PROS Timbang Sirait Kesalahan Spesifikasi Model fulltext

(1)

OVERDISPERSI KARENA KESALAHAN SPESIFIKASI MODEL DAN

CARA MENGATASINYA

Timbang Sirait

Departemen Statistika FMIPA-IPB Email: [email protected]

ABSTRAK

Ada beberapa penyebab terjadinya overdispersi, salah satunya adalah karena kesalahan spesifikasi model. Kesalahan spesifikasi model dapat terjadi apabila peubah penjelas yang seharusnya ada di dalam model tidak dimasukkan di dalam model. Disamping itu, dapat juga terjadi dikarenakan kesalahan dalam menentukan fungsi hubung. Penelitian ini difokuskan pada kesalahan karena peubah penjelas tidak dimasukkan di dalam model. Adanya overdispersi dapat mengakibatkan kesimpulan yang diambil menjadi tidak benar, karena nilai ragam yang lebih besar dari yang seharusnya. Model regresi yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara peubah penjelas dan peubah respon yang memiliki sebaran Poissonadalah model regresi Poisson. Dengan demikian data yang digunakan pada penelitian ini adalah data cacah. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui overdispersi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi model serta cara mengatasinya menggunakan regresi Binomial Negatif. Ada empat peubah yang digunakan yaitu satu peubah respon dan tiga peubah penjelas. Pemodelan pertama menggunakan satu peubah respon dan tiga peubah penjelas (Model I). Pemodelan kedua menggunakan satu peubah respon dan dua peubah penjelas, yang mana satu peubah penjelas diabaikan (Model II). Hasil penelitian menunjukkan bahwa rasio devians dari Model I selalu lebih kecil dari Model II. Hasil ini menunjukkan bahwa dengan tidak dimasukkannya peubah penjelas yang seharusnya ada di dalam model menyebabkan rasio devians pada Model II menjadi bertambah. Ini membuktikan bahwa kesalahan spesifikasi model menyebabkan overdispersi. Penambahan sampel tidak menyelesaikan permasalahan overdispersi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi model pada data cacah. Apalagi, pengaruh dari peubah penjelas yang diabaikan cukup besar. Namun, permasalahan overdispersi ini dapat diatasi menggunakan model regresi Binomial Negatif.

Kata-kata kunci: data cacah, devians, model regresi Binomial Negatif, model regresi Poisson, overdispersi.

PENDAHULUAN

Analisis regresi merupakan teknik statistika yang banyak digunakan untuk menyelidiki hubungan antara peubah respon dengan satu atau lebih peubah penjelas. Apabila peubah responnya menyebar Poisson, maka model regresi yang digunakan adalah model regresi Poisson. Jenis data yang digunakan dalam analisis regresi Poisson adalah data cacah (count data).

Model regresi Poisson memiliki asumsi bahwa nilai tengah dan ragam bernilai sama atau dikatakan equidispersi [1]. Apabila nilai tengah dan ragam tidak sama maka telah terjadi permasalahan overdispersi/ underdispersi. Jika nilai ragam lebih besar dari nilai tengah maka terjadi overdispersi, dan sebaliknya terjadi underdispersi. Permasalahan overdispersi/ underdispersi dapat menimbulkan kesalahan dalam menarik kesimpulan. Apabila terjadi overdispersi maka keputusannya akan selalu menolak hipotesis, sedangkan jika terjadi underdispersi maka keputusannya akan selalu gagal untuk menolak hipotesis [2].

[3-10] menjelaskan bahwa overdispersi/ underdispersi pada data cacah dapat diatasi menggunakan regresi Poisson terampat, regresi

Binomial Negatif, atau Zero-Inflated Binomial Negative (ZINP).

[11] menyatakan bahwa overdispersi dapat disebabkan oleh (1) kesalahan spesifikasi model (misalnya mengabaikan peubah penjelas, yang mana peubah tersebut tidak dimasukkan di dalam model atau kesalahan dalam menentukan fungsi hubung (link function)), atau struktur yang lebih kompleks; (2) antar peubah respon saling berkorelasi atau peubah respon tidak saling bebas (independen). Terjadinya overdispersi menyebabkan varians peubah respon lebih besar dari varian yang seharusnya. Satu pendekatan dalam mengatasinya yaitu memasukkan parameter dispersi a ke dalam model. [8] juga mengungkapkan bahwa penambahan peubah penjelas pada model dapat menurunkan nilai devians (deviance), yang menjadi alat ukur dalam menentukan terjadi tidaknya overdispersi.

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui overdispersi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi model serta cara mengatasinya menggunakan regresi Binomial Negatif dengan data bangkitan dari sebaran Poisson.

(2)

Bahan dalam melakukan pembentukan model dilakukan dengan 4 langkah berikut:

(1). Misalkan terdapat peubah respon

 

Y_i dan tiga peubah penjelas



X_i₁,X_i₂,X_i₃



yang ditetapkan sebelumnya. Terdapat hubungan antara

i

Y dan X_i₁,X_i₂,X_i₃ dengan nilai tengah





 

0 1 1 2 2 3 3

exp

exp 1, , .

i i i i

T i

x x x

i n

        

 x β  (1)

dimana



0 1 2 3



T

    

β



1 1 2 3



T i xi xi xi x

Selanjutnya mengambil dua buah nilai ₀ yaitu 0 dan 1,  ₁ 2, ₂ 1,5, tiga buah nilai ₃ yaitu 0,75, 0,5, dan 0,25 serta mengambil nilai

ij

X melalui pembangkitan data

 

1 2

Geometrik ij

X untuk j1, 2,3.

Pembangkitan data terhadap X_ij hanya dilakukan sekali saja, dan nilainya digunakan untuk pembangkitan data Y_i dari sebaran Poisson

 

_i yang diulang sebanyak 10 kali. Model yang diusulkan ini diasumsikan tanpa overdispersi dengan data yang dibangkitkan sebanyak n100 dan n10.000.

(2). Setelah data bangkitan Y_i diperoleh, dilakukan pemodelan menggunakan model regresi Poisson antara peubah respon Y_i dengan peubah penjelas X_i₁, X_i₂, dan X_i₃ (disebut Model I). Berdasarkan hubungan ini didapatkan persamaan

0 1 1 2 2 3 3

log

1, , .

i i i i

T i

y x x x

i n

       

x β  (2) dimana



0 1 2 3



T

    

β



1 1 2 3



T i xi xi xi x

0, 1, 2, 3

    diduga menggunakan penduga kemungkinan maksimum (PKM) yang diperoleh dengan prosedur iterative weighted least square (IWLS), dan masing-masing penduganya adalah

0, ,1 2, .3

b b b b

(3). Kemudian dilakukan pemodelan menggunakan model regresi Poisson antara peubah respon Y_i dengan dua peubah penjelas (peubah penjelas yang dipilih dilihat dari tingkat kesignifikansiannya). Dalam artian, peubah penjelas dengan tingkat signifikansi yang paling tinggi dikeluarkan dari dalam model. Misalkan

peubah penjelas X_i₃ diabaikan atau tidak dimasukkan di dalam model (disebut Model II), maka berdasarkan hubungan ini diperoleh persamaan

0 1 1 2 2

log

1, , .

i i i

T i

y x x

i n

     

x β  (3) dimana



0 1 2



T

   

β



1 1 2



T i  xi xi

x

0, 1, 2

   diduga menggunakan PKM yang diperoleh dengan prosedur IWLS, dan masing-masing penduganya adalah b b b₀, , .₁ ₂

(4). Kemudian dilakukan pemodelan menggunakan model regresi Binomial Negatif antara peubah respon Y_i dan peubah penjelas X_i₁ dan X_i₂ (disebut Model III). Bentuk persamaan dan teknik pendugaan parameternya sama seperti pada persamaan (3).

Model Linear Terampat

Model linear terampat (generalized linear model) atau yang disingkat dengan MLT merupakan perluasan model linear, yang mana sebaran peluangnya tidak diharuskan mengikuti sebaran normal, akan tetapi sebaran peluang tersebut termasuk dalam keluarga eksponensial, seperti Binomial, Poisson, Multinomial, Gamma, dan lain sebagainya [2].

Ada tiga komponen utama dalam MLT [1-2]: 1. Komponen acak

2. Komponen sistematik 3. Fungsi hubung

Dalam regresi Poisson, Y merupakan komponen acak yang mana sebarannya termasuk dalam keluarga eksponensial. Dalam hal ini

1, ,

,

i

Y i n saling bebas. Komponen sistematiknya adalah η Xβ , dimana η adalah vektor berukuran

 

n1 , X adalah matriks rancangan berukuran



np



dan β adalah vektor parameter berukuran



p1



atau dapat ditulis dalam bentuk kombinasi linear

0 p i j ij

j

x



 



 , i1, ,n (4)

(3)

Model Regresi Poisson

Misalkan terdapat sampel acak n pasang pengamatan



y x_i

,

_i



,

i1, , ,n dimana y_i

menyatakan nilai dari kejadian variabel hasil tercacah yang terjadi pada suatu waktu atau periode dengan nilai tengah sama dengan parameter _i dan x_i adalah nilai dari peubah penjelas pada subyek ke-i. Dengan mengasumsikan bahwa Y_i, i1, ,n bersebaran Poisson maka fungsi kepekatan peluang Y_i adalah





!

i yi

i i i

i e P Y y

y

_

  , yi0,1, 2, (5) dengan nilai tengah dan ragam sama, yaitu

 

var

i Yi

  dan model regresinya adalah

0

exp p

i j ij

j

y x



 

   





 (6) Overdispersi pada model regresi Poisson (data cacah) terjadi ketika var

 

Yi  i. Namun, persoalan ini dapat diatasi dengan sebaran Binomial Negatif yang menyediakan model alternatif dengan var

 

Y_i  a _i, dimana

a



1

adalah paramater dispersi yang nilainya dapat diestimasi [11], [8].

Uji Parameter Dispersi

Pengujian ada tidaknya overdispersi dilakukan dengan hipotesis berikut ini:

0: 0 (tidak ada overdispersi)

H a

1: 0 (ada overdispersi)

H a

Pengujian ini dilakukan dengan menggunakan statistik uji devians, yang dinotasikan dengan D.

Devians yang juga disebut statistik log likelihood (rasio) dirumuskan dengan



max

  

2 ; ;

D _l b y l b y _ (7) dimana D bersebaran chi-square dengan derajat bebas np atau ditulis _2_{n p}_ _. Jika D _2_{n p}_ _ maka keputusannya adalah menolak H₀, yang berarti terjadi overdispersi. Selanjutnya, Jika model regresi Poisson yang digunakan terhadap data layak, maka nilai devians akan mendekati nilai derajat bebasnya. Hal ini dapat dijelaskan karena nilai harapan dari sebaran 2 sama dengan derajat bebasnya. Jika nilai devians jauh lebih besar dari derajat bebasnya atau rasionya jauh lebih besar dari satu maka asumsi dari sebaran Poisson tidak terpenuhi dan data menunjukkan overdispersi [11].

Model Regresi Binomial Negatif

Peubah acak

Y

dikatakan data cacah bersebaran Binomial Negatif (Negative Binomial distribution) dengan parameter _i dan a

 

0 jika fungsi kepekatan peluangnya sebagai berikut









1

, , 1

1 !

i

a

i i i i

i y

a

f y a a

y a



 

_  _

 

   

   _{ }

(8)

1

1 , 0,1, 2,

1, , .

i

y

i i

y a

i n



 

 _ _ 



 



Dengan nilai tengah  _i exp

 

x_iβ dan ragam



1



.

i a i

   a adalah parameter dispersi dan merupakan konstanta [2] dalam [5].

Model regresinya adalah

0

exp p

i j ij

j

y x



 

 _  _





 (9)

Pendugaan Kemungkinan Maksimum

Pendugaan parameter pada persamaan (2) dan (3) sebagai berikut [11]

( )

T m  T

X WXb X Wz (10) dimana W adalah matriks diagonal berukuran

n n dengan elemen-elemen diagonal

 

2

1 var

i ii

i i

w

Y

 

 _ _

   , z memiliki elemen-elemen





( 1) 1

p

m i

i ij j i i

j i

z x b  y



 

  _{  } _



 



,

( )m

b adalah vektor estimasi dari parameter

0, 1, 2, 3

    pada persamaan (2) dan dari parameter   ₀, ₁, ₂ pada persamaan (3) pada iterasi ke-m dengan bentuk fungsi

1 ( )m  (m1)  (m1) (m1)

 

b b U .

1 (m1) 

 

  adalah invers dari matriks informasi dengan elemen-elemen _jk, dimana

 

2 1var

n

ij ik i jk

i i i

x x

Y



 

  _ _



 



dan U(m1) adalah vektor skor dengan elemen skor ,

j

U dimana





 

1 var

n

i i i

j ij

i i i

y

U x

Y



    

 _ _ __



  

 

(4)

Persamaan (3) akan menghasilkan model yang overdispersi, karena telah terjadi kesalahan spesifikasi model yaitu peubah penjelas x_i₃ tidak dimasukkan di dalam model.

Fungsi kemungkinan maksimum dari sebaran Binomial Negatif [5]adalah













1 1 1 , , , , 1 1 1 ! 1 1 i n

i i i i i

i i n a i i i y i

l a y f y a

y a a y a a         _ _              _{ }  _{ }     _   _ _{ }  _{ }







 





1 1

log , , log ! log

1

1 1

log 1 log 1

i n

i i i

i

i i

i

y a

l a y y

a a y a a   _ _    _ _          _{ }      _ _{ } _           _ _  



karena





1 1 1 1 1 1 i i i y y i y i i k k y a

y k a ay ak

a a      _  _    _{ } _{ } _ _ _          



maka





 









 

1 1

log , , log ! log 1

1

log 1 log

i

y n

i i i i

i k

i i i i

l a y y ay ak

y a y

a      _        _  _    _{ }   



derivatif orde pertama









1

log , , log , ,

1

i i i i

n

i i i

i i

l a y l a y

y x a    _          











2 1 1

log , , log 1

1 1 1 i y n

i i i i

i k i

i i

i

l a y y k a

a ay ak a

y a a     _   _     _     _ _  _{ }    _{ }   

 

derivatif orde kedua













2

2 1

log , , 1

1 n

i i i i T

i i T

i _i

l a y ay

x x a              



_ _{ } _

























2 2 2 2 1 1 3 2 2 2

log , ,

1

2log 1 2

1 1 1 i y n

i i i

i k _i

i i

i

i i

i

l a y y k

a ay ak

a

a a a

y a a       _     _ _  __ _ _ _          _ _   _    _   _ 

 

















2 2 2 1

log , , log , ,

1

i i i i

n

i i i i

i _i

l a y a y

a a y x a           _{  }             



Matriks informasi harapan  

 

,a dapat dipartisi menjadi

 

,

 

,

 

, , , a a aa a a a a a           _{ } _      

dimana elemen-elemen dari matriks yang dipartisi tersebut adalah sebagai berikut





2

log _i, , _i T l a y E



  

   _ _



  adalah matriks

simetrik berukuran pp.





2_log _{, ,}

i i

T

a a

l a y E a           _ _ 

  adalah vektor berukuran p1.





2 2

log _i, , _i aa

l a y E

a

  

   _ _



  adalah sebuah

skalar atau konstanta. HASIL DAN DISKUSI

Data bangkitan ini menggunakan software R versi 3.0.2. Model I pada masing-masing n100 dan n10000untuk pilihan β yang ditetapkan memberikan tingkat signifikansi yang sama sebesar 0,001 untuk ketiga peubah penjelas. Dengan demikian untuk melakukan Model II, penelitian ini menggunakan peubah penjelas X_i₁ dan X_i₂ (peubah penjelas X_i₃ diabaikan), seperti pada persamaan (3).

Hasil simulasi untuk n100 dengan rasio devians terhadap derajat bebas disajikan pada tabel 1 sampai dengan tabel 6.

(5)

Model I Model II Model III

1 1,22 5.354 1,20

2 0,85 5.387 1,19

3 1,11 5.373 1,20

4 0,76 5.379 1,19

5 1,05 5.378 1,18

6 0,78 5.392 1,19

7 1,02 5.407 1,19

8 0,94 5.380 1,21

9 0,98 5.392 1,19

10 0,98 5.392 1,20

*β1 2 1,5 0, 75T

Tabel 2. Rasio devians terhadap derajat bebas*

Ulangan Devians : Derajat bebas Model I Model II Model III

1 1,18 1.366 1,09

2 1,13 1.363 1,11

3 1,00 1.385 1,11

4 0,94 1.372 1,15

5 1,08 1.374 1,13

6 0,99 1.363 1,11

7 0,88 1.375 1,13

8 0,94 1.364 1,11

9 0,91 1.372 1,12

10 0,93 1.363 1,14

*β1 2 1,5 0,5T

Tabel 3. Rasio devians terhadap derajat bebas*

1 1,08 209 1,17

2 0,87 207 1,01

3 1,05 202 1,05

4 0,97 208 1,14

5 1,36 212 1,17

6 0,98 207 1,13

7 0,91 199 1,04

8 0,80 204 1,16

9 1,14 210 1,11

10 1,35 203 1,23

*β1 2 1,5 0, 25T

Hasil simulasi yang disajikan pada tabel 1, tabel 2, dan tabel 3 menunjukkan bahwa dengan menghilangkan peubah penjelas X_i₃ dari dalam model telah meningkatkan nilai rasio devians terhadap derajat bebas, tanpa memandang besarnya pengaruh X_i₃ pada model, yang dapat dilihat dari nilai rasio pada Model I dan Model II. Dalam hal ini, telah terjadi overdispersi. Akan

tetapi, dengan mengurangi besarnya pengaruh X_i₃ pada model telah menurunkan besarnya rasio devians terhadap derajat bebas, yang dapat diketahui dari nilai rasio Model II pada tabel 1, tabel 2, dan tabel 3. Permasalahan overdispersi yang terjadi pada Model II dapat diatasi menggunakan regresi Binomial Negatif, seperti pada Model III. Nilai rasio devians terhadap derajat bebas jauh berkurang dari Model II ke Model III, yang mana nilainya sudah mendekati nilai 1.

Tabel 4. Rasio devians terhadap derajat bebas*

1 1,01 1.994 1,19

2 1,02 1.979 1,20

3 1,38 1.998 1,19

4 0,95 1.982 1,21

5 1,03 1.981 1,19

6 1,13 1.994 1,20

7 1,11 1.962 1,18

8 0,84 1.984 1,19

9 1,15 1.975 1,19

10 0,89 1.985 1,20

*β0 2 1,5 0, 75T

1 0,86 508 1,14

2 0,97 501 1,15

3 0,98 498 1,15

4 1,11 507 1,12

5 1,14 505 1,16

6 0,93 502 1,15

7 0,76 502 1,14

8 0,97 505 1,14

9 1,13 505 1,17

10 1,09 512 1,15

*β0 2 1,5 0,5T

(6)

devians terhadap derajat bebas besarannya tidak begitu jauh berbeda, seperti disajikan pada tabel 4, tabel 5, dan tabel 6.

Tabel 6. Rasio devians terhadap derajat bebas*

1 1,11 80 1,08

2 0,98 81 1,14

3 0,90 74 1,07

4 1,40 78 1,19

5 1,46 78 1,20

6 1,20 77 1,21

7 1,15 79 1,23

8 1,05 76 1,11

9 0,91 79 1,10

10 0,93 77 1,16

*β0 2 1,5 0, 25T

Selanjutnya, hasil simulasi untuk n10000 dengan rasio devians terhadap derajat bebas disajikan pada tabel 7 sampai dengan tabel 12. Tabel 7. Rasio devians terhadap derajat bebas*

1 1,02 1.413.087 1,28

2 1,04 1.413.087 1,28

3 1,02 1.413.087 1,28

4 1,01 1.413.087 1,28

5 1,01 1.413.087 1,28

6 1,02 1.413.087 1,28

7 1,02 1.413.087 1,28

8 1,05 1.413.087 1,28

9 1,04 1.413.087 1,28

10 1,02 1.413.087 1,28 *β1 2 1,5 0, 75T

Pada kasus sampelnya ditambah atau diperbesar, persoalan overdispersi tetap tidak dapat diselesaikan. Akan tetapi, nilai rasio devians terhadap derajat bebas pada model II untuk setiap ulangan nilainya cenderung tidak jauh berbeda atau hasilnya cenderung konvergen, seperti disajikan pada tabel 7 sampai dengan tabel 12. Tabel 8. Rasio devians terhadap derajat bebas*

1 1,02 553.883 1,11

2 0,98 553.883 1,10

3 1,02 553.883 1,11

4 1,01 553.883 1,11

5 1,02 553.883 1,11

6 1,02 553.883 1,11

7 1,03 553.883 1,10

8 1,00 553.883 1,10

9 1,02 553.883 1,11

10 1,02 553.883 1,11

*β1 2 1,5 0,5T

Tabel 9. Rasio devians terhadap derajat bebas*

1 1,02 225.810 1,02

2 1,03 225.810 1,03

3 1,05 225.810 1,03

4 1,01 225.910 1,02

5 1,04 225.810 1,04

6 1,02 225.810 1,03

7 1,03 225.910 1,04

8 1,02 225.810 1,03

9 1,00 225.910 1,02

10 1,02 225.810 1,03

*β1 2 1,5 0, 25T

Selain itu, penyelesaian overdispersi menggunakan Model III cenderung menghasilkan nilai rasio devians terhadap derajat bebas yang lebih kecil dan cenderung konvergen. Namun, tidak berlaku sebaliknya untuk pengaruh yang besar pada peubah penjelas yang diabaikan. Nilai rasionya justru semakin bertambah baik dengan mengambil  ₀ 0 dan  ₀ 1, yang dapat dilihat pada tabel 7 dan tabel 10 jika dibandingkan pada tabel 1 dan tabel 4.

Tabel 10. Rasio devians terhadap derajat bebas*

1 1,04 1,163,024 1,25

2 1,02 1,163,024 1,25

3 1,05 1,163,024 1,25

4 1,01 1,163,024 1,25

5 1,04 1,163,024 1,25

6 1,05 1,163,024 1,25

7 1,04 1,163,024 1,25

8 1,04 1,163,024 1,25

9 1,01 1,163,024 1,25

(7)

1 1,03 892.753 1,11

2 1,05 892.753 1,11

3 1,06 892.753 1,11

4 1,03 892.753 1,11

5 1,05 892.753 1,11

6 1,04 892.753 1,11

7 1,03 892.753 1,11

8 1,03 892.753 1,11

9 1,03 892.753 1,11

10 1,03 892.753 1,11

*β0 2 1,5 0,5T

1 1,03 188.239 1,06

2 1,03 188.239 1,04

3 1,04 188.239 1,05

4 1,06 188.239 1,06

5 1,06 188.239 1,06

6 1,05 188.239 1,04

7 1,06 188.239 1,06

8 1,09 188.239 1,06

9 1,06 188.239 1,06

10 1,04 188.239 1,05

*β0 2 1,5 0, 25T

Artinya, walaupun sampelnya ditambah, jika terjadi kesalahan spesifikasi maka overdispersi tetap terjadi. Hasil ini melalui Model III juga menunjukkan bahwa permasalahan overdispersi dapat diatasi dengan model regresi Binomial Negatif.

KESIMPULAN

Kesalahan spesifikasi model pada data cacah dapat menyebabkan terjadinya overdispersi. Penambahan sampel tidak menyelesaikan permasalahan overdispersi yang disebabkan oleh kesalahan spesifikasi model pada data cacah. Apalagi, pengaruh dari peubah penjelas yang diabaikan cukup besar. Namun, permasalahan overdispersi ini dapat diatasi menggunakan model regresi Binomial Negatif.

Kesalahan spesifikasi pada penelitian ini dibatasi pada peubah penjelas yang tidak dimasukkan di dalam model. Pada penelitian berikutnya dapat ditambahkan dengan fungsi hubung yang tidak sesuai.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Agresti, A.,An Introduction to Categorical Data Analysis, 2nd Ed. John Wiley and Sons, Hoboken, New Jesey, 2007.

[2] McCullagh, P. and Nelder FRS, J.A.,GeneralizedLinear Models, 2nd Ed. New York, 1989.

[3] S.A. Sarpong and A.K. Brobbey, “Poisson Regression Modeling For Incidence of Maternal

Deaths In Ghana,”Mathematical Theory and Modeling,ISSN 2224-5804 (Paper) ISSN 2225-0522 (online), vol.3, no.2, 2013.

[4] I.P.Y.E.Putra, I.P.E.N.Kencana, dan

I.G.A.M.Srinadi, “Penerapan Regresi Generalized Poisson untuk Mengatasi Fenomena Overdispersi

pada Kasus Regresi Poisson,”E-Jurnal Matematika, vol.2, no.2, hal. 49-53, 2013.

[5] D.T. Molla and B. Muniswamy, “Power of Tests for Overdispersion Parameter in Negative

Binomial Regression Model,”IOSR Journal of Mathematics, vol. 1, Issue 4, pp. 29-36, 2012. [6] K.A. Yulianingsih,K.G.Sukarsa, dan

L.P.Suciptawati, “Penerapan Regresi Poisson

untuk mengetahui Faktor-Faktor yang Memengaruhi Jumlah Siswa SMA/SMK yang

Tidak Lulus UN di Bali,”e-Jurnal Matematika, vol.1, no.1, hal. 59-63, 2012.

[7] B. Ariawan, Suparti, dan Sudarno,

“Pemodelan Regresi Zero-Inflated Negative Binomial (ZINB) untuk Data Respon Diskrit

dengan Excess Zero,”Jurnal Gaussian, vol. 1, no. 1, hal. 55-64, 2012.

[8] S. Coxe, S.G. West, and L.S. Aiken, “The Analysis of Count Data: A Gentle Introduction to

Poisson Regression and Its Alternatives,”Journal of Personality Assessment, 91(2), pp. 121-136, 2009.

[9] N. Ismail and A.A. Jemain, “Handling Overdispersion with Negative Binomial and Generalized Poisson Regression

Models,”Casualty Actuarial Society Forum, Winter. 2007.

[10] D.W. Osgood,“Poisson-Based Regression Analysis of Aggregate Crime Rates,”Journal of Quantitative Criminology,vol. 16, no. 1,pp. 21-43, 2000.