Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
Pemodelan Arus Terobosan Langsung pada MOS Dioda
dengan Metode Transfer Hamiltonian dan Teknik Integrasi
Gauss-Legendre
Christoforus Bimo* dan Khairurrijal
#Institut Teknologi Bandung *Email: christoforusbimo@yahoo.com
#
Email: krijal@fi.itb.ac.id
Abstrak. Dalam paper ini arus terobosan pada gate MOSFET n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) diturunkan dengan
menggunakan model potensial barier berbentuk trapesium dengan metode transfer hamiltonian. Persamaan arus terobosan yang bergantung pada tegangan dan tebal oxida hasil dari pemodelan kemudian kami hitung secara numerik dengan menggunakan teknik pengintegrasian Gauss-Legendre. Hasil karakteristik kurva arus-tegangan yang kami hitung kemudian kami bandingkan dengan hasil eksperimen.
Kata kunci: Pemodelan, Arus Terobosan, Gate MOSFET.
PENDAHULUAN
Miniaturisasi divais elektronika terus dilakukan dan dikembangkan untuk memaksimalkan kecepatan, biaya pembuatan, dan konsumsi daya perfungsi. Kendala dari miniaturisasi ini salah satunya adalah arus bocor yang mulai signifikan nilainya ketika ukuran divais mulai memasuki skala nanometer. Terdapat beberapa titik kebocoran arus yang mungkin terjadi pada MOSFET dan salah satunya adalah kebocoran pada MOS diode pada gate transistor yang tersusun dari n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) yang akan terjadi jika kita terus mempertipis tebal oxide yang dipakai. Sedangkan mempertipis tebal oksida penting dilakukan untuk mengatur nilai kapasitansi oksida yang perlu diperbesar juga nilainya untuk memaksimalkan arus on agar divais bekerja cepat dan efektif. Oksida juga perlu dipertipis untuk mengatur nilai tegangan threshold agar tidak terlalu kecil ketika kita ingin memperpendek channel transistor. Oleh sebab itu dibutuhkan pemodelan yang akurat tentang arus terobosan pada gate okside untuk mendesain transistor MOSFET yang berukuran kecil.
Arus terobosan ini dapat diturunkan dari solusi persamaan Schrodinger yang diselesaikan dengan syarat batas menggunakan metode transfer hamiltonian pada barier berbentuk trapesium dan memasukannya ke dalam persamaan umum untuk arus terobosan yang sudah diturunkan oleh Khairurrijal [1]. Dari hasil perumusan tersebut, dapat kita cari dan plot grafiknya dengan menggunakan teknik integrasi numerik Gauss-Legendre. Dalam paper ini akan diturunkan kembali
persamaan umum untuk arus terobosan dan dilakukan pencarian grafik plot antara tegangan oxide terhadap arus terobosan pada gate untuk beberapa ketebalan oxida yang sebelumnya telah disusun dan dieksperimenkan oleh Khairurrijal. Kami juga telah menghitung hasil pemodelan dengan teknik integrasi Gauss-Legendre yang dilakukan dengan memasukkan nilai parameter yang ada pada paper sebelumnya termasuk hasil fitting nilai massa efektif pada oxide yang berbeda pada tiap ketebalan oxida.
MODEL TEORI
Model potensial barier yang menggambarkan struktur MOS dioda pada gate n+ poly-Si/SiO2/p-Si(100) saat flat-band dan saat diberi tegangan bias negatif ditunjukan pada gambar 1 [2]. Rapat arus terobosan total dari elektron melalui potensial barier merupakan selisih antara arus total elektron dari daerah a ke b dengan b ke a.
(1)
Rapat arus total elektron terobosan dari keadaan a ke keadaan b ( ) dapat dituliskan sebagai
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
Dimana adalah probabilitas per waktu terjadinya transisi elektron dari keadaan a ke keadaan b yang dapat dituliskan sebagai
(3)
GAMBAR 1. Model potensial barier dari n+poly-Si/SiO2
/p-Si(100)
Dengan adalah matriks elemen transisi dari keadaan a ke b, , , , masing-masing adalah rapat keadaan di a, di b, dan fungsi distribusi fermi-dirac di a dan di b yaitu
dan
. Untuk rapat arus total dari keadaan b ke a sama seperti pada persamaan 2 dan 3 dengan membalikkan subskrip a menjadi b dan b menjadi a. Matriks elemen yang kita dapat dari kedua jenis arus sama besarnya yaitu
. Dengan demikian persamaan 1 dapat kita tuliskan menjadi
(4)
bagian integral ke-2 dari persamaan 4 diatas dapat disederhanakan lagi dengan kalkulus dasar sehingga persamaan 4 menjadi
(5)
Matriks elemen transisi dapat kita kaji dengan melihat lagi bentuk potensial barier yang dapat kita bagi menjadi 3 daerah potensial yaitu
(6)
Yang dengan menggunakan metode hamiltonian menghasilkan solusi persamaan gelombang
Untuk daerah 1 :
(7)
Daerah 2 :
(8)
dan
(9)
Daerah 3 :
(10)
dimana dan
adalah momentum elektron pada daerah 1 dan 3, sedangkan adalah
momentum elektron pada daerah 2, , dan
.
Dengan menerapkan syarat batas dan
kontinyu di dan kita bisa mendapatkan nilai dan sehingga rapat arus dapat diturunkan dengan memasukkan nilai-nilai solusi dari dan masing-masing ke dan
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
(11)
Dari persamaan rapat arus 25, dapat kita hasilkan matriks elemen transisi yang hanya merupakan perkalian arus dengan . Dengan memasukkan nilai rapat keadaan di a dan b sebagai
dan
kita bisa dapatkan
(12)
Persamaan 32 dapat kita sederhanakan lagi dengan mendefinisikan momentum rata-rata di dalam oxida
dengan sehingga
nilai-nilai , , dan dalam persamaan 32 dapat diganti dengan menjadi
(13)
Dengan
(14)
Sehingga persamaan 3 dapat diubah menjadi
(15)
Karena pada daerah dan ada 2 massa elektron yang mungkin maka rapat arus pada persamaan itu dimodifikasi menjadi
(16)
Dimana
(17)
Dan
(18)
Dan karena pada daerah ternyata bersar bergantung pada ketebalan oksida maka
(19)
Persamaan diatas dapat diintegrasikan dengan batas energi elektron pada semua kemungkinan energi yaitu 0 hingga . Namun karena pada daerah sudah bukan daerah tunneling, maka daerah tersebut kita eliminasi. Dan karena pada daerah
bukan merupakan daerah direct tunneling melainkan Fowler-Nordheim maka daerah tersebut juga kita eliminasi. Sehingga hanya perlu diintegrasi pada daerah dari 0 sampai .
Kita menggunakan matode Gauss-Legendre untuk menghitung integralnya. Formula umum integral Gauss-Legendre adalah
(20)
Karena yang diperlukan adalah integrasi variabel dengan batas dari sampai
maka kita dapat lakukan dengan mengubah variabel
(21)
Turunkan sekali
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
sehingga untuk batas integrasi dari sampai menjadi
(23)
Dengan dan adalah weight dan node dari pendekatan integral gauss kuadratur secara umum untuk 10 point yang dapat dilihat pada tabel 1.
Sedangkan dan
adalah penyederhanaan biasa.
Untuk mendapatkan plot grafik hubungan antara pengaruh tegangan yang diberikan pada oxide
terhadap rapat arus maka kita hitung integral fungsi pada persamaan itu untuk setiap titik dari angkan mendekati 0 hingga 2,5 . Dan untuk melihat bagaimana pengaruh tebal barrier oxide kita plot untuk dari mendekati 0 hingga 2,5 V untuk 6 nilai-nilai yang berbeda yaitu 1.65, 2.17, 2.51, 2.80, 3.50, dan 3.90 nm.
Tabel 1. Node dan Weight yang digunakan dalam
integrasi Gauss-Legendre
HASIL DAN DISKUSI
Dalam perhitungan ini digunakan massa efektif elektron searah sumbu pada oxida sesuai dengan hasil fitting paper Khairurrijal [1] yang dapat dilihat dalam tabel 2.
Tabel 2. Massa efektif elektron yang digunakan dalam
perhitungan pada tiap nilai tebal oxida yang berbeda
Tebal oxide (nm) Massa efektif elektron
1.65 0.70
Massa efektif elektron pada daerah 1 dan 3 yaitu pada n+ poly-Si dan p-Si(100) yang digunakan dalam
perhitungan ini dapat dilihat dalam tabel 3.
Tabel 3. Degenerasi, massa normal, dan density of
state mass elektron parameter kristal p-Si(100)
Lembah Lower (1) Higher (2)
Degenerasi 2 4
Massa normal 0.910* 0.190* Density of state mass 0.190* 0.417*
Hasil perhitungan yang menghasilkan plot tegangan oxide dengan rapat arus terobosan pada gate oxide MOS yang dilakukan dengan metode integrasi Gauss-Legendre dibandingkan dengan hasil plot paper Khairurrijal. Plot hasil perhitungan kami dapat dilihat pada grafik 1 sedangkan untuk melihat grafik perhitungan pada tegangan rendah dapat dilihat pada grafik 2.
GAMBAR 1. Hasil plot rapat arus terobosan terhadap
Seminar Nasional Material 2013 | Fisika – Institut Teknologi Bandung
GRAFIK 2. Hasil plot arus terobosan pada tegangan kecil
REFERENSI
1. Khairurrijal, W. Mizubayashi, S. Miyazaki, and M. Hirose, J.Appl. Phys. 87, 3000 (2000).
