DUALITAS RUANG ORLICZ
Hazmy, Sofhara AL. 2014
Karena ketaksamaan Holder yang telah dipelajari pada bab sebelumnya,
Untuk sembarang ℎ ∈ �∗, kita dapat mendefinisikan suatu fungsional linear
kontinu ℓℎ yang memetakan � kedalam ℝ. Oleh sebab itu, secara langsung dapat
diperoleh suatu pemetaan � yang memetakan �∗ kedalam �′ dengan � ℎ = ℓℎ.
Pada bab ini, akan diperlihatkan bahwa pemetaan � adalah suatu isomorfisma.
Sehingga �′ ≅ �∗.
5.1 Dualitas Ruang Orlicz
Untuk sembarang ℎ ∈ �∗, didefinisikan fungsi ℓℎ: � → ℝ dimana
ℓℎ ≔ ∫ ℎ �
�
, ∈ �. . .
Berdasarkan ketaksamaan Holder
|ℓℎ | ‖ℎ‖�∗‖ ‖� < ∞.
Karenanya ℓℎ adalah fungsional linier kontinu pada �.
Lema 5.1.1
Misalkan ℎ fungsi terukur.
a) Jika ℎ ∈ untuk semua ∈ �, maka ℎ ∈ �∗.
b) Misalkan finite. Jika ℎ ∈ untuk semua ∈ �, maka ℎ ∈ �∗.
a) Misalkan ℎ suatu fungsi terukur sedemikian sehingga ℎ ∈ untuk semua
∈ �. definisikan ℎ� ≔ |ℎ| . Karena � ukuran �-hingga terdapat barisan
naik berukuran hingga {��}�=∞ sedemikian sehingga � = ⋃∞�= ��. Definisikan
ℓ�,� ≔ ∫ ���ℎ� �
�
= ∫ ℎ� � ��
Untuk setiap ∈ �.
Karena, ℎ� , maka terdapat sedemikian sehingga ℎ� <
sup , akibatnya ∫� ∗(��� ℎ�) � ∗ ℎ� � �� < ∞, maka
���ℎ� ∈ �. Berdasarkan ketaksamaan Holder,
|ℓ�,� | ‖���ℎ�‖�∗‖ ‖�, menunjukkan ℓ�,� fungsional linear kontinu pada
�, dan untuk semua , � ,
|ℓ�,� | ∫ ���ℎ�| | �
�
∫|ℎ|| | �
�
= < ∞,
Sehingga lim�,�→∞ℓ�,� ada untuk setiap . Berdasarkan teorema
Banach-Saks-Steinhaus, keluarga {ℓ�,� } terbatas seragam. Dengan kata lain terdapat
> sedemikian sehingga
‖ℓ�,�‖�
untuk semua , �.
Dilain pihak, Karena ℎ� dan terukur pada �, maka ∫ ℎ� � �
� suatu
ukuran, sehingga ketika � → ∞, ℓ�,� → ∫ ℎ� � �. Karena ketika → ∞,
ℎ� → ℎ titik demi titik, berdasarkan teorema kekonvergenan monoton
lim
�,�→∞ℓ�,� = lim�,�→∞ ∫ ℎ� � ��
= ∫ ℎ �
�
.
Sehingga
|ℎ|�∗ = sup {∫ ℎ � �
| ∈ �, ‖ ‖� }
= sup { lim�,�→∞ℓ�,� | ∈ �, ‖ ‖� }
sup{ ‖ ‖� | ∈ �, ‖ ‖� }
= < ∞.
Berdasarkan proposisi 4.1.17, ‖ℎ‖�∗ |ℎ|�∗ < ∞. Sehingga ℎ ∈ �∗.
b) bukti b) serupa dengan a), cukup dengan menukar |ℎ|�∗ dengan �∗ ℎ .
Lema 5.1.3
Ruang � � padat dalam �.
Bukti. Untuk kasus ⊊ ℝ, � = { }. � � = � padat dalam �.
Misalkan = ℝ dan sembarang anggota �. Untuk setiap ,
didefinisikan � ∶= − . � ∈ � �. Jelas lim�→∞ � = titik demi
titik. Untuk setiap , misalkan � ≔ {� ∈ �|| � | > }, diperoleh ‖ − �‖� =
‖ ���‖�. Untuk setiap > , ��� konvergen ke titik demi demi titik ketika
→ ∞. Oleh sebab itu ( ���) konvergen titik demi titik ke = ketika
→ ∞. Karena ( ���) terdominasi oleh , berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue
lim
�→∞∫ ( ���) � �
Berdasarkan Lema 4.1.9, ‖ − �‖� = ‖ ���‖
� = . Terbukti.
Lema 5.1.4
Jika = ℝ dan � � < ∞ maka dual �′ dari � isomorfik dengan �∗.
Yaitu
�′ ≅ �∗.
Bukti. Akan dibuktikan untuk setiap ℓ ∈ �′ terdapat ℎ ∈ �∗ tungggal
sedemikian sehingga ℓ = ℓℎ.
Untuk semua ℎ ∈ �∗, ℓℎ yang didefinisikan pada . . adalah fungsional linear
kontinu. Selanjutnya akan dibutktikan pemetaan yang memetakan
�∗ ⟶ �′
dimana
ℎ ⟶ ℓℎ
adalah pemetaan pada (onto).
Definisikan � � ∶= ℓ �� , � ∈ Σ. Karena � ukuran �-hingga, misalkan � , � , ⋯
himpunan-himpunan terukur disjoin sedemikian sehingga � = ⋃∞�= ��. Karena
� � = ∑∞�= � �� < ∞, maka lim�→∞∑∞�=�+ � �� = , konsekuensinya
lim
�→∞‖�� − ∑ ���
�
�=
‖
�
= lim�→∞‖ ∑ ���
∞
�=�+
‖
�
= lim�→∞[inf { > | ∫ ∑∞�=�+ ��� �
�
}]
= lim�→∞[inf { > | ∫ ( ) ∑ ∫ �
��
∞
�=�+ �
= lim�→∞[inf { > | ∫ ( ) ∑ � ��
Untuk menunjukkan � ukuran bertanda (signed measure), akan ditunjukkan ruas
atau
|� � | = ∑|�(���)|
∞
�=
konvergen. Sehingga � ukuran bertanda. Perhatikan bahwa, jika � ∈ Σ dengan
� � = , maka �� merepresentasikan fungsi nol �-a.e pada �, sehingga
� � = ℓ �� = . Akibatnya � kontinu mutlak. Berdasarkan teorema
Radon-Nikodym, terdapat fungsi ℎ yang terintegralkan pada � sedemikian sehingga
ℓ �� = � � = ∫ ℎ �
�
.
Akibatnya untuk sembarang fungsi simpel ∈ �,
ℓ = ∫ ℎ �
�
.
Oleh sebab itu, jika ∈ � � maka
ℓ = ∫ ℎ �
�
.
Misalkan + ≔ , − ≔ − , + ≔ �{�∈�|ℎ � ≥ }, dan − ≔
�{�∈�|ℎ � < }, sehingga untuk semua ∈ �,
ℓ = ℓ + + + ℓ + − − ℓ − + − ℓ − − , . .
dimana + +, + −, − +, − −adalah fungsi-fungsi nonnegatif. Padahal, Untuk
semua , ∈ �, berdasarkan konsekuensi Teorema kekonvergenan
terdominasi (lihat bukti Lema 5.1.3), lim�→∞ = . Karena ℓ kontinu,
lim�→∞ℓ = ℓ . Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton,
lim
�→∞ ∫ ℎ
{�∈�|ℎ � ≥ }
� = ∫ ℎ �
dan
lim
�→∞ ∫ ℎ
{�∈�|ℎ � < }
� = ∫ ℎ �
{�∈�|ℎ � < }
,
akibatnya
lim
�→∞∫ ℎ �
� = ∫ ℎ �
�
.
Berdasarkan hasil ini dan persamaan . . , diperoleh
ℓ = ∫ ℎ �
�
untuk semua ∈ �. Berdasarkan Lema 5.1.2 b), ℎ ∈ �∗. Terbukti.
Proposisi 5.1.7
Jika = ℝ, maka dual �′ dari � isomorfik dengan �∗. Yaitu
�′ ≅ �∗.
Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus � � = ∞.
Untuk semua ℎ ∈ �∗, ℓℎ yang didefinisikan pada . . adalah fungsional linear
kontinu. Seperti pada bukti Lema 5.1.4, akan dibutktikan pemetaan yang
memetakan
�∗ ⟶ �′
dimana
ℎ ⟶ ℓℎ
Misalkan {��}�=∞ adalah barisan naik dari himpunan-himpunan terukur
Karena ℓ fungsional linear terbatas, maka
Berdasarkan . . , �∗ ℎ ‖ℎ‖�∗. Oleh sebab itu, ‖ℎ‖�∗ < ∞,
menunjukkan ℎ ∈ �∗.
Definisikan � = pada �� dan � = pada � − ��, berdasarkan ketaksamaan
Holder, ℎ terintegralkan pada �, dan |ℎ �| |ℎ | �-a.e pada �. Berdasarkan
Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue,
lim
�→∞∫ ℎ � � �
= ∫ ℎ
�
� . .
Dilain pihak, � → titik demi titik pada �. Ambil sembarang , maka
( �− ) → titik demi titik �-a.e pada �. Berdasarkan Teorema
kekonvergenan monoton,
lim
�→∞∫ ( �− ) �
� = . .
Berdasarkan Lema 4.1.9, ‖� − ‖� = . Karena ℓ kontinu, maka
lim
�→∞ℓ � = ℓ . . .
Padahal, untuk setiap
ℓ � = ∫ ℎ� � � ��
= ∫ ℎ � � �
.
