GERAK BENDA TEGAR. Kinematika Rotasi

GERAK BENDA TEGAR

•

Benda tegar adalah sistem benda yang terdiri atas sistem

benda titik yang jumlahnya tak-hinggadan jika ada gaya yang bekerja, jarak antara titik-titik anggota sistem selalu tetap. Gerak benda tegar terdiri atas

⊲

_{Gerak Translasi}

⊲

_{Gerak Rotasi}

⊲

Kombinasi gerak rotasi dan translasi

Gbr. 1: Gerak rotasi dan translasi pada benda tegar

Kinematika Rotasi

•

Kinematika rotasi adalah mempelajari gerak rotasi benda tegar dengan mengabaikan gaya penyebab gerak rotasi(lihat kinematika translasi). Parameter fisika yang penting dalam kinematika rotasi adalah

1. Perpindahan rotasi(angular)

→

θ

(

rad

)

2. Kecepatan rotasi(angular)

→

ω

(

rad/s

)

3. Percepatan rotasi(angular)

→

α

(

rad/s

2

)

1. Gerak rotasi beraturan

ω

=

tetap

atau

α

= 0

2. Gerak rotasi berubah beraturan

α

6

= 0

→

α >

0

atau

α <

0

dan

ω >

0

artinya ada gerak rotasi dipercepat atau diperlambat.

•

Hubungan Perpindahan, kecepatan dan percepatan angular adalah

θ

=

θo

±

ωo

t

+

1

2

αt

2 (1)

ω

=

ωo

+

αt

(2) dengan

ω

= lim

∆_t→0

∆

θ

∆

t

=

dθ

dt

dan

α

= lim

∆_t→0

∆

ω

∆

t

=

dω

dt

•

Kecepatan dan percepatan angular sebagai vektor

θ ω

v

v r

v

=

ω r

dalam bentuk vektor

v

=

ω

×

r

=

ωr

uθ

ˆ

(3) dimana

uθ

ˆ

adalah vektor satuan tegak lurus jari-jari ling-karan.

•

Percepatan

a

= lim

∆_t→0

∆

v

∆

t

mengarah ke pusat lingkaran

sehingga disebut dengan percepatan sentripetal dan dinya-takan

a

_cp

=

ω

2

r

=

v

2

T

r

,

v

T

=

ω

×

(

ω

×

r

)

(4)

Untuk kecepatan yang tidak tetap, pada arah menyinggung lintasan akan timbul percepatan tangensialatau

a

_T dan hu-bungannya

aT

=

dvT

dt

=

r

dω

dt

=

αr

(5)

Maka percepatan total adalah

a

=

q

a

2_T

+

a

2

cp atau

a

=

−

ω

2

r

ur

ˆ

+

αr

uθ

ˆ

.

Dinamika Rotasi

•

Dinamika gerak rotasi adalah mempelajari gerak rotasi de-ngan memperhitungkan pengaruh gaya yang menyebabkan benda bergerak.

Karena ada pengaruh gaya maka dinamika rotasi meliputi

1. Hukum kekekalan momentum rotasi 2. Hukum kekekalan energi

•

Hukum gerak yang mengatur gerak translasi dan rotasi ada-lah hukum Newton ke-2. yaitu

Gerak translasi

X

F

=

m

a

(6) Gerak rotasi

X

τ

=

Iα

(7)

Momen inersia dan Momen Gaya

•

Momen inersia kecenderungan benda untuk melakukan ge-rak rotasi. Momen inersia tergantung pada bentuk benda, massa dan letak sumbu putar(

r

) dan dinotasikan dengan

I

, satuannya

kg.m

2

Untuk benda-benda yang tidak beraturan jarak sumbu pu-tarnya disebut dengan jari-jari girasi atau

k

•

Momen inersia dapat dibedakan yaitu : benda titik, kumpul-an benda titik dkumpul-an benda kontinyu

I

=

mr

2 (benda titik) (8)

I

=

X

m

i

r

2

i (kelompok benda titik) (9)

I

=

Z

M 0

r

2

dm

(benda kontinyu) (10) r4 r3 r2 r1 O r O m pusat massa r

(a) Satu benda titik

(b) Kelompok benda titik

(c) Benda tegar

✍

Menghitung Momen Inersia

•

Menghitung momen inersia dari batang dengan massa

M

, kerapatan

ρ

Elemen massa

dm

berada pada jarak

x

dari sumbu putar-nya. Karena

ρ

=

M/L

maka

dm

=

ρ dx

=

M/L dx

Iy

=

Z

L 0

x

2

dm

=

Z

L 0

M

L

dx

=

M

L

Z

L 0

x

2

dx

=

M

L

1

3

x

3

L 0

=

1

3

M L

2 dx x L Y x Z

Gbr. 5: Menghitung momen inersia dari batang homogen

•

Menghitung momen inersia dari cincin homogen dengan mas-sa

M

dan jari-jari

R

I

=

Z

r

2

dm

=

R

2

Z

dm

=

M R

2

Y

X

Z

R

Gbr. 6: Menghitung momen inersia dari cincin

✍

Teorema Sumbu Sejajar

•

Teorema sumbu sejajar adalah metode untuk menentuk-an momen inersia dari benda dengmenentuk-an menghubungkmenentuk-an mo-men inersia terhadap pusat dan momo-men inersia pada sumbu yang lain tetapi sejajar

I

=

M h

2

+

Ipm

(11) Y X Z R Sumbu putar

Dari kasus diatas maka momen inersia dari cincin yang di-putar sejauh

h

dari pusat massa adalah

I

=

I

pm

+

M h

2

=

M R

2

+

M R

2

= 2

M R

2

Bagaimana dengan batang yang diputar pada pusat mas-sanya? dx x L Y x Z L/2

Gbr. 8: Momen inersia dari batang dengan teorema sumbu sejajar

Ic

m

=

I

−

M h

2

=

1

2

M L

2

−

1

4

M L

2

=

1

12

M L

2

h F is ik a D a s a r

Gbr. 9: Momen inersia benda-benda uniform dengan berbagai bentuk

@ fi s ik a .u i.a c .id -9

-Momentum Gerak Rotasi

•

Dalam hukum Newton, hubungan antara perubahan mo-mentum linier dengan gaya luar adalah

F

=

d

p

dt

(12)

dimana

p

adalah momentum linier

•

Momentum angular sebuah partikel dinyatakan sebagai

ge-rak partikel dalam lingkaran berjari-jari

r

dengan kecepatan angular

ω

dan dinotasikan dengan

L

L

=

mvr

=

mωr

2

=

Iω

(13)

Untuk kelompok partikel maka momentum angular total-nya adalah jumlah dari masing-masing elemen benda yaitu

Li

=

X

i

•

Sehingga perubahan momentum angular terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai bentuk analog pada Pers(12) ya-itu disebut dengan Torsi

τ

=

dL

dt

=

d

(

Iω

)

dt

=

I

dω

dt

=

Iα

(14)

•

Jika torsi luar yang bekerja pada sistem adalah nol maka dapat dituliskan dari Pers(14) menjadi

dL

dt

= 0

→

I

1

ω

1

=

I

2

ω

2 (15)

Pers(15) dikenal dengan hukum kekekalan momentum

Bukti

L

~

=

~r

×

~

p

dL

dt

=

r

×

dp

dt

+

dr

dt

×

p

=

r

×

dp

dt

+

v

×

mv

=

r

×

dp

dt

Hukum Newton

F

=

d

p

dt

→

r

×

F

=

r

×

dp

dt

τ

=

r

×

dp

dt

=

dL

dt

Energi Kinetik Rotasi

•

Energi kinetik gerak rotasi dinyatakan

EK

=

1

2

Iω

2

(16)

Daya

P

=

τ ω

dan Kerja rotasi

Wrotasi

=

Z

τ dθ

. Hu-kum Kekekalan Energi Kinetik Rotasi

∆

EK

= ∆

EKtrans

+ ∆

EKrotasi

(17)

•

Kerja gerak translasi dan rotasi benda

W

T

=

F d

=

m.a.d

=

m

v

t

v

2

t

=

1

2

mv

2 (18)

WR

=

τ θ

=

Iαθ

=

I

ω

t

ω

2

t

=

1

2

Iω

2 (19)

Gerak rotasi dan gaya tegang tali

•

Persamaan gerak rotasi

X

τ

=

Iα

→

F R

=

Iα

Maka

T

2

−

T

1

=

Ia

R

2, T=gaya tegang tali

•

Persamaan gerak translasi

T

1

−

m

1

g

=

m

1

a

(

beban 1

);

m

2

g

−

T

2

=

m

2

a

(

beban 2

)

T

2

−

T

1

= (

m

2

−

m

1

)

a

+ (

m

2

−

m

1

)

•

Percepatan

a

=

(

m

2

−

m

1

)

gR

2

I

−

(

m

2

−

m

2

)

R

2 (20)

Gerak Rotasi dan Gaya Gesek

•

Pandang sebuah silinder(jari-jari R) yang diletakkan pada bidang horisontal 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 A B C Vcm Vcm Vcm Vcm Vrotasi Vrotasi V=0 A B B A (a) (b) (c)

Gbr. 13: Silinder pada bidang horisontal(a)translasi (b) rotasi dan

(c)rotasi dan translasi

(a) Gerak translasi murni

V

_A

=

V

_B

=

V

_C

=

V

_pm

(b) Gerak rotasi murni terhadap sumbu pusat massa

V

_pm

=

0

, V

A

=

−

ωR, V

B

= +

ωR

(c) Gerak translasi dan rotasi : Gerak dengan sumbu putar melalui pusat massa(

V

_cm atau melalui titik A yang dina-makan sumbu sessaat.

•

Gerak silinder pada bidang horisontal atau miring dapat be-rupa

⊲

Jika bidang licin(tidak ada gesekan) maka silinder akan

berge-rak meluncur(sliding)

⊲

_{Jika bidang tidak licin(ada gaya gesek) maka silinder akan}

N

M g

M g sinθ M g cosθ

f k

Gaya gesek _{Gaya normal}

Silinder

θ

Gbr. 14: Silinder dalam bidang miring

•

Gerak tanpa slip berlaku hubungan

s

=

θR, VT

=

ωR, aT

=

αR

dan disebabkan gaya gesek statik dan jika berputar satu kali, pusat massa ber-pindah sebesar

2

πR

•

Gerak dengan slip diakibatkan ada gaya gesek kinetik. Ji-ka benda berputar tidak sama dengan

2

πR

, mungkin lebih besar atau lebih kecil dari

2

πR

.