1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 9
Maret Pekan Ke-1, 2015
Nomor Soal: 81-90
81. Dari titik A dan B pada lingkaran, garis singgung AP dan BQ digambarkan sama, seperti diperlihatkan pada gambar. Buktikan bahwa AB membagi PQ sama panjang.
Solusi:
Perpanjang PA sampai ke R, sehingga PA = AR. Perpanjang AB sampai memotong PQ di titik S. Perpanjang QB sampai memotong PR di titik T.
Karenanya TB = TA (garis singgung dari titik T) dan
BAT = ABT. Sehingga BQ = AP = AR, TR = TQ. Dari sini BA // QR , karena itu A adalah titik tengah RP, S
adalah titik tengah QP. (qed)
82. Sisi-sisi sebuah segitiga sama dengan tiga bilangan bulat beraturan. Garis berat dari titik sudut
terbesar adalah 2 1
74 . Hitunglah luas segitiga tersebut.
Solusi:
Misalnya , , dan . Rumus Garis Berat dalam ABC
yang ditarik dari C ke sisi AB dirumuskan sebagai:
(diterima) atau (ditolak)
1
a p
BC ACb p ABc p1
2 2 2 2
4 1 2 1 2 1
c b a
zc
2 2
2 2
) 1 ( 4 1 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1
74
p p
p
2 2
2 ( 1)
4 1 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1
74 p p p
1 2 2
2 4 2
298 p2 p p2p2 p
0 297 6
3p2 p
0 99 2
2 p
p
0 ) 9 )( 11
(p p 11
p p9 10
1 11 1
p a
11
p b
12 1 11 1
p c
A
Q
R T
S
P B A
Q
P B
c
z
A D
2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Menurut Heron:
luas ABC adalah , dengan adalah
setengah keliling ABC . cm
satuan luas
83. Diberikan persegi ABCD, dengan AB = 10 cm dan DCE = 60o. Hitunglah luas BEC.
Solusi:
BCE = 90o 60o = 30o CBE = 90o 45o = 45o
luas BEC cm2
84. Sebuah segmen garis yang panjangnya 100 cm dibagi atas dua bagian. Rasio yang pendek terhadap yang panjang sama dengan rasio yang panjang terhadap segmen garis itu seluruhnya. Carilah bagian-bagian itu.
Solusi:
Perhatikan gambar di bawah ini.
p q 100
Segmen garis yang pendek = p, maka segmen garis yang panjang = q = (100 –p).
ABC
s(s a)(s b)(s c)L ( )
2 1
c b a
s
) 12 11 10 ( 2
1
s
2 33
12
2 33 11 2 33 10 2 33 2 33
L
2 9 2 11 2 13 2 33
39 4 33
EF BF
3 EF CF
BC CF BF
8 3 EF BF
1 3
8BF
3 1
8
BF
EF BC
2 1
3 1
8 8 2 1
3 1
32
) ( : :q q p q
p
100 : ) 100 ( ) 100 (
: p p
p
2 ) 100 ( 100p p
2 200 10000
100p p p
0 10000 300
2 p
p
A B
F
D 60 C
o
A B
E
D 60 C
o
45o
30o
F
3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
8
7 5
6
(ditolak) (diterima)
Jadi, panjang segmen garis yang pendek adalah cm dan panjang segmen garis yang
panjang adalah cm.
85. Tentukan keseluruhan luas dari daerah yang diarsir pada gambar itu.
Solusi:
Keseluruhan luas dari daerah yang diarsir pada gambar itu adalah
satuan luas
86. Perhatikan jarum jam kinetik, pada jam berapa antara jam 10 dan 11 jarum pendek dan jarum panjang membentuk sudut 90o?
Solusi:
Jarum menit berputar dengan kecepatan 360o per jam. Jarum jam berputar dengan kecepatan 30o per jam.
Pada jam 10.00 sudut antara kedua jarum (jarum jam dan menit) adalah 60o. Besar sudut antara jarum jam dan jarum menit setelah t jam adalah
o o o o330 60
30 360
60 t t t
Kedua jarum membentuk sudut
90
opada dua posisi, yaitu: (a) (b)1 2
) 10000 ( 1 4 ) 300 ( ) 300
( 2
p
2
40000 90000
300
2 50000 300
2 5 100 300
15050 5
5 50 150
p p15050 5
5 50 50 5 50 150 100
100
p
q
15050 5
5050 5
BCE L AED L
L
) (
)
(LABDLABE LABCLABE
8 6
2 1 13 8 2 1 6 8 2 1 18 8 2 1
7224
5224
28 48
76
8
7 5
6
A D
B C
E
1 11 12
10 2
3 4 5 9
6 8
7
1 11 12
10 2
3 4 5 9
6 8
4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Untuk 60o330to 90o, diperoleh 11
1
t jam.
Untuk 60o330to 270o, diperoleh 11
7
t jam.
Sehingga sudut kedua jarum siku-siku pada 11
1
jam atau 11
5
5 menit setelah jam 10.00 atau
pukul
11 5 05 .
10 dan pada
11 7
jam atau 11
2
38 menit setelah jam 10.00 atau pukul
11 2 38 .
10 .
87. Terdapat dua buah dinding AB = x dan CD = y yang berdiri tegak lurus pada tanah. Dari masing-masing A dibentangkan tali ke bawah dinding C dan dari D dibentangkan tali ke bawah dinding
B, sehingga tinggi titik temu kedua tali dari tanah adalah 4 m. Jarak dari titik C dan D masing-masing ke titik temu kedua tali itu adalah 25 m dan 30 m. Buktikan bahwa
0 200000 40000
2000
20 3 2
4
x x
x
x .
Solusi:
…. (1)
…. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
…. (3)
Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:
…. (4)
Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (4) diperoleh:
(qed)
CF EF CF BF
AB
CF BF
CF AB
EF
BF EF CF BF
CD
CF BF
BF CD
EF
CF BF
BF CF
BF CF CD
EF AB EF
1
CD EF AB EF
EF CD AB
1 1 1
10 1 1 1
y x
10 10
x x y
2 2 2 2
2 ( ) 60
40 y ab x
2 2 2 2
60 10 10
40 x
x
x
2 2
2
3600 100 20 100
1600 x
x x
x
0 200000 40000
2000
20 3 2
4
x x
x x
60 m
10 m
A
D
C B
E
a F
x
5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
Solusi:
Perhatikan ABC dan BDC: (diberikan)
(sudut seletak) Sehingga ABC BDC
(diberikan)
Perhatikan ADE dan ACB: (sehadap)
6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
89. Dalam ABC, CDBABC dan DE // CB. Jika ABAC3BC, tentukanlah
ABC
: BCD
: DEB
: ADE
.Solusi:
Perhatikan
ABC dan
BDC:ABC CDB
(diberikan)
DCB ACB
(sudut seletak)
Sehingga ABC BDC
AC AB
BC
3 1 3
1
(diberikan)
AB
BC
BC
CD
:
:
AB BC CD
2
AB AB
2
3 1
AB
9 1
AC AB
CD
9 1 9
1
BCD
CDt2 1
t AC
9 1 2
1
ABC
9 1
Perhatikan ADE dan ACB:
ACB ADE
(sehadap)
BAC DAE
(sudut seletak)
Sehingga ADE ACB AB = AC = 2 BC
AC AB
CD
9 1 9
1
AD AC
9 8
BC BC
3 8 3 9 8
CB AC DE
AD: :
AC CB AD
DE
CB CB AD
3
AD
3 1
BC BC
9 8 3
8 3
1
9 8
BC DE k
ADE
k2
ABC
ABC
2
9
8
ABC
81 64
1 64
1
9 81
DEB ABC
81
ABC
8
ABC
: BCD
: DEB
: ADE
ABC
ABC
ABC
ABC
81 64 : 81
8 : 9
1 :
81 64 : 81
8 : 9 1 : 1
81:9:8:64
C
A
7 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010
90. Dalam ABC, CDBABC dan DE // CB. Jika ABACnBC, tentukanlah
ABC
: BCD
: DEB
: ADE
.Solusi:
Perhatikan ABC dan BDC:
ABC CDB
(diberikan)
DCB ACB
(sudut seletak)
Sehingga ABC BDC
(sudut seletak)
Sehingga ADE ACB
DEB ABC
