PENDEKATAN SAMPEL MEDIAN (SAMPLE MEDIAN APPROXIMATION) PADA STOCHASTIC DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

APPROXIMATION) PADA STOCHASTIC DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

DISERTASI

Oleh

MARAH DOLY NASUTION 148110006/Ilmu Matematika

PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2020

APPROXIMATION) PADA STOCHASTIC DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

DISERTASI

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor Dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika di bawah Pimpinan Rektor

Universitas Sumatera Utara Prof. Dr. Runtung, SH., M.Hum, dipertahankan pada tanggal 14 Februari, Tahun 2020, di Medan

Sumatera Utara

Oleh:

MARAH DOLY NASUTION 148110006/Ilmu Matematika

PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2020

PANITIA PENGUJI DISERTASI

Pimpinan Sidang : Prof. Dr. Runtung, S.H., M.Hum Rektor USU

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang USU, Medan

Anggota : Prof. Dr. Anton Abdulbasah Kamil Istanbul Gelisim University, Turkey

Dr. Syahril Efendi, M.IT USU, Medan

Dr. Sutarman, M.Sc USU, Medan

Prof. Dr. Marwan Ramli, M.Si UNSYIAH, Aceh

PENDEKATAN SAMPEL MEDIAN (SAMPLE MEDIAN APPROXIMATION) PADA STOCHASTIC DATA

ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

DISERTASI

Saya menyatakan bahwa disertasi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.

Medan, Februari 2020 Penulis,

Marah Doly Nasution

Sebagai civitas akademika Universitas Sumatera Utara, Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : MARAH DOLY NASUTION

NIM : 148110006

Program Studi : S3-Ilmu Matematika Jenis Karya Ilmiah : Disertasi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Univer- sitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty Free Ri- ghts) atas disertasi saya yang berjudul:

Pendekatan Sampel Median (Sample Median Approximation) Pada Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA)

beserta perangkat yang ada. Dengan Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif ini, Univer- sitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat, mengelola dalam bentuk data base, merawat dan mempublikasikan disertasi saya tanpa meminta izin dari saya selama mencantumkan nama saya sebagai pemegang dan/atau sebagai penulis dan sebagai pemilik hak cipta.

Demikian peryataan ini dibuat dengan sebenarnya.

Medan, Februari 2020 Penulis,

Marah Doly Nasution

APPROXIMATION) PADA STOCHASTIC DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

ABSTRAK

Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan salah satu teknik pendekatan matema- tika non-parametrik yang berorientasi pada data untuk mengukur tingkat efisiensi rela- tif/performa dari suatu entitas yang disebut Unit Pembuat Keputusan (UPK), dimana setiap UPK menjalankan tugas yang serupa dalam suatu sistem produksi yang mengkon- sumsi beberapa input untuk menghasilkan beberapa output secara deterministik. Dalam beberapa kasus, terdapat persoalan bahwa data yang diolah memiliki unsur ketidakpas- tian. Hal ini menjadi pertimbangan bagi penulis untuk melakukan penelitian tentang Stokastik Data Envelopment Analysis (SDEA). Penelitian pada disertasi ini membahas pendekatan dalam menentukan peringkat efisiensi dan super efisiensi suatu Unit Pengam- bilan Keputusan (UPK) dalam model DEA dengan data stokastik. Dalam menentukan efisiensi, SDEA terlebih dahulu ditransformasikan menjadi DEA deterministik yang eki- valen dengan mengubah kendala peluangnya sedemikian rupa sehingga masalah SDEA dapat diselesaikan. Penulis mengusulkan suatu teknik pendekatan yang disebut Sample Median Approximation (SMA) untuk mengubah kendala peluang sehingga akan mudah untuk mendapatkan solusi optimal dalam menentukan efisiensi. Dalam pengerjaannya, data yang akan diolah terlebih dahulu ditentukan rata-rata median yang nantinya akan dianggap mewakili rata-rata sampel yang sebenarnya. Penyelesaian dengan menggunakan SMA dapat terlihat langsung apakah UPK yang dievaluasi tidak efisiensi, efisiensi atau super efisiensi.

Kata kunci: SDEA, Sample median approximation, Super efiseinsi.

DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

ABSTRACT

Data Envelopment Analysis (DEA) is a data-oriented non-parametric mathematical app- roach to measuring the relative efficiency/ performance of an entity called the Decision Making Unit (DMU), where each DMU performs similar tasks in a production system that consume some input to produce some output deterministic. In some cases, there is a problem that the data being processed has an uncertainty problem. This is a consideration for the author to conduct a research on Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA).

The research in this dissertation discusses the approach in determining the efficiency and super efficiency ratings of a Decision Making Unit (DMU) in the DEA model with sto- chastic data. In determining efficiency, SDEA is first transformed into an equivalent deterministic DEA by changing its chance constraints in such a way that the SDEA pro- blem can be solved easily. The author proposes an approach technique called a Sample Median Approximation (SMA) to change the chance constraints so that it will be easy to get the optimal solution in determining the efficiency of DMUs. In the process, the data to be processed first is determined by the median average which will later be considered to represent the actual sample average. The completion using (SMA) can be seen directly whether the DMU that is evaluated is not efficiency, efficiency or super efficiency.

Keywords: SDEA, Sample median approximation, Super efficiency.

Assalamualaikum Wr. Wb.

Segala puji bagi Allah SWT dan syukur atas segala curahan rahmat, taufik dan hidayah-Nya sehingga Penulis dapat menyelesaikan disertasi dengan judul PENDEKAT- AN SAMPEL MEDIAN (SAMPLE MEDIAN APPROXIMATION ) PADA STOCHASTIC DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA) yang merupak- an salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

Dalam Penyusunan disertasi ini, penulis telah banyak mendapat bantuan dan bim- bingan, dari berbagai pihak. Untuk itu pada kesempatan ini dengan segala kerendahan disampaikan ucapan terimakasih kepada:

Bapak Prof. Dr. Runtung Sitepu, SH., M.Hum. selaku Rektor Universitas Sumatera Uta- ra yang telah memberikan motivasi dan informasi berharga dalam penyelesaian disertasi ini.

Bapak Prof. Dr. Krista Sebayang, MS. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pe- ngetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Program Doktor Ilmu Matematika angkatan 2014.

Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi S3 Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Program Doktor Ilmu Matematika angkatan 2014.

serta ketulusan hati dalam memberikan masukan yang sangat berharga dalam penyelesa- ian disertasi ini.

Bapak Prof. Dr. Anton Abdulbasah Kamil. dan Bapak Dr. Syahril Efendi, M.IT.

sebagai Co-Promotor, atas keikhlasan dan kesabaran serta ketulusan hati dalam membe- rikan bimbingan dan arahan yang sesuai dengan sasarannya sehingga disertasi ini dapat terselesaikan.

Bapak Prof. Dr. Marwan Ramli, M.Si. dan Bapak Dr. Sutarman, M.Sc., selaku Penguji Luar Komisi atas ketulusan hati dalam memberikan masukan dan arahan serta penilaian mengenai isi disertasi ini.

Seluruh Staf Pengajar Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya kepada Penulis selama ini.

Seluruh teman-teman Program Studi Doktor Ilmu Matematika, yang senantiasa memberi semangat dan dorongan serta doanya kepada penulis.

Ibu Misiani, S.Si dan Staf Administrasi Departemen Matematika serta Staf Administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Tidak lupa secara khusus penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan rasa sayang yang mendalam kepada Ayahanda, Ibunda, Istri dan anak tercinta serta segenap kelu- arga yang senantiasa memberi dukungan dan Doa kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahan ini.

tian disertasi ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan.

Medan, Februari 2020 Penulis,

Marah Doly Nasution

Marah Doly lahir di Medan 10 Oktober 1976, putra Bapak Wasman Efendi Nasution dan Ibu Murni Lubis. Penulis merupakan anak pertama dari enam bersaudara. Pada tahun 1989 lulus dari SD Negeri 068012. Penulis menyelesaikan studi SMP pada tahun 1993 dan dinyatakan sebagai alumni SMA Negeri IX Medan sejak tahun 1996. Penulis melanjutk- an studi di Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara (UMSU) dan dinyatakan lulus sebagai sarjana pada tahun 2003.Pada tahun 2008, penulis berhasil meraih gelar Magister Matematika, setelah menyelesaikan studinya di prodi S2 Matematika Universitas Suma- tera Utara (USU). Selanjutnya, sejak tanggal 26 Januari 2015, penulis tercatat sebagai mahasiswa program Doktor Matematika di USU. Penulis bekerja sebagai dosen tetap di UMSU sejak tahun 2004 hingga sekarang.

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

KATA PENGANTAR iii

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 7

1.3 Tujuan Penelitian 8

1.4 Manfaat Penelitian 8

1.5 Metode Penelitian 9

BAB 2 DATA ENVELOPMENT ANALYSIS 10

2.1 Tapal Batas (Frontier) Efisiensi 11

2.2 Mengukur Efisiensi 12

2.2.1 DEA model CCR 13

2.2.2 DEA model BCC 16

2.3 Model Super Efisiensi DEA CCR 18

2.4 Model Super Efisiensi DEA BCC 18

BAB 3 PEMROGRAMAN STOKASTIK 20

3.1 Definisi Program Stokastik 20

BAB 4 MODEL STOKASTIK DEA (SDEA) 25 4.1 Mengubah Model SDEA kepada DEA Deterministik yang Ekivalen 29 4.2 Hubungan Antara Stokastik dengan Model CCR dan BCC 30

BAB 5 SAMPLE MEDIAN APPROXIMATION 34

5.1 Estimasi Rata-Rata dan Varians 34

5.1.1 Estimasi rata-rata sampel (¯x) 34

5.1.2 Estimasi varian sampel (S²) 37

5.2 Membangun Model SMA 41

5.3 Menyelesaikan Pesoalan Model SMA 45

BAB 6 HASIL DAN PEMBAHASAN 47

6.1 Transformasi SDEA dengan Quadratic Programming 47

6.2 Penyelesaian SDEA Menggunakan Metode SMA 50

BAB 7 KESIMPULAN 61

DAFTAR PUSTAKA 63

Nomor Judul Halaman

6.1 Hierarki kriteria 9 vendor 51

6.2 Rata-rata dan standar deviasi kriteria masing-masing vendor 51 6.3 Rata-rata dan standar deviasi hampiran dari masing-masing vendor 53 6.4 Efisiensi relatif SDEA kasus seleksi vendor dengan parameter risiko α = 0.2

dan level aspirasi β = 0.9 56

6.5 Vektor bobot 56

6.6 Skor super efisiensi stokastik DEA deterministik ekivalen 59

Nomor Judul Halaman

2.1 Input, output dan outcome dari sebuah DMU 10

2.2 Kurva frontier DEA 11

6.1 Grafik efisiensi dan super efisiensi dari sembilan vendor 60

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam berbagai penentuan kinerja suatu organisasi serta untuk peningkatan produktivi- tas harus diukur tingkat efisiensi nya. Pada umumnya efisiensi dinyatakan dalam bentuk perbandingan antara masukan (input) dan luaran (output). Tetapi pada suatu perusaha- an bisa saja terdapat entitas input dan output yang berbeda, pada aspek sumber daya, kegiatannya, faktor lingkungan. Maka secara umum pengukuran efisiensi sulit yang ter- pakai. Maka untuk dapat mengukur tingkat efisiensi dengan adanya entitas input dan output yang berbeda dapat dilakukan dengan menggunakan Data Envelopment Analysis (DEA) (Charnes et al., 1978). Entitas input dan output dalam DEA disebut Decision Making Unit (DMU)/ Unit Pembuat Keputusan (UPK).

Program matematika yang digunakan untuk pengukuran efisiensi DEA dapat dide- finisikan sebagai suatu teknik pemrograman matematika untuk mengukur efisiensi teknis relatif untuk masing-masing UPK, yang merupakan rasio maksimum antara input yang terbobot dengan output yang terbobot. Hasil pengukuran tingkat efisiensi secara geome- tri dari penggunaan input yang tersedia untuk menghasilkan beberapa produk (output) dapat terlihat pada posisi yang berada pada garis tapal batas (f rontier) atau tidak. Da- lam hal ini tapal batas (f rontier) merupakan tolak ukur efisiensi, jika hasil pengukuran berada pada tapal batas maka dinyatakan efisien dan jika tidak pada tapal batas maka dinyatakan tidak efisien.

Farrell (1957) mengajukan pengukuran efisiensi yang terdiri dari dua komponen.

Komponen pertama yaitu efisiensi teknis, yang merefleksikan kemampuan perusahaan untuk mendapat output maksimum dari satu set input yang tersedia, dan komponen kedua yaitu efisiensi alokatif, yang merefleksikan kemampuan dari perusahaan menggu- nakan input dalam proporsi yang optimal, sesuai dengan harga masing-masingnya. Kedua ukuran efisiensi ini kemudian dikombinasikan untuk menyediakan ukuran total efisiensi.

Pengukuran efisiensi ini mengasumsikan bahwa fungsi produksi diketahui menghasilkan efisiensi 100%. Menurut Fried et al., (1993), kedua komponen efisiensi yang didefinisikan oleh Farrell (1957) diistilahkan sebagai efisiensi produktif.

Dalam DEA kadang-kadang ditemukan nilai- nilai ekstrim atau nol dalam bobot input dan/ atau output untuk UPK yang diujicoba. Dalam beberapa kasus, ditemukan pula dengan ketidaksempurnaan dari bobot, yaitu memberikan solusi bobot besar untuk variabel yang kurang penting atau memberikan bobot kecil atau nol untuk variabel yang penting. Terutama dalam kasus nol, bobot input dan/atau output tidak memberikan kon- tribusi untuk menafsirkan hasil analisis. Dalam literatur, berbagai upaya telah dilakukan untuk mengatasi masalah ini.

DEA memungkinkan manajer untuk mengevaluasi suatu ukuran secara efisien kare- na manajer tidak perlu mencari hubungan antar ukuran tersebut. DEA membantu untuk mengelompokkan suplier menjadi grup suplier efisien dan grup supplier tidak efisien, (Wu et al., 2009). DEA sangat fleksibel untuk mengidentifikasi supplier yang tidak efisien. Ke- lemahan DEA adalah tidak adanya penilaian dari pembuat keputusan, Saen (2010). DEA seperti model kotak hitam karena pembuat keputusan tidak bisa mempengaruhi kriteria padahal dalam prakteknya pembuat keputusan dapat dan harus membuat peringkat krite-

ria yang penting berdasarkan keahlian atau pengalaman walaupun pengambil keputusan tidak bisa menyatakan bobot tersebut secara eksak, (Wu et al., 2009).

Berdasarkan konsep dasar model CCR yang ditemukan oleh Charnes et al., (1978) yang dikenal dengan DEA CCR, bahwa unit yang menunjukkan kinerja terbaik adalah dengan skor efisiensi satu. Hal ini menunjukkan bahwa skor tersebut bagian dari tapal batas produksi yang tidak dapat dibandingkan dengan daerah tapal batas tersebut. Tek- nik lebih lanjut yang menggabungkan prinsip dasar DEA dikenal sebagai analisis super efisiensi yang diperkenalkan oleh Andersen dan Peterson (1993). Mereka menciptakan teknik yang lebih spesifik dengan relaksasi batas atas (upper bound) untuk efisiensi satu perusahaan dalam model DEA dasar dengan membandingkan tapal batas produksi secara empiris. Oleh karena itu, informasi lengkap efisiensi perusahaan tersebut diperoleh tanpa ada batasan dari batas atas. Konsep ini telah dirujuk dan disesuaikan dengan konsep standar DEA.

Skor super efisiensi akan bernilai lebih besar dari atau sama dengan satu yang menyi- ratkan bahwa analisis telah memberikan informasi tambahan mengenai kinerja relatif dari efisiensi sebuah perusahaan. Teknik ini mengarah kepada penentuan penempatan relatif tanpa memperhatikan ketidakefisiensian perusahaan. Karena ketidakefisiensian perusa- haan tersebut tidak dapat memperluas jangkauan tapal batas produksi, analisis super efisiensi tidak akan mengubah nilai teknis ketidakefisiensian perusahaan. Hal ini menun- jukkan secara jelas keberadaannya di bawah wilayah tapal batas produksi. Keterbatasan dalam pengukuran efisiensi memberikan informasi lebih lanjut tentang faktor-faktor yang mempengaruhi nilai efisiensi. Sehingga, faktor yang mempengaruhi nilai efisiensi tersebut secara lanjut harus dianalisis.

Model super efisiensi DEA dapat digunakan untuk memeringkat kinerja yang efisien.

Walaupun UPK yang dievaluasi tidak termasuk dalam suatu set rujukan model DEA yang original, model DEA yang dihasilkan disebut dengan model DEA super efisiensi. Selan- jutnya model DEA super efisiensi diperoleh dalam situasi hasil berskala tetap (Constant Return to Scale) yang disingkat dengan CRS atau hasil berskala variabel (Variable Return to Scale yang disingkat dengan VRS. Model super efisiensi DEA-CCR dikembangkan di bawah CRS oleh Andersen dan Petersen (1993) yang dikenal dengan model AP.

Thrall (1996) menunjukkan bahwa model AP dapat menyebabkan ketidaklayakan dan ketidakstabilan ketika beberapa input yang mendekati nol. Zhu (2001) juga menun- jukkan bahwa model super efisiensi DEA dengan CRS bisa terjadi ketidaklayakan jika dalam data nol. Ketika mempertimbangkan model super efisiensi DEA berdasarkan mo- del yang dibangun oleh Banker, Charnes dan Cooper tahun 1984, yang disingkat dengan BCC di bawah model super efisiensi VRS, maka ketidaklayakan dari program linier terkait mungkin terjadi.

Seiford dan Zhu (1998) menunjukkan kondisi yang diperlukan dan yang memadai, tidak layak dalam model super efisiensi VRS. Yao (2003) berpendapat bahwa super efisi- ensi bisa diartikan penghematan input dan surplus output yang dicapai oleh UPK yang efisien. Didasarkan tulisan Land et al., (1993), Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) adalah model baru untuk memeriksa efisiensi dari program sekolah Follow Thro- ugh untuk murid kurang mampu seperti dalam Charnes et al., (1978). Land et al., (1993), menawarkan prospek SDEA dan membangun model sendiri (LLT model) dan memper- kenalkan komponen stokastik untuk DEA dan menciptakan masalah kendala peluang dengan memperkenalkan variabilitas untuk output yang tergantung pada input.

Oleh karena kajian stokastik memiliki kendala peluang dengan variabel output ber- sifat acak, skenario yang dilakukan untuk dapat menyelesaikannya adalah dengan cara memastikan variabel acak tersebut terdistribusi normal. Setelah masalah optimasi sto- kastik diciptakan, Land et al., (1993), mengubah masalah ini yang ekivalen dengan deter- ministiknya, yang memungkinkannya untuk menentukan UPK yang efisien. Olesen dan Petersen (1995), menawarkan pendekatan yang berbeda untuk menggabungkan kompo- nen stokastik ke DEA. Olesen dan Petersen (1995) mengasumsikan bahwa ketidakefisienan UPK dapat diuraikan ke dalam ketidakefisiensian sebenarnya dan istilah gangguan data dari luar (disturbance term).

Olesen (2002) mengerjakan SDEA dengan membandingkan pendekatan Model LLT yang dibuat oleh Land et al., (1993) dan pendekatan model OP yang dibuat Olesen dan Petersen (1995) serta mengidentifikasi kelemahan dari kedua pendekatan tersebut. Model LLT dikritik karena tidak menjelaskan semua korelasi yang dapat terjadi pada gangguan data dari luar. Olesen (2002) mengkoreksi model OP yang diajukan oleh Olesen dan Petersen (1995) karena model OP mengabaikan fakta bahwa kombinasi konvek, misalnya, dua vektor identitas acak input − output dari dua UPK memiliki variasi lebih rendah dari vektor acak itu sendiri, kecuali untuk kasus dimana vektor input−output yang berkorelasi kuat atau sempurna.

Setelah Olesen (2002) menekankan kelemahan dari kedua model tersebut, ia mengu- sulkan sebuah model yang menggabungkan fitur menarik dari model LLT dan OP. Penye- lesaian langsung untuk model OP adalah untuk mengambil kumpulan daerah layak untuk setiap kombinasi linear dari vektor stokastik itu sendiri dari pada menggunakan sampul garis putus-putus dari daerah layak. Olesen (2003) menerapkan ide ini dan mengguna-

kan kombinasi model kendala peluang dalam papernya. Huang dan Li (2001), membuat sketsa model stokastik dengan kemungkinan variasi input dan output.

Huang dan Li (2001) mendefinisikan ukuran efisiensi suatu UPK melalui perban- dingan probabilistik gabungan input dan output dengan UPK lain yang dapat dievaluasi dengan memecahkan masalah pemrograman kendala peluang (Chance Constraints Pro- gramming). Wu dan Olson (2006) menggunakan pemrograman kendala peluang untuk memecahkan kelas khusus dari SDEA. Pada penelitian optimisasi stokastik yang lain di- ketahui bahwa untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman linier dengan kendala peluang dapat diselesaikan dengan mengubah kendala peluang tersebut menggunakan pendekatan sampel rata-rata (Sample Average Aproximation/ SAA).

Pagnoncelli et al., (2009), dan Vielma et al., (2012) menggunakan SAA dalam me- ngubah pemrograman kendala peluang ke dalam pemrogramanan kendala deterministik untuk mendapatkan calon solusi optimal. Shapiro (2003) mengubah kendala peluang menggunakan SAA, dengan cara menggantikan distribusi aktual dalam kendala peluang oleh distribusi empiris sesuai dengan sampel acak. Selanjutnya menyarankan bahwa da- lam kasus normal, dapat menghitung tapal batas efisien dan menggunakannya sebagai solusi tolok ukur. Berdasarkan hal tersebut dengan menggunakan pendekatan sampel median (Sample Median Aproximation/ SAA) pada Stochastic Data Envelopment Ana- lysis/ SDEA) untuk meranking UPK.

1.2 Perumusan Masalah

Metode penyelesaian masalah optimisasi dengan kendala probabilistic merupakan metode dari Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA). Dengan kendala demikian maka Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) tidak mudah tersolusikan. Maka teknik yang dapat digunakan adalah mentransformasi Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) menjadi Data Envelopment Analysis (DEA) deterministic yang ekivalen. Karena Data Envelopment Analysis (DEA) adalah optimisasi dengan kendala deterministic, yang secara umum solusinya sulit di tentukan.

Untuk mentransformasi Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) menjadi Data Envelopment Analysis (DEA) deterministik yang ekivalen diperlukan suatu teknik pemrograman kendala peluang yang disebut dengan pemrograman kuadratik, sedemikian rupa sehingga informasi yang ada pada peubah Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) dapat dijelaskan oleh peubah yang termuat dalam Data Envelopment Analysis deterministik yang ekivalen. Untuk mendapatkan nilai super efisiensi suatu Unit Pembuat Keputusan (UPK) pada Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) dengan meng- gunakan Data Envelopment Analysis (DEA) deterministik yang ekivalen, harus dicari terlebih dahulu apakah UPK yang dievaluasi itu efisien. Dengan memastikan UPK yang dievaluasi adalah efisien, maka UPK tersebut akan bisa menjangkau super efisiensi.

Pada penelitian ini akan diperlihatkan bagaimana mengubah kendala peluang pa- da Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) dengan menggunakan metode Sample Median Aproximation (SMA) menjadi pemrograman integer (IP) sehingga masalah Sto- chastic Data Envelopment Analysis (SDEA) dapat diselesaikan dan memberikan skor efisiensi suatu UPK.

Hasil yang diperoleh nantinya juga akan diperlihatkan perbandingannya dengan ha- sil yang diperoleh Wu dan Olson (2006) serta Efendi (2013).

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman kendala peluang pada Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA), yang dapat mentransfor- masi Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) dengan kendala bersifat probalisitik menjadi Data Envelopment Analysis (DEA) yang kendalanya bersifat deterministik, se- hingga penyelesaian masalah dalam mendapatkan nilai super efisiensi dapat diselesaikan.

Secara khusus akan ditentukan suatu teknik pemrograman kendala peluang pada Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) menggunakan metode Sample Median Aproximation (SMA) sebagai alternatif baru dalam mendapatkan nilai super efisiensi.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian disertasi ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam menambah ka- sanah ilmu pengetahuan dan teknologi pada umumnya. Secara khusus, hasil penelitian ini dapat digunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan permasalahan optimisasi yang berkaitan dengan Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA).

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian yang dilakukan adalah bersifat studi literatur dengan mengumpulkan informasi dari referensi buku dan jurnal tentang penelitian sejenis yang pernah dilakukan sebelumnya. Bahasan dalam penelitian ini meliputi:

1. Model Data Envelopment Analysis (DEA)

2. Masalah pemrograman stokastik

3. Model super efisiensi

4. Model Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA)

5. Model Sample Median Aproximation (SMA) sebagai solusi.

DATA ENVELOPMENT ANALYSIS

Data Envelopment Analysis (DEA) diperkenalkan oleh Charnes et al., (1978). Metode ini untuk mengevaluasi kinerja suatu aktifitas dalam sebuah unit entitas atau Decision Ma- king Unit (DMU). Pada dasarnya prinsip kerja model Data Envelopment Analysis (DEA) adalah membandingkan data input dan output dari suatu entitas atau Decision Making Unit (DMU) dengan data input dan output lainnya pada DMU yang sejenis. Perban- dingan ini dilakukan untuk mendapatkan suatu nilai efisiensi. Hubungan efisiensi dari Decision Making Unit (DMU), efektifitas dan produktivitas dapat dilihat pada segitiga berikut:

Gambar 2.1 Input, output dan outcome dari sebuah DMU

Pada gambar 2.1 dapat didefinisikan bahwa DMU mengkonsumsi beberapa input untuk menghasilkan beberapa output dalam mejadikan beberapa outcome. DMU ada secara eksak karena beberapa outcome dan untuk menjadikan beberapa outcome. Pa- ra manajer dari suatu DMU mencoba memaksimumkan hasil beberapa output dengan meminimumkan konsumsi beberapa input. Dalam mengevaluasi level efisiensi, efektifitas

Efisiensi : Inputs - - - DMU - - - Outputs Efisiensi : Inputs - - - DMU - - - Outputs Efisiensi : Inputs - - - DMU - - - Outputs

Selanjutnya, suatu DMU dikatakan produktif jika kerja-kerjanya efisien dan master DMUnya direncanakan secara efektif. Kontribusi kuantifikasi untuk memperoleh produk- tifitas sangat ditentukan oleh tingkat efisiensi DMU.

2.1 Tapal Batas (Frontier) Efisiensi

Data Envelopment Analysis (DEA) menyebutkan bahwa efisiensi dinyatakan dalam ben- tuk efisiensi tapal batas (frontier) yang juga sebagai fungsi produksi.

Gambar 2.2 Kurva frontier DEA

Gambar 2.2 mengilustrasikan konsep dasar DEA dan bagaimana DEA mengidenti- fikasi efisiensi frontier dan menetapkan tolok ukur standar. Dalam gambar 2.2 sumbu-x menyatakan risiko (risk) dan sumbu y menyatakan hasil pengembalian (return). Menggu- nakan teknik pemrograman linier, DEA mengidentifikasi bagian demi bagian garis lurus

efisiensi tapal batas, yakni garis yang kuat, ditunjukkan pada gambar 2.2 Tidak ada UPK lainnya diamati memiliki kombinasi risk-return yang lebih baik daripada UPK yang dii- dentifikasi DEA pada tapal batas efisien. Untuk UPK D diistilahkan sebagai DEA tidak efisien, dalam hal memperbaikinya menjadi efisien harus dilakukan pengurangan resiko sampai ke tapal batas efisien D⁰, atau harus menambahkan hasil pengembalian sampai ke tapal batas efisien D^”. Kemudian D⁰ atau D^” diidentifikasi sebagai tolok ukur standar untuk UPK. Dalam DEA beberapa ukuran kinerja disebut sebagai input dan output.

Pada gambar 2.2 dijelaskan bahwa DEA melakukan pengurangan input atau pun penambahan output pada UPK tak efisien untuk mencapai tapal batas efisien. Tapal batas efisien terdiri dari UPK yang tidak ada pengurangan input dan penambahan output yang diperlukan. Sebagai hasilnya diperoleh model DEA berorientasi input yang mana mengoptimalkan output sedangkan input disimpan pada tingkat sekarang.

2.2 Mengukur Efisiensi

Dalam menghitung tingkat efisiensi, diasumsikan bahwa ada n UPK yang dievaluasi, setiap UPK dengan m input dan s output. Untuk penulisannya dibuat x_ij (i = 1, . . . , m) dan y_rj (r = 1, . . . , s) sebagai nilai input dan nilai output dari UPK_j (j = 1, . . . , n), yang nilainya diketahui dan positif. Menurut pada implikasi efisiensi, efisiensi dari UPK_j dapat didefinisikan sebagai

max h₀ = Ps

r=1u_ry_ro Pm

i=1vixio

(2.1)

dimana ur dan vi merupakan bobot output ke-r dan input ke-i.

2.2.1 DEA model CCR

Model CCR dikenalkan oleh Charnes et al., (1978). Model ini memperkenalkan sua- tu ukuran efisiensi untuk masing-masing UPK yang merupakan rasio maksimum antara output yang terbobot dengan input yang terbobot. Masing-masing nilai bobot yang di- gunakan dalam rasio tersebut ditentukan dengan batasan bahwa rasio yang sama untuk tiap UPK harus memiliki nilai yang kurang dari atau sama dengan satu. Selanjutnya akan mereduksi perkalian input dan perkalian output ke dalam satu virtual input dan virtual output tanpa membutuhkan penentuan awal nilai bobot. Virtual input dan virtu- al output memberikan informasi terhadap setiap atribut unit yang relatif penting kepada setiap individu input dan output, dengan tujuan untuk memaksimumkan nilai efisiensi yang dimilikinya, Vercellis (2009).

Virtual input dari sutau UPK didefinisikan sebagai hasil dari input tiap unit dan berkorespondensi dengan bobot optimal. Sama halnya dengan virtual output merupakan hasil yang diterima oleh output tiap unit dan diasosiasikan dengan bobot optimal. Oleh karena itu ukuran efisiensi merupakan suatu fungsi nilai bobot dari kombinasi virtual input dan virtual output. Ukuran efisiensi UPK dapat dihitung dengan menyelesaikan permasalahan pemrograman matematika pada persamaan (2.2) berikut.

max h0 = Ps

r=1u_ry_ro Pm

i=1v_ix_i0 s.t

Ps

r=1u_ry_rj Pm

i=1virij

≤ 1, j = 1, . . . , n (2.2)

u_r, v_i ≥ 0, r = 1, . . . , s; i = 1, . . . , n

dimana subscript o menyatakan UPK yang dievaluasi, dengan xij adalah input tipe

ke-i yang diamati dari UPK ke−j dan xij > 0 untuk i = 1, . . . , m dan j = 1, . . . , n.

Demikian juga y_rj adalah nilai output tipe ke−r yang diamati dari UPK ke−j dan y_rj > 0 untuk r = 1, . . . , m dan j = 1, . . . , n. Sedangkan u_r dan v_i adalah variabel keputusan yang merupakan nilai bobot untuk menentukan permasalahan pemrograman diatas.

Akan tetapi, permasalahan ini memiliki solusi yang tidak terbatas karena jika u^∗ dan v^∗ adalah optimal, maka untuk tiap a > 0, au^∗ dan av^∗ juga optimal, dimana tanda

* menyatakan optimum. Dengan mengikuti transformasi Charnes-Cooper, maka solusi yang dapat dipilih adalah solusi (u, v) yang representatif dengan kondisi:

m

X

i=1

v_ix_io = 1

m

X

i=1

v_ir_io = 1

Sehingga diperoleh model pemrograman linier yang ekivalen dengan permasalahan Pem- rograman pecahan. Pembagi dalam ukuran efisiensi di atas dibuat sama dengan satu dan permasalahan linear yang telah di tranformasikan dapat ditulis dengan:

max Zo =

m

X

r=1

uryro

s.t

s

X

r=1

u_ry_rj −

m

X

i=1

v_ix_ij, j = 1, . . . , n (2.3)

m

X

i=1

v_ix_io = 1 u_r, v_i ≥ 0, r = 1, . . . , s; i = 1, . . . , m

Permasalahan pemrograman linier di atas sering disebut juga model CCR dengan berorientasi input-output. Maksimalisasi dilakukan dengan memilih virtual multiple (ya- itu nilai-nilai bobot) u dan v yang menghasilkan laju terbesar virtual output per virtual

Persoalan tersebut dapat ditulis untuk tiap UPKo seperti pada model (2.4):

θ^∗ = min θ_o s.t

n

X

j=1

λryrj ≥ yro, r = 1, . . . , s (2.4)

n

X

j=1

λ_rx_rj ≤ θ_ox_io, i = 1, . . . , m λj ≥ 0, j = 1, . . . , n

Model CCR dengan berorientasi input-output untuk UPK0 dengan fungsi tujuan maksi- mum dapat ditulis dengan:

θ_o^∗ = max θ_o s.t

n

X

j=1

λ_ry_rj ≥ y_ro, r = 1, . . . , s (2.5)

n

X

j=1

λ_rx_rj ≤ θ_ox_io, i = 1, . . . , m λ_j ≥ 0, j = 1, . . . , n

Pemrograman linier di atas memperoleh solusi optimal θ^∗, yang merupakan nilai efisiensi, disebut juga nilai efisiensi teknis atau efisiensi CCR untuk UPK_o tertentu. Jika ada himpunan bobot positif membuat θ^∗ = 1, maka UPK adalah relatif efisien. Nilai efisi- ensi ini disebut juga dengan nilai efisiensi teknis atau efisiensi CCR. Untuk mendapatkan nilai efisiensi keseluruhan UPK dapat diperoleh dengan cara mengulangi proses di atas untuk tiap UPK_j ,j = 1, . . . , n. Nilai θ selalu lebih kecil atau sama dengan satu. Bagi UPK yang relatif efisien akan terlihat dimana kombinasi virtual input-output terletak pada tapal batas efisien (efficient frontier).

2.2.2 DEA model BCC

Untuk mendapatkan variabel berskala hasil (variable return to scala), maka perlu ditam- bahkan kondisi konveksitas bagi nilai-nilai bobot λ, yaitu dengan memasukkan dalam model (2.5) batasan berikut:

n

X

j=1

λ_j = 1

Hasil model DEA yang memberikan variable return to scala (VRS) disebut model BCC, (Banker et al., 1984). Model BCC dengan berorientasi input-output untuk UPK_o dengan fungsi tujuan minimum dapat ditulis dengan Model BCC dengan berorientasi input-output untuk UPK_o dengan fungsi tujuan maksimum seperti pada model (2.6).

θ^∗ = max θ_o s.t

n

X

j=1

λryrj ≥ yro, r = 1, . . . , s (2.6)

n

X

j=1

λ_rx_rj ≤ θ_ox_io, i = 1, . . . , m

m

X

i=1

v_ix_io = 1 λ_j ≥ 0, j = 1, . . . , n

Nilai-nilai efisiensi BCC diperoleh dengan menjalankan model (2.6) untuk setiap UPK. Nilai-nilai efisiensi pengukuran kinerja BCC disebut nilai efisiensi teknis murni (pure technical efficiency), hal ini terkait dengan nilai-nilai yang diperoleh dari model yang memperbolehkan variabel berskala hasil, sehingga skala yang ada dapat tereliminasi.

Secara umum nilai efisiensi CCR untuk tiap UPK tidak akan melebihi nilai efisiensi BCC, yang memang telah jelas secara intuitif karena model BCC menganalisa tiap UPK secara lokal daripada secara global.

Dari model (2.6) untuk mendapatkan nilai efisiensi dengan fungsi tujuan minimal dapat dibuatkan model berikut:

θ^∗_o = min θ_o = (

m

X

i=1

S_i⁻+

m

X

r=1

S_i⁺)

s.t

n

X

j=1

λ_jy_rj − S_i⁺ = y_ro, r = 1, . . . , s

θ_ox_io −

n

X

j=1

λ_jx_ij − S_i⁻ = 0, i = 1, . . . , m (2.7)

n

X

j=1

λ_j = 1 λ_j ≥ 0. j = 1, . . . , n

Dari model (2.7) untuk mendapatkan nilai efisiensi dengan fungsi tujuan maksimal dapat dibuatkan model berikut:

θ^∗_o = max θ_o = (

m

X

i=1

S_i⁻+

m

X

r=1

S_i⁺)

s.t θ_oy_ro−

n

X

j=1

λ_jy_rj − S_i⁺= y_ro, r = 1, . . . , s (2.8)

n

X

j=1

λ_jx_ij − S_i⁻ = 0, i = 1, . . . , m

n

X

j=1

λj = 1 λ_j ≥ 0. j = 1, . . . , n

Definisi 2.1. (Efisiensi DEA) UPK_o adalah DEA efisien jika berikut ini terpenuhi, (i). θ^∗_o = 1

(ii). S_r^+∗ = S_i^−∗ = 0, ∀i, r

dimana penggunaan tanda * menunjukkan optimum. Demikian juga model (2.7), dalam menentukan kinerja dari tapal batas, UPK menggunakan model super efisiensi DEA BCC dengan fungsi tujuan maksimum. (Seiford dan Zhu (1999).

2.3 Model Super Efisiensi DEA CCR

Dimisalkan bahwa θ₀^∗ menunjukan nilai optimal. θ^∗₀ pada model (2.4) menyatakan nilai efiseinsi dan semua tapal batas UPK memiliki θ₀^∗ = 1. Dalam menentukan kinerja dari tapal batas UPK menggunakan super efisiensi model DEA CCR dengan fungsi tujuan minimum dapat diekspresikan sebagai berikut:

θ^∗_o = max θ_o = (

m

X

i=1

S_i⁻+

m

X

r=1

S_i⁺)

s.t θ_oy_ro−

n

X

j=1

λ_jy_rj − S_i⁺= y_ro, r = 1, . . . , s (2.9)

n

X

j=1

λ_jx_ij − S_i⁻ = 0, i = 1, . . . , m

n

X

j=1

λ_j = 1 λ_j ≥ 0. j = 1, . . . , n

Demikian juga pada model (2.5), dalam menentukan kinerja dari tapal batas UPK menggunakan super efisiensi model DEA CCR dengan fungsi tujuan maksimum dapat diekspresikan sebagai berikut:

θ^∗_o = max θ_o s.t

n

X

j=1,j6=0

λ_jy_rj ≥ θ_oy_ro, r = 1, . . . , s (2.10)

n

X

j=1,j6=0

λjxij ≤ 0xio, i = 1, . . . , m λ_j ≥ 0, j = 1, . . . , n

2.4 Model Super Efisiensi DEA BCC

Dimisalkan bahwa θ₀^∗ menunjukan nilai optimal. θ^∗₀ pada model (2.6) menyatakan nilai

tapal batas UPK menggunakan Model super effisiensi DEA BCC dengan fungsi tujuan minimum dapat dinyatakan sebagaimana yang dituliskan Seiford dan Zhu (1998), sebagai berikut:

θ^∗_o = min θ_o s.t

n

X

j=1,j6=0

λ_jy_rj ≥ y_ro, r = 1, . . . , s (2.11)

n

X

j=1,j6=0

λ_jx_ij ≤ x_io, i = 1, . . . , m

n

X

j=1,j6=0

λj = 1 λ_j ≥ 0, j = 1, . . . , n

Demikian juga dari model (2.7) dalam menentukan kinerja dari tapal batas UPK menggunakan super efisiensi model DEA BCC dengan fungsi tujuan maksimum dapat dinyatakansebagaimana yang dituliskan Seiford dan Zhu (1998) sebagai berikut:

θ_o^∗ = max θ_o s.t

n

X

j=1,j6=0

λ_jy_rj ≥ y_ro, r = 1, . . . , s (2.12)

n

X

j=1,j6=0

λjxij ≤ xio, i = 1, . . . , m

n

X

j=1,j6=0

λ_j = 1 λ_j ≥ 0, j = 1, . . . , n

PEMROGRAMAN STOKASTIK

Pemrograman stokastik atau probabilistik adalah persoalan pada kondisi atau situasi di- mana beberapa atau semua parameter dari masalah optimisasi digambarkan dengan va- riabel stokastik (probabilistik) lebih banyak daripada kuantitas deterministik. Beberapa variabel acaknya bergantung pada keaslian dan tipe dari masalah. Persoalan optimisasi stokastik disebut dengan masalah pemrograman nonlinier atau dinamik atau linier stokas- tik. Gagasan dasar digunakan dalam memecahkan setiap masalah pemrograman stokastik adalah untuk mengkonversi masalah stokastik ke dalam sebuah pemrograman determi- nistik yang ekivalen. Hasil dari masalah deterministik selanjutnya dipecahkan dengan menggunakan teknik-teknik yang akrab digunakan sepereti linier, geometri, dinamik dan pemrograman nonlinier.

3.1 Definisi Program Stokastik

Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan pemrograman matematik, tujuannya adalah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan mini- mum dan lain-lain. Keputusan dinyatakan oleh variabel berupa bilangan cacah atau non- negatif. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas. Andaikan keputusan dinyatakan dengan variabel (x1, . . . , xn).

Sebagai contoh x_i menyatakan produksi ke−i dari n produk.

Persamaan (3.1) menyatakan bentuk umum dari program stokastik.

min Z = f (x)

s.t f (xi) > bi, i = 1, . . . , n (3.1) x_i > 0; x_i ∈ X

dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif. Pemrograman Stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear dengan menampilkan elemen stokastik pada data.

Sehingga pemrograman stokastik dapat dinyatakan bahwa:

1. Pada pemrograman matematika deterministik, data adalah bilangan-bilangan yang diketahui.

2. Pada pemrograman stokastik, data merupakan bilangan tidak pasti yang disajikan sebagai distribusi peluang.

Pemrograman Stokastik merupakan pemrograman matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat, tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat.

Ada dua model dalam permasalahan Pemrograman Stokastik, yaitu : 1. Recourse models (model rekursif)

2. Probabilistically constrained models (model kendala berpeluang)

Persoalan Pemrograman Stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya, adalah

min h₁(x) + E[h₂(y(w), w)]

s.t g₁(x) ≤ 0, . . . , g_m(x) ≤ 0

f₁(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W (3.2)

... ...

f_k(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W x ∈ X, y(w) ∈ Y

dimana himpunan kendala f₁, f₂, . . . , f_k menggambarkan hubungan antara keputusan ta- hap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa dipersyaratkan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W yang mungkin. Fungsi h merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibu- tuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik. Untuk persoalan tahap ganda, penga- ruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.

Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu model yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut probabilistically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut:

min Z = f (x)

s.t h1(x) ≤ 0 (3.3)

...

h_m(x) ≤ 0 x ∈ X

(3.4)

3.2 Pemrograman Stokastik Dua Tahap

Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan ketidak- pastian dibahas dan diselesaikan dengan Pemrograman Stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan Pemrograman Stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik.

Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan di- buat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vector acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digu- nakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada

tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan.

Jika persoalan Pemrograman Stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen, andaikan terdapat persoalan berikut:

min(C, X) (3.5)

s.t A⁰X = B⁰ (3.6)

AX = B (3.7)

MODEL STOKASTIK DEA (SDEA)

Model Stokastik DEA yang diusulkan dapat dinyatakan dengan mempertimbangkan ring- kasan paper dari Cooper et al. (2003). Diasumsikan bahwa ada n, U P K(j = 1, ..., n) dan ˜Xj = (˜x1j, ..., ˜xmj)^T dan ˜Yj = (˜y1j, ˜ysj)^T vektor acak input dan output dari setiap U P K_j dan X_j = (x_1j, ..., x_mj) dan Y_j = (y_1j, y_sj) menyatakan vektor yang sesuai dengan nilai-nilai yang diharapkan dari input dan output untuk setiap U P K_j, j = 1, ..., n.

Penelitian ini sangat penting untuk perencanaan masa depan dimana akan dapat mengontrol jumlah input sebagai variabel keputusan, sementara tidak mampu mengon- trol output, karena jumlah ini tergantung pada faktor eksternal seperti kondisi ekonomi, perubahan demografis, dan faktor sosial ekonomi lain yang mempengaruhi besarnya out- put. Oleh karena itu, input dianggap sebagai variabel deterministik dan output dianggap sebagai variabel stokastik.

Pertimbangkan bahwa semua komponen input dan output yang akan bersama-sama didistribusikan secara normal dalam versi kendala peluang. Persoalan SDEA nantinya akan ditransformasi menjadi persoalan DEA deterministik ekivalen agar lebih mudah un- tuk dikerjakan. Hal ini tentunya memerlukan kontribusi dari asumsi-asumsi yang dipakai pada model pemrograman berkendala peluang. Dimana bentuk probabilitas pada kendala diubah menjadi persoalan ekspektasi.

Perhatikan model stokastik DEA berikut:

max ϕ s.t. prob

n

X

j=1

˜

y_rjλ_j ≥ ϕ˜y_ro

!

≥ 1 − α, r = 1, ..., s

prob

n

X

j=1

˜

xijλj ≤ ˜xio

!

≥ 1 − α, i = 1, ..., m

n

X

j=1

λ_j = 1

λ_j 6= 0, j = 1, ..., n

(4.1)

Dapat terlihat pada model (4.1) bahwa P rob berarti ”probabilitas” dan α adalah parameter resiko yang bernilai antara 0 dan 1 (0 ≤ α ≤ 1).

Definisi 4.1. (Stokastik Efisiensi): U P K_o adalah stokastik efisien hanya jika kedua kon- disi berikut terpenuhi.

(i) ϕ = 1

(ii) Nilai semua Slack nol untuk solusi optimal

Kondisi (ii) akan mengacu pada semua optimal alternatif karena optimasi tahap kedua terkait dengan ε > 0 tidak digunakan dalam model. Karena j = o adalah salah satu dari n U P K, selalu bisa mendapat solusi dengan ϕ = 1, λ0 = 1 ”dan ”?j = 1(j = o) dan semua slack nol. Namun, solusi ini tidak perlu maksimanl. Ini mengikuti bahwa maksimal dengan ϕ^∗ > 1.

Untuk setiap sampel j = 1, ..., n pengamatan berarti bahwa U P Ko yang sedang die- valuasi tidak efisien, karena tingkat probabilitas α yang ditentukan, buktinya akan menun- jukkkan bahwa semua output dari U P K_o dapat meningkat menjadi ϕ^∗y˜_ro > ϕ˜y_ror, r = 1, ..., s dengan menggunakan kombinasi konsveks dari U P K lainnya yang juga memenuhi,

prob

n

X

j=1

˜

x_ijλ_j ≤ ˜x_ijλ₀

!

≥ (1 − α), i = 1, ..., m.

Andaikan bahwa ζ_r > 0 dan ξ_i > 0 digunakan sebagai slack eksternal untuk output ke-r dan input ke-i, kendala peluang memenuhi.

prob

n

X

j=1

˜

y_rjλ_j − ϕ˜y_ro ≥ 0

!

= (1 − α) + ζ_r, r = 1, ..., s

dan

prob

n

X

j=1

˜

xijλj− ˜xio ≤ 0

!

= (1 − α) + ξr, i = 1, ..., m

Selanjutnya ada bilangan positif s⁺_r ≥ 0 dan s⁻_i ≥ 0 sedemikian sehingga

prob

n

X

j=1

˜

y_rjλ_j − ϕ˜y_ro ≥ s⁺_r

!

= 1 − α, r = 1, ..., s

dan

prob

n

X

j=1

˜

x_ijλ_j+ s⁻_i ≤ ˜x_io

!

= 1 − α, i = 1, ..., m

Sehingga didapat versi stokastik model BCC berikut:

max ϕ + ε

s

X

r=1

s⁺_r +

m

X

i=1

s⁻_i

!

s.t. prob

n

X

j=1

˜

y_rjλ_j − ϕ˜y_ro ≥ s⁺_r

!

= 1 − α, r = 1, ..., s

prob

n

X

j=1

˜

x_ijλ_j + s⁻_i ≤ ˜x_io

!

= 1 − α, i = 1, ..., m

n

X

j=1

λ_j = 1

λj ≥ 0, s⁻_i ≥ 0, s⁺_r ≥ 0, i = 1, ..., m, r = 1, ..., s, j = 1, ..., n

(4.2)

Definisi 4.2. (Stokastik Efisien): U P K0 adlah stokastik efisien hanya jika kedua kondisi berikut terpenuhi,

(i) θ^∗ = 1

(ii) s^+∗_r = s^−∗_i , ∀i, r

Definisi ini sejalan lebih dekat dengan Definisi 1 oleh karena ε > 0 dalam tujuan (15) membuatnya tidak perlu merujuk pada ”Semua solusi optimal” seperti dalam Definis 4.1.

Setelah Cooper et al. (1996), mengasumsikan bahwa input dan output adalah vari- abel acak dengan distribusi normal multivariat dan parameter diketahui. Peneliti mem- batasi dengan memperhatikan aturan keputusan kelas orde nol (Lihat Charnes et al., (1958)). Lihat juga Charnes dan Cooper (1961). (Untuk alasan dicatat dalam Cooper et al. (2001a), pilihan distribusi normal multivariat dan aturan orde nol kurang restriktif daripada yang pertama kali muncul menjadi kasus.)

α = prob

n

X

j=1

˜

y_rjλ_j − ϕ˜y_ro ≤ s⁺_r

!

= prob



Z ≤˜

s⁺_r − Pn

j=1y_rjλ_j− ϕy_ro σ_r⁰(Φ, λ)





Dimana ˜Z adalah variabel acak standar normal (dengan mean nol dan unit variansi satu) dan,

σ_r⁰(ϕ, λ)
2

=X

i6=0

X

j6=0

λ_iλ_j cov(˜y_ri+ ˜y_rj)+2(λ₀−ϕ)X

i6=0

λ_i cov(˜y_ri+ ˜y_r0)+(λ₀−ϕ)² var(˜y_r0)

adalah variansi dari Pn

j=1y˜_rjλ_j − ϕ˜y_ro

4.1 Mengubah Model SDEA kepada DEA Deterministik yang Ekivalen

Sketsa pengembangan ekivalensi deterministik untuk (4.2) untuk menunjukkan bagaima- na nilai-nilai ϕ^∗, s^+∗_r , s^−∗_i dapat ditentukan seperti yang diperlukan definisi 4.2. Untuk memulai, perlu dicatat bahwa

Φ



 s⁺_r

Pn

j=1yrjλj − ϕyro

 σ_r⁰(ϕ, λ)



= α

dimana Φ adalah distribusi normal standar dengan batas integrasi ditampilkan dalam kurung persegi. Dicatat bahwa ungkapan ini bebas dari unsur-unsur acak. Karena Φ normal diketahui memiliki invers. Jadi bisa ditulis sebagai:

Φ⁻¹(α) =

s⁺_r − Pn

j=1yrjλj − ϕyro

 σ_r⁰(ϕ, λ)

yakni

ϕy_ro−

n

X

j=1

y_rjλ_j+ s⁺_r − Φ⁻¹(α)σ_r⁰(ϕ, λ) = 0

dimana

σ_i^I(λ)
2

=X

j6=0

X

k6=0

λ_jλ_k cov(˜x_ij+ ˜x_ik) + 2(λ₀− ϕ)X

j6=0

λ_i cov(˜x_ij+ ˜x_i0) + (λ₀− ϕ)² var(˜x_i0)

Dengan demikian model (4.2) dapat diubah menjadi model berikut:

max ϕ + ε

s

X

r=1

s⁺_r +

m

X

i=1

s⁻_i

!

s.t. ϕy_ro−

n

X

j=1

y_rjλ_j + s⁺_r − Φ⁻¹(α)σ⁰_r(ϕ, λ) = 0, r = 1, ..., s

n

X

j=1

x_ijλ_j+ s⁻_i − Φ⁻¹(α)σ_i^I(λ) = ˜x_io, i = 1, ..., m

n

X

j=1

λ_j = 1

λj ≥ 0, s⁻_i ≥ 0, s⁺_r ≥ 0, i = 1, ..., m, r = 1, ..., s, j = 1, ..., n

(4.3)

Masalah ini, ada unsur-unsur acak yang bebas, yang diinginkan ”ekivalensi deter- ministik” untuk (4.2) istilah yang dibenarkan karena pilihan yang optimal dari variabel dalam (4.3) akan juga menjadi optimal untuk (4.2) dan, sebaliknya, solusi optimal (4.2) juga akan optimal untuk (4.3). Meskipun kekosongan elemen acak, model (4.3) adalah masalah pemrograman nonlinier karena bentuk fungsional σ_r^o(Φλ) dan σ_i^I(λ).

Dengan memanfaatkan teknik yang dikembangkan oleh Cooper et al., (1996), dapat ditransformasi menjadi masalah pemrograman kuadratik dan dipecahkan dengan algori- tma yang tersedia untuk kelas masalah ini.

Jika nilai yang telah ditentukan dari α sama dengan 0.5, maka Φ⁻¹(α) = 0. Efisiensi dan inefisiensi stokastik (dan kemacetan) selanjutnya dapat diperoleh dari (2.7) dan (2.8) jika Model BCC deterministik ini didasarkan pada nilai rata- rata dari input dan output.

Pentingnya hasil dalam kasus ini adalah bahwa tidak mempedulikan apakah variasi input dan output terlibat, efisiensi dan inefisiensi stokastik untuk setiap U P K_o diidentifikasi adalah sama dengan yang diperoleh dari model deterministik yang terbentuk dari rata- rata input dan output saja.

4.2 Hubungan Antara Stokastik dengan Model CCR dan BCC

Dalam rangka untuk membuat analisis lebih sederhana dan lebih mudah dipahami, seka- rang asumsikan bahwa semua input dan output adalah independen secara statistik.

Andaikan σ_i^I menyatakan standar deviasi dari ˜xij dan σ^o_r menyatakan standar dari

deviasi dari ˜yrj diperoleh.

σ_i^I(λ) =

"

X

j6=0

λ²_j(σ_rj^I )²+ (ϕ − λ₀)²(σ_r0⁰ )²

#1/2

≤X

j6=0

λ_jσ_rj⁰ + (ϕ − λ₀)σ_r0⁰

(4.4)

Karena untuk sebuah solusi optimal θ^∗ ≤ 1 dan λ^∗₀ ≥ 1, diperoleh (Φ − λ₀) ≥ 0, secara umum diperoleh,

σ_i^I(λ) =

"

X

j6=0

λ²_j(σ_rj^I )²+ (ϕ − λ₀)²(σ_r0⁰ )²

#1/2

≤X

j6=0

λ_jσ_rj⁰ + (ϕ − λ₀)σ_r0⁰ .

(4.5)

Kesamaan berlaku dalam (4.4), dapat juga diamati, jika dan hanya jika σ^o_rj = 0 untuk semua j 6= 0, dan kesamaan berlaku dalam (4.5) jika dan hanya jika σ^o_ij = 0 untuk semua j 6= 0. Oleh karena itu, kesamaan berlaku dalam (4.4), dapat juga diamati, jika dan hanya jika σ^o_rj = 0 untuk semua j 6= 0. Oleh karena itu,

(a) Jika 0 < α < 0, 5, diperoleh Φ⁻¹(α) < 0 dan karena itu:

ϕy_ro−

n

X

j=1

y_rjλ_j − Φ⁻¹(α)σ⁰_r(ϕ, λ) ≤ ϕy⁰_ro−

n

X

j=1

y⁰_rjλ_j, r = 1, ..., s (4.6)

dan

n

X

j=1

x_ijλ_j − x_io− Φ⁻¹(α)σ_i^I(λ) ≤

n

X

j=1

x⁰_ijλ_j − x⁰_io, i = 1, ..., m (4.7)

(b) Jika 0 < α < 0, 5, diperoleh Φ⁻¹(α) < 0 dan karena itu:

ϕy_ro−

n

X

j=1

y_rjλ_j − Φ⁻¹(α)σ⁰_r(ϕ, λ) ≤ ϕy⁰_ro−

n

X

j=1

y⁰_rjλ_j, r = 1, ..., s (4.8)

dan

n

X

j=1

x_ijλ_j − x_io− Φ⁻¹(α)σ_i^I(λ) ≤

n

X

j=1

x⁰_ijλ_j − x⁰_io, i = 1, ..., m (4.9)

dimana

y_ro⁰ = y_ro− σ^o_roΦ⁻¹(α), r = 1, 2, ..., s (4.10)

y_io⁰ = y_rj− σ_io^IΦ⁻¹(α), j 6= o, r = 1, 2, ..., s (4.11)

x⁰_io = x_io− σ_ij^IΦ⁻¹(α), i = 1, 2, ..., m (4.12)

x⁰_ij = x_ij − σ^I_ijΦ⁻¹(α), i = 1, 2, ..., m (4.13)

x⁰_ij = x_ij − σ_ij^IΦ⁻¹(α), j 6= 0, i = 1, 2, ..., m (4.14)

Akhirnya, kembali dicatat kesamaan yang akan berlaku untuk r dan i dalam (4.6), (4.7), (4.8), dan (4.9), jika dan hanya jika σ⁰_rj = 0 dan σ⁰_ij = 0 untuk j 6= 0.

Andaikan dipertimbangkan masalah pemrograman linier berikut:

max θ^∗_o = max θ_o s.t. ϕy_ro⁰ −

n

X

j=1

y⁰_rjλ_j+ s⁺_r = 0, r = 1, ..., s

n

X

j=1

x⁰_ijλ_j + s⁻_i = x⁰_io, i = 1, ..., m

λ_j ≥ 0, s⁻_i ≥ 0, s⁺_r ≥ 0, i = 1, ..., m, r = 1, ..., s, j = 1, ..., n

(4.15)

Ini merupakan model CRR yang dinyatakan dalam model (2.5) untuk U P K_odengan nilai input dan output disesuaikan dengan sebagaimana didefinisikan dalam (4.10)-(4.13) untuk U P Kj, j = 1, 2, ..., n.