T − T /V.T − T /, (A= ortonormal) (2.15) Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa Mahalanobis sebanding dengan jarak Euclid mampu menggambarkan posisi objek pengamatan dalam data pengamatan sesungguhnya.
Penerapan konsep SVD ini dimanfaatkan untuk menggambar grafik biplot yaitu dengan mengambil dua komponen awal dari matriks G dan dua komponen awal dari matriksH. (Prihartini,2011)
2.5 Bank Persero
Bank persero atau sering disebut Bank BUMN, pada mulanya didirikan dengan undang-undang tersendiri mengenai bidang tugas masing-masing bank. Namun kegiatan operasionalnya, bank persero tetap patuh pada undang-undang tentang perbankan yang berlaku.
Menurut Siamat (2005) dalam bukunya yang berjudul Manajemen Lembaga Keuangan Kebijakan Moneter dan Perbankan, mengemukakan bahwa Bank Persero, atau sering juga disebut bank pemerintah, adalah bank umum yang secara mayoritas sahamnya dimiliki pemerintah.
Dari pengertian tersebut, dapat ditarik kesimpulan bahwa bank persero (bank pemerintah) merupakan bank yang kepemilikan sebagian atau seluruh sahamnya di kuasai oleh pemerintah. Bank-bank yang termasuk ke dalam kelompok bank persero, antara lain :
1. Bank Negara Indonesia (Persero), Tbk 2. Bank Rakyat Indonesia (Persero), Tbk 3. Bank Tabungan Negara (Persero), Tbk 4. Bank Mandiri (Persero), Tbk
2.6 Kesehatan bank
Menurut Kasmir (2005), penilaian kesehatan bank terdiri dari lima aspek, yaitu :
1. Aspek Permodalan (Capital)
Aspek pertama adalah aspek permodalan (capital) suatu bank. Dalam aspek ini yang dinilai adalah permodalan yang dimiliki oleh bank yang
didasarkan kepada kewajiban penyediaan modal minimum bank. Penilaian tersebut berdasarkan kepada CAR (Capital Adequacy Ratio) yang telah ditetapkan Bank Indonesia (BI).
2. Aspek Kualitas (Assets)
Penilaian kedua adalah mengukur kualitas asset bank. Dalam hal ini upaya yang dilakukan adah untuk menilai jenis-jenis asset yang dimiliki oleh bank. Penilaian Aset harus sesuai dengan ketentuan BI.
3. Aspek Kualitas Manajemen (Management)
Aspek ini digunakan untuk menilai menajemen permodalan, manajemen kualitas aktiva, manajemen umum, manajemen rentabilitas, dan manajemen likuiditas.
4. Aspek Earing
Merupakan aspek digunakan untuk mengukur kemampuan bank dalam meningkatkan keuntungan. Keuntungan ini dilakukan dalam suatu period. Kegunaan aspek ini juga untuk mengukur tingkat efisiensi usaha dan profitabilitas yang dicapai bank yang bersangkutan. Bank yang sehat adalah bank yang dikur secara rentabilitas yang terus meningkat diatas standar yang telah ditetapkan. Penilaian ini meliputi juga hal-hal seperti:
a. Rasio laba terhadap Total Aset (ROA);
b. Perbandingan biaya operasi dengan pendapatan operasi (BOPO). 5. Aspek Likuiditas (Liquidity)
Aspek kelima adalah penilaian terhadap aspek likuiditas bank. Suatu bank dapat dilakukan likuid, apabila bank yang bersangkutan mampu membayar
semua hutangnya terutama hutang-hutang jangka pendek. Dalam hal ini yang dimaksud dengan hutang-hutang jangka pendek yang ada di bank antara lain adalah simpanan masyarakat seperti simpanan tabungan, giro dan deposito. Dikatakan likuid jika pada saat ditagih bank mampu membayar. Kemudian bank juga harus dapat pula memenuhi semua permohonan kredit yang layak dibiayai.
