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(1)

Generalizaci´

on de Funciones

Contra-Continuas

Generalization of Contra-Continuous Functions

Rosas, E., Carpintero, C.

Universidad de Oriente

Cuman´a, Venezuela

Vielma, J.

Universidad de los Andes

M´erida, Venezuela

Resumen

Se introducen los conceptos de funci´on (α, β)-contra continua y (α, β)-contra semi continua. Se muestran algunas caracterizaciones y algunas propiedades fundamentales.

Palabras y frases clave: Funciones (α, β)-contra continuas, α-semi conexos, fuertementeα-S-cerrado.

Abstract

The concepts of (α, β)-contra continuous and (α, β)-contra semi con-tinuous functions are introduced. Several characterizations and some fundamental properties are obtained.

Key words and phrases: (α, β)-contra continuous functions,α-semi conexo strongly,α-S-closed.

1 Introducci´

on

En este trabajo se generalizan las nociones de funciones contra continuas y funciones contra semicontinuas dadas en [1], utilizando la teor´ıa de operadores asociados a una topolog´ıa y se dan a conocer algunos resultados importantes respectos a estos tipos de funciones. Para ello necesitamos considerar una serie de conceptos b´asicos los cuales pueden ser encontrados en [2], [3], [4] y [5].

(2)

2 (

α, β

)

-Contra Continuidad y

(

α, β

)

-Contra

Se-micontinuidad

Definición 2.1. Sean (X,Γ, α) y (Y, ϕ, β) espacios topológicos,αyβ opera-dores asociados a las topolog´ıas Γ yϕsobreX yY, respectivamente. Decimos que una funciónf :X −→Y es (α, β)-contra continua (resp.(α, β)-contra se-micontinua)si f−1₍_B_{) es} _α_{-cerrado (resp.} _α_{-semicerrado) en} _X _{para todo} conjunto β-abiertoB enY.

Ejemplo 2.1. Consideremos X = Y = {a, b, c} y las topolog´ıas Γ = Ψ =

{∅,{a},{b},{a, b}, X}. Definamos los siguientes operadoresαyβ como sigue:

α(A) = ½

A, si b∈A

cl(A), si b /∈A ; β(A) =cl(A).

Observe que los conjuntosα-abiertos yβ-abiertos en X y en Y respecti-vamente son los siguientes:

Γα={∅,{b},{a, b}, X}

Ψβ={∅, X} .

Ahora definamosf :X →Y como sigue

f(x) =   

b, si x=a c, si x=b a, si x=c

,

es f´acil mostrar que f es (α, β)-contra continua.

Ejemplo 2.2. ConsideremosX =Y ={a, b, c}y las topolog´ıas Γ ={∅, X,{a},{b},{a, b}}

Ψ ={∅,{a},{b},{a, b},{a, c}, X}.

Definamos los siguientes operadoresαyβ como sigue:

α(A) =β(A) = ½

A, si b∈A cl(A), si b /∈A .

Observe que los conjuntos Ψβ ={∅, X,{b},{a, b},{a, c}}y los conjuntos

(3)

Ahora definamosf :X →Y por

f(x) =   

b, si x=a c, si x=b a, si x=c

,

es f´acil mostrar que f es (α, β)-contra semi continua.

Es de observar que en el caso queαyβ sean, respectivamente, los opera-dores identidad sobre X y Y, la definición anterior se reduce a la definición de función contra continua dada en [1]. De igual forma, si αes el operador clausura en X y β es el operador identidad sobreY, entonces tendremos la definición de función contra semicontinua.

En el siguiente teorema se caracterizan las funciones (α, β)-contra semi continuas.

Teorema 2.1. Para una funci´on f : (X,Γ, α) −→ (Y, ϕ, β) las siguientes proposiciones son equivalentes:

1. f es(α, β)-contra semicontinua.

2. Para todo conjunto β-cerradoF en Y,f−1₍_F₎_∈_α_-_SO₍_X,_Γ)_.

Demostraci´on. (1)→(2): SeaF un conjuntoβ-cerrado enY, entoncesY−F

es β-abierto en Y, bajo la hip´otesis que f sea (α, β)-contra semicontinua,

f−1₍_Y ₋_F_{) es} _α_{-semi cerrado en} _X_{, pero} _X₋_f−1₍_F_{) =}_f−1₍_Y ₋_F_{). As´ı}

f−1₍_F_{) es}_α_{-semiabierto en}_X_{, es decir,}_f−1₍_F₎_∈_α₋_SO₍_X,_Γ).

(2)→(1): Dado un conjunto F, β-abierto en Y tendremos que Y −F es

β-cerrado en Y. De (2) tenemos que f−1₍_Y ₋_F₎ _∈ _α_-_SO₍_X,_{Γ). Sigue} de esto que f−1₍_F_{) es} _α_{-semicerrado, por lo tanto} _f _{es (}_{α, β}_{)-contra semi} continua.

El siguiente teorema nos da la relaci´on existente entre las nociones de (α, β)-contra continua y (α, β)-contra semicontinua.

Teorema 2.2. Seaf : (X,Γ, α)−→(Y, ϕ, β). Sif es(α, β)-contra continua, entonces f es (α, β)-contra semicontinua.

El siguiente ejemplo muestra la existencia de funciones (α, β)-contra semi continuas que no son (α, β)-contra continuas.

(4)

dado un conjunto F cerrado en IR tendremos, en el caso F ∩ZI = ∅, que

f−1₍_F_{) =}_∅_{. Si}_F_∩_ZI₆₌_∅_entonces_f−1₍_F_{) es uni´on de intervalos de la forma} [n, n+ 1), n∈ ZI, luego f−1₍_F_{) es un conjunto clausura semiabierto. Pero}

f−1₍₍₁_.₅_,₂_._{5)) = [2}_,_{3) no es un conjunto clausura cerrado, pues no es cerrado} enIR.

Teorema 2.3. Seaf : (X,Γ, α)−→(Y, ϕ, β). Sif es(α, β)-contra semicon-tinua entonces para cada x∈X y cada conjunto F β-cerrado enY que con-tenga a f(x)existe un conjuntoU ∈α-SO(X,Γ) tal quex∈U yf(U)⊆F. Además, siαes un operador monótono entonces el rec´ıproco es válido.

Demostraci´on. Para cadax∈X, sea F un conjunto β- cerrado enY tal que

f(x)∈ F. Bajo el supuesto que f sea (α, β)-contra semicontinua, entonces

f−1₍_F₎_∈_α_-_SO₍_X,_{Γ) y}_x_∈_f−1₍_F_{). Tomando}_U ₌_f−1₍_F_{) se tiene entonces} el resultado deseado.

Por otra parte, si suponemos queαes un operador mon´otono. SeaF un conjunto β-cerrado en Y. Si f−1₍_F_{) =} _∅ _entonces _f−1₍_F₎ _∈ _α_-_SO₍_X,_Γ), si f−1₍_F₎ ₆₌ _∅ _{y conseguimos por cada} _x_∈ _X _{tal que} _f₍_x₎ _∈ _F _conjuntos

Ux∈α-SO(X,Γ) en los cualesx∈Ux yf(Ux)⊆F, entoncesUx ⊆f−1(F)

por cada uno de talesx. Como cadaUx∈α-SO(X,Γ) yαse asume mon´otono

resulta que [

x∈f−1(_F)

Ux es α-semiabierto, pero f−1(F) =

[

x∈f−1(_F)

Ux y en

consecuencia f−1₍_F_{) es}_α_{-semiabierto en}_X_.

Observe que este último teorema permite dar, bajo el supuesto queαsea monótono, una caracterización local de la noción (α, β)-contra semicontinui-dad.

3 Espacios

α

-

T

₁

,

α

-Conexos y

α

-Semi conexos

Definici´on 3.1. Sea (X,Γ, α) un espacio topol´ogico con αun operador aso-ciado a la topologia Γ sobre X. Se dice que X es un espacio α-T1 si para cualesquiera dos puntos distintosx, yenX existen conjuntosU, V abiertos en

X tales que;x∈U, y∈V, y /∈α(U) yx /∈α(V).

En el siguiente teorema se caracterizan los espaciosα-T1.

Teorema 3.1. Sea(X,Γ, α)un espacio topol´ogico conαun operador asociado a la topologia Γsobre X, entonces X es α-T1 si y s´olo si cada conjunto{x},

(5)

A continuación se introduce la noción de espacioα- conexo. Primeramente, daremos la definición de funciones (α, β)-continuas, las cuales se describen en [4].

Definici´on 3.2. Sea (X,Γ) y (Y,Ψ) dos espacios topol´ogicos y sean α, β

operadores asociados a las topologi´as Γ y Ψ respectivamente. Decimos que una funci´on f : (X,Γ)→(Y,Ψ) es (α, β)-continua si para cada punto x∈X

y cada abiertoV def(x) enY, existe un abiertoU enX que contiene axtal quef(α(U))⊆β(V).

Teorema 3.2. Si f : (X,Γ, α)→ (Y,Ψ, id) es una funci´on (α, id)-continua

entonces f es continua en el sentido usual.

Definici´on 3.3. Sea (X,Γ, α) un espacio topol´ogico conαel operador aso-ciado a la topolog´ıa Γ sobre X. Se dice queX es un espacioα-conexo si no existen funcionesf :X −→ {0,1}; (α, id) continuas que sean sobreyectivas.

El lema que sigue ser´a de utilidad en la caracterizaci´on de los espacios

α-conexos.

Lema 3.3. Si f : (X,Γ, α) −→ (Y, ϕ, id) es una funci´on (α, id) continua,

entonces f−1₍_V₎_es_α_{-abierto para cada}_V _∈_ϕ_.

Demostraci´on. Supongamos quef : (X,Γ, α)−→(Y, ϕ, id) es (α, id) continua.

Sea V ∈ ϕ y supongamos x ∈ f−1₍_V_{), esto es} _f₍_x₎ _∈ _V_{. Por hip´otesis} existe Ux ∈ Γ tal que f[α(Ux)] ⊆ id(V), esto es f[α(Ux)] ⊆ V. Luego;

Ux∈Γ, x∈Ux yα(Ux)⊆f−1(V), por lo tantof−1(V) es α- abierto.

Teorema 3.4. Sean (X,Γ, α), A ⊆ X y CA : X −→ {0,1} la funci´on

caracter´ıstica de A. Entonces CA es (α, id) continua si y s´olo si A es

si-mult´aneamente un subconjunto α-abierto yα-cerrado de X.

Demostraci´on. (Suficiencia). Supongamos queCAes (α, id) continua. N´otese

que C−1

A ({1}) = A y C

−1

A ({0} = X −A, seg´un el lema anterior, C

−1

A ({1})

y C−1

A ({0}) son conjuntos α- abiertos en X, pero, A∩(X −A) =∅. As´ı se

concluye que Aes simult´aneamente un conjuntoα-abierto yα-cerrado deX. (Necesidad). Supongamos queAes un conjuntoα-abierto yα-cerrado en

X. Seanx∈X yV ⊆ {0,1}tal queCA(x)∈V.

Caso 1. SiCA(x) = 0 entoncesx∈X−A, y existe un abierto Ux∈Γ tal

quex∈Ux yα(Ux)⊆X−A, luego

(6)

Caso 2. SiCA(x) = 1 entoncesx∈A, y existe un abiertoUx∈Γ tal que

x∈Ux yα(Ux)⊆A. As´ı,

CA[α(Ux)]⊆CA(A) ={1} ⊆V =id(V).

De los dos casos (1) y (2), se concluye que CA es una funci´on (α, id)

continua.

Caracterizamos ahora los espaciosα- conexos seg´un el siguiente

Teorema 3.5. Sea(X,Γ, α). X es un espacioα- conexo si y sólo si los únicos subconjuntos que son simultáneamenteα-abiertos yα-cerrados de X son∅ y

X.

Demostraci´on. (Suficiencia). Supongamos que existe un subconjunto A de

X, A 6= ∅ y A =6 X, tal que simult´aneamente A es α-abierto y α-cerrado. Entonces, del teorema anterior, CA : X −→ {0,1} es una funci´on (α, id)

continua y sobreyectiva, luegoX no es un espacioα-conexo.

(Necesidad). Sup´ongase queX no es un espacioα- conexo, existe entonces una funci´on f :X −→ {0,1} que es (α, id) continua y sobreyectiva. Usando

el Lema 3.3, obtenemos que A0=f−1({0}) y A1=f−1({1}) son conjuntos

α- abiertos en X, pero f(X) = {0,1}. As´ı{A0, A1} forman una partici´on de X y Ai, i = 0,1, es un subconjunto propio no vac´ıo de X el cual es

simult´aneamenteα-abierto yα-cerrado.

Introducimos ahora la noci´on de espacio α- semiconexo. Tales espacios son estudiados en forma m´as extensa en [5].

Definici´on 3.4. Sea (X,Γ, α). Decimos queX es un espacioα- semiconexo si los ´unicos subconjuntos deX que son simultaneamente α-semiabiertos y

α-semicerrados sonφyX mismo.

Veamos ahora en los teoremas que siguen condiciones suficientes sobre el dominio y codominio los cuales permiten asegurar que una funci´on f (α, β )-contra continua (resp. (α, β)-contra semicontinua) sea constante.

Teorema 3.6. Sean f : (X,Γ, α) −→ (Y, ϕ, β) , α un operador regular y

f : X −→ Y una funci´on (α, β)-contra continua. Si X es un espacio α -conexo y Y es un espacioβ-T1, entonces f es una funci´on constante.

(7)

es decir, existen x0, x1 enX, x0 6=x1, tales quef(x0)6=f(x1), entonces la colecci´on C = {f−1₍_{_y_}_{) :} _y _∈ _Y_} _{es una partici´on de} _X _{por conjuntos}

α-abiertos y |C| ≥ 2. Bajo el supuesto que α es regular, la unión de α -abiertos esα-abierto yC contiene un subconjunto propio no vac´ıo de X que es simultáneamente α-abierto y α-cerrado. Contradicción por que X es α -conexo.

Teorema 3.7. Sean f : (X,Γ, α) −→ (Y, ϕ, β) , α un operador mon´otono y f :X −→ Y una funci´on (α, β)-contra semicontinua. Si X es un espacio

α-semi conexo yY es un espacioβ-T1 entonces f es una funci´on constante.

Demostraci´on. Si Y es un espacio β-T1, entonces cada conjunto unitario

{y}, y∈Y, esβ-cerrado. Supongamosf :X −→Y es (α, β)-contra semicon-tinua,X es un espacioα-semi conexo y quef no es una funci´on constante, es decir quef(x0)6=f(x1) para ciertos puntosx0, x1 enX, x06=x1, entonces

C ={f−1₍_{_y_}_{) :} _y _∈_Y_} _{es una partición de}_X _{por conjuntos} _α_- semiabier-tos y |C| ≥2. Como αes monótono, entonces la unión de conjuntos α-semi abiertos es α-semi abierto, de esta forma C contiene un subconjunto propio no vac´ıo de X el cual esα-semi abierto y α-semi cerrado simultáneamente. Contradicción por queX esα-semi conexo.

4 Espacios Fuertemente

α

-

S

-Cerrados

Definici´on 4.1. Sea (X,Γ, α), entonces:

1. X se dice un espacio α-compacto (resp. α-semi compacto) si todo cu-brimiento{Vi:i∈I}deX por conjuntos abiertos (resp. α-semi

abier-tos) contiene una colecci´on finita {Vi1, Vi2, . . . , Vin}, n ∈ ZI

+_{, tal que}

X=

n

[

k=1

α(Vik) (resp. X =

n

[

k=1

Vik).

2. X esα-S-cerrado si dado cualquier cubrimiento{Vi :i∈I} deX por

conjuntosα-semi regulares existe una subcolecci´on finita{Vi1, Vi2, . . . , Vin}, n∈

ZI+, tal que X=

n

[

k=1

Vik.

3. Xes Fuertementeα-S-cerrado si todo cubrimiento{Vi:i∈I}deX por

conjuntosα-cerrados, contiene una subcolecci´on finita{Vi1, Vi2, . . . , Vin}, n∈

ZI+, tal que X=

n

[

k=1

(8)

Observe que de la definici´on anterior sigue que

α-semi compacto =⇒ α-S-cerrado =⇒ Fuertemente α-S-cerrado.

En el siguiente teorema se recogen algunas relaciones entre las nociones descritas en la Definici´on 4.1 y la (α, β)-contra continuidad (resp. (α, β )-contra semi continuidad), para funciones sobreyectivas, las cuales generalizan los resutados aparecidos en [1].

Teorema 4.1. Sea f : (X,Γ, α)−→(Y, ϕ, β), una funci´on sobreyectiva. En-tonces:

1. Si f es (α, β)-contra semicontinua y X es α-semi compacto, entonces

Y es un espacio fuertementeα-S-cerrado.

2. Si f es (α, β)-contra continua yX es compacto, entonces Y es un es-pacio fuertementeα-S-cerrado.

Demostraci´on. 1. Sif : X −→ Y es una funci´on (α, β)-contra semi con-tinua, sobreyectiva yX es un espacioα-semi compacto, entonces dado cualquier cubrimiento{Vi :i ∈I} deY por conjuntos β-cerrados

ten-dremos que {f−1₍_V

i) : i ∈ I} es un cubrimiento de X por conjuntos

α- semi abiertos, ya que cada f−1₍_V

i) es α-semi abierto, en

consecuen-cia existe una colecci´on {f−1₍_V

As´ı,Y es fuertementeα-S-cerrado.

2. Sea f : X −→ Y una funci´on (α, β)-contra continua, sobreyectiva y

X es compacto. Dado cualquier cubrimiento {Vi : i ∈ I} de Y por

conjunto β-cerrados, entonces{f−1₍_V

i) : i ∈ I} es un cubrimiento de

X por conjuntos α-abiertos, como todo conjunto α-abierto es abierto enX, entonces{f−1₍_V

(9)

Definici´on 4.2. Sea (X,Γ, α) un espacio. Un subconjuntoAdeXse dice que esα-fuertemente compacto relativo a X si todo cubrimientoApor conjuntos

α- abiertos en X tiene un subcubrimiento finito. SiA =X, entonces X se diceα-fuertemente compacto.

Usando esta definici´on, obtenemos el siguiente teorema

Teorema 4.2. Sean(X,Γ, α), (Y, ψ, β)dos espacios yf :X −→Y sobreyec-tiva. Sif es(α, β)-contra continua yX es fuertementeα-S-cerrado, entonces

Y esα-fuertemente compacto.

Definici´on 4.3. Seaf : (X,Γ, α)−→(Y, ψ, β). Se dice quef es una funci´on

αβ-cerrada si la imagen de cualquier conjuntoα-cerrado esβ-cerrado. Recordemos que siβ es un operador sobre la topolog´ıa Φ del conjuntoY, entonces la colecci´on de todos los conjuntos β-abiertos es denotada por Γβ.

Si |Γβ|>2, entonces tenemos el siguiente teorema.

Teorema 4.3. Sea f : (X,Γ, α)−→(Y, ψ, β) sobreyectiva y |Γβ| >2. Si f

es (α, β)-contra continua y αβ-cerrada, entonces Y no esβ-conexo.

Se puede notar f´acilmente que si |Γβ| = 2, la conclusi´on del teorema

an-terior es falsa. Para ver esto, tómese f : X −→ Y, donde X es cualquier espacio,αcualquier operador sobreX,Y consta de un punto,β el operador identidad que es el único que existe sobreY yf la función constante. Bajo éstas conclusiones f es (α, β)-contra continua, es αβ-cerrada y sobreyectiva peroY esβ-conexo.

Referencias

[1] Dontchev, J., Noiri, T. Contra semi continuous functions, Math. Pano-nica10(2), 159–168.

[2] Kasahara, S. Operation compact spaces, Math. Japonica,24(1979), 97– 105.

[3] Ogata, H.Operation on topological spaces and associated topology, Math. Japonica,36(1) (1991), 175–184.

[4] Rosas, E., Vielma, J. Operator compact and operator connected spaces, Scientiae Mathematicae, 1(2) (1998), 203–208.