PENDUGAAN PARAMETER SPATIAL AUTOREGRESSIVE MODEL MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD SKRIPSI LINDA YANA SARAGIH

(1)

PENDUGAAN PARAMETER SPATIAL AUTOREGRESSIVE MODEL MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM

LIKELIHOOD

SKRIPSI

LINDA YANA SARAGIH 170803067

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2021

Universitas Sumatera Utara

(2)

PENDUGAAN PARAMETER SPATIAL AUTOREGRESSIVE MODEL MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM

LIKELIHOOD

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains

LINDA YANA SARAGIH 170803067

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2021

(3)

PERNYATAAN ORISINALITAS

PENDUGAAN PARAMETER SPATIAL AUTOREGGRESIVE MODEL MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM

LIKELIHOOD

SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringksan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,05 Oktober 2021

Linda Yana Saragih 170803067

(4)

i

(5)

ii

PENDUGAAN PARAMETER SPATIAL AUTOREGGRESIVE MODEL MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk menaksir parameter dan model regresi autoregresif spasial pada kasus Covid-19 di kota Medan. Regresi spatial autoregressive adalah salah satu model regresi spasial yang merupakan pengembangan dari metode ordinary least square. Pengembangan ini berdasarkan adanya pengaruh spasial pada data yang diamati. Pada spatial autoregressive estimasi parameter yang digunakan adalah metode maksimum likelihood. Estimasi parameter yang didapatkan adalah sebagai berikut :

̂ ( ) ( )

̂ (( ) ) (( ) ) ̂ ((( ) ) (( ) ))

Sedangkan model spatial autoregressive yang diperoleh dari penelitian ini adalah : ∑

Kata Kunci : Estimasi Maksimum likelihood, Regresi Spasial, Regresi Autoregresif Spasial.

(6)

iii

ESTIMATION PARAMETER OF SPATIAL AUTOREGRESSIVE MODEL USING THE MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD

ABSTRACT

This study aims to estimate the parameters and spatial autoregressive regression models for Covid-19 cases in the city of Medan. Spatial autocorrelation regression is one of the spatial regression models which is the development of the ordinary least square method. This development is based on the spatial effect on the observed data. In spatial autoregressive regression, the parameter estimation used is the maximum likelihood estimation method. The parameter estimates obtained are as follows:

̂ ( ) ( )

̂ (( ) ) (( ) ) ̂ ((( ) ) (( ) ))

While the spatial autoregressive model obtained from this study are:

∑

Keywords:Maximum Likelihood Estimation, Spatial Regression, Spatial Autoregressive Regression.

(7)

iv

PENGHARGAAN

Puji syukur saya ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan penulisan Tugas Akhir berikut dengan judul “Pendugaan Parameter Spatial Autoregresive Model menggunakan metode maksimum likelihood”. Tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Begitu banyak pihak yang telah membantu, oleh karena itu rasa hormat dan terimakasih ingin sampaikan kepada :

1. Bapak Dr. Zahedi, M.Si selaku dosen pembimbing pertama penulis yang senantiasa membimbing dan memberi masukan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Ibu Asima Manurung,S.Si dan Bapak Dr.Sutarman,M.Sc selaku dosen pembanding penulis yang mmemberikan kritik dan saran dalam menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Rosman Siregar M.Si selaku dosen penasehat akademik yang telah membimbing penulis selama berkuliah di matematika USU.

4. Ibu Dr.Mardiningsih, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika dan Seluruh dosen yang telah mendidik penulis selama menjalani pendidikan di Departemen Matemetika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

5. Ibu Dr. Nursahara, M.Si selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam serta seluruh staf pegawai dan juga staf administrasi yang ada di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

6. Teristimewa kepada orang tua penulis, Almarhum ayahanda Gajali Saragih, Ibunda Nurinah Purba, Adinda Desi Arfika Saragih, Adinda Ridho Bustomi Saragih yang selalu mendukung penuh, menemani, mendoakan, serta memberi motivasi kepada penulis hingga skripsi ini dapat terselesaikan.

7. Maktua Asni Purba,S.Pd dan keluarga, Tulang Syahrul Purba dan keluarga, Tulang Sofian Purba dan keluarga, Tongah Arianto Saragih yang selalu mendukung penulis berupa motivasi serta materi.

8. Teman seperjuangan The Warrior Princesses yaitu Afrah Nur Adilla, Fadhilah Ramadhani, Melisa Danyanti, Retno Laras Intani, Rini Kurniasari yang selalu menemani selama perkuliahan dan turut membantu dan memberi semangat selama proses penelitian.

9. Widia Mei Suriningsih, Nicky Anriani Saragih, Lisa Rizky, Sri Maya Devi Sinaga, serta Edwin Fija Yenra Purba dan Jan Rifaldi selaku teman dari SMA yang masi aktif sampai saat ini dan senantiasa meluangkan waktu mendengar keluh kesah penulis.

10. Terimakasih untuk kak Siti Ramadhani,S.Si selaku senior dari SMP telah meluangkan waktu dan memberikan motivasi serta membantu proses penulisan skripsi penulis.

(8)

v

11. Theresia Panggabean, Herlina Fransiska laia, dan Yohana Bua selaku teman seperdopingan penulis yang turut menemani penulis selama bimbingan dan penulisan skripsi.

Penulis menyadari bahwa dalam proses penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Oleh karena itu, peulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Akhir kata, penulis mengucapkan terimakasih dan semoga penelitian ini bermanfaat.

Medan,30 Agustus 2021

Linda Yana Saragih

(9)

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PENGESAHAN SKRIPSI I

ABSTRAK Ii

ABSTRACT Iii

PENGHARGAAN Iv

DAFTAR ISI Vi

DAFTAR TABEL Viii

DAFTAR GAMBAR Ix

DAFTAR LAMPIRAN X

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penulisan 3

1.5 Manfaat Penulisan 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Matriks 4

2.2 Regresi Linear 4

2.3 Estimasi Parameter 5

2.4 Estimasi Maksimum Likelihood 6

2.5 Distribusi Normal 7

2.5 Model Regresi Spasial 7

2.6 Spatial Autoregresive Model 9

2.7 Uji Lagrange Multiplier 9

2.8 Signifikansi Parameter Regresi Spasial 10

2.9 Efek Spasial 11

2.10 Indeks Moran 12

2.11 Matriks Pembobot Spasial 13

BAB 3 METODELOGI PENELITIAN

3.1 Data Penelitian 17

3.2 Metode Penelitian 19

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Spatial Autoregresive(SAR) 20

4.2 Membentuk fungsi log-likelihood dari model SAR 20 4.3 Estimasi Parameter Model SAR dengan Metode

Maksimum Likelihood estimasi

23

4.3.1 Estimasi Parameter 23

(10)

vii

4.4 Estimator takbias Model SAR 26

4.4.1 Estimator takbias Parameter 26

4.5 Estimasi Parameter SAR Pada Kasus Covid-19 di Kota Medan

27

4.5.1 Matriks pembobot Spasial 27

4.5.2 Uji Morans Indeks 32

4.5.3 Uji Lagrange Multiplier 33

4.5.4 Model Regresi Autoregresif Spasial 34

BAB 5 PENUTUP 39

5.1 Kesimpulan 39

4.2 Saran 39

DAFTAR PUSTAKA 40

LAMPIRAN 41

(11)

viii DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1 Jumlah Penderita Covid-19 17

3.2 Jumlah Penduduk Per-kecamatan 17

3.3 Kepadatan Penduduk Per-kecamatan 18

3.4 Luas Wilayah Per-kecanatan 18

4.1 Banyak Tetangga dengan Banyak Kecamatan 27

4.2 Uji Indeks Moran 31

4.3 Uji LM 32

4.4 Output SAR 33

(12)

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar

2.1 Gambar Kuadran Indeks Moran 14

2.2 Peta Sumatera Utara 15

4.1 Histogram Ketetanggan 28

(13)

x

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran

1 Output Dari Program Geoda 40

2 Peesamaan SAR Tiap Kabupaten 42

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Statistik inferensia adalah teknik pengambilan keputusan tentang suatu parameter berdasarkan contoh yang diambil dari populasi tersebut yang meliputi pendugaan (estimate) parameter dan pengujian hipotesis. Pengetahuan tentang hipotesis sangatlah penting dipelajari. Hasil pendugaan yang diperoleh haruslah dapat dipertanggung jawabkan. biasanya dinyatakan dengan tingkat kepercayaan dari hasil dugaanya sebagai suatu ukuran seberapa jauh kita menaruh kepercayaan pada ketetapan statistik yang menduga parameter populasinya. Oleh karena itu prosedur pendugaan parameter populasi harus dibuat dari informasi-informasi yang diperoleh dari penarikan data yang didasarkan atas penarikan contohnya, meskipun tidak dapat dipungkiri satu parameter tertentu kadang-kadang menggunakan beberapa penduga yang berlainan (Wibisono, Yusuf. 2005).

Regresi spasial merupakan pengembangan dari model regresi linear klasik atau ordinary linear regression (Anselin,1998). Metode ini diguakan untuk memodelkan data yang megandung unsur spasial. Banarje (2004) mengatakan “Data spasial adalah data yang memuat informasi “lokasi”, jadi tidak hanya “apa” yang diukur tetapi menunjukkan lokasi data itu berada”. Sehingga regresi spasial mempertimbangkan lokasi atau jarak antar objek. Seperti yang dikatakan oleh Waldo Tobler dalam Anselin “ segala sesuatu saling berhubungan satu dengan yang lainya, tetapi sesuatu yang dekat lebih berpengaruh daripada sesuatu yang jauh”. Akibatnya, terdapat pengaruh antara letak geografis suatu wilayah dengan data yang diamati.

Salah satu kejadian yang mengandung data spasial adalah pennyebaran Covid-19 di kota Medan.

Analisis spasial ini digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dari analisis regresi dimana pada model analisis regresi tidak bisa digunakan untuk mengetahui adanya pengaruh lokal dari variabel peneliti, karena data mengandung faktor spasial yang menyebabkan model kurang akurat dan kesimpulan yang kurang tepat karena asumsi eror saling bebas dan asumsi homoginitas tidak terpenuhi. Oleh

(15)

2

karena itu, perlu adanya suatu analisis yang lebih akurat pada data spasial yaitu regresi spasial.

Pada penelitian ini, akan dilakukan estimasi pada salah satu medel regresi spasial yakni spatial autoregresive model. SAR merupakan model spasial yang terjadi akibat adanya pengaruh spasial pada variabel dependen. Adapun Spatial Error Model (SEM) merupakan model spasial yang terjadi akibat adanya pengaruh spasial pada error. Apabila data yang diperoleh menghasilkan dependensi lag maka data dimodelkan dengan SAR, tetapi apabila data menghasilkan dependensi error maka data dimodelkan dengan SEM. Jika data menghasilkan dependensi lag dan dependensi error maka data dimodelkan dengan Spatial Autoregressive Moving Average (SARMA).

Dari latar belakang di atas maka pada penelitian ini akan dibahas tentang prosedur mengestimasi parameter model spatial autoregresive dengan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood.

1.2 Rumusan Masalah

Regresi linier sederhana kurang tepat digunakan untuk memodelkan kasus yang mengandung faktor spasial karena menyebabkan model kurang akurat dan kesimpulan yang kurang tepat akibat asumsi eror saling bebas dan asumsi homoginitas tidak terpenuhi. Oleh karena itu, perlu adanya suatu analisis yang lebih akurat pada data spasial yaitu regresi spasial. Dalam penelitian ini, analisis dan pemodelan untuk data yang di dalamnya ada faktor spasial dapat digunakan regresi spasial.

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini penulis membatasi permasalahan sebagai berikut:

1. Pada penelitian ini, nilai estimasi parameter yang akan dicari pada model spatial autoregresive.

2. Asumsi bahwa model spatial autoregresive mengikuti distribusi normal yaitu ( )

3. Nilai estimasi , , dan akan dicari dengan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood.

(16)

3

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui bentuk estimasi model regresi spatial autoregresive dengan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood.

2. Menentukan model kasus Covid-19 di kota Medan dengan model regresi yang sesuai Mengkaji efektifitas metode regresi spasial dalam menganalisis kasus penyebaran Covid-19 di Kota Medan.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah :

1. Bagi penulis untuk memperdalam pemahaman penulis mengenai estimasi parameter khususnya pada model spatial autoregresive.

2. Bagi pembaca diharapkan dapat menjadi bahan bacaan atau referensi dan gambaran mengenai langkah serta hasil dari model spatial autoregresive dengan penaksiran parameter menggunakan metode estimasi maksimum likelihood.

(17)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Matriks

Menurut Anton dan Roses (2004) Matriks adalah bilangan-bilangan dalam suatu jajaran berberntuk segi empat siku-siku. Bentuk umum dari matriks berukuran m x n yaitu sebagai berikut:

[

]

Adapun sifat-sifat dari matriks Menurut Anton dan Roses (2004;51) adalah sebagai berikut:

a. (( ) )

b. ( ) dan ( ) c. ( ) dengan k adalah sebarang sekalar d. ( )

2.2 Regresi Linear

Regresi merupakan pengukur hubungan dua variabel (bebas dan terikat) atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk hubungan/fungsi. biasanya dinotasikan dengan dan . Berdasarkan linieritas datanya, model regresi dibagi menjadi dua bagian yaitu regresi linier dan regresi nonlinier. Dikatakan bahwa jika hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat adalah linier maka disebut regresi linier.

Sementara itu, jika hubungan antara variabel independen dan variabel dependen tidak linier, maka regresi menjadi non-linier. Berdasarkan hubungan antar variabel independen, regresi linier meliputi dua jenis, yaitu analisis regresi linier sederhana dan analisis regresi linier berganda.

Regresi linear sederhana digunakan dalam mengamati pengaruh satu variabel bebas terhadap variabel terikat. Regresi linear berganda digunakan dalam mengamati pengaruh dua variabel bebas atau lebih terhadap variabel terikat. Bentuk umum

(18)

5

persamaan regresi ganda dengan m jumlah variabel bebas dan satu variabel terikat secara matematis dapat ditulis sebagai :

( ) Dengan

: variabel dependen : koefisien regresi

: variabel independen

: nilai eror regresi : 1,2,3,...,n

: jumlah observasi

Jika dirinci untuk setiap observasi :

Jika persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk matriks, dapat ditulis dengan :

Atau dapat ditulis dengan :

( )

2.3 Estimasi Parameter

Estimasi adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam suatu rumus yang digunakan untuk menghitung nilai dari penaksiran parameter yang didasarkan atas pengukuran di dalam sampel. Estimasi terbagi dalam dua bagian yakni estimasi titik dan estimasi interval.

1. Estimasi titik





















































m n

nm n

n

m m

X X

X

X X

X

X X

X

Y Y Y





 









2 1

2 1 0

2 1

2 22

21

1 12

11

3 2 1

1 1 1

(19)

6

Estimasi titik adalah penaksiran karakteristik populasi dengan menggunakan nilai dari sampel. Estimasi titik jarang dilakukan karena sangat jarang nilai karakteristik dari sampel serupa dengan nilai karakteristik dari populasi.

Hasil estimasi titik juga memberikan tingkat kepercayaan tertentu, namun perhitugan estimasi titik lebih mudah dilakukan.

2. Estimasi interval

Estimasi interval adalah penaksiran karakteristik populasi dengan menggunakam dua buah bilangan yang berbeda. Etimasi interval mengidintikasikan tingkat akurasi dari estimasi , sehingga estimasi interval dianggap lebih baik daripada estimasi titik.

Sifat sifat estimasi parameter : 1. Tak bias (unbias)

Misalkan adalah parameter dan ̂ adalah parameter tak bias dari , maka ̂ dikatakan estimator tak bias dari jika :

( ̂)=

2. Efisien

Estimasi dikatakan efisien bagi parameter jika penduganya mempunyai varian yang kecil.apabila terdapat lebih dari satu penduga, estimasi yang efisien adalah jika semua penduganya mempunyai varian yang keil.

3. Konsisten

Estimator parameter dikatakan konsisten jika nilai-nilainya mendekati nilai parameter yang sebenarnya meskipun ukuran sampelnya semakin besar.

suatu statistik dikatakan estimator yang konsisten untuk parameter jika dan hanya jika ̂ konvergen dalam probabilitas ke parameter ̂ atau dapat dituliskan sebagai berikut.

̂ Dengan p merupakan probabilitas.

2.3. Estimasi Maksimum Likelihood

Gujarati menjelaskan bahwa metode estimasi titik dengan karakteristik teoritis lebih baik daripada metode maksimum likelihood (ML). Metode maksimum likelihood adalah metode untuk memperkirakan parameter yang tidak diketahui.

(20)

7

Prosedur estimasi maksimum likelihood menguji apakah estimasi maksimum yang tidak diketahui dari fungsi likelihood sampel memaksimalkan fungsi likelihood.

Fungsi likelihood dari n variabel acak didefinisikan sebagai fungsi kepadatan gabungan dari n variabel acak. Fungsi kepadatan gabungan ( ), yang mempertimbangkan fungsi . Jika adalah sampel acak dari fungsi kepadatan ( ), maka fungsi likelihoodnya adalah ( ) ( ) ( ) (Spiegel, Murray dan Schiller, 2004: 170).

Makimum likelihood dapat diperoleh dengan mencari turunan dari L sampai dan menyatakan bahwa itu sama dengan 0. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menghitung logaritma terlebih dahulu dan kemudian menemukan turunannya.

Dengan cara ini kita mendapatkan:

( )

Penyelesaian dari persamaan ini, untuk dalam bentuk , dikenal sebagai estimator maximum likelihood.

2.4. Distribusi Normal

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan Abraham De Moivre (1667- 1754). Distribusi normal memiliki model kurva yang berbentuk simetris setangkup, menyeruai genta disekitar satu nilai yang bertepatan dengan puncak kurva yang menjulur ke kiri dan ke kanan mendekati sumbu datar sebagai asimtotnya.

Jika X menyatakan suatu peubah acak kontinu normal dengan parameter populasinya dan simpangan baku , maka fungsi yang menentukan simpangan galat baku normal dengan rata rata dan simpangan bakunya adalah:

( ) √

( )

Jika nilai dan maka disebut dengan distribusi normal baku.

2.5. Model Regresi Spasial

Menurut anselin (1988) bahwa model spasial yang mengandung unsur spasial disebut dengan model regresi spasial. Menurut jenis datanya, pemodelan

(21)

8

spasial dapat dibedakan menjadi pemodelan dengan pendekatan titik dan area. Jenis pendekatan titik antara lain, Geographically Weighted Regression (GWR), Geographically Weighted Poisson Regression (GWPR), Geographically Weighted Logistic Regression (GWLR), Space-Time Autoregressive (STAR), dan Generalized Space TimeAutregressive (GSTAR). Sedangkan jenis pendekatan area antara lain Mixed Regressive-Autoregressive atau Spatial Autoregressive Models (SAR), Spatial Error Models (SEM), Spatial Durbin Model (SDM), Conditional Autoregressive Models (CAR), Spatial Autoregressive Moving Average (SARMA), dan panel data (LeSage, 2011).

Bentuk umum model regresi spasial adalah

( ) ( ) ( ) ( )

Dengan

: vektor variabel dependen dengan ukuran

: matriks variabel independen dengan ukuran ( ) : vektor koefisien parameter regresi dengan ukuran ( ) : parameter koefisien spasial lag variabel dependen

: parameter koefisien spasial lag pada error : vektor error dengan ukuran

: matriks pembobot spasial dengan ukuran : jumlah pengamatan atau lokasi

: matriks identitas dengan ukuran

Beberapa model yang dapat dibentuk dari model umum regresi spasial ini, yaitu:

1. Apabila ρ=0 dan λ =0, maka persamaan menjadi model regresi klasik y = Xβ + ε

2. Jika nilai 0 dan λ = 0 maka akan menjadi Spatial Autoregressive Model (SAR)

( )

(22)

9

3. Jika nilai ρ=0 dan λ 0 mama akan menjadi model Spatial Error Model (SEM)

( )

4. Jika nilai, λ ≠ 0 ρ ≠ 0 disebut Spatial Autoregressive Moving Average (SARMA) dengan persamaan sama seperti pada persamaan (2.3)

2.5 Spatial Autoregresive Model (SAR)

Menurut Anselin (1988), Spatial Autoregresive Model (SAR) adalah model yang mengabungkan model regresi sederhana dengan lag spasial pada variabel dependen dengan menggunakan data cross section. Model SAR terbentuk jika W₂ = 0 dan λ = 0 , akibatnya model ini mengasumsikan bahwa proses autoregressive hanya pada variabel respon. Bentuk umum model SAR adalah sebagai berikut :

( ) ( )

Model ini adalah pengembangan dari model autoregressive order pertama, dimana variabel respon dipengaruhi oleh lag variabel respon itu sendiri serta variabel prediktor. Proses autoregressive juga memiliki kesamaan dengan analisis deret waktu seperti pada model spasial autoregressive order pertama. Perkembangan dari model SAR itu sendiri adalah model SAC dan SARMA (LeSage, 2009: 32).

Salah satu metode yang digunakan untuk menaksir koefisien regresi adalah metode kuadrat terkecil (ordinary least square). Adapun penaksir parameter dari model regresi SAR, yaitu sebagai berikut :

( ) ( ) ( )

2.6 Uji Lagrange Multipplier (LM)

LeSage (2009) mengatakan bahwa untuk menentukan model regresi yang tepat digunakan uji Lagrange Multiplier. Langkah pertama dalam uji ini adalah melakukan pembuatan model regresi sederhana melalui Ordinary Least Square (OLS). Selanjutnya melakukan identifikasi keberadaan model spasial dengan menggunakan uji LM. Apabila LMerror signifikan maka model yang digunakan adalah SEM, dan apabila LMlag signifikan maka model yang digunakan adalah SAR.

(23)

10

Apabila LMerror dan LMlag signifikan maka model yang digunakan adalah Spatial Autoregressive Moving Average (SARMA).

Bentuk uji LM yaitu 1. Pada SEM

Hipotesis yang digunakan adalah : H0 : ( ) H1 : ( ) Statistik uji :

(

) ( )

Pengambilan keputusan, menolak H0 jika LMerror > _{( )} dimana distribusi x² dengan 1 derajat bebas dan adalah nilai error dari hasil Ordinary Least Square.

2. Pada SAR

Hipotesis yang digunakan adalah : H₀: ( ) H1 : ( ) Statistik uji :

( )

(( ) ( ) ) ( )

Pengambilan keputusan, menolak H₀ jika LM_lag > _{( )} . Jilka signifikan maka model yang sesuai adalah SEM, dan jika signifikan maka model yang sesuai adalah SAR.

2.7 Signifikansi Parameter Regresi Spasial

Anselin (2003) mengatakan bahwa saalah satu prinsip dasar penduga maksimum likelihood adalah asymptotic normality, artinya semakin besar ukuran n maka kurva akan semakin mendekati kurva seberan normal. Pengujuan signifikansi parameter regresi dan autoregresif ( dan ) secara parsial yaitu didasarkan pada

(24)

11

nilai ragam galat , sehingga statistik uji signifikansi parameter yang dipergunakan yaitu,

̂ ̂

Dimana ̂ merupakan asymptotic standart error. Melalui uji parsial masing masing parameter ̂ dengan hipotesis

̂ ̂

Dimana ̂ merupakan parameter regresi spasial yaitu ( dan ), apabila

atau , maka keputusan tolak artinya koefisien regresi layak digunakan pada model.

2.8 Efek Spasial

Efek spasial dapat ditunjukkan dengan autokorelasi spasial. Autotokorelasi spasial merupakan ukuran kemiripan objek di dalam suatu ruang yang saling berhubungan. Pada kasus spasial, penggunaan istilah asosiasi mengacu pada data berbasis area dan memiliki hubungan yang bersifat kedekatan daerah. Autokorelasi berbasis pada data area (lokasi) ada yang bersifat positif dan negatif. Autokorelasi spasial bersifat positif jika dalam suatu daerah yang saling berdekatan mempunyai nilai yang mirip dan bersifat mengelompok. Sebaliknya, autokorelasi spasial bersifat negatif jika dalam suatu daerah yang berdekatan nilainya berbeda dan tidak mirip (Silk, 1979).

Kosfled (2006) menyakakan Karakteristik dari autokorelasi spasial adalah sebagai berikut. Pertama, jika terdapat pola sistematis pada variabel yang diamati, maka terdapat autokorelasi spasial. Kedua, jka variabel daerah terdekat (neighbouring regions) memliki kemiripan karakteristik, maka terdapat aotokorelasi spasial positif. Ketiga, jika variabel daerah terdekat (neighbouring regions) tidak memliki kemiripan karakteristik, maka terdapat aotokorelasi spasial negatif. Dan keempat, pola random atau acak menunjukkan bahwa tidak ada aotokorelasi spasial.

Pengukuran autokorelasi spasial untuk data area dapat dihitung menggunakan metode Indeks Moran, Rasio Geary’s, dan LISA. Pada penelitian ini akan menggunakan metode Indeks Moran.

(25)

12

2.9 Indeks Moran

Indeks Moran adalah ukuran autokorelasi spasial yang dikembangkan oleh Patrick Alfred Pierrce Moran pada tahun 1950. Metode ini digunakan untuk melakukan uji depedensi spasial atau autokorelasi antar lokasi pengamatan. Terdapat 3 bentuk pola spasial yang diamati yakni pemusatan (clustering), acak (random), dan terpisah (uniform).

Perhitungan autokorelasi spasial menggunakan Indeks Moran dapat diukur dengan menggunakan persamaan sebagai berikut :

∑∑ ( ̅)( ̅)

∑ ( ̅) ( ) Dengan :

: nilai dari variabel pada lokasi ke-i : nilai dari variabel pada lokasi ke-j ̅ : rata rata dari variabel

: elemen dari matriks pembobot

: pemjumlan dari elemen matriks pembobot; ∑ ∑

Nilai yang dihasilkan dalam perhitungan Indeks Moran terletak pada interval -1 sampai 1. Nilai indeks moran bernilai nol mengidentifikasikan tidak berkelompok (tidak terdapat autokorelasi). Nilai indeks moran yang positif mengindikasikan autokoreelasi spasial yang positif yang berarti lokasi yang berdekatan mempunyai nilai yang mirip dan cenderung berkelompok, dan nilai indeks moran yang negatif mengidentifikasikan autikorelasi spasial negatif yang berarti lokasi yang berdekatan mempunyai nilai yang berbeda dan menyebar (Pfeiffer dkk, 2008)

Uji signifikansi Indeks Moran dilakukan untuk meliahat adanya autokorelasi spasial atau tidak dengan langkah langkah sebagai berikut :

(i) Hipotesis H₀ : I = 0 H₁ : I

(ii) Tingkat signifikansi ( ) (iii) Statistik uji

( ) ^{( )}

√ ( ) ( )

(26)

13

Dengan,

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) Dengan,

∑ ∑ (2.13)

∑ ∑ ( ) (2.14) ∑(∑ ∑ ) (2.15) (iv) Kriteria uji:

Tolak pada taraf signifikasi jika | | > Z ( ) (v) kesimpulan

Jika nilai berarti terjadi autokorelasi positif saat bernilai positif menunjukkan pola mengelompok. Sebaliknya terdapat autokorelasi negatif saat bernilai negatif yang menunjukkan bahwa pola cenderung menyebar. Jika maka tidak terdapat autokorelasi atau memiliki pola menyebar tidak merata.

2.10 Matriks Pembobot Spasial

Dalam pengujian autokorelasi spasial menggunakan Indeks Moran dan LISA dibutuhkan matriks pembobot spasial. Matriks pembobot spasial simbolkan dengan W dan W_ij yang artinya matriks yang menggambarkan hubungan kedekatan jarak antar lokasi. Menurut Anselin (1995), matriks pembobot dapat dibedakan menjadi tiga jenis, diantaranya :

1. Rook Contiguity, daerah pengamatannya hanya ditentukan berdasarkan sisi- sisi yang saling bersinggungan tanpa memperhitungkan sudut.

2. Bishop Contiguity, daerah pengamatannya hanya ditentukan berdasarkan sudut-sudut yang saling bersinggungan tanpa memperhitungkan sisi.

3. Queen Contiguity, daerah pengamatannya ditentukan berdasarkan sisi-sisi yang saling bersinggungan dan sudut juga diperhitungkan.

Menurut kodfled (2006) Matriks pembobot spasial W dapat diperoleh dari dua cara yaitu matriks pembobot terstandarisasi dan matriks bobot tidak terstandarisasi. Matriks pembobot terstandarisasi merupakan matriks pembobot yang

(27)

14

diperoleh dengan cara memberikan bobot yang sama rata terhadap tetangga lokasi terdekat dan yang lainnya nol, sedangkan matriks pembobot tak terstandarisasi merupakan matriks pembobot yang diperoleh dengan cara memberikan bobot satu bagi tetangga terdekat dan yang lainnya nol. Bentuk umum matriks spasial W adalah

(

)

Selanjutnya, isi dari matriks pembobot spasial baris ke –i dan kolom ke-j yakni wij sebagai berikut :

Dengan :

= Nilai matriks pembobot spasial pada baris ke-i 1 = Jumlah nilai matriks contiguity baris ke-i

= Nilai matriks contiguity pada baris ke-i dan ke-j

Untuk melihat pola penyebaran atau pengelompokan antar lokasi dapat diamati melalui Moran’s Scatterplot. Moran’s Scatterplot adalah salah satu cara untuk menginterpretasikan Indeks Moran. Scatterplot Moran merupakan alat untuk melihat hubungan antara Zstd (nilai pengamatan yang distandarisasi) dengan nilai rata rata yang dihitung dari matriks pembobot WZstd (nilai mariks lokal yang dihitung dari mariks pembobot spasial). Berikut ilustrasi pembagian daerah menurut indeks moran.

Gambar 2.1 Kuadran Moran

Moran’s Scatterplot terbagi atas 4 kuadran. Kuadran I (terletak di kanan atas) disebut high-thigh (HH), yang menunjukkan bahwa daerah dengan pengamatan tinggi dikelilingi oleh daerah dengan pengamatan tinggi. Kuadran kedua (terletak di kiri atas) disebut low-high (LH), yang merepresentasikan area dengan observasi

(28)

15

rendah, namun dikelilingi area dengan observasi tinggi. Kuadran III (terletak di pojok kiri bawah) disebut low-low (LL) dan menunjukkan daerah dengan hasil observasi rendah dan dikelilingi oleh daerah dengan hasil observasi rendah. Kuadran IV (terletak di pojok kanan bawah) disebut high-low (HL), menunjukkan bahwa daerah dengan pengamatan tinggi dikelilingi oleh daerah dengan pengamatan rendah.

Scaterplot moran dengan hasil observasi yang banyak ditempatkan pada kuadran HH dan LL akan cenderung memiliki nilai autokorelasi spasial yang positif.

sebaliknya, Scatterplot moran dengan hasil observasi yang banyak ditempatkan pada di kuadran HL dan LH akan cenderung memiliki nilai atokorelasi spasial yang negatif. Untuk memperjelas hasil analisis, maka posisi masing- masing pengamatan pada scaterpol moran direpresentasikan ke dalam suatu peta tematik. peta tematik merupakan gambaran sebagian atau seluruh permukaan bumi yang disajikan dalam bentuk bidang datar dan memuat informasi tertentu.

Berikut peta kota Medan yang akan digunaka sebgai referensi penelitian.

Gambar 2.2 Peta kota Medan

Coronavirus merupakan sekelompok besar virus yang dapat menyebabkan infeksi penyakit pada manusia dan hewan. Pada manusia, biasanya menyebabkan infeksi saluran pernapasan, mulai flu ringan hingga penyakit yang serius seperti Middle East Respiratory Syndrome (MERS) dan Sindrom Pernafasan Akut Berat/

Severe Acute Respiratory Syndrome (SARS). Coronavirus jenis baru ditemukan pertama kali pada Desember 2019 di Wuhan, kemudian diberi nama Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2 (SARS-COV2), yang menyebabkan penyakit Coronavirus Disease-2019 (COVID-19).(kemenkes, 2019)

Covid-19 adalah penyakit menular. Kebanyakan pasien yang terpapar virus Covid-19 akan mengalami penyakit pernapasan ringan hingga sedang. Virus ini

(29)

16

menyebar dari orang ke orang melalui tetesan kecil di hidung atau mulut, dan menyebar saat seseorang batuk atau mengeluarkan napas.

Covid-19 dapat menyebabkan gejala ringan hingga berat. Sekitar 80% pasien dengan gejala ringan (pilek, sakit tenggorokan, batuk dan demam) bisa sembuh tanpa pengobatan khusus. Namun, sekitar 1 dari 5 orang dapat mengalami penyakit serius, seperti pneumonia atau kesulitan bernapas, yang biasanya berkembang secara bertahap. Para lansia dan penderita penyakit yang sudah ada sebelumnya (seperti diabetes, tekanan darah tinggi dan jantung, paru-paru atau kanker) biasanya lebih mudah terserang penyakit serius. Melihat perkembangan sejauh ini, dipastikan lebih dari 50% kasus yang dikonfirmasi telah membaik, dan angka kesembuhannya akan terus meningkat. (Kementerian Kesehatan, 2019)

ruakan kel

(30)

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistika Kota Medan tentang jumlah penduduk, luas wilayah dan kepadatan penduduk berdasarkan kecamatan Kota Medan tahun 2020 (BPS,2017). Dan Sumutgocovid.id tentang jumlah pasien terkonfirmasi positif Covid-19 tahun 2020 berdasarkan kecamatan.

Tabel 3.1 Jumlah Penderita Covid 19

No Kecamatan Jumlah Penderita Covid-19

1 Medan Amplas 1290

2 Medan Area 1088

3 Medan Barat 879

4 Medan Baru 1117

5 Medan Deli 681

6 Medan Denai 1542

7 Medan Helvetia 2552

8 Medan Johor 2151

9 Medan Kota 1389

10 Medan Kota Belawan 258

11 Medan Labuhan 453

12 Medan Maimun 612

13 Medan Marelan 629

14 Medan Perjuangan 1142

15 Medan Petisah 1179

16 Medan Polonia 598

17 Medan Selayang 2291

18 Medan Sunggal 1983

19 Medan Tembung 1280

20 Medan Timur 1581

21 Medan Tuntungan 1692

Tabel 3.2 Jumlah Penduduk Per-kecamatan

No Kecamatan Jumlah Penderita Covid-19

1 Medan Amplas 127661,1

2 Medan Area 112394,6

3 Medan Barat 88601,98

4 Medan Baru 36522,02

(31)

18

5 Medan Deli 189321

6 Medan Denai 169643

7 Medan Helvetia 164910,1

8 Medan Johor 151755,9

9 Medan Kota 87511,78

10 Medan Kota Belawan 108987,1

11 Medan Labuhan 133764,8

12 Medan Maimun 49231

13 Medan Marelan 182515

14 Medan Perjuangan 103813

15 Medan Petisah 71843,99

16 Medan Polonia 59914,97

17 Medan Selayang 103176

19 Medan Tembung 146534

20 Medan Timur 116985

21 Medan Tuntungan 97248,94

Tabel 3.3 Kepadatan Penduduk Per-Kecamatan

No Kecamatan Kepadatan Penduduk

2 Medan Area 21408,5

3 Medan Barat 16623,26

4 Medan Baru 6253,77

5 Medan Deli 9084,5

6 Medan Denai 18745,08

8 Medan Johor 10408,5

9 Medan Kota 16605,65

12 Medan Maimun 16520,47

13 Medan Marelan 7662,26

14 Medan Perjuangan 25382,15

17 Medan Selayang 8054,33

19 Medan Tembung 18339,67

20 Medan Timur 15075,39

Tabel 3.4 Luas wilayah Per-kecamatan

No Kecamatan Luas wilayah

(32)

19

3.2 Metode Penelitian

Adapun metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur yaitu penelitian yang dilakukan dengan dengan cara mengumpulkan informasi, data dari jurnal, buku buku, artikael dan lain lain (Mardalis:1999;28)

Berikut merupakan langkah langkah dalam penelitian ini:

1. Menentukan persamaan autoregresi spasial

2. Menentukan fungsi log-likelihood untuk gabungan vektor observasi y, berdasarkan sebaran normal baku gabungan pada vektor galat v.

3. Menentukan estimasi parameter pada model autoregresi spasial dengan metode estimasi maksimum likelihood dengan mencari nilai estimasi parameter dan kovarian (Ω).

4. Mengaplikasikan persamaan autoregresi spasial pada kasus Covid-19 di kota Medan.

5. Mencatat hasil dan kesimpulan.

2 Medan Area 5,25

3 Medan Barat 5,33

4 Medan Baru 5,84

5 Medan Deli 20,84

6 Medan Denai 9,05

8 Medan Johor 14,58

9 Medan Kota 5,27

12 Medan Maimun 2,98

13 Medan Marelan 23,82

14 Medan Perjuangan 4,09

17 Medan Selayang 12,81

18 Medan Sunggal 15,44

19 Medan Tembung 7,99

20 Medan Timur 7,76

(33)

BAB 4 PEMBAHASAN

4.1 Model Autoregresi Spasial (SAR)

Model spatial autoregressive terbentuk jika W2 = 0 dan λ = 0, akibatnya model ini mengasumsikan bahwa proses autoregressive hanya pada variabel respon.

Bentuk umum model SAR adalah sebagai berikut :

( ) ( )

: vektor variabel dependen dengan ukuran

: matriks variabel independen dengan ukuran ( ) : vektor koefisien parameter regresi dengan ukuran ( ) : parameter koefisien spasial lag variabel dependen

: vektor error dengan ukuran

: matriks pembobot spasial dengan ukuran : jumlah pengamatan atau lokasi

: matriks identitas dengan ukuran

Sehingga dapat dinyatakan dengan matriks berikut :

4.2 Membentuk Fungsi Log-likelihood Dari Model SAR

Untuk mencari estimasi parameter maka persamaan umum (3.2) dari regresi spasial akan dibentuk menjadi persamaan berikut :

( )

dengan (4.2)



































































m n

nm n

n

m m

m n n

n

n n

X X

X

X X

X

X X

X

W W

W

W W

W

W W

W

Y Y Y





 

 













2 1

2 1 0

2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

2 22

21

1 12

11

3 2 1

(34)

21

Dan persamaan (3.3) diubah menjadi persamaan berikut :

( )

dengan (4.3) ( ) (4.4) Dengan matriks dari kovarian errornya adalah

[ ] (4.5) Dengan merupakan eror dan diasumsikan memiliki rata rata nol dan ragam yang masing masing elemen diagonalnya bernilai . Sehingga ditransformasikan dalam bentuk persamaan normal baku N(0,1) dengan elemen diagonalnya bernilai 1. Adapun transformasi persamaan linear adalah sebagai berikut :

^-1//2 (4.6) Atau dapat ditulis sebagai,

^1/2 Karena v N(0,1) maka vektor error u berubah menjadi:

^1/2 (4.7)

Kemudian subtitusi persamaan (4.7) dengan (4.2) sehingga diperoleh:

^1/2 Atau dapat ditulis sebagai,

-1/2 ( ) (4.8) [ ]

Transformasikan peubah acak dan menggunakan metode jacobian sehingga diperoleh :

( )

(⁽ ^{( )}

)

(

( )

)

(35)

22

= (

( ) ) (

( )

)

( ) ( ) Sehingga diperoleh, (

)=( ) | ||A| (4.9) Berdasarkan sebaran normal baku gabungan pada vektor error , maka fungsi log-likelihood untuk gabungan observasi y diperoleh sebagai berikut :

( | ) ∏ (

√

(( ) ) (( ) )

)

∏ (

√

^{(( ))} ^{(( )}

)

[

√

]

^{(( ))} ^{(( ))}

( )

^{(( ))} ^{(( )}

Selanjutnya persamaan tersebut diubah kedalam fungsi log-likelihood sebagai berikut :

( | ) ( ( )

^{(( )} ^{( ))})

( ) ^{(( )} ^{( ))} Subtitusikan det

=( ) | ||A|

( ) (( ) ( ))

( ) | | | | (( ) ( ))

= ( ) | | | | (( ) ( ))

(36)

23

Asumsikan ( )^T ( ) adalah jumlah kuadrat error dengan syarat determinan dari matriks Jacobian terpenuhi yakni | . (Anselin,1988).

Model regresi ini melibatkan spasial lag, dengan asumsi bahwa dan , sehingga bentuk log-likelihood menjadi :

( ) | | | | (( ) ( ))

( ) | | (( ) ( )) ( ) ( ) | | (( ) ( )) ( ) ( ) | | (( ) ( ))

( ) ( ) | |

(( ) ( )) (4.10) 4.3 Estimasi Parameter Model SAR Dengan Metode Maksimum Likelihood

Pada penelitian ini parameter parameter regresi spasial yang akan diestimasi adalah mengunakan metode estimasi maksimum likelihood.

4.3.1 Estimasi Parameter

Untuk memperoleh estimasi parameter maka fungsi dari persamaan 4.10 diturunkan terhadap yakni,

( | ) ( )

( ( ) ( ) | |

(( ) ( ))) ( )

(( ) ( )) ( )

( ( ))

( )

[ ( )

( ) ]

[ ]

(37)

24

Dengan menyamakan hasil turunan dengan nol diperoleh ( )

Selanjutnya subtitusikian ke dalam persamaan di atas sehingga diperoleh estimator adalah sebagai berikut :

̂ ( ) ( ) (4.11)

Untuk memperoleh estimasi parameter varian maka fungsi dari persamaan 4.10 diturunkan terhadap yakni,

( | ) ( )

( ( ) ( ) | |

(( ) ( )) ( )

( ( )

(( ) ( ))) ( )

( )

( ) (( ) ( )) (( ) ( ))

( )

(( )) ( )

(( )) ( ) (( )) ( )

Selanjutnya untuk memperoleh estimator regresi autoregresif spasial, subtitusikan persamaan di atas dengan . Sehingga diperoleh :

̂ (( )) ( )

̂ (( ) ) (( ) ) Sehingga estimator adalah sebagai berikut :

̂ (( ) ) (( ) ) (4.12)

(38)

25

Parameter merupakan koefeisisen autoregresif pada spasialautoregresif,maka akan dilakukan estimasi pada A yang merupakan fungsi matriks yang terdapat koefisien .

( | ) ( )

( ( ) ( ) | |

( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

Dengan menyamakan hasil turunan dengan 0 maka diperoleh hasil,

( )

̂

(4.13) Karena merupakan koefisien pembobot, maka nilainya ditentukan dari data pengamatan.

4.3.4 Estimasi Parameter Regresi Autoregresif Spasial

Pada model regresi autoregresif spasial tedapat varian kovarian error yang dimisalkan dengan . Karena terdapat matriks kovarian ( ) maka perlu dicari estimator estimator tersebut, sehingga fungsi log likelihoodnya sebagai berikut:

( )

( ) | | (( ) ( )) Selanjutnya fungsi likelihood didiferensialkan terhadap ,

( | )

( ) ( ) ( ) | | (( ) ( )) ( )

(39)

26

(( ) ( )) (( ) ( )) (( ) ( ))

(( ) ( )) Sehingga estimator kovarian eror yaitu, ̂ (( ) ( ))

Selanjutnya untuk memperoleh estimator regresi autoregresif spasial, subtitusikan persamaan di atas dengan . Sehingga diperoleh :

̂ ((( ) ) (( ) )) (4.14)

4.4 Estimator Takbias Dari Regresi SAR 4.4.1 Sifat Estimator Takbias

Estimator dikatakan unbias jika ( ̂) ( ̂) [( ) ( ) ]

[( ) ( + )]

[( ) +( ) ] [( ) ]+ [( ) ]

[( ) ] [ ]+ [( ) ] [ ]

= [ ]+( )

= +0

=

4.4.2 Sifat Estimator Parameter

( ) [ (( ) ) (( ) )]

[(( ) ) (( ) )]

(40)

27

[ ]

Sehingga terbukti bahwa merupakan estimator bias.

4.4.3 Sifat Estimator Parameter

( ) [ (( ) ) (( ) )]

[(( ) ) (( ) )]

[ ]

Sehingga terbukti bahwa merupakan estimator bias.

4.5 Estimasi Parameter SAR Pada Kasus Covid-19 di Kota Medan

Pada penelitian ini akan dilakukan estimasi parameter regresi spasial autoregresif model pada kasus Covid-19 di kota Medan. Adapun variabel yang digunakan yaitu , jumlah penderita Covid-19 per-kecamatan (y), kepadatan penduduk kota Medan per-kecamatan (x₁), luas wilayah kota Medan per-kecamatan (x₂), jumlah penduduk kota Medan per kecamatan (x₃). Dengan menggunakan persamaan (4.11), (4.12) dan (4.13) selanjutnya akan dihitung nilai masing-masing dari parameter dari setiap lokasi dengan menggunakan program Geoda 0.9.5-i. Program Geoda adalah salah satu software yang digunakan pada kasus data spasial dan outputnya pada lampiran 1.

4.5.1 Matriks Pembobot Spasial

Kota Medan terdiri dari 21 kecamatan, sehingga dibuat sebuah matriks berukuran yang disebut dengan matriks pembobot spasial. Metode yang digunakan dalam pembuatan matriks spasial ini adalah metode queen contiguity.

Jumlah masing masing tetangga dari tiap kecamatan disajikan pada Tabel 4.1

(41)

28

Tabel 4.1 Banyak Tetangga dengan Banyak Kecamatan

Dari Tabel 4.1 diketahui bahwa Kecamatan yang memiliki paling banyak tetangga terletak pada kelompok 6 yaitu Medan Kota dan Medan Maimun.

Sedangkan jumlah ketetanggaan paling sedikit terletak pada kelompok 1 yaitu Medan Belawan dan Medan Tuntungan. Tabel 4.1 dapat dilihat secara histogram pada Gambar 4.1 berikut.

Gambar 4.1 Histogram Ketetanggaan

Berdasarkan Tabel 4.1 dan Gambar 4.1 matriks pembobot spasial ( ) dengan ordo 21×21 yang terbentuk adalah

Warna Kelompok Jumlah Tetangga Nama Provinsi

1 2 Medan Belawan, Medan Tungtungan.

2 3 Medan Area, Medan Helvetia, Medan Labuhan, Medan Marelan, Medan Tembung.

3 4 Medan Amplas, Medan Baru, Medan

Deli, Medan Sunggal.

4 5 Medan Denai, Medan Johor, Medan

Perjuangan, Medan Polonia, Medan Selayang

5 6 Medan Barat,Medan Petisah, Medan

Timur.

6 7 Medan Kota, Medan Maimun.

(42)

29

 







 









0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0

Queen

W

Matriks pembobot yang diguakan adalah matriks ( ) yang telah terstandarisasi.

Adapun bentuk dari matriks tersebut adalah ,

(43)

30















0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0

6 0 1 6 0 1 0 0 6 0 0 1 6 0 1 6 0 0 1 0 6 0 0 1 6 0 1 0

3 0 0 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 4 0 0 1 4 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 1 4 0 0 1 0 0

5 0 1 5 0 0 1 5 0 1 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 5 0 0 1 0 0

0 0 0 5 0 0 1 5 0 1 5 0 0 1 0 5 0 0 1 0 5 0 0 1 0 0

0 0 6 0 0 1 6 0 1 0 6 0 0 1 0 0 6 0 0 1 6 0 1 6 0 1 0

5 0 1 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 5 0 0 1 0 5 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 3 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0

7 0 0 1 0 7 0 1 7 0 1 0 0 0 7 0 1 7 0 1 0 0 7 0 0 1 7 1

0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 3 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 1 0 0 0 7 0 0 1 7 0 1 0 0 0 7 0 0 1 7 0 1 7 1 7 1

5 0 1 0 5 0 1 5 0 1 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1

0 0 3 0 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0

0 5 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 5 0 1 5 1

4 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 1 4 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 1 0

0 0 4 0 1 4 1 4 1 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 1 0 0 6 0 0 1 6 0 0 1 6 0 0 1 6 0 1 6 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 3 0 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 1 4 0 1 4 0 1 4 0 1 0 0 0 0

W

Matriks Wy adalah hasil perkalian matrisk W dengan y yaitu,