Menyelesaikan persamaan linier dengan pendekatan matriks.
ELIMINASI GAUSS
Persamaan Umum Gauss
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3
…
a1n Xn = b1E1
a
21
X1 +a
22
X2 +a
23
X3… a
2n
Xn = b2 E2a31 X1 + a23 X2 + a33 X3
…a
3n
Xn = b3 E3⋮ ⋮ ⋮
⋮
=⋮
⋮
am1 X1 + am2 X2 + am3 X3
… a
mn
Xn = bn EnContoh soal : Matriks 3X3
1. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 5X2 + 0X3 = 4 E1
2X1 – 2X2 + 3X3 = 8 E2
2X1 + 1X2 + 5X3 = 12 E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X1 dari persamaan E2 dengan syarat a11≠0
.
Rumus : E2’ = E2 – m21 . E1
E3’ = E3 – m31 . E1
m21 =
a
a
21
11
a21
’
¿
a
21
−
a
21
a
11
. a
11
=
0
a22’
¿
a
22
−
a
21
a
11
. a
12
¿
−
2
−
2
4
(
5
)
¿
−
9
2
a
23
’
¿
a
23
−
a
21
a
11
.a
13
b
2
’
¿
b
2
−
a
21
a
11
. b
1
¿
3
−
2
4
(
0
)
¿
8
−
2
4
(
4
)
¿
3
¿
6
Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat a11≠0 .
a
31
’
¿
a
31
−
a
31
a
11
. a
11
=
0
a
32
’
¿
a
32
−
a
31
a
11
. a
12
¿
1
−
2
4
(
5
)
¿
−
3
2
a33
’
¿
a
33
−
a
31
a
11
.a
13
b3’
¿
b
3
−
a
31
a
11
.b
1
¿
5
−
2
4
(
0
)
¿
12
−
2
4
(
4
)
¿5 ¿10
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
−
9
2
X2 + 3X3 = 6 E2’
−
2
3
X2 + 5X3 = 10 E3’Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara :
a 32’’
¿
a 32 ’
−
a
32 '
a
22'
. a
22 '
=
−
3
2
−
(
−
3
2
−
9
2
)
.
(
−
9
2
)
= 0
a 33’’
¿
a 33 ’
−
a
32'
a
22'
.a
23
’
b 3’’¿
b
3 ’
−
a
32 '
a
22'
. b
2
’
=
5
−
(
−
3
2
−
9
2
)
.
3
=10
−
(
−
3
2
−
9
2
)
.
6
= 4 =
8
Kemudian didapatkan :
a.
X3 =a
b
33 ''
3''
=
8
4
X3 = 2
b.
−
9
2
X2 + 3X3 = 6−
9
2
X2 + 3(
2)
= 6c.
4
X1 + 5X2 + 0X3= 44 X1 + 5
(
0
)
= 4X1 = 1
2. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
2X1 + 5X2 + 4X3 = 4 E1
2X1 + 7X2 + 3X3 = 8 E2
9X1 – 2X2 + 6X3 = 12 E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X1 dari persamaan E2 dengan syarat a11≠0
.
Rumus : E2’ = E2 – m21 . E1
E3’ = E3 – m31 . E1
m21 =
a
a
21
11
m31 =
a
a
31
11
a21
’
¿
a
21
−
a
21
a
11
. a
11
=
0
a22’
¿
a
22
−
a
21
a
11
. a
12
¿
7
−
2
2
(
5
)
¿
2
a23
’
¿
a
23
−
a
21
a
11
.a
13
b2’
¿
b
2
−
a
21
¿
3
−
2
2
(
4
)
¿
8
−
2
2
(
4
)
¿
−
1
¿
4
Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat a11≠0 .
a
31
’
¿
a
31
−
a
31
a
11
. a
11
=
0
a
32
’
¿
a
32
−
a
31
a
11
. a
12
¿
−
2
−
9
2
(
5
)
¿
−
49
2
a33
’
¿
a
33
−
a
31
a
11
.a
13
b3’
¿
b
3
−
a
31
a
11
.b
1
¿
6
−
9
2
(
4
)
¿
12
−
9
2
(
4
)
¿−12 ¿−6
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 5X2 + 4X3 = 4 E1
2X2 - X3 = 4 E2’
−
49
2
X2 - 12X3 = -6 E3’Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara :
a 32’’
¿
a 32 ’
−
a
32 '
=
−
49
2
−
(
−
49
2
2
)
.
(
2
)
=
0
a 33’’
¿
a 33 ’
−
a
32'
a
22'
.a
23
’
b 3’’¿
b
3 ’
−
a
32 '
a
22'
. b
2
’
¿
−
12
−
(
−
49
2
2
)
.
−
1
¿
−
6
−
(
−
49
2
2
)
.
4
¿
−
97
4
¿43Kemudian didapatkan :
X3 =
a
b
33 ''
3''
=
43
−
97
4
X3 =
−
97
172
2X2 - 1X3 = 4
2X2 - 1
(
−
97
172
)
= 4X2 =
108
97
2X1 + 5X2 + 4X3 = 4
2X1 + 5
(
108
97
)
+ 4(
−
172
97
)
= 43. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 5X2 + 1X3 = 4 E1
3X1 + 9X2 - 3X3 = 8 E2
5X1 - 1X2 + 5X3 = 12 E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X1 dari persamaan E2 dengan syarat
a
11
≠
0
.
Rumus : E2’ = E2 – m21 . E1
E3’ = E3 – m31 . E1
m21 =
a
a
21
11
m31 =
a
a
31
11
a
21
’
¿
a
21
−
a
21
a
11
. a
11
=
0
a
22
’
¿
a
22
−
a
21
¿
9
−
3
4
(
5
)
¿
21
4
a23
’
¿
a
23
−
a
21
a
11
.a
13
b2’
¿
b
2
−
a
21
a
11
. b
1
¿
−
3
−
3
4
(
1
)
¿
8
−
3
4
(
4
)
¿
−
15
4
¿5Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat a11≠0 .
a
31
’
¿
a
31
−
a
31
a
11
. a
11
=
0
a
32
’
¿
a
32
−
a
31
a
11
. a
12
¿
−
1
−
5
4
(
5
)
¿
−
29
4
a33
’
¿
a
33
−
a
31
a
11
.a
13
b3’
¿
b
3
−
a
31
a
11
.b
1
¿
5
−
5
4
(
1
)
¿
12
−
5
4
(
4
)
¿
15
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 5X2 + 1X3 = 4 E1
21
4
X2-
15
4
X3 = 5 E2’
-
29
4
X2-
15
4
X3 = 7 E3’Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara : a 32’’
¿
a 32 ’
−
a
32 '
a
22'
. a
22 '
=
−
29
4
−
(
−
29
4
21
4
)
.
(
21
4
)
= 0
a
33’’¿
a 33 ’
−
a
32'
a
22'
.a
23
’
b
3’’¿
b
3 ’
−
a
32 '
a
22'
. b
2
’
=
15
4
−
(
−
29
4
21
4
)
.
(
−
15
4
)
=7
−
(
−
29
4
21
4
)
.
5
=
−
7
10
=292
21
Kemudian didapatkan :
=
292
21
−
10
7
X3 =
−
146
15
21
4
X2−
15
4
X3 = 521
4
X2−
15
4
(
−
146
15
)
= 5X2 = −6
4X1 + 5X2 + 1X3 = 4
4X1 + 5
(
−6)
+ 1(
−
146
15
)
= 4X1 =
656
60
Contoh soal : Matriks 4X4
1. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4 = 4 E1
6X1 + 4X2 + 7X3 + 2X4 = 8 E2
1X1 + 5X2 + 0X3 + 2X4 = 12 E3
3X1 + 8X2 + 4X3 + 3X4 = 16 E4
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X1 dengan syarat
a
11
≠
0
.Rumus : E2’ = E2 – m21 . E1 E3’ = E3 – m31 . E1
E4’ = E4 – m41 . E1
m21 =
a
a
21
11
m31 =a
a
31
11
m41 =
a
a
41
11
Pada E2 :
a21
’
¿
a
21
−
a
21
a
11
. a
11
=
0
a22’
¿
a
22
−
a
21
a
11
. a
12
¿
4
−
6
4
(
2
)
¿
1
a23
’
¿
a
23
−
a
21
a
11
.a
13
a24’
¿
a
24
−
a
21
a
11
. a
14
¿
7
−
6
4
(
3
)
¿
2
−
6
4
(
5
)
¿
10
4
¿
−
22
4
b2
’
¿
b
2
−
a
21
a
11
. b
1
¿
8
−
6
4
(
4
)
Pada E3 :
a31
’
¿
a
31
−
a
31
a
11
. a
11
=
0
a32’
¿
a
32
−
a
31
a
11
. a
12
¿
5
−
1
4
(
2
)
¿
9
2
a
33
’
¿
a
33
−
a
31
a
11
.a
13
a
34
’
¿
a
34
−
a
31
a
11
. a
14
¿
0
−
1
4
(
3
)
¿
2
−
1
4
(
5
)
¿
−
3
4
¿
3
4
b
3
’
¿
b
3
−
a
31
a
11
.b
1
¿
12
−
1
4
(
4
)
¿11
a41
’
¿
a
41
−
a
41
a
11
. a
11
=
0
a42’
¿
a
42
−
a
41
a
11
. a
12
¿
8
−
3
4
(
2
)
¿
13
2
a
43
’
¿
a
43
−
a
41
a
11
. a
13
a
44
’
¿
a
44
−
a
41
a
11
. a
14
¿
4
−
3
4
(
3
)
¿
3
−
3
4
(
5
)
¿
7
4
¿
−
3
4
b
4
’
¿
b
4
−
a
31
a
11
. b
1
¿
16
−
3
4
(
4
)
¿13
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, dan E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4 = 4 E1
1X2 +
10
4
X3-
22
4
X4= 2 E2’
9
2
X2-
3
4
X3 +3
4
X4 = 11 E3’a 44’’
¿
a
44 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
24
’
b 4’’¿
b
4 ’
−
a
42'
a
22'
. b
2
’
=
−
3
4
−
(
13
2
1
)
.
(
−
22
4
)
=
13
−
(
13
2
1
)
.
2
= 35 =
0
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, dan E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4 = 4 E1
1X2 +
10
4
X3-
22
4
X4= 2 E2’
-
12 X3 +102
4
X4 = 2 E3’’-
58
4
X3 +35
X4 = 0 E4’’Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4, dengan cara :
Pada E4 :
a 43’’’
¿
a
43 ’’
−
a
43 ''
a
33 ''
. a
33 ' '
=
−
58
4
−
(
−
58
4
−
12
)
.
(−
12
)
a 44’’’
¿
a
44 ’’
−
a
43''
a
33 ''
. a
34
’’
b 4’’ ’¿
b
4 ’’
−
a
43 ''
a
33 ''
.b
3
’’
=
35
−
(
−
58
4
−
12
)
.
(
102
4
)
=
0
−
(
−
58
4
−
12
)
.
2
=
201
48
=−
12
29
Setelah mengeliminasi X3 pada E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4 = 4 E1
1X2 +
10
4
X3-
22
4
X4= 2 E2’
-
12
X3 +102
4
X4 = 2 E3’’-
201
48
X4 =-
29
12
E4’’’Kemudian didapatkan :
X4 =
a
b
44 '''
4 '''
=
−
29
12
201
48
X4 =
−
116
201
-
12
X3+
102
4
X4 = 2-
12 X3+
102
4
(
−
201
116
)
= 21X2 +
10
4
X3-
22
4
X4 = 21X2 +
10
4
(
−
201
280
)
-
22
4
(
−
201
116
)
= 2X2 =
464
201
4X
1+ 2X
2+ 3X
3+ 5X
4 = 44 X1 +
2
(
464
201
)
+3
(
−
201
280
)
+5
(
−
201
116
)
= 4X1 =
324
201
Contoh soal : Matriks 5X5
2. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5 = 4 E1
4X1 + 5X2 + 6X3 + 1X4 - 4X5 = 8 E2
2X1 + 3X2 + 1X3 + 3X4 + 2X5 = 12 E3
0X1 + 2X2 + 5X3 + 1X4 - 2X5 = 16 E4
2X1 + 3X2 + 6X3 + 3X4 + 7X5 = 20 E5
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X1 pada E2 sampai E5 dengan syarat a11≠0
.
Rumus : E2’ = E2 – m21 . E1 E3’ = E3 – m31 . E1
m21 =
a
a
21
11
m31 =a
a
31
11
m41 =
a
a
41
11
m51 =a
a
51
11
Pada E2 :
a21
’
¿
a
21
−
a
21
a
11
. a
11
=
0
a22’
¿
a
22
−
a
21
a
11
. a
12
¿
5
−
4
2
(
3
)
¿
−
1
a23
’
¿
a
23
−
a
21
a
11
.a
13
a24’
¿
a
24
−
a
21
a
11
. a
14
¿
6
−
4
2
(
4
)
¿
1
−
4
2
(
3
)
¿−2 ¿−5
a
25
’
¿
a
25
−
a
21
a
11
.a
15
b
2
’
¿
b
2
−
a
21
a
11
. b
1
¿
−
4
−
4
2
(−
4
)
¿
8
−
4
2
(
4
)
¿
4
¿
0
a31
’
¿
a
31
−
a
31
a
11
. a
11
=
0
a32’
¿
a
32
−
a
31
a
11
. a
12
¿
3
−
2
2
(
3
)
¿
0
a33
’
¿
a
33
−
a
31
a
11
.a
13
a34’
¿
a
34
−
a
31
a
11
. a
14
¿
1
−
2
2
(
4
)
¿
3
−
2
2
(
3
)
¿−3 ¿0
a
35
’
¿
a
35
−
a
31
a
11
.a
15
b
3
’
¿
b
3
−
a
31
a
11
.b
1
¿
2
−
2
2
(−
4
)
¿
12
−
2
2
(
4
)
¿
6
¿
8
Pada E4 :
a
41
’
¿
a
41
−
a
41
a
11
. a
11
=
0
a
42
’
¿
a
42
−
a
41
¿
2
−
0
2
(
3
)
¿2
a
43
’
¿
a
43
−
a
41
a
11
. a
13
a
44
’
¿
a
44
−
a
41
a
11
. a
14
¿
5
−
0
2
(
4
)
¿
1
−
0
2
(
3
)
¿
5
¿
1
a45
’
¿
a
45
−
a
41
a
11
. a
15
b4’
¿
b
4
−
a
41
a
11
. b
1
¿
−
2
−
0
2
(−
4
)
¿
16
−
0
2
(
4
)
¿−2
¿16
Pada E5 :
a
51
’
¿
a
51
−
a
51
a
11
. a
11
=
0
a
52
’
¿
a
52
−
a
51
a
11
. a
12
¿
3
−
2
2
(
3
)
a53
’
¿
a
53
−
a
51
a
11
. a
13
a54’
¿
a
54
−
a
51
a
11
. a
14
¿
6
−
2
2
(
4
)
¿
3
−
2
2
(
3
)
¿2 ¿0
a
55
’
¿
a
55
−
a
51
a
11
. a
15
b
5
’
¿
b
5
−
a
51
a
11
. b
1
¿
7
−
2
2
(−
4
)
¿
20
−
2
2
(
4
)
¿
11
¿
16
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, E4, dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5 = 4 E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5 = 0 E2’
0X2 - 3X3 + 0X4 + 6X5 = 8 E3’
-1X2 + 2X3 + 1X4 - 2X5 = 16 E4’
0X2 + 2X3 + 0X4 + 11X5 = 16 E5’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, E4, dan E5 dengan cara :
Pada E3 :
a 32’’
¿
a
32’
−
a
32 '
a
22'
. a
22'
a 33’’¿
a
33 ’
−
a
32 '
=
0
−
(
0
−
1
)
.
(−
1
)
=−
3
−
(
0
−
1
)
.
−
2
= 0 = −3
a
34’’¿
a
34 ’
−
a
32'
a
22'
.a
24
’
a
35’’¿
a
35 ’
−
a
32 '
a
22'
. a
25
’
=
0
−
(
0
−
1
)
.
(−
5
)
=6
−
(
0
−
1
)
.
(
4
)
=
0
=6
b 3’’
¿
b
3 ’
−
a
32 '
a
22'
. b
2
’
=
8
−
(
0
−
1
)
.
0
=
8
Pada E4 :
a 42’’
¿
a
42 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
22'
a 43’’¿
a
43 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
23
’
=
2
−
(
2
−
1
)
.
(−
1
)
=5
−
(
2
−
1
)
.
−
2
= 0 = 1
a
44’’¿
a
44 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
24
’
a
45’’¿
a
45 ’
−
a
42 '
=
1
−
(
2
−
1
)
.
(−
5
)
=−
2
−
(
2
−
1
)
.
4
= −9 = 6
b
4’’¿
b
4 ’
−
a
42'
a
22'
. b
2
’
=
16
−
(
2
−
1
)
.
0
=
16
Pada E5 :
a
52’’¿
a
52’
−
a
52 '
a
22'
. a
22'
a
53’’¿
a
53 ’
−
a
52 '
a
22'
. a
23
’
=
0
−
(
0
−
1
)
.
(−
1
)
=2
−
(
0
−
1
)
.
−
2
=
0
=2
a 54’’
¿
a
54 ’
−
a
52'
a
22'
. a
24
’
a 55’’¿
a
55 ’
−
a
52 '
a
22'
. a
25
’
=
0
−
(
0
−
1
)
.
(−
5
)
=11
−
(
0
−
1
)
.
4
= 0 = 11
b
5’’¿
b
5 ’
−
a
52 '
=
16
−
(
0
−
1
)
.
0
=
16
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, E4, dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5 = 4 E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5 = 0 E2’
- 3X3 + 0X4 + 6X5 = 8 E3’’
1X3 - 9X4 - 6X5 = 16 E4’’
2X3 + 0X4 + 11X5 = 16 E5’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4 dan E5, dengan cara :
Pada E4 :
a
43’’’¿
a
43 ’’
−
a
43 ''
a
33 ''
. a
32 ''
a
44’’’¿
a
44 ’’
−
a
43''
a
33 ''
. a
34
’’
=
1
−
(
1
−
3
)
.
(−
3
)
=−
9
−
(
1
−
3
)
.
(
0
)
=
0
=−
9
a 45’’’
¿
a
45 ’’
−
a
43 ''
a
33 ''
. a
35
’’
b 4’’ ’¿
b
4 ’’
−
a
43 ''
=
6
−
(
1
−
3
)
.
(
6
)
=16
−
(
1
−
3
)
.
8
=
8
=56
3
Pada E5 :
a 53’’’
¿
a
53 ’’
−
a
53 ''
a
33 ''
. a
32 ''
a 54’’’¿
a
54 ’’
−
a
53 ''
a
33 ''
. a
34
’’
=
2
−
(
2
−
3
)
.
(−
3
)
=0
−
(
2
−
3
)
.
(
0
)
= 0 = 0
a
55’’’¿
a
55 ’’
−
a
53 ''
a
33 ''
. a
35
’’
b
5’’’
¿
b
5 ’’
−
a
53 ''
a
33 ''
. b
3
’’
=
11
−
(
2
−
3
)
.
(
6
)
=16
−
(
2
−
3
)
.
8
= 15 =
64
3
Setelah mengeliminasi X3 pada E4 dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5 = 4 E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5 = 0 E2’
-9X4 + 8X5 =
56
3
E4’’’0X4 + 15X5 =
64
3
E5’’’Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X4 pada persamaan E5, dengan cara :
a 54’’’’
¿
a
54 ’’’
−
a
54 '''
a
44 '' '
. a
44 '''
=
0
−
(
0
−
9
)
.
(−
9
)
=
0
a 55’’’’
¿
a
55 ’’’
−
a
54 '''
a
44 '' '
. a
45 '''
b 5’’ ’ ’¿
b
5 ’’’
−
a
54 '''
a
44 '' '
. b
4
’’’
=
15
−
(
0
−
9
)
.
(
8
)
=64
3
−
(
0
−
9
)
.40
=
15
=64
3
Setelah mengeliminasi X4 pada E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5 = 4 E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5 = 0 E2’
- 3X3 + 0X4 + 6X5 = 8 E3’’
-9X4 + 8X5 =
56
3
E4’’’15X5 =
64
3
E5’’’’Kemudian didapatkan :
=
64
3
15
X5 =
64
45
-9X4
+ 8X5
=56
3
-9X4
+ 8
(
64
45
)
=56
3
X4 =
−
405
328
- 3X3 + 0X4 + 6X5
= 8- 3X3 + 0
(
−
405
328
)
+ 6(
64
45
)
= 8X3 =
45
8
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
= 0-1X2 - 2
(
45
8
)
- 5(
−
405
328
)
+ 4(
64
45
)
= 0X2 =
3800
405
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
= 42X1 + 3
(
3800
405
)
+ 4(
45
8
)
+ 3(
−
405
328
)
- 4(
64
45
)
= 4X1 =
−
405
3390
Contoh soal : Matriks 6X6
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6= 4 E1
5X1 + 3X2 + 6X3 + 2X4 + 1X5 + 4X6= 8 E2
3X1 + 2X2 + 1X3 + 1X4 + 4X5 + 5X6= 12 E3
0X1 + 2X2 + 1X3 + 4X4 + 3X5 + 5X6 = 16 E4
2X1 + 1X2 + 4X3 + 3X4 + 5X5 + 6X6= 20 E5
1X1 + 4X2 + 3X3 + 5X4 + 6X5 + 2X6= 24 E6
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X1 pada E2 sampai E6 dengan syarat
a
11
≠
0
.
Rumus : E2’ = E2 – m21 . E1 E3’ = E3 – m31 . E1
E4’ = E4 – m41 . E1 E5’ = E5 – m51 . E1
E6’ = E6 – m61 . E1
m21 =
a
a
21
11
m31 =a
a
31
11
m41 =
a
a
41
11
m51 =a
a
51
11
m61 =
a
a
61
11
Pada E2 :
a
21
’
¿
a
21
−
a
21
a
11
. a
11
=
0
a
22
’
¿
a
22
−
a
21
a
11
. a
12
¿
3
−
5
4
(
8
)
a23
’
¿
a
23
−
a
21
a
11
.a
13
a24’
¿
a
24
−
a
21
a
11
. a
14
¿
6
−
5
4
(
4
)
¿
2
−
5
4
(
4
)
¿1 ¿−3
a
25
’
¿
a
25
−
a
21
a
11
.a
15
a
26
’
¿
a
26
−
a
21
a
11
. a
16
¿
1
−
5
4
(
0
)
¿
4
−
5
4
(
8
)
¿
1
¿
−
6
b
2
’
¿
b
2
−
a
21
a
11
. b
1
¿
8
−
5
4
(
4
)
¿3
Pada E3 :
a31
’
¿
a
31
−
a
31
a
11
. a
11
=
0
a32’
¿
a
32
−
a
31
a
11
. a
12
¿
2
−
3
4
(
8
)
a33
’
¿
a
23
−
a
31
a
11
.a
13
a34’
¿
a
24
−
a
31
a
11
. a
14
¿
1
−
3
4
(
4
)
¿
1
−
3
4
(
4
)
¿−2 ¿−2
a
35
’
¿
a
25
−
a
31
a
11
.a
15
a
36
’
¿
a
26
−
a
31
a
11
. a
16
¿
4
−
3
4
(
0
)
¿
5
−
3
4
(
8
)
¿
4
¿
−
1
b
3
’
¿
b
3
−
a
31
a
11
.b
1
¿
12
−
3
4
(
4
)
¿9
Pada E4 :
a41
’
¿
a
41
−
a
41
a
11
. a
11
=
0
a42’
¿
a
42
−
a
41
a
11
. a
12
¿
2
−
0
4
(
8
)
a43
’
¿
a
43
−
a
41
a
11
. a
13
a44’
¿
a
44
−
a
41
a
11
. a
14
¿
1
−
0
4
(
4
)
¿
4
−
0
4
(
4
)
¿1 ¿4
a
45
’
¿
a
45
−
a
41
a
11
. a
15
a
46
’
¿
a
46
−
a
41
a
11
.a
16
¿
3
−
0
4
(
0
)
¿
5
−
0
4
(
8
)
¿
3
¿
5
b
4
’
¿
b
4
−
a
41
a
11
. b
1
¿
16
−
0
4
(
4
)
¿16
Pada E5 :
a51
’
¿
a
51
−
a
51
a
11
. a
11
=
0
a52’
¿
a
52
−
a
51
a
11
. a
12
¿
1
−
2
4
(
8
)
a53
’
¿
a
53
−
a
51
a
11
. a
13
a54’
¿
a
54
−
a
51
a
11
. a
14
¿
4
−
2
4
(
4
)
¿
3
−
2
4
(
4
)
¿2 ¿1
a
55
’
¿
a
55
−
a
51
a
11
. a
15
a
56
’
¿
a
56
−
a
51
a
11
.a
16
¿
5
−
2
4
(
0
)
¿
6
−
2
4
(
8
)
¿
5
¿
2
b
5
’
¿
b
5
−
a
51
a
11
. b
1
¿
20
−
2
4
(
4
)
¿18
Pada E6 :
a
61
’
¿
a
61
−
a
61
a
11
. a
11
=
0
a
62
’
¿
a
62
−
a
61
a
11
. a
12
¿
4
−
1
4
(
8
)
a63
’
¿
a
63
−
a
61
a
11
. a
13
a64’
¿
a
64
−
a
61
a
11
. a
14
¿
3
−
1
4
(
4
)
¿
5
−
1
4
(
4
)
¿2 ¿4
a
65
’
¿
a
65
−
a
61
a
11
. a
15
a
66
’
¿
a
66
−
a
61
a
11
. a
16
¿
6
−
1
4
(
0
)
¿
2
−
1
4
(
8
)
¿
6
¿
0
b
6
’
¿
b
6
−
a
61
a
11
. b
1
¿
24
−
1
4
(
4
)
¿23
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, E4,E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6 = 3 E2’
-4X2 - 2X3 - 2X4 + 4X5 - 1X6 = 9 E3’
2X2 + 1X3 + 4X4 + 3X5 + 5X6 = 16 E4’
-3X2 + 2X3 + 1X4 + 5X5 + 2X6= 18 E5’
2X2 + 2X3 + 4X4 + 6X5 + 0X6 = 23 E6’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, E4,E5, dan E6 dengan cara :
Pada E3 :
a 32’’
¿
a
32’
−
a
32 '
a
22'
. a
22'
a 33’’¿
a
33 ’
−
a
32 '
a
22'
. a
23
’
=
−
4
−
(
−
4
−
7
)
.
(−
7
)
=−
2
−
(
−
4
−
7
)
.1
=
0
=−
7
18
a 34’’
¿
a
34 ’
−
a
32'
a
22'
.a
24
’
a 35’’¿
a
35 ’
−
a
32 '
a
22'
. a
25
’
=
−
2
−
(
−
4
−
7
)
.
(−
3
)
=4
−
(
−
4
−
7
)
.
(
1
)
=
−
7
2
=24
7
a 36’’
¿
a
36 ’
−
a
32 '
a
22'
. a
26
’
b 3’’¿
b
3 ’
−
a
32 '
=
−
1
−
(
−
4
−
7
)
.
−
6
=9
−
(
−
4
−
7
)
.
3
=
17
7
=51
7
Pada E4 :
a 42’’
¿
a
42 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
22'
a 43’’¿
a
43 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
23
’
=
2
−
(
2
−
7
)
.
(−
7
)
=1
−
(
2
−
7
)
.1
=
0
=7
9
a 44’’
¿
a
44 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
24
’
a 45’’¿
a
45 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
25
’
=
4
−
(
2
−
7
)
.
(−
3
)
=3
−
(
2
−
7
)
.
1
=
22
7
=23
7
a 46’’
¿
a
46 ’
−
a
42 '
a
22'
. a
26
’
b 4’’¿
b
4 ’
−
a
42'
a
22'
. b
2
’
=
5
−
(
2
−
7
)
.
−
6
=16
−
(
2
−
7
)
.
3
=
23
7
=118
7
a 52’’
¿
a
52’
−
a
52 '
a
22'
. a
22'
a 53’’¿
a
53 ’
−
a
52 '
a
22'
. a
23
’
=
−
3
−
(
−
3
−
7
)
.
(−
7
)
=2
−
(
−
3
−
7
)
.1
=
0
=11
7
a 54’’
¿
a
54 ’
−
a
52'
a
22'
. a
24
’
a 55’’¿
a
55 ’
−
a
52 '
a
22'
. a
25
’
=
1
−
(
−
3
−
7
)
.
(−
3
)
=5
−
(
−
3
−
7
)
.
1
=
16
7
=32
7
a 56’’
¿
a
56 ’
−
a
52 '
a
22'
. a
26
’
b 5’’¿
b
5 ’
−
a
52 '
a
22'
. b
2
’
=
2
−
(
−
3
−
7
)
.
−
6
=18
−
(
−
3
−
7
)
.
3
=
32
7
=117
7
Pada E6 :
a 62’’
¿
a
6 2’
−
a
62 '
a
22'
. a
22'
a 53’’¿
a
63 ’
−
a
62 '
a
22'
. a
23
’
=
2
−
(
2
−
7
)
.
(−
7
)
=2
−
(
2
= 0 =
7
9
a
64’’¿
a
64 ’
−
a
62'
a
22'
. a
24
’
a
65’’¿
a
65 ’
−
a
62 '
a
22'
. a
25
’
=
4
−
(
2
−
7
)
.
(−
3
)
=6
−
(
2
−
7
)
.
1
=
22
7
=44
7
a
66’’¿
a
66 ’
−
a
62'
a
22'
. a
26
’
b
6’’¿
b
6 ’
−
a
62 '
a
22'
. b
2
’
=
0
−
(
2
−
7
)
.
−
6
=23
−
(
2
−
7
)
.
3
=
−
7
12
=167
7
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, E4, E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6= 4 E1
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6 = 3 E2’
-
18
7
X3-
7
2
X4 +24
7
X5 +17
7
X6 =51
7
9
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4, E5, dan E6 dengan cara :
Setelah mengeliminasi X3 pada E4, E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6= 4 E1
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6 = 3 E2’
-
18
7
X3-
7
2
X4 +24
7
X5 +17
7
X6 =51
7
E3’’
3X4 + 5X5 +
9
2
X6 =41
2
E4’’’
19
9
X4 +20
3
X5 +109
18
X6 =127
6
E5’’’3X4 + 8X5
-
1
2
X6 =55
2
E6’’’Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X4 pada persamaan E5 dan E6, dengan cara :
Pada E5 :
a
54’’’’¿
a
54 ’’’
−
a
54 '''
a
44 '' '
. a
44 '''
a
55’’’’¿
a
55 ’’’
−
a
54 '''
a
44 '' '
. a
45 '''
=
19
9
−
(
19
9
3
)
.
(
3
)
=
20
3
−
(
19
9
3
)
.
(
5
)
=
0
=27
85
a 56’’’’
¿
a
56 ’’’
−
a
54 '''
a
44 '' '
. a
46 '''
b 5’’ ’ ’¿
b
5 ’’’
−
a
54 '''
a
44 '' '
. b
4
’’’
=
109
18
−
(
19
9
3
)
.
(
9
2
)
=
