Pembentukan Ring Bersih Menggunakan Lokalisasi Ore. Construction of Clean Ring using Ore Localization

1

Pembentukan Ring Bersih Menggunakan Lokalisasi Ore

Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti

1)

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta

e-mail:uha.isnaini@mail.ugm.ac.id;ind_wijayanti@ugm.ac.id Diterima 26 Juli 2013, disetujui untuk dipublikasikan 4 Februari 2014 Abstrak

Misalkan diberikan sebarang ring R (tidak harus komutatif) dan himpunan multiplikatif S  R yang tidak memuat elemen nol. Lokalisasi Ore merupakan salah satu teknik pembentukan ring sehingga setiap elemen S memiliki invers di ring yang baru. Ring hasil lokalisasi tidak selalu mempertahankan sifat ring awal. Suatu ring sebarang dapat disisipkan ke ring bersih, ring bersih-n dan ring peralihan. Pada paper ini akan dikaji sifat-sifat yang diperlukan untuk menyisipkan sebarang ring ke ring tersebut menggunakan lokalisasi.

Kata kunci : Lokalisasi Ore, Elemen Satuan, Ring Bersih, Ring Peralihan, Ring Bersih-n.

Construction of Clean Ring using Ore Localization

Abstract

Let R be any ring (can be non commutative) and S  R is a multiplicative set that does not contain any zero element. Ore localization is a powerful technique to construct a universal S-inverting ring. However the localization results do not always inherit properties of the first ring. An arbitrary ring can be inserted into the clean ring, n-clean ring, and exchange ring. Here, we show properties needed to insert any ring to the ring using localization.

Keywords: Ore Localization, Unity, Clean Ring, Exchange Ring, n-Clean Ring.

1. Pendahuluan

Lokalisasi merupakan teknik pembentukan ring yang mengakibatkan elemen tertentu pada ring semula dapat dipandang sebagai unit di ring yang baru. Dalam makalah ini, seluruh ring yang disebutkan merupakan ring dengan elemen satuan. Pengkajian mengenai lokalisasi pada ring komutatif dengan elemen satuan telah banyak diteliti. Namun belum banyak ditemukan literatur yang mengkaji mengenai lokalisasi pada sebarang ring dengan elemen satuan. Beberapa ide contoh yang diberikan dalam makalah ini merujuk pada Adkins dan Weintraub (1992). Dasar teori mengenai teori modul dan ring berdasarkan Anderson dan Fuller (1992), sedangkan untuk dasar teori mengenai lokalisasi pada ring komutatif berdasarkan Dummit dan Foote (2004), dan dasar mengenai ring bersih dan persekitarannya berdasarkan dari paper Chen dan Chen (2003). Untuk pembahasan utama mengenai lokalisasi, akan digunakan ring fraksi kanan pada lokalisasi Ore.

Penelitian mengenai penyisipan ring ke dalam ring bersih telah dilakukan oleh Burgess dan Raphael (2013) menggunakan perluasan esensial. Namun proses penyisipan tersebut tidaklah mudah. Oleh karena itu, pada makalah ini dikaji mengenai pembentukan ring bersih menggunakan lokalisasi Ore yang belum pernah dikaji sebelumnya.

Penyisipan ring  ke dalam ring  memotivasi pembentukan ring fraksi dari sebarang

ring. Misalkan R merupakan ring dan S  R dengan 1  S,0 bukan anggota S dan SS  S. Selanjutnya, S dengan sifat tersebut dinamakan himpunan multiplikatif.

Definisi 1. Misalkan ring R dan   S  R. Ring R

dikatakan ring fraksi kanan dari ring R atas S  R jika terdapat homomorfisma ring  : R  R sehingga

1. Untuk setiap s  S, (s) unit di R. 2. Untuk setiap x R, x = (a)(s)-1

untuk suatu a  R dan s  S.

3. Ker  ={r  R|rs = 0 untuk suatu s  S}. Untuk menjamin eksistensi dari ring fraksi kanan, himpunan multiplikatif S harus memenuhi syarat berikut:

1. Untuk setiap a  R dan s  S, berlaku aS  sR  .

2. Untuk setiap a  R jika sa =0 untuk suatu s S maka as = 0 untuk suatu s  S. Misalkan S adalah himpunan bagian multiplikatif dari R. Jika S memenuhi syarat 1, maka S disebut permutabel kanan. Jika S memenuhi syarat 2, maka S disebut reversibel kanan.

Selanjutnya himpunan multiplikatif S  R yang memenuhi syarat perlu 1 dan 2 disebut himpunan denominator kanan.

Lema 1. Setiap himpunan bagian multiplikatif tak

hampa dari ring komutatif yang mempunyai elemen satuan adalah permutabel kanan dan reversibel kanan.

Bukti :

Jelas menggunakan sifat komutatif terhadap perkalian. 

Jika diambil sebarang ring R dan himpunan denominator kanan S  R, maka dapat dibentuk ring fraksi kanan dari ring R tersebut. Lebih lanjut dijelaskan pada proposisi berikut.

Proposisi 1. Diberikan ring R yang memuat elemen

satuan. Jika S  R merupakan himpunan denomi-nator kanan, maka terdapat ring RS1 yang merupakan ring fraksi kanan dari ring R atas S. Bukti Proposisi 1 dapat dilihat pada Teorema 10.6 pada Lam (1998) mengenai lokalisasi Ore.

2. Pembentukan ring bersih menggunakan lokalisasi

Misalkan R adalah sebarang ring (tidak harus komutatif). Pertama-tama diberikan definisi ring bersih sebagai berikut.

Definisi 2. Misalkan R sebuah ring. Elemen r R

disebut elemen bersih jika terdapat suatu e elemen idempoten di R dan u unit di R sehingga r = e + u. Ring R disebut ring bersih jika tiap elemennya adalah elemen yang bersih.

Setiap ring mempunyai himpunan bagian S  R yang merupakan himpunan denominator kanan. Sebagai contoh pilih S = {1}  R. Notasi U(R) digunakan untuk himpunan semua unit di ring R.

Definisi 3. Misalkan R adalah sebarang ring (tidak

harus komutatif). Himpunan denominator kanan S  R dikatakan insertibel kanan jika untuk setiap x R\(S  U(R)) dan untuk setiap s  S terdapat r  R sedemikian hingga (x-s)r  S  U(R) dan sr  S. Hubungan antara unit di R dengan unit di RS1

diberikan sebagai berikut.

Lema 2. Setiap unit di R dapat dipandang sebagai

unit di RS1.

Selanjutnya diperoleh teorema sebagai berikut.

Teorema 1. Misalkan R ring dengan elemen satuan

dan S  R himpunan denominator kanan yang bersifat insertibel kanan. Terdapat ring fraksi kanan

1

RS yang merupakan ring bersih sedemikian hingga memuat R sebagai subringnya.

Bukti :

Diketahui R ring dengan elemen satuan dan S  R himpunan denominator kanan. Menggunakan Proposisi 1, ada ring fraksi kanan RS1 dari ring R

atas S sedemikian hingga memuat R sebagai subringnya. Selanjutnya tinggal ditunjukkan RS1

merupakan ring bersih. Ambil sebarang x/s  1 RS . Kasus 1. x  S maka 0 x x s   , s s dengan 0 ₍ 1₎ s Id RS   dan x ₍ 1₎ s U RS  

Kasus 2. x  S. Karena S bersifat insertibel kanan,

maka terdapat r  R sehingga



xs r



 S U R

 

diperoleh





x xr sr sr xr s sr sr sr xr sr sr sr x s r s s sr           dengan 1



1



2 s Id RS s  



dan (x s r) U RS



1



sr    .

Dari kedua kasus tersebut diperoleh RS1 merupakan ring bersih. 

Dengan kata lain, Teorema 1 menyatakan bahwa setiap ring R dengan elemen satuan yang memuat himpunan denominator kanan yang bersifat insertibel, dapat disisipkan ke suatu ring bersih. Pertama-tama diberikan contoh ring non komutatif dengan elemen satuan yang bukan merupakan ring bersih dan dapat disisipkan ke suatu ring bersih.

Contoh 1. Diberikan R yaitu himpunan matriks-matriks segitiga bawah berukuran 2  2 atas , yaitu

0 , , a R a b c b c      _{ }  _       

Jelas bahwa R dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring dengan elemen satuan dan bukan merupakan ring komutatif.

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa R bukan merupakan ring bersih. Pertama-tama akan dicari semua elemen idempoten di R. Ambil sebarang

 

0 a Id R b c        , diperoleh 0 0 0 . a a a b c b c b c     _             

Dengan mengalikan dua matriks pada ruas kiri diperoleh 2 2 0 0 . a a b c ba cb c       _       

Dari kesamaan dua matriks tersebut diperoleh

2

, a a bba cb dan c2  c.

Selanjutnya perhatikan bahwa elemen idempoten di  hanya 0 dan 1, sehingga diperoleh

1. Untuk a = 0, didapat b = cb. Jika c = 0 maka b = 0. Jika c = 1, maka sebarang b   akan memenuhi persamaan tersebut.

2. Untuk a = 1 didapat b = b + cb, sehingga diperoleh cb = 0. Karena  merupakan daerah integral, diperoleh c = 0 atau b = 0. Jika c = 0 maka sebarang b   akan memenuhi persamaan tersebut. Selanjutnya, jika c = 1 maka diperoleh b = 0.

Dari perhitungan tersebut diperoleh kesimpulan bahwa elemen idempoten di R hanyalah elemen yang berbentuk 0 0 0 0 1 0 1 0 , , , 0 0 b 1 b 0 0 1                         dengan b  . Selanjutnya untuk 4 0 0 0 R        , perhatikan bahwa 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 1 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 1 1 4 0 1 0 3 0 0 0 0 1 0 1 b b b b                       _  _      _                    _{ }                     _        untuk suatu b  .

Karena tidak ada di antara 4 0 0 0      , 3 0 0 b   _   , 4 0 1 b   _{ }    dan 3 0 0 1    _ 

  yang merupakan unit di R, 4 0

0 0

 

 

  tidak dapat dinyatakan dalam jumlah idempoten dan unit di R. Maka R bukan merupakan ring bersih.

Selanjutnya bentuk lokalisasi pada ring R. Misalkan S  R dengan 0 , , , 0 a S a b c c b c      _{ }   _       

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa S merupakan himpunan denominator kanan. Menurut definisi dari S jelas bahwa S merupakan himpunan multiplikatif. Kemudian akan ditunjukkan S memenuhi sifat permutabel kanan. Ambil sebarang a 0 R

b c        dan 0 d S e f     

  , maka f  0. Selanjutnya akan ditunjukkan 0 0 . a d S R b c e f               

Karena f  0, diperoleh ada dcf 0 S bdf f    _    dan 0 acf R eac c    _    . Karena 0 0 adcf cf       dapat

difaktorkan dalam dua cara, yaitu

0 0 0 0 adcf a cdf cf b c bdf f            _        0 0 0 0 adcf d fac cf e f eac c            _       

maka dapat disimpulkan bahwa

0 0 . a d S R b c e f               

Dengan demikian, S memenuhi sifat permutabel kanan. Terakhir, akan ditunjukkan S memenuhi sifat reversibel kanan. Ambil sebarang a 0 R

b c        dan 0 . d S e f        Misalkan 0 0 0 0 0 0 d a e f b c                    .

Dengan mengalikan sisi kiri diperoleh hubungan

0 0 0 . 0 0 da ea fb fc       _       

Karena f  0, maka dari hubungan di atas diperoleh c = 0. Jadi 0 0 0 a a b c b             . Jelas 0 0 1 1 S  _     . Karena 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 a a b c b                                  

maka terbukti S memenuhi sifat reversibel kanan. Dengan demikian, terbukti bahwa S merupakan himpunan denominator kanan.

Selanjutnya dapat dibentuk ring fraksi kanan yaitu

1 X , RS X R Y S Y  _ _{ }     .

Ambil sebarang A  R dan B  S dengan

 





c A SU R . Misalkan 0 0 a A b        dan 0 d B e f       .

dengan f  0. Karena 0 0 1 0 0 0 0 1 a d a d S b e f b e f                     _            .

Terbukti S merupakan himpunan denominator kanan dan memenuhi sifat insertibel kanan. Menurut Teorema 1 terdapat RS1 yang merupakan ring bersih dan memuat R sebagai subringnya.

Secara umum, jika S1S2 R dengan S1, S2

himpunan denominator kanan, maka RS11 RS21

 _ 

. Berikut ini adalah contoh ring non komutatif dengan elemen satuan yang merupakan ring bersih dan dapat disisipkan ke suatu ring bersih yang bukan dirinya sendiri.

Contoh 2. Diberikan himpunan R yaitu himpunan matriks-matriks segitiga atas berukuran 2  2 atas  sebagai berikut , , 0 a b R a b c c               .

Jelas bahwa R dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring dengan elemen satuan dan bukan merupakan ring komutatif.

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa R merupakan ring bersih.

Ambil sebarang 0 a b R c        . 1. Untuk a = 0 dan c = 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 a b b b c                    _          2. Untuk a = 0 dan c  0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a b b b c c c                              3. Untuk a  0 dan c = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 a b a b a b c                   _          4. Untuk a  0 dan c  0 : 0 0 0 0 0 0 a b a b c c                    

Perhatikan bahwa pada tiap penjumlahan di atas, suku pertama merupakan elemen idempoten di R dan suku kedua merupakan unit di R. Jadi, R merupakan ring bersih.

Selanjutnya kita bentuk lokalisasi pada ring R. Pilih S  R dengan , , , 0 0 a b S a b c a c      _{ }   _       .

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa S merupakan himpunan denominator kanan. Jelas bahwa S merupakan himpunan multiplikatif.

Kemudian akan ditunjukkan S memenuhi sifat permutabel kanan. Ambil sebarang

0 a b R c        dan 0 e f S g     

  . Maka e  0. Selanjutnya akan

ditunjukkan . 0 0 a b e f S R c g                Karena e  0 diperoleh 0 e bge S gae         dan 0 a acf R cae         . Maka 0 0 0 0 0 0 a b e geb e f a acf ae

c gea g ace acge

 

         

 

         

         

Hal di atas memperlihatkan bahwa , 0 0 a b e f S R c g               

Maka terbukti bahwa S memenuhi sifat permutabel kanan.

Terakhir akan ditunjukkan bahwa S memenuhi sifat reversibel kanan. Ambil sebarang

0 a b R c        dan 0 e f S g        sedemikian hingga 0 0 . 0 0 0 0 e f a b g c                    

Dengan mengalikan ruas kiri dengan hasil kalinya diperoleh hubungan 0 0 . 0 0 0 ea eb fc gc              

Karena e  0 diperoleh a = 0, maka 0 . 0 0 a b b c c             

Dapat disimpulkan bahwa terdapat anggota S, yaitu 1 1 , 0 0       sehingga 0 1 1 0 0 . 0 0 0 0 0 b c                    

Terbukti S reversibel kanan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa S merupakan himpunan denominator kanan.

Selanjutnya, dapat dibentuk ring fraksi kanan

1 , . X RS X R Y S Y  _ _{ }     

Ambil sebarang A  R dan B  S _dengan

 





c A SU R . Misalkan 0 0 b A c        dan 0 d e B S f   _{ }

  , maka d  0. Selanjutnya terdapat anggota R, yaitu 1 0 0 1      , sehingga 0 1 0 . 0 0 0 1 0 b d e d b e S c f c f   _  _  _   _        _           

Jadi, S merupakan himpunan denominator kanan dan memenuhi sifat insertibel kanan. Menurut Teorema 1,

1

RS merupakan ring bersih dan memuat R sebagai subringnya.

Selanjutnya akan ditunjukkan RS1 lebih luas daripada R. Pilih 0 0 0 4 R        . Perhatikan bahwa 0 0 0 4    

  bukan unit di R dan

0 0 0 0 0 4 0 0 R               .

Andaikan terdapat isomorfisma : RRS1. Misalkan 0 0 0 0 0 4 0 b c d e f        _{ }    _{ }         dengan d  0, diperoleh 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 b c d e d f               _    _     _{     }                

merupakan elemen nol di RS1. Hal ini berkontradiksi dengan asumsi awal. Jadi, diperoleh

1

RS tidak isomorfis dengan R.

Selanjutnya akan dibahas mengenai pembentukan ring peralihan. Pertama-tama diberikan definisi ring peralihan sebagai berikut.

Definisi 4. Ring R adalah ring peralihan apabila untuk setiap x  R, terdapat suatu idempoten e  R sedemikian hingga e – x  R (x – x2).

Lema 3. Ring R adalah ring peralihan jika dan hanya jika untuk setiap x  R terdapat suatu idempoten e  R sedemikan hingga e  Rx dan 1 – e  R (1 – x).

Bukti :

Jelas dari definisi. 

Selanjutnya menggunakan Lema 3 didapat hubungan ring bersih dan ring peralihan sebagai berikut.

Lema 4. Setiap ring bersih merupakan ring peralihan.

Bukti :

Lihat Chen dan Chen (2003) Lema 1.2. 

Dengan demikian diperoleh akibat sebagai berikut.

Akibat 1. Setiap ring R yang memuat himpunan denominator kanan yang bersifat insertibel kanan dapat disisipkan ke ring peralihan.

Bukti :

Dari Proposisi 1 diperoleh bahwa R dapat disisipkan ke suatu ring bersih. Menurut Lema 4 ring tersebut merupakan ring peralihan. Dengan demikian R dapat disisipkan ke ring peralihan. 

Konvers dari Lema 4 tidak selalu berlaku, kecuali jika ditambahkan syarat seperti yang tercantum dalam teorema berikut.

Teorema 2. Misalkan R adalah ring dengan setiap idempotennya sentral. Ring R merupakan ring bersih jika dan hanya jika ring R merupakan ring peralihan.

Bukti :

Lihat Chen dan Chen (2003) Teorema 1.3. 

Akibat 2. Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan s  R merupakan himpunan multiplikatif. Ring RS1 merupakan ring peralihan jika dan hanya jika RS1 merupakan ring bersih.

Bukti :

Telah dibuktikan ke arah kanan, tinggal ditunjukkan untuk arah kiri. Diketahui R merupakan ring komutatif. Karena R merupakan ring komutatif diperoleh RS1 merupakan ring komutatif. Diperoleh setiap elemen idempoten di RS1 merupakan elemen idempoten sentral. Dengan menggunakan Teorema 2, jika RS1 merupakan ring peralihan maka RS1

merupakan ring bersih. 

Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa ring R dilokalisasi terhadap S merupakan ring bersih jika dan hanya jika lokalisasi R terhadap S merupakan ring peralihan.

3. Pembentukan ring bersih-n menggunakan lokalisasi

Di dalam ring bersih, dapat didefinisikan ring bersih-n yang merupakan perumuman dari ring bersih. Sebelum mengkaji tentang ring bersih-n, akan dibahas terlebih dahulu tentang elemen bersih-n.

Definisi 5. Untuk suatu bilangan asli n, elemen x  R disebut elemen bersih-n apabila x dapat dinyatakan dalam x = e + u1 + u2 +  + un untuk suatu e 

Id(R) dan u1, u2,un  U(R).

Dengan kata lain, elemen bersih-n merupakan elemen yang dapat dinyatakan dalam jumlahan idempoten dengan n buah unit. Dari definisi di atas, elemen bersih-1 sama dengan elemen bersih. Selanjutnya diberikan lema yang menjelaskan hubungan elemen bersih dengan elemen bersih-n berikut.

Lema 5. Misalkan R adalah ring. Jika x  R merupakan elemen bersih maka untuk setiap n  N, x merupakan elemen bersih-n.

Bukti :

Ambil sebarang x  R, diperoleh x = e + u dengan e  Id(R) dan u  U(R). Perhatikan bahwa e dapat dinyatakan dalam e = (1 – e) + (2e – 1). Selanjutnya (1 – e)2 = (1 – e)  Id(R) dan (2e – 1)  U(R), sehingga



 



1 2 1

x  e e u. Untuk n > 2, pertama ditinjau untuk n genap



 











2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 n x e e e n e u           

dan untuk n ganjil









1 1 2 1 2 1 2 2 n n x e  e   e u Jadi, x merupakan elemen bersih-n. 

Selanjutnya diberikan definisi ring bersih-n, sebagai berikut.

Definisi 6. Misalkan n adalah bilangan asli. Ring R disebut ring bersih-n jika setiap elemennya merupakan elemen bersih-n.

Dengan kata lain, ring R merupakan ring bersih-n jika setiap elemen R dapat dinyatakan dalam jumlahan idempoten dan n buah unit di R.

Akibat 3. Jika R merupakan ring bersih maka R merupakan ring bersih-n, untuk setiap n  N.

Bukti :

Jelas dari Lema 5. 

Akibat 4. Untuk sebarang ring R yang memiliki S  R himpunan denominator kanan yang bersifat insertibel kanan, dapat disisipkan ke suatu ring bersih-n, untuk setiap n  N.

Bukti :

Menggunakan Proposisi 1 diperoleh bahwa R dapat disisipkan ke suatu ring bersih. Menurut Akibat 3, ring tersebut merupakan ring bersih-n, untuk setiap

n . Sehingga diperoleh R dapat disisipkan ke ring bersih-n, untuk setiap n . 

Secara khusus, untuk mendapat RS1 yang merupakan ring bersih-n, syarat S masih bisa diperlemah, pertama-tama, diberikan definisi insertibel-n kanan berikut:

Definisi 7. Diberikan ring R (tidak harus komutatif). Himpunan denominator kanan S  R dikatakan insertibel-n kanan jika untuk setiap x  R – (S  U(R)), dan s  S terdapat r, xi,  R, i = 1,2,,n. sehingga

x = x1 + +xn

dengan (x1 – s) r  S  U(R) sr  S dan x1 –  S 

(R)  {0}, i = 1, 2, 3,, n.

Selanjutnya, diperoleh Teorema 3 berikut.

Teorema 3. Misalkan R merupakan ring dengan elemen satuan dan S  R himpunan denominator kanan yang bersifat insertibel-n kanan. Terdapat ring fraksi kanan RS1 yang merupakan ring bersih-n.

Bukti :

Diketahui R ring dengan elemen satuan dan S  R himpunan denominator kanan. Dengan menggunakan Proposisi 1 dapat dibentuk ring fraksi kanan RS1

dari ring R atas S sedemikian hingga memuat R sebagai subringnya. Selanjutnya, tinggal ditunjukkan bahwa RS1 merupakan ring bersih-n. Ambil sebarang x 1

RS s



 diperoleh

1. Jika x  S  U(R), maka x 0 x

s  s s dengan 1 0 ( ) Id RS s   dan 0 1 ( ) U RS s   .

2. Jika x  (S  U(R))c, maka S mempunyai sifat insertibel-n kanan, yakni terdapat terdapat r,xi  R, i=1,2,,n dengan x = x1 +

+ xn sehingga (x1 – s) r  S  U(R), sr  S dan x1 – s  S  U(R)  {0}, i = 2, 3, , n. sehingga diperoleh 1 2 1 2 ... ( ) ... n n x xr sr sr xr s sr sr x x r sr x sr sr sr s s x x s r x s s sr s s                

dengan s Id RS( 1) s   dan ( 1 ) 1 ( ) x s r U RS sr    . Misalkan x2 _{, ,}xk

s  s tidak ada yang nol dan

1 0 1 k n x x s s  _{ } . Diperoleh hasil RS1

merupakan ring bersih-k. Karena k  n menurut Akibat 3 diperoleh RS1 merupakan ring bersih-n. Dari kedua kasus tersebut ditunjukkan bahwa RS1

merupakan ring bersih-n. 

4. Kesimpulan

Dengan menggunakan lokalisasi, setiap ring yang memuat himpunan denominator kanan yang insertibel kanan dapat disisipkan ke dalam suatu ring bersih.

Dengan menggunakan lokalisasi, setiap ring komutatif R dapat disisipkan ke dalam suatu ring bersih jika dan hanya jika R dapat disisipkan ke dalam suatu ring peralihan.

Dengan menggunakan lokalisasi, setiap ring yang memuat himpunan denominator kanan yang insertibel-n kanan dapat disisipkan ke dalam suatu ring bersih-n.

Daftar Pustaka

Adkins, W. A. and S. H. Weintraub, 1992, Algebra: An Approach via Module Theory, Springer-Verlag, New York.

Anderson, F. W. and K. R. Fuller, 1992, Ring and Categories and Modules, 2nd eds., Springer-Verlag, New York.

Burgess, W. D. and R. Raphael, 2013, On Embedding Rings in Clean Rings, Comm. Algebra, 41:2, 552-564.

Chen, H. M. and Chen, 2003, On Clean Ideals, Internat. J. Math. Math. Sci, 62, 3949–3956. Dummit, D. S. and R. M. Foote, 2004, Abstract

Algebra, 3rd ed. John Wiley and Sons. Lam, T. Y., 1998, Lectures on Modules and Rings,

Grad. Text in Math., 189, Springer-Verlag, New York.