Setiap Modul Merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih.

(1)

(2)

DAFTAT

ISI

i,MI Volume

11

No

1

AFdl

2015

PENGAIITAIT REDA{ST

UCAPAN TER]MA

KASIIi

UNTUII

MITTTA

AES?AiI

P.njublai,n

ds

ri

Su6&0^ri,s

Fzg

oroh :

semM

,$dunslna,

f,la!ilila.i.r(G-Fp,t3n

_Masa

Srudi

Mlha:i!Ea

FMlp{

Lhpad

anAI.6n

root

2006

d€nean Mengsxbaka

_n

Meiode

.tdattttation

and

R.Eressiot

arrces

tCARat

oreh

:t,raAp

.K Nun,lcu*i@xe;ntuh*_d

Pmbokaln^P€rDrlrrlnm

[rsr.d.

pcD]ukLiD

M,kn,ri

ka

dlh

:lDel1m

sl.:teq

1biuLhl:Deduf,tiru

bf

ur

rraresnl&uLu

lmp@

Mdbulliikm

xonpp A{abe

A5rsk

odD

'

Mdodswair'msrn

Mrrroiik FrflPA

Itut

obn

I _EIis

$lsbita,

iah3ntlssih,

ftnu

_Hadi

Ecrcentnsi

_{Mutxsi I(ode}

c€ndit Stindd

B€rd.skD

Bas

oleh: rssn _Ais,n,Edi

Kuniadl

E@

c€n

_a,_NurDt

flla

Algbri@Sorusi.PotircE

_denEan

Tcorcm,

Lnes,rcn-xjk4a

Mengglnaksn M€bdc

Btrirsbq

dan

Meiode

MnItu

UFh : EG

Idfu

WUIAI

\tiA

TFfri

NAU

Pon€r,p!n

M€tode

H u

ossriaD

ilalu

peheniutr

_n

fi

'#tT",l:"r,.:.1,'J':i,".iiiT,,f

!,.1f;It:,:iiff

T.".

oleh : Marisa

Yulttiala,

Diar

Chaenni,

_EnAn

le.mma

:e.tu|

Modu I

ir{nFru

_Submodut

d,Ii

suru

Modut

Ba:i

h

ukh:

lifu

sui.

Jnd6n

En

rawunyinb

(3)

S€tiap

Modul merupakan Submodut

da

Suatu

Modul

Bersih

rartika

Sdil,

Indah Emilia

Wijay.nti,

\I!tusan

M!6d*a.Fah'lias

Nflpa

univEsib3

udamm

Xmpur

Bukii

Jimb,m.

Baduns, Bsti

xnan:

sd

lqrrk"r(atrmft

id

r})le

0m sn

J

r,usrjm

F

ku.

s

MrpA

UN*.b

,

mr"n

Mdoa

Se[]p

UilE l6htr

PoE: xLS

2r yos€klm -281

rujt

ild

wiirvrhriail5rrdllm

A&STRAI{

dsufu'iqRdla'bb!lutihi!

di,rubledturr

ullnrnhmsnhere.*d&n;Etuereh".,&q!r,;r".r;"gn

i"a*sr"-*me

ABS'I:RACI

q*t,'t,vl,.'"."-',.^-"

Iada

keseruuhaD nrtisan

ini,

ring

ya.s

diguhnka. meruDaL!.

ti.s

_densan_elonen

6atum,

_dan yang

dinaksud hodul adal,h

_modul

knmn,

_sedanglan

nobsi

U(,t)dimk

dken

grup

ymg

elem.n-elemmyo

meNpskan

eleEen

nnii

dnri

suatu

.ins

S.SelmjLrtnya,

jika

diheilm

rimpuan

,{

dan

14

suaiu

lLnesi

g

: ,4

+

Mdan

suatu

himpunan

tak

tGong

,,E

,,

, mllla

mbsi

gli

dimrLsDdrai

pembatssan

runssi,

pad.

hiDlu.an

,,t,yajlu

_runssi

ymg

DemotaLs.

hinDumn

,4

ke

hinpuD,h s(,,1)€,{.1.

ribih

tanjut

llgi

himouDan

sehua

bilmgan

bulai,

bilansn rasion.l

ilan

bilangln

butat

nodnto

,

.e.ara

bertururlurut

_{dinotasitian dengan}_Z,

e

Ni.holsn

0077)

dstam

Nicholson

da.

Alou t6l

moDberikan

detnisi

bahsa

suliu

ring

R

di\,

a\s

.,

v

or.

I

smb'

_{o "cLiup}

atdtrdl oa,i

n 1d

F

m,

pai,1 dpm"r

@,dh.,cda

1c.d.

,irrl

,q

d,ld.

"r,,..rgndk.r,l,1

oc\bdo,bia

d,6,.q

.s

,bn

s"bsg,i;s.,t

o"ajumlrh{

pdbi,i\,n

sur',

"l"m

r

d,mpo,.n

ds'

sD'.

;aen

r

tsri

,irg

R.

(omr w_n.dl_

r

fir.

oah+L

"usr.,

mooL

,,s .uc n

di\sB'ian;-",1

spoh

.,;_r

lndomofism, dirimodul

ERbut

meruoikanLncbs6

h

DiLeikm

rins

E,

n.hodul

,tr dan

aksiom

aksiohar (c1) setiap

subhodul

di

jr

casnsi,t

dslsn

utu

sku

juDrah

lans

ns

di,Y,

(C2)

Seiirp

eubmodut

darirlf

yang

isoDoris

_dengansuriu

surrL ju

mhn hnssuns

d*i

n jus,

he.upakm

suku jL,mhb langsune

dali

M,

(co

rik;A

dan B

kcdDan$ nenpstrrD

suku

juhhh

langsuns

d,i

rd

din ,4^r={o} ML!

,4@rjuga

maupaldn sutn jumlah langNng dari

M.

suaru

moduL

M

dikaiakan

kontinu

apahna

m " \i

aksumsa(id

r

'.

I

ds, Cr,.

mmi v r,.B -"D:r.r.

(4)

t,r q.,r.

t,r+

ir

Nrq,rkin D ,t

k,n

u ti

trr6

D$xfi

;.

.itrrrn,k;tr.

bahtrr

ntu

,q

rrL,,t

rt4{r

llinjDkiD

1,.

dxlrD

n,{h or\t r,o.ii

:errxllr

iuq,

Li,o

hrritdxriD.!,lni (iL;

H.rrlDr

rugi

rr1r,,rlrort.h

sx

rl,,t .iji \,o{.(drln

blrr)dr

s,,

;t

ris!,,,,1 ,i

rLtr

rrlhir

s.tixl

rl

i

mi,lrl

lilli,J 1ll.!$nrltt

11.r.

if irli ;riir

n!

_rLtrl

rFkinr'nu"

uqqri!tri

_DrDdnt

r,(\irr ratrDiil.

d

d/.

r)

H{Lknr

irn

dirn,,1

i r

r).ho.rDr

[o.e)

!tr

r!

!L

- ]

_f

l

r,il

jir

nLi

DcliDjsr

r.

rrrrft,,

r[x

]?

ddr

Drttrl

titxitqlttttirt;

t\r

rttt

:t!1dn

)!rq

nii,nq

l: )+\l

n

rnu! hanorqrrn!:B+\1t!tq,t,)t\l

rr,.rrx^

ilrh4\,tfk.Li

{r.

r

I

conioh

r.

hr

Nl,tr(

r, fc,r,ir,ii i,lrLrr!1t I

'x.re.n,r, ,lrl

DFkrnl

udrtt

f!,1,I

N.nf,+,u

nL3n]

D(h,t

mrp.Lrtr

oqtlLt

julnir

.l(,,ur

DH,q{u,.'1,.tr,

Drt

rrn

irir r(rlurj

u trrodnL

'r..,qni

,. ((rii.rir

ltler) lHlArrrr..

rr,

i.rlr

st.tt t!-r

ir \t

r!tht.r11,.h rtr\4

jtl,!

an\r:

ntitr nn,t

rt)rtrtr;i1,t4trtttir\)at

, titr\t ti,..tt.; \

\rntl

oq,q

,

Df,{jtrr

Lk.L l

l)LD.nlrLkirhnnrLrll,ilnLll(lxfrri.irLxnglrrrlLlNrzh4rdJnli,zr:Toletrk.r.iilr

/r

i. ",

)hdrl(xD

i,l*ja,g

hDDomo

rlnr /r11r

_i

mlr

h.Nnorl.Da

rn.nrrr.n

rnlL.ltrLirn,:.,2

llniLlnr

t".

!r.-!.r:

-I

lrl

r!i, ,rr

hnr

I

rqt,,lQ

i,,jekur

srli

Ii1n1

Lr r,.,li,

L,

DL

r'

z

sqrL.r

LDi

ndrk

iij,

kr

I

s,j.,h

lfn

nLe.l

dtuL

lloDrnr,rlral

-zLl

lni.}l;xri

/ll:)=:

r trl*,{]..7

i< 2:z!!,!

dnrH.ltrN./.

/ir

Lr=

7l])=1€.r(r)

LLH'r'o /l

lqud,ir

r

i,,r,ru!idxf:z

lre

z

Inrfrdik:i

drrsrn

j

l,ur)morisriI.ILLL

{ipar

dirr.rlri:.

Lrdr*.]

(5)

Perhaliltan

bahu

Zmodul

Zvang

bukah

hodul

inrekrirndupr]!

D

uhmodurd

jZ.Dodur

a

yllg

odupxl$

Eodur

inlckril

Dd'gxn

k.i,

lain

znrdul

z

drpdr

drsisipkrn

ke

d{lrii z

moJrl

Q seldsai srbhodul.

Sehubudsrn

dengan

hrl

teBebut. benkut

ni

diberikm

snanr

Edens

]€ns renFmin

bih{!

seb3Ens

modul

da}ai

dGisipLrn

Lc

dolan

aru

nodnl

Tco..D!

6.

sdio,

Ddd

n..apnLdn

eLbtna/tu t

dati

smLu tna.tu t

iaj.^tit.lllrk\inkl]!d.at,l3))

SeLaii

trrdul

iojekhr,

jusx

tlik"ml

ldrnr

nodll

qrosi

injcklil

rang

msuprkrn

scncralGasi

..r"

, Lb.,

\s i,

"

" r

-1!,,,

fl

.,

i.:

.ttui-injthtif

awbita tntuh

{tidp

:,4

+

Mk,doplt

hornrLot

lem

sori4

Dodul

injek.r,n!rupakan

DoduL

qksi

mj.khl

oorioh

LaD

dari

trndulqrqir,ii.krilrdrhhnodulz,ri$

rg

z.

R.nad

M.

itladrt

]t

dinannaon

d

uttrh

sttiop

htnlornatc

o

f

r,.r.,rg,-/(Lnn.{11)

Selanj,tnlr,

dibahatr nrcnBenai

Dodul

kdntinu

dan

qx,ri

koo6Du rctnh

diberixm

detinisi modut konrinu daD

q,asi

koniinn.

tseikut ini

nr

i.u &n

q La3i.r

onri.r.

T€oremr

3,

Dir.rilon F ,,odll

tl

Jika

M

tp,n(nthi

tkiana

lc2J

dfrliono

lci).

(NohaDnad

dxD

\ILLll.!,

1-l)

odrt

kon.inu

nerupakan

modut qadsi

koniinu

Beriku

ini

dillikrn

con.oh

ing. lans

aDabila

dipmdrng

!.Llga

conior

s.

Jik n

rnrs

resuler

(von NeNnrnD)

d,n IsuaN

ideatd!L!m

nns

fi,

Daka

Iideal

eleDcn idenporon

dai

merupakan

snle

jLnnlah lsngsuns deri

n.

oaD.

tll)

oler

traEm

irn.

r

rans

diDmdRng sehasai modut

kausn

aias

di nra

sendii

T€orem

10. rJniLA

s.tdp

n,r, r*rrLo

R

ptn)ordu

p!.n)ataan di

botrah

trl)

3

Rtr,n,n?nr,,ioArioDr(C1).

lerdasarkln'1'eoFma

10.

bsikui

nri diherir{an derinisi

rihs

rg!re.kootiDu

kanrD

Definisi

rr. sldr/

rri{

rus,tur

(hn

N(rnnth)

ditstohon

hontiru

hanat

apoiila

rlen.

hi

satoh

frt tLoti

?huitahEi

@do

't'emid

r o.(LRm.

Ir)

lebih luni,t

lacl.

hsikut

inl diboril{rD .Da.u qirai

laD

dari modrl

k.ntinu.

jbntnh

kultnE

duti

ltdtu

nad

hantn

Nla

rL?

lpahar

arill

(6)

TeoremarS.Ji,,o/anod!/nr,ntinu,rnatat\ta.LnutJdotirondotitnL!Sdartni!bkt-S/

m-r,oloa

fu!

/LluAr

tlluhimed

tlJ llr

lcr

llr

Teoreaa

b.-liho

Rr\\tuL

tthsi-hanttr1,

ntona

eLotLn.attalh

i.lthparn

.tdri

t

q

fahtot

'.

oao

d,.-,

reoreba

16.

ri^a

n

nodut

M ti,tttu.

Mte

lins

t'ohtn

s/^'",""*^,,,*

*.^,

eono..(Nuh!med d{n

IIrllo,

t;l)

SehuhlbsD

dcDeDr

nbal

ratu

riDg

rhs

aerupakrn

himpulm

hasiin

d

i

rdikil

JmbsoD

riirs

texebnr drlam

h,itnnn\a

densan

elemd

llcncn

nbn,pouh

'ihP

rrki)rn\r

drn

sihi

beEih

ing

Teorema

16,,ri6.rton

lidedl

dati

suatu rins

R.tar

1e

ddri

in{ A riha

nM

tahtar

/r--,,.r."

',,e

.ma,

%

a.,,

ai",et*,

.",j"a;,t"ncr

ntarpakr

.ton ins

t.xin.(Hrn d$ \irhol$n.

lzl)

J I R)

d.Lla

I

Jt Rt

ru]

ilut ta!,hson

dan

.krntt

el.\tn

i,1.

Nt.n

ttuti

R.

aka

t lc R

nolqdhon

tins

"

Iei.dc

Pcnelitia.

P.nelitirD

,ni

meruprkrn

$udi

herantr. Scb,g,i

iinja{.n

pustaka

dai

oenll'ri

ini

diLeulin

scbr$L

rre

kui

Dsrni,idrli

$,g

drD

eleDer

b.r.irl

dipcblch

d

\i.holson

(1977)

d{l

n

Nichokon dan

Zhou 61.

ledxnshD

dehnisi dan

sirri

modrl

injekiil, dibcikan

otsh

s.lrnjLtrra.

.lenDNi

d{r

behcripn

silat

modul

kdii;u

dan quosi

ko.tinu

iemra

k

hehe$lx

sirrt

ins

ordomo

isnanla

dirxrdlch

da

rlohs'n,{ldrD}Inlr.r

_t5l

sehubunran

dens,!

kdn*p

rins

hosih.

Han dan

Nicholsf

12

trrDhsjkrn

su

u

slarat

cuknp

rtu

ri.B

hersih

dilxh kriiimrR

denstroiog

r*tol

dan

slene.

elemor

idpm.dn:h

dxli

rirg

l?bih

l

rjur

hgi.

Lnm tal

Demltr]!

n

ortolr

rEN

j!

s

rDg

rrns

n.hcnnhi aksiom

(c2) dan

defiDirl

!glonri.u

kmin.

Sehin

in',

LaD

taljuga

nembe,.ikrn

sitt

clcncn

idempoien

dalair rins

ehdomo

isnr dli

riu mod

4udsiltootiDu

endonofisn{

d{imodul

konrnru dan

qmii toninN

lrihnya

diberikrD oleh

can'llo

pr.or _l1l

3.

Hasil

da. PembdEan

\ieDgingxl

dcfidsi

inodul herslh

li:l'rxii,n

dengxn

riht

l,usjh

d,i

rins endorolfism!

Dodnl

tcNebui.

'nrkr

bc

knt

nr

r

.uhrp

su

, elemen beEih dari

nuru riDsrnddhorlirra d3r

suxtu Dodul.

Teor€Du

17.

r;trrird inc

tt.

&rultt

M, s=

EtlL]?(M)don

e,

/ eS.l

_Ean

t latu

.

un.ttk

tu

idhparo.

,.r ₌

(c,1!)

dan

ts=lm(/)

EtetEn

lrznpokor.t

nrn

6t1ihjikn

dar

han\a

iito

R-na.1!1M

dapdt didlha,n?aNiNihon

{6atailt=

l@

B=C@Dda

hotaku

\ l)\E)aD-,tot.r-C,t,t-t

B-

Dhllnt,

t

.,?

4

"?r!

(an

'

fr, tll

=,

Frdrfl.ltrn

\aig

d,klnnnLi.

bcrlakrM=!OA

bpFil, Dakr re rr,r r.l(tdiDbcrldul=e

.Kar.a

(7)

c=

/1=

,A

dnn

D=tB,

sehincgr nensakibatkdn

hcrlahuM=C@r.

(e(e)

₌

Im(l

e)

hak3

hslat{u

Bs

asarkan

k!s,h,xn

dua tunssi

drn

kren,

(unn. (aka

dari

pcsamrm

(1)d,.

(2)

dipemleh

I ddi (r

f )

kcdnanye

merupakan isomorlismd

ddil(,1)sC,

(.t-J)(B)eD.

(e)

Diketrhu,

te

rpai

dckorposisi

R.moduLM=C@D,

latuC=LA

ttn D=

B

dengan

x e.19

$hmega

be

atu/(.4)cC l\ hlB)e

Ddaof

:.1+c,

I /

r

a

+

D

k.dnanF

mernplkan

comorlishi ol(n

karena

itu

jusa

l,crlitu

111

e) ₌

L(t

e)

a! k=t

"

Qj le-

+(1

f)e

..:,

f

ft=,+e

/i

e

/

="+a

t

/(l e)=(,+")(l-c)=,(l

")

dan

nrcm

B

=

lm(.)

, dir eroleh

M

dan

S

=

Eltl,lM)

riho M

quasi-hantinu, tnaka

rt

tt'

ntrt

doti

M,

btlop1t

(.')r =e'€Sd.ns-'

Densan

krtx

lxin

_{f mcNpakan}

slener

bersih dalaD

S.r

silar padi

l,emnr

lT

r kan digun akan dalam

menunjukhn

situi

rn,g

cndoDorlismr

darisuan,

nodul

koniin

merupahan

rinsLorsih

Ilbih

hnjut

lae.

apabila diketahui

P.Dodrlntq,6i.hon.in,

daner

= e

€.lir./i(r,/)

dcns.n

n,

,Rtu submodul

dai

M,

rhrn

dibrls

kebend3rn

endomor6sna idempoteni

dalam

ling

l,e,rm.

13.

,iroirdn ri,g,t.

F

nodtrl

@tuh

ltap ;

=e.E\.1N(W)

danEon

Diambir

s.hr,&s

e'

=c.Endt(ut).

_{DipdoiLchry =}

(.,

(.)

@

lm(e)

\Iisdk,l

(.r(c)

_=,.1

dan

lm(?)=B

xNor

.ubmodul

,eM.

mak,

teldapai

submodul

/'qM

dcnga.

,1q,4'q

Usohi,.ssr

/'sDbnodrl konplen,en

dxlxb

M

Karsna suhmodul

,4qM,

hlkx

3'e M'tensan

B.B'eM

sehi.sgr

8'3ulmodnl

M.xarem

Mqrori honiir!.

o*,b.dxsfkxn(Cr)diDeroleh rl

dan

A

nenpalcnsu[u

suku

junla[

la.ssung dari

M

xarm

arEodua.

B

yns

konp]cncn

pada ,,1'

mah

,{.4'=

l0l

OllI

k,rch,

iru,

iedrp3i

slb$odul X di M

seb,nssa Ladaku

M=/@A'@-r srh"j"t"rx.

diheituk

ploy.ks

z E

S

dengan

lm.

₌

a

dan

(,r(e)

=,4'@,Y

Eehnrs$.' ,,

-

1

(8)

(9)

rtui.

'r"r

r,ir,i,r,{d. I

s_r

'Lumu

d".Yn

n*j

ai

pteh"1ialdm,.

d,ri

\ihou

s. .r.

bqLurihid,b.iIM

eLa u

$,r

uruktE''rB.-oou.,l,

rmr.nu

noidisTldro,sL

sph."ad.rhona.

T6re

a 21.

Di\etihan

R.kortut

M

sahised*ha ddtuu

hanti)

lv,).e

I xpexipddal})

nu

kat

siw,tdr'

le'",itt)du

o

(Wd

noksnot iha

_dan

hon\o

nko w ₌

M

h.

U,tuk

*b"-^E

gtaa).q,{=

_?_{+ u}

d?nda *.,,

8,.";;;,E;;,iM'.:R;;";;";,";";;;x:":ffi ,i,::"i;.,&y""1|iT;.*^'*'"

(a)

(:)

Dikeiatrui

r/=

rrz

I.riliar.

(-)Dibe.ilm

_l

ril,)

_DokgiDal

dotm

E

ffrM

brr

io.

eerbllrisodi.,LLt,n

&lsE

r bast,ah.s.bs$i

bcM

i.

at€1dito4u(!n

_,1

$ku

iurl,i

t,,Esuns

dor:1,

Un,uL

qJsu!

lr6t,n

.Ldqha..n.

ririel

016

s

bhod'n

rdu.ub.

m,(s

,.rddoa,

p_r.,arn

"*;siat

nsL,,; ,:

"..;n;f r,

iaPkli

rt

shlncga

,,'e!

E.

BerdasarkD

(cr), iord,pat

rEM

_sehinesa

berldu

]l1=roL.

Selanjuhya,

diembn

*barsg ,6r,

kenudian

dibeniuk

1=

{,-€

nl/

€,t1.Diebit

ebdmnc

t)/:

€

/,/!6

rt,

ns}a

.},.,)%

<

r/,

dan diperoteh

a.,j

..4

e/,

[dem)! )\=!(\

r)ew.

h.\r'el.kntda

ytt'eW

oengm

dehikiu,l

_{ideal kFnon dori}

ling

n.

Bs,kub$

o€rDit

ebume

0

/

a

<

!

^€Lra

ril

C.

E

Do

ia,sodpe,

/ e,{

hrt)kt t).q.ctt

betu

iu,1ya.

drhbit

sobea,s

O+/.4f.

Luena

_.,r,?,

nalD

0.r,,/1j,

_Olph

tm&.ru,O

neDgan

dem'kbn

_{aip€Loleh /}

c.

_{tr_}

Iebh

lan

r

tsr

"-".rv.r.j,,1,,.,to

rsFn,

/.andr(O

de

L_M

tot= r-flcWEE

oM

/"e/.

eh

occs

ft_t/r -!<t_

t\aea

EaIa

,er^_{={0}.

Ha,t

ini

b*ud /

_e

?,,r(r),

_{Dengm demikian}

bdlaku

tqm"(i,

(4)

(61

Bmow\an r/,

dao

It,

o,pcmtrl-

arr,rj -,X,

I?o_h.rqtr

tas.

iaFo,

n.moolt

rt

Dorsingrrr.n8ke

i-0.

_sshi1s,ga

tt).t z_L.Ja tIrt-

L_

p:.11,:"

.?",Jt"-i,"

Lcima_,2

kse.,

r,*"

i,i"o

,"*_*

ou

u

*,,

ELmbnu. naia biida6uk,n

re.;,

;a.

.",ii,,,

,:i,-Pni

Eid,'rl

d"Dgtr

s.d ,i,, -e d,r/ -?,1 ,

d.

rjdp,f\

Dc1E,n

dem,tnan

r/.?)-1.

dar

rrr.p,s,ac,.

honFsd:.si o"ngsn

rfi.1)

ren,D h.I*m&t.

Jad

r,"s",.c

"-

n

."r.*";aj-r,,i,,

o_,*n"i

i

-

"

"'''

n

l7

sua

u

"rLu'umra'

ll<an

diimjullan

rr=,r{.

Di

lin

(10)

/(r

)

/1I1)=

/6

-x.)=0€rl

aL

!=0er,=r.Dengatr dcmilhn/lj. du

monomdrlisma.

oleh

k,4na

itu

tlipemhb

lr: /(10.

D,Li

sini

juga

dipcmleh

i,/.]I

₌

lo|.

oleh

krrem irn

_{berlxt u}

,r

@

l,I

₌

M

.

L.hh

r.njLr

llgi

his,rkaD

/1 ₌

K}

(e)

dm

_{B =}

rh(a)

r{aDna

e.donDrtishn

/sn3ru

erehcn

llEih

di

,t.di(lti),

Lefrtdsdrlian

reonma

1?.

.crdrprt

R.tr1odut tr/

ying

dapii

didelohFsisilan

menjdi

,r=,4@r=C@D seri,

hcooN,ht

/,1Ea,

(l

./Xa)e

D

dar

/:-4+C,l ./':8JD

ke.lunya

nerup,Ixn

nofrodth..

Dongln

demikian, diDcroleh

I

:,.1@-Y

ra'O

lY

sua

isotrlorr$u.

sehings,

M=fi

@

X =(C@ /X)@ D

Selanjtrinlr.d elilri3il,hhoDomo

sm.

Berdxsx'*rn

leorena

17.

qxl,)molkrr

J.miki,n

d Aol.h rl/i+r./r.

di,

sehaNsnv.X:0.

drn

rkibr !, lI=v

..

p

^rt!

dsr,

v!.,dJ/rdPrg

/ mcrprMr

elcnrn

beEih

di Eidti,

Densrn

(,t..)<(,1,/..*)

xonimdilsi.

oleh

kareni

ntr

b.

Diambil

ybrmns

(,(,..,)E',.

bprdssrrkan

bqnrn

i tc

rprt.t.ocn

matsnnd

d,ri

,

yain'

(V..)€,id,b

/

=.+r

dcnlan

tr

elemr

unn

di

rtrln(rr,t

Oteh

keEm

ntr

moJut

Be

rs{rkrDTcor.ma2r.be

kurinidiblrikrn

ntu

s

rt

drri

Dodul

t.DtnN

tanrnrn.

Teorema

22,

Sp?n'p,'odrlrrorlinu

tu

Nhnn

trad u]

b..ritt.

(catnnlor

rt.

₁₁

)

t?

Ion

n'.r--rrrl.tr) d"n

^=

/E5&'i(/)-rr.rl.

ne

xsarkan

lioFrir

13.

diFDlch

dns

tukior

? t

D.NpnkaI

irs

Esttry

tun r\nEq,rkan

redtt.l

Jr!h'o,

diri s

or!r,

er.em

nu. modul

I

/ tror

snigllar d,o

he

asllkin

Teopim 1-.

Ir

konir

Llruix

rkxfl,coNrr.2rdir{olehr:/r/r(r)m.ruDrkoriDsr,!Fih.sehnnrnri.

k.reM

Dodrr

1/

koninm

nlngiorlrasil(n

Nodol

M qr6r

rronii,ru. mxka

blrd$rlkin

TeorcDi

1r

r)errnkn

.lcND.lcmeD

id.upoE!

drri

rDs

faktur

I

dxD{i

di skl

n{rjadi

dcmcD

elencn

nl€r)Fnor

dai

rnrs

S

Oleh

krrc.a

nu

herd*i*aD

TeoENx

10.

i.s

S

odnl

M m.Nralxtr DodutbersL

!

r,phih

l,rjd

r,gj.

taror.

sorixti rnddul

4rasi.jnjektit

neruFkan

modrl

ku

tnu.

,nalta

s.rnu

tr,odul

qrdii.mnrnitmruprkrD

iutllhlrsih xleDa

sdNrp modLLt

injckiit

,neNlDlt,! muht

qmsi

nrjokrit

Dsk s irl,

Dodnl

injekhl

ni.rupahrn

rodtrl

t,.Nih

{Jleh

kx(nr

[u

ch

rkibarakibritxDg

is

tre trtrtin,.

Akibai

2:.

A

ris

z,

,, o

r4o,or I rx

rd:rr.(sxr

_t7l)

Dirfr.lurik3n

bxl]*x

Dodur

z, rirs

di rlr

s

rdi)i

hrrup.kxn

hqtut

irljekril lnne

jLLsr

Du\pakan

modtrl

k.rriiu

OL€h

karix

nu

lu.dr*nkxh

reorcm

22. Zi.trrodnt

z, ,ncqnlln

nodul

[orih. Akil,r'n\; t)nE

E

d lf

)

rrer']rxrrn

rnrg

[eNih

Di]riI

lihak. berl.kr

7 : ,r(/

(1,,). D&i

ii

dirnrnh

Liis T.

ft

nrp,t {n rinsr,rr3th.

l

(11)

.,D'bd

an

qoarsDg

fl.hoo,n

i,

bs-da6afAa

i

t.ocma

a. p.ooduM&oI

dir-pkan

_Lc daran

s,l

mdul hje[brsBhssu

suomodu

Krra

*b,p

noout.nl,

irb"rupala;

modu]

mbrnr

yrg

dsrur

ar

mdut

be^'I.

mala

p.moo

r

,1,

srbbodu

"._

,,"r, *""J

;;.J;-_

rqliha'

24

luga

m"wd

l,bahus

,

nruk

s,.ap

moolt,

bei!

roou bm,\ atdrpr

hular

l::".^.::11;

:lilt

11*t

d.imsruLsls

nomenab,rrq

o-aru

fdd.lz..

_au

u.";

y*g

...*,,ri,

,"""",i

Z)snE

o,

U,"

".-puU"n,

"g

h"J

':;'i'.'"T-'*-.-'it3iI'lcr'rupoLa.r'osd'."iro"u,"u-"."."."",rz"t""g,iz.

4muar

&l,m

z.

bod!.

QF4

mdrD,krnmodutdc,"ih

(

Simpdtu

.

Bdd,suLs

eL

ban$!

r

i,p

modltrqupaL,n

subbvdJ dali5uaru

saap

-odu

knblu

mmpakan

modLt

bssl-

djo"iteL

brnxa

_{6_dap} subnodur

d,ri suru

nddut

hPliF

U.apan

tclim

rlsih

_.

.

{rilcl

m

mmb,ff

b,se

dr

b&it

dxr

GsL

F-

,LIs

@u*an

de.€tu

i

-s

yais

*di,ar

_b€.b.dr

de

DM ot"c

k

E

h

h.

pcrdh mpkan hrim, Lr!

t- trcprda

Ibr

lrl@

fmnE

w!,roo

D,ftepur.Ia

C€Dilo.

V.

P,,IGr

ru{.

D,

tjm.

T.y.

\ahot$n

w

K..

d,1znou.

y

2006

Conr,nous

Modur€

e

cl@ ns.

Jll!.dro

30,

halam

9r. i 1 r

Hrn

J

@n

\ahorn..

w.

K.

2OOt. t:,er6oDs of

Ctu

Rrg". Coh_,1,r/rb4,,n

Ik€6r.

29(6). hala@sn 26aq

-

,sci

Hrvink-r M.

Ku*er,

CdbrEn..

t\.

donqx..hmLo.\

v..ua4

4gtbtu

R.'vlr.aad

Modulg

Ac5d6mi.

PubtLsIeB

NewyorL

IrDrT.Y

1933,

aqr

6

_on_{Modul"s and R:hgs.}

crsduaFTerG.n

M h"_a, (sNo.,so,

\4anaDpd.

Sldd Hdan

M.Uo.

B,a"o"

_tsso.

rnd,n,o*

o,d D.".4L

Moduhs. Cambriac,

un,B'ty

Prcss, New

Ytult.

Nictul.on..Rei'h

W

olh

Zhod.

yiqi,js

2004

Ct?s

Riiss

A

SuryeJ,4dfft-d

i4

RrB

7xPa4 halsoan

131.193

Se

lGn.ks

2nr2

P"a#,oon

Ss,annc n,ae

at

d..oq

SLotu

rus

&,sd.

Tssis

Yocyrkana:

T.IOPA

unireNt,s

c,itrh M,ar

petu4

,,ns pcDb8n&ry

(12)

Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Volume 11 No 1, April 2015, pp x-y

Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih

Kartika Sari

1

, Indah Emilia Wijayanti

2

1)_{Jurusan Matematika,Fakultas MIPA, Universitas Udayana}

Kampus Bukit Jimbaran, Badung, Bali Email: sari_kaartika@yahoo.co.id

2) _{Program Studi Pascasarjana Fakultas MIPA, Universitas Gadjah Mada}

Sekip Utara Kotak Pos: BLS 21, Yogyakarta 55281 Email: ind_wijayanti@yahoo.com

ABSTRAK

Diberikan ring R dengan elemen satuan. Suatu ring R dikatakan bersih apabila setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu elemen idempoten dari ring R, sedangkan suatu R-modul M dikatakan bersih apabila ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan sifat bahwa modul kontinu merupakan modul bersih, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih..

Kata kunci: ring bersih, submodul, modul bersih

ABSTRACT

Given any ring R with unity. A ring R is called clean if each element of R is the sum of a unit and an idempotent, while an R-module M is called clean if its endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is clean, in this study, it is shown that every module is a submodule of a clean module.

Keywords:clean ring, submodule, clean module.

1. Pendahuluan

Pada keseluruhan tulisan ini, ring yang digunakan merupakan ring dengan elemen satuan, dan yang dimaksud modul adalah modul kanan, sedangkan notasi

U

(

S

)

dimaksudkan grup yang elemen-elemennya merupakan elemen unit dari suatu ring S.Selanjutnya, jika diberikan himpunan

A dan M, suatu fungsi

g

:

A



M

dan suatu himpunan tak kosong

A

'



A

, maka notasi

g

_A_'

dimaksudkan pembatasan fungsi g pada himpunan

A

'

yaitu fungsi yang memetakan himpunan

A

'

ke himpunan

g

(

A

'

)



M

. Lebih lanjut lagi, himpunan semua bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan bulat modulo n secara berturut-turut dinotasikan dengan Z, Q dan Zn

.

Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou [6] memberikan definisi bahwa suatu ring R dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari ring R merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen dalam suatu ring R dikatakan bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen unit dari ring R. Camillo et.al.[1] memberikan definisi bahwa suatu modul atas ring R dikatakan bersih apabila ring endomorfisma dari modul tersebut merupakan ring bersih.

(13)

Sari et al, JMI Vol 11 No 1, April 2015

setiap modul kontinu merupakan modul bersih. Lam [4] menunjukkan bahwa setiap modul quasi injektif merupakan modul kontinu. Di lain pihak, terdapat kenyataan bahwa setiap modul injektif merupakan modul quasi-injektif dan sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul injektif. Berdasarkan sifat ini, dapat ditunjukkan bahwa sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul bersih sebagai submodul. Dengan kata lain, setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih, yang merupakan hasil dari penelitian ini.

Hasil ini juga telah diperoleh Sari,[7], akan tetapi melalui cara yang sedikit berbeda. Sari, [7] memperoleh hasil ini dengan menggunakan sifat bahwa setiap modul merupakan submodul dari modul injektif (Hazewinkel et.al., [3], dan setiap modul injektif-murni merupakan modul bersih (Camillo et. al., [1]).

Berikut ini diberikan beberapa konsep yang mendasari penelitian ini.

Definisi 1 Diberikan ring R dan R-modul M. Modul M dikatakan modul injektif apabila untuk

setiap R-modul A dan B dengan A submodul dari B dan untuk setiap homomorfisma

f

:

A



M

terdapat homomorfisma

g

:

B



M

dengansifat

g

A



f

. Dengankata lain terdapat homomorfisma

g yang memperluas f.(Hazewinkelet.al,[3])

Contoh 2 (a) Modul nol merupakan modul injektif. (b) Setiap ruang vektor atas lapangan F merupakan modul injektif.

Pada kenyataannya, tidak mudah menunjukkan suatu modul merupakan modul injektif dengan menggunakan Definisi 1. Berikut diberikan syarat perlu dan syarat cukup suatu modul merupakan modul injektif, yang sering dikenal sebagai Kriteria Baer.

Teorema 3 (Kriteria Baer) (Hazewinkelet.al., [3]) Suatu R-modul M injektif jika dan hanya jika

untuk setiap ideal kanan Idi R, setiap homomorfisma : I  M dapat diperluas menjadi

homomorfisme  : RM.

Dengan menggunakan Kriteria Baer, berikut diberikan contoh modul injektif lainnya.

Contoh 4

Diperhatikan bahwa ideal-ideal dari ring bilangan bulat Z berbentuk nZ, n Z. Oleh karena itu, terdapat pemetaan inklusi h:nZZ. Diberikan sebarang homomorfisma f

:

n

Z



Q

, maka terdapat _q



Q

yang memenuhif(n)q. Lebih lanjut lagi, didefinisikan suatu pengaitan _g_:ZQ

dengan

n q z z

g( ) , maka g terdefinisi dengan baik dan merupakan suatu homomorfisma.

Kemudian, untuk setiap

nz



n

Z

, berlaku

) )( ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( nz h g nz g nz g nz n q z n n q z q z n f nz f              

Dari sini diperoleh, g memperluas f .Dengan kata lain Z-modul Q injektif.

Selanjutnya, diberikan contoh Z-modul yang tidak injektif.

Contoh 5

Salah satu ideal dari ring Z adalah 2Z. Homomorfisma f : 2Z  Z didefinisikan sebagai

f

(

2

z

)



z

untuk setiap z  Z. Andaikan terdapat homomorfisma g : Z  Z yang memperluas f, maka

2

)

1

(

)

2

(

)

2

)(

(

)

2

(

)

1

.

2

(

1

g g h g f f





dengan h pemetaan inklusi dari 2Z ke Z.

(14)

Diperhatikan bahwa Z-modul Z yang bukan modul injektif merupakan submodul dari Z-modul Q

yang merupakan modul injektif. Dengan kata lain, Z-modul Z dapat disisipkan ke dalam Z-modul Q

sebagai submodul. Sehubungan dengan hal tersebut, berikut ini diberikan suatu teorema yang menjamin bahwa sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul injektif.

Teorema 6 Setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injektif.(Hazewinkelet.al,[3]) Selain modul injektif, juga dikenal adanya modul quasi-injektif, yang merupakan generalisasi dari modul injektif, seperti diberikan dalam definisi berikut ini.

Definisi 7 Diberikan R-modul M. Modul M dinamakan quasi-injektif apabila untuk setiap

submodul A dari M dan untuk setiap homomorfisma

f

:

A



M

terdapat homomor-fisma

M

g

:



sehingga berlaku

g

_A



f

.(Lam, [4])

Berdasarkan Definisi 7, setiap modul injektif merupakan modul quasi-injektif. Contoh lain dari modul quasi-injektif adalah modul Zn atas ring Z.

Selanjutnya, dibahas mengenai modul kontinu dan quasi- kontinu. Pada bagian terdahulu, telah diberikan definisi modul kontinu dan quasi-kontinu. Berikut ini diberikan beberapa sifat yang berkaitan dengan modul kontinu dan quasi-kontinu.

Teorema 8 Diberikan R-modul M . Jika M memenuhi aksioma (C2) maka M juga memenuhi

aksioma (C3). (Mohammed dan Muller, [5])

Berdasarkan Teorema 7, setiap modul kontinu merupakan modul quasi-kontinu.

Berikut ini diberikan contoh ring, yang apabila dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri memenuhi aksioma (C2).

Contoh 9 Jika R ring reguler (Von Newmann) dan

I

suatu ideal dalam ring R, maka

I

ideal utama yang dibangun oleh suatu elemen idempoten dan merupakan suku jumlah langsung dari R. (Lam, [4]) Oleh karena itu, R yang dipandang sebagai modul kanan atas dirinya sendiri memenuhi aksioma (C2).

Berdasarkan Contoh 9, berlaku sifat berikut ini.

Teorema10 Untuk setiap ring reguler R, penyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen.(Lam, [4])

1. RR kontinu.

2. RR quasi-kontinu.

3. RR memenuhi aksioma(C1).

Berdasarkan Teorema 10, berikut ini diberikan definisi ring reguler kontinu kanan.

Definisi 11 Suatu ring reguler (von Newmann) dikatakan kontinu kanan apabila memenuhi salah

satu dari ekuivalensi pada Teorema10.(Lam, [4])

Lebih lanjut lagi, berikut ini diberikan suatu sifat lain dari modul kontinu.

Lemma 12 Suku jumlah langsung dari suatu modul kontinu juga merupakan modul kontinu.(Sari, [7])

Berikutnya, untuk Teorema 13 sampai 15, diberikan ring R, R-modul M, S = EndR(M) dan

}

)

(

{

f



SKer f



eM





.

Teorema 13 Jika R-modul M kontinu, maka



radikal Jacobson dari ring S dan ring faktor



S

(15)

Teorema 14 Jika R-modul M quasi-kontinu, maka elemen-elemen idempoten dari ring faktor

S



dapat diangkat menjadi elemen idempoten dari ring S.(Muhamed dan Muller, [5])

Teorema 15 Jika R-modul M kontinu, maka ring faktor

S



merupakan ring kontinu

kanan.(Muhamed dan Muller, [5])

Sehubungan dengan ideal suatu ring yang merupakan himpunan bagian dari radikal Jacobson ring tersebut dalam kaitannya dengan elemen-elemen idempoten ring faktornya dan sifat bersih ring faktornya, diberikan sifat berikut ini.

Teorema 16

Diberikan

I

ideal dari suatu ring R dan

I



J

(

R

)

_{dengan J}

(

_R

)

_{radikal Jacobson dari ring}

R

.

Jika ring faktor

R

I

merupakan ring bersih dan elemen-elemen idempoten dari

R

I

dapat diangkat

menjadi elemen idempoten dari ring R

,

maka ring R merupakan ring bersih

.

(Han dan Nicholson, [2])

2. Metode Penelitian

Penelitian ini merupakan studi literatur. Sebagai tinjauan pustaka dari penelitian ini diberikan sebagai berikut. Definisi dari ring dan elemen bersih diperoleh dari Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou[6], sedangkan definisi dan sifat modul injektif, diberikan oleh Hazewinkel

et.al.[3].

Selanjutnya, definisi dan beberapa sifat modul kontinu dan quasi-kontinu, termasuk beberapa sifat ring endomorfismanya diperoleh dari Mohamed dan Muller [5].

Sehubungan dengan konsep ring bersih, Han dan Nicholson [2]memberikan suatu syarat cukup suatu ring bersih dalam kaitannya denganring faktor dan elemen-elemen idempoten dari ring faktornya.

Lebih lanjut lagi, Lam [4] memberikan contoh suatu jenis ring yang memenuhi aksioma (C2) dan definisi ring kontinu kanan. Selain itu, Lam [4] juga memberikan sifat elemen idempoten dalam ring endomorfisma dari suatu modul quasi-kontinu, sedangkan beberapa sifat ring endomorfisma dari modul kontinu dan quasi-kontinu lainnya diberikan oleh Camillo et.al.[1]

3. Hasil dan Pembahasan

Mengingat definisi modul bersihberkaitan dengan sifat bersih dari ring endomorfisma modul tersebut, maka berikut ini dibahas syarat perlu dan syarat cukup suatu elemen bersih dari suatu ring endomorfisma dari suatu modul.

Teorema17 Diberikan ring R, R-modul M,

S



End

_R

(

M

)

dan

e

,

f



S

dengan e suatu

endomorfisma idempoten,

A



Ker

(

e

)

dan

B



Im(

e

)

. Elemen f merupakan elemen bersih jika dan

hanya jika R-modul M dapat didekomposisikan sebagai

M



A



B



C



D

dan berlaku

C

A

f

(

)



,

(

1



f

)(

B

)



D

serta

f

:

A



C

dan

1



f

:

B



D

keduanya merupakan isomorfisma.

(Camilloet.al.,[1])

Bukti:

() Berdasarkan yang diketahui, berlaku

M



A



B

.Karena diasumsikan f suatu elemen bersih, maka terdapat u U(S) dan berlaku f = e + u . Oleh karena itu dapat dibentuk

uA

C



dan

D



uB

, sehingga mengakibatkan berlaku

M



C



D

. Karena

)

1

Im(

)

(

e

Ker

(16)

)

1

(

)

1

)(

(

)

1

(

e

u

e

u

e

f













(1)

dan karena

B



Im(

e

)

, diperoleh

ue

fe

e

f









)

(

)

1

(

(2)

Berdasarkan kesamaan dua fungsi dan karena u unit, maka dari persamaan (1) dan (2) diperoleh f dan (1 - f ) keduanya merupakan isomorfisma dan

f

(

A

)



C

,

(

1



f

)(

B

)



D

. □ () Diketahui terdapat dekomposisi R-modul

M



C



D

, yaitu

C



uA

_dan

D



uB

_denganu

U(S) sehingga berlaku

f

(

A

)



C

,

(

1



f

)(

B

)



D

dan

f

:

A



C

,

1



f

:

B



D

keduanya merupakan isomorfisma. Oleh karena itu juga berlaku

)

1

(

)

1

(

e

u

e

f







ue

u

fe

f









e

f

u

fe

f







(

1



)



fe

e

u

fe

f











e

u

f







Dengan kata lain f merupakan elemen bersih dalam S.□

Sifat pada Lemma 17 akan digunakan dalam menunjukkan sifat ring endomorfisma dari suatu modul kontinu merupakan ring bersih.

Lebih lanjut lagi, apabila diketahui R-modul M quasi-kontinu dan

e

2



e



End

_R

(

W

)

dengan W

suatu submodul dari M, akan dibahas

keberadaan

endomorfisma idempotent dalam ring EndR(M)

Lemma 18 Diberikan ring R, R-modul M dan

S



End

R

(

M

)

. Jika M quasi-kontinu, maka untuk

setiap

e

2



e



End

R

(

W

)

dengan W submodul dari M, terdapat

(

e

'

)



e

'



S

2

dengan

e

'

W



e

.(Lam,[4])

Bukti:

Diambil sebarang

e

2



e



End

_R

(

W

)

. Diperoleh

W



Ker

(

e

)



Im(

e

)

. Misalkan

Ker

(

e

)



A

dan

B

e

)



Im(

. Karena submodul

B



M

, maka terdapat submodul

A

'



M

dengan

A



A

'



M

sehingga

A

'

submodul komplemen dalam M. Karena submodul

A

'



M

, maka terdapat submodul

M

B

'



dengan

B



B

'



M

sehingga

B

'

submodul komplemen dalam M.Karena M quasi-kontinu, maka berdasarkan (C1) diperoleh

A

'

dan

B

'

merupakan suku-suku jumlah langsung dari M . Karena

B

'

memuat B yang komplemen pada

A

'

maka

A

'



B

'



{

0

}

. Oleh karena itu, terdapat submodul X di M sehingga berlaku

M



A

'



B

'



X

. Selanjutnya, dibentuk proyeksi

e

'



S

dengan

'

Im

e



B

dan

Ker

(

e

)



A

'



X

sehingga

e

'

W



e

. □

Berdasarkan Lemma 18 dan mengingat setiap modul quasi-kontinu merupakan modul kontinu, diperoleh sifat seperti dinyatakan dalam lemma berikut ini.

Lemma19 Diberikan ring R, R-modul M kontinu dengan

W



e

M

,

f



End

_R

(

M

)

dengan

W

f

(

)



.Jika

f

W



e

monomorfisma esensial dalam

End

R

(

W

)

untuk suatu endomorfisma

idempoten

e



End

_R

(

W

)

, maka terdapat elemen idempotent

e

'



End

_R

(

M

)

dengan

e

'

W



e

dan

'

e

f



suatu unit dalam

End

R

(

M

)

. Dengan kata lain f suatu elemen bersih dalam

End

R

(

M

)

.

(17)

Selanjutnya, diberikan R-modul M dan

f



End

_R

(

M

)

. Kemudian dibentuk himpunan

,

)

(

,

)

,

{(

W

e

W

M

f

W

f







e

2



e



End

_R

(

W

)

,

f

_W



e



U

(

End

_R

(

W

))}

(3)

Himpunan



_f





, karena

(

0

,

0

)





_f. Selanjutnya pada himpunan



_f didefinisikan relasi urutan

“”, yaitu untuk setiap

(

W

₁

,

e

₁

),

(

W

₂

,

e

₂

)





_f,

(

W

₁

,

e

₁

)



(

W

₂

,

e

₂

)

jika dan hanya jika

1 2

2

1

W

dan

e

₁

e

W



_W



. Berdasarkan Lemma Zorn, himpunan



_f mempunyai elemen maksimal.

Sehubungan dengan elemen maksimal dari himpunan



_f, berikut ini dibahas suatu sifat elemen maksimal dari himpunan



_f .

Lemma 20 Diberikan ring R, R-modul M,

f



End

_R

(

M

)

dan dibentuk himpunan



_fseperti pada

(3) dengan

(

W

,

e

)

suatu elemen maksima ldalam



_f . Untuk setiap submodul

X



M

dengan sifat

0





W

X

, berlaku untuk setiap

x



X

, jika

f

(

x

)



W

, maka

x



0

. (Camilloet.al.,[1])

Bukti:

Diambil sebarang

x



X

dengan

f

(

x

)



w



W

. Oleh karena itu,

X

'



xR



X

. Dari sini diperoleh

W

xr

f

r

x

f

wr



(

)



(

)



. Dengan demikian berlaku

'

)

'

(

W

X

W

X

f







.

Selanjutnya e diperluas ke X’ dengan mendefinisikan

ex



x

, sehingga

ex

e

x

e

2



(

)



,

yang berarti

e

2



e



End

_R

(

W



X

'

)

. Karena

(

f



e

)

W



W

, maka untuk

w



W

terdapat

W

w

₁



sehingga

(

f



e

)

w

₁



w

. Oleh karena itu diperoleh

x

w

x

w

e

f



)(





)





(

₁ ₁ .

Hal ini berarti

f



e



End

_R

(

W



X

'

)

surjektif. Lebih lanjut lagi, diambil sebarang

'

)

(

f

e

W

X

Ker

m









. Diperoleh

m



w

'



xr

untuk suatu

w

'



W

dan

xr



X

'

serta berlaku

0

'

)

(

0

'

)

(

0

)

'

)(

(































X

W

xr

wr

w

e

f

exr

fxr

w

e

f

xr

w

e

f

Karena

xr



0

, maka

fxr



wr



0

, sehingga

(

f



e

)

w

'



0

, yang mengakibatkan

w

'



0

. Dengan demikian

f



e



End

_R

(

W



X

'

)

injektif. Jadi

f



e



End

_R

(

W



X

'

)

suatu unit. Dari sini diperoleh

(

W



X

'

,

e

)





_f . Kontradiksi dengan

(

W

,

e

)

maksimal dalam



_f. Oleh karena itu

)

,

(

)

,

'

(

W



X

e



W

e

. Hal ini berarti

X

'



0

, yang mengakibatkan

x



0

.□

Sehubungan dengan masalah elemen maksimal dari himpunan



_f , berikut ini diberikan suatu sifat untuk kasusR-modul M kontinu nonsingular atau semisederhana.

Teorema 21 Diberikan R-modul M semisederhana atau kontinu non singular, fEndR(M) dan

(W,e)



_f seperti pada (3)

a. (W,e) maksimal jika dan hanya jika W = M.

b. Untuk sebarang (W0,e0) f ,f = e + u dengan e2= e di EndR(M) perluasan dari e0dan u unit di

EndR(M) . Khususnya, M merupakan modul bersih.(Camilloet.al.,[1])

(18)

(a) () Diketahui W = M. Trivial. ()Diberikan (W, e) maksimal dalam f.

Dalam hal ini, pembuktian dilakukan dalam 3 langkah, sebagai berikut. Langkah 1

Akan ditunjukkan W suku jumlah langsung dari M. Untuk kasus M semisederhana, trivial. Oleh karena itu berikut akan dibahas untuk M kontinu dan nonsingular. Andaikan W bukan submodul tertutup, maka terdapat perluasan esensial maksimal (closure) dari W, namakan E, sehingga

W



e

E

. Berdasarkan (C1), terdapat

X



M

sehingga berlaku

M



E



X

. Selanjutnya, diambil sebarang

y



E

, kemudian dibentuk

I



{

r



R

yr



W

}

.Diambil sebarang

r

₁

,

r

₂



I

,

r

'



R

, maka

yr

₁

,

yr

₂



W

, dan diperoleh

a.

r

₁



r

₂



I

, karenayr₁yr₂  y(r₁r₂)W. b.

r

₁

r

'



I

, karena

yr

₁

r

'



W

Dengan demikian,I ideal kanan dari ring R.

Berikutnya, diambil sebarang

0



m



E

. Karena

W



e

E

, maka terdapat

r



R

sehingga berlaku

0



mr



W

0



r

"



R

. Karena WM,M

nonsingular,

0



mr



W

dan

0



r

"



R

, maka 0mrr"W. Oleh karena itu,

0



rr

"



I

. Dengan demikian diperoleh e _R

R

I



. (4) Lebih lanjut lagi, karenayE, makaf(y)f(E). Karena fEndR(M) dan E



M



E



X, maka

terdapat zE dan xX sehingga

f

(

y

)



z



x

. Untuk setiap rI, berlaku

E

W

xr

zr

r

y

f

(

)









dan

zr



E

, sehingga

xr



fyr



zr



E

. Karena

xr



X

, maka

}

0

{







E

X

xr

. Hal ini berarti rannR(x). Dengan demikian berlaku )

(x ann

I _R . (5)

Berdasarkan (4) dan (5), diperoleh e _R R x R

ann

(

)



. Lebih lanjut lagi, karena R-modul M nonsingular, maka x = 0, sehingga

f

(

y

)



z



E

. Jadif(E)E.

Berikutnya, berdasarkan Lemma 12, karena E suku jumlah langsung dari M dan M kontinu, maka E kontinu. Karena E kontinu, maka berdasarkan Lemma 18, terdapat (e’)2₌_e_di_End_R₍_E₎

dengan sifat

e

'

_W



e

dan

f

_E



e

'

unit di EndR(E). Dengan demikian

(

E

,

e

'

)





_f dan

)

'

,

(

)

,

(

W e



E e . Kontradiksi dengan

(

W

,

e

)

elemen maksimal. Jadi seharusnya W tertutup, yang berarti W = E. Dari sini, diperoleh W suatu suku jumlah langsung dari M. Sekarang dilanjutkan ke langkah 2.

Langkah 2

Akan ditunjukkan W = M.

Di sini, hanya diasumsikan bahwa R-modul M kontinu. Dari langkah 1, diperoleh

M



W



X

. Andaikan

X



0

. Karena

(

W

,

e

)

elemen maksimal di



_f ,

X



M

dan

W



X



{

0

}

, maka berdasarkan Lemma 20, berlaku untuk setiap

x



X

, jika

f

(

x

)



W

, maka

x



0

x

₁

,

x

₂



X

dengan

f

(

x

₁

)



f

(

x

₂

)

. Dari sini diperoleh

W

x

f

x

f

x

f

(

₁

)



(

₂

)



(

₁



₂

)



0



. Berdasarkan Lemma 20,berlaku

x

₁



x

₂



0



x

₁



x

₂

Dengan demikian

f

_X suatu monomorfisma. Oleh karena itu diperoleh

X



f

(

X

)

. Dari sini juga diperoleh

W



fX



{

0

}

. Oleh karena itu berlaku

W



fX



M

. Lebih lanjut lagi, misalkan A = Ker (e) dan B = Im(e). Karena endomorfisma f suatu elemen bersih di EndR(W),

berdasarkan Teorema 17, terdapat R-modul W yang dapat didekomposisikan menjadi

D

C

B

A

W









serta memenuhi

fA



C

,

(

1



f

)(

B

)



D

dan

f

:

A



C

,

1



f

:

B



D

(19)

D

fX

C

X

W

M







(



)



Selanjutnya, didefinisikan homomorfisma e*, proyeksi dari M pada B dengan Ker (e*) =

A



X

.

Berdasarkan Teorema 17, endomorfisma f merupakan elemen bersih di EndR(M). Dengan

demikian diperoleh

(

M

,

e

*)





_f dan

(

W

,

e

)



(

M

,

e

*)

. Kontradiksi. Oleh karena itu seharusnya X = 0 , dan akibatnya W = M. □

b. Diambil sebarang (W₀,e₀)



_f, berdasarkan bagian a terdapat elemen maksimal dari



_f, yaitu

f e M

,

)





(

dan f eu dengan u elemen unit di EndR(M). Oleh karena itu modul M bersih. □

Berdasarkan Teorema 21, berikut ini diberikan suatu sifat dari modul kontinu lainnya.

Teorema 22 Setiap modul kontinu merupakan modul bersih. (Camilloet.al.,[1])

Bukti:

Diberikan R-modul M kontinu,SEndR(M) dan {f SKer(f) M} e  



 . Berdasarkan Teorema 13, diperoleh ring faktor

 S

T merupakan ring reguler dan



merupakan radikal Jacobson dari S

Oleh karena itu, modul

T

T non singular dan berdasarkan Teorema 15,

T

T kontinu. Berdasarkan

Teorema 21 diperoleh TEnd_T(T) merupakan ring bersih. Selanjutnya, karena modul M kontinu

mengimplikasikan modul M quasi-kontinu, maka berdasarkan Teorema 14 berlaku elemen-elemen idempoten dari ring faktor T dapat diangkat menjadi elemen-elemen idempoten dari ring S. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 16, ring S merupakan ring bersih. Jadi R- modul M merupakan modul bersih. □

Lebih lanjut lagi, karena setiap modul quasi-injektif merupakan modul kontinu, maka setiap modul

quasi-injektif merupakan modul bersih. Karena setiap modul injektif merupakan modul quasi

-injektif, maka setiap modul injektif merupakan modul bersih. Oleh karena itu berdasarkan Teorema 22, diperoleh akibat-akibat langsung berikut ini.

Akibat 23Ring Zn merupakan ring bersih.(Sari, [7])

Bukti:

Diperhatikan bahwa modul Zn atas dirinya sendiri merupakan modul injektif yang juga merupakan

modul kontinu. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 22, Zn-modul Zn merupakan modul bersih.

Akibatnya ring

(

_n

)

n

End

_Z

Z

merupakan ring bersih. Di lain pihak, berlaku _n

(

_n

)

n

End

Z



_Z .

Dari sini diperoleh ring Zn merupakan ring bersih. □

Akibat 24 Setiap modul dapat disisipkan sebagai submodul ke dalam suatu modul bersih.

Bukti:

Diberikan sebarang R-modul M, berdasarkan Teorema 3, R-modul M dapat disisipkan ke dalam suatu modul injektif sebagai submodul. Karena setiap modul injektif merupakan modul kontinu yang merupakan modul bersih, maka R-modul M submodul dari suatu modul bersih.□

Akibat 24 juga meyiratkan bahwa untuk setiap modul, baik modul bersih ataupun bukan modul bersih, selalu dapat dikonstruksikan suatu modul bersih yang memuatnya sebagai submodul. Hal ini bersesuaian fenomena bahwa Endz(Z)  Z yang bukan merupakan ring bersih termuat dalam

Endz(Q) Q yang merupakan ring bersih. Dengan kata lain modul Z sebagai Z-modul yang bukan

(20)

5. Simpulan

Berdasarkan sifat bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injektif dan setiap modul kontinu merupakan modul bersih, diperoleh bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih.

Ucapan Terima Kasih

Artikel ini merupakan bagian dan hasil dari tesis penulis pertama, yang pembahasannya dilakukan dengan cara yang sedikit berbeda dari tesis. Oleh karena itu, atas terselesaikannya artikel ini, penulis ucapkan terima kasih kepada Ibu Indah Emilia Wijayanti , selaku pembimbing.

Daftar Pustaka

1. Camillo, V. P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W. K., dan Zhou, Y. 2006. Continous Modules are Cleans. J Algebra 304, halaman 94-111.

2. Han, J. dan Nicholson,, W. K. 2001. Extensions of Clean Rings. Communicationsion Algebra, 29(6), halaman 2589 – 2595.

3. Hazewinkel, M., Gubareni, N., dan Kirichenko, V. V. 2004. Algebras, Rings, and Modules. Kluwer, Academic Publishers, New York.

4. Lam, T. Y. 1998. Lectures on Modules and Rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag.

5. Mohamed, Saad H dan Muller, Bruno J. 1990. Continuous and Discrete Modules, Cambridge University Press, New York.

6. Nicholson, Keith W dan Zhou, Yiqiang, 2004. Clean Rings: A Survey.Advanced in Ring Theory, halaman 181-198.