Bab 4Urusan Formal Isi Bab Ini - Bab4

KELAS C

PRODI TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

Disusun Oleh Kelompok 0

Jenri Faizar

207700408

Handi Pramarta Syabana

208700840

Ilham Nurfaujan Adani

208700853

Ludi Adha Kurnia

208700866

Sebagai Salahsatu Tugas Kelompok

Pada Mata Kuliah Logika Informatika

Bab 4

Urusan Formal

Isi Bab Ini

 Memperkenalkan logika formal  Mendefinisikan lima operator logis  Menerjemahkan pernyataan

Jika Anda melihat beberapa argumen logis, yang dapat Anda temukan dalam Bab 3, Anda mungkin memiliki kecurigaan bahwa itu semua memiliki banyak kesamaan. Dan kamu memang benar. Selama berabad-abad, para ahli logika telah memeriksanya dengan objektif dari contoh argumen, dan apa yang mereka temukan adalah pola-pola tertentu argumen muncul lagi dan lagi. Pola-pola ini dapat ditangkap dengan sejumlah kecil simbol, yang kemudian dapat mempelajari fitur-fitur umum mereka.

Dalam bab ini, saya memperkenalkan logika formal, yang sangat mudah

seperangkat metode untuk menentukan apakah sebuah argumen benar atau tidak benar. Saya akan menunjukkan bagaimana untuk mewakili pernyataan dengan pengganti yang disebut konstanta dan variabel, dan Sayaperkenalkan lima operator logika yang

digunakan untuk menghubungkan pernyataan sederhana menjadi lebih kompleks. Operator logis ada banyak seperti operator aritmetika biasa (seperti penambahan, pengurangan, dan seterusnya), dan saya menunjukkan kesamaan mereka sehingga Anda dapat membiasakan diri dengan simbol-simbol baru. Akhirnya, saya akan menunjukkan bagaimana menerjemahkan pernyataan dalam bahasa Inggris ke pernyataan logis dan sebaliknya.

Mengamati dari logika sentensial Formalitas

Seperti yang saya bahas dalam Bab 2, sentensial logika (atau SL; juga dikenal sebagai logika proposisional) adalah salah satu dari dua bentuk klasik logika formal. (Bentuk lain adalah pembilang logika, atau QL, juga dikenal sebagai logika predikat; saya

memperkenalkan SL dalam bab ini dan menggali lebih dalam lagi ke dalamnya seluruh Bagian II dan III. Saya simpan QL sampai Bagian IV.)

Inggris cenderung menjadi tidak tepat. Kata-kata sering memiliki lebih dari satu arti dan kalimat dapat disalahartikan.

Untuk membantu memecahkan masalah ini, matematikawan dan filsuf dikembangkan sentensial logika, bahasa yang dirancang khusus untuk mengungkapkan argumen logis dengan presisi dan kejelasan. Karena SL adalah bahasa simbolis, ia memiliki keuntungan tambahan untuk memungkinkan bagi perhitungan sesuai dengan aturan yang ditetapkan tepat dan formula. Seperti halnya dengan matematika, selama Anda mengikuti aturan dengan benar, jawaban dijamin benar. Pada bagian berikut, saya memperkenalkan beberapa jenis SL simbol-simbol yang digunakan untuk mencapai tujuan ini.

Pernyataan konstanta

Jika Anda pernah menghabiskan satu hari dalam aljabar atau pra-aljabar kelas, Anda mungkin mendapatkan hal yang sukar dipahami yang dikenal sebagai x. Guru Anda mungkin mengatakan kepada Anda bahwa x berdiri untuk angka rahasia, dan itu adalah tugas Anda untuk menemukannya. Dia kemudian menunjukkan kepada Anda segala macam cara-cara sampai akhirnya mengungkapkan identitas numerik yang sebenarnya. Oh, tidakkah itu menyenangkan.

Membuat huruf mewakili angka adalah satu hal yang benar-benar baik yang dapat di lakukan oleh Matematikawan. Jadi tidaklah mengherankan bahwa logika formal, yang dikembangkan oleh matematikawan, juga menggunakan huruf-huruf seperti ini. Dalam bab pendahuluan, Saya membiarkan pada pernyataan logika daripda menggunakan angka, sehingga logis untuk menduga bahwa dalam logika formal, huruf ada untuk pernyataan. Contoh:

Biarkan K = Katy memberi makan ikannya. Biarkan F = Ikan-ikan mengepakkan sirip kecil mereka dengan gembira.

naik. Teori pribadi saya sendiri adalah bahwa setelah mempelajari semua itu aljabar di sekolah, ahli logika sudah lelah menggunakan X dan Y.

Pernyataan variabel

Ketika ahli logika mendapatkan ide untuk membuat huruf pernyataan, mereka hanya mengutak-atik itu. Mereka menyadari bahwa mereka bisa menggunakan huruf pernyataan apapun, bahkan pernyataan dalam SL. Ketika huruf-huruf yang digunakan dalam cara ini, mereka disebut pernyataan variabel. Sepanjang buku ini, saya menggunakan variabel untuk menunjukkan pola keseluruhan di SL dan konstanta untuk contoh intisari. Ketika berdiri untuk huruf pernyataan di SL, huruf pernyataan yang disebut variabel. Dengan konvensi, huruf kecil digunakan untuk variabel. Dalam buku ini, saya

menggunakan x dan y hampir secara eksklusif, dan kadang-kadang menggunakan w dan z jika diperlukan.

Nilai kebenarannya

Ketika aku membahas di Bab 3, setiap pernyataan dalam logika memiliki nilai kebenaran yang benar atau salah. Dalam logika formal, benar adalah disingkat T dan salah untuk F.

Sebagai contoh, mempertimbangkan nilai-nilai kebenaran kedua pernyataan konstanta: Biarkan N = Nil adalah sungai terpanjang di Afrika. Biarkan L = Leonardo DiCaprio adalah raja dunia.

Dalam kenyataannya, itu benar bahwa Sungai Nil adalah sungai terpanjang di Afrika, sehingga nilai kebenaran N adalah T. Dan begitu terjadi bahwa Leonardo DiCaprio bukanlah raja dunia, sehingga nilai kebenaran L adalah F.

Boolean aljabar, para pendahulu logika formal, menggunakan nilai 1 untuk mewakili T dan 0 untuk mewakili nilai F. Kedua masih digunakan dalam logika komputer. (Aljabar Boolean saya bahas dalam Bab 14 dan komputer logika dalam Bab 20.)

SL Lima Operator

Anda berikan kepada mereka dan menghasilkan nilai baru. Namun, operator logis benar-benar hanya berurusan dengan dua nilai: nilai-nilai kebenar-benaran, T dan F. Pada bagian berikutnya, saya jelaskan masing-masing operator dalam Tabel 4-1.

Tabel 4-1 Lima Operator Logika

Operator Nama Teknis Apa Artinya Contoh

~ Negasi Tidak ~ x

& Konjungsi Dan x & y

V pemisahan Atau x v y

→ Bersyarat Jika. . . kemudian x → y ↔ syarat ganda Jika dan hanya jika x ↔ y

Perasaan negatif

Anda dapat mengubah pernyataan apapun sebagai kebalikannya dengan

menambahkan atau mengubah beberapa kata. Ini disebut menyangkal pernyataan. Tentu saja, menyangkal pernyataan yang benar mengubahnya menjadi pernyataan salah, dan menyangkal pernyataan salah membuatnya benar. Secara umum, kemudian, setiap pernyataan memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dari pengingkaran.

Sebagai contoh, saya bisa mengububah pernyataan N di bawah ini dengan hanya memasukkan satu kata kecil:

N = Nil adalah sungai terpanjang di Afrika. ~ N = Nil bukan sungai terpanjang di Afrika. Penambahan tidak mengubah pernyataan asli menjadi kebalikannya, yang merupakan negasi dari pernyataan itu. Setelah menetapkan bahwa nilai N adalah T (lihat "nilai Kebenaran" dalam bagian bab sebelumnya), saya dapat menyimpulkan bahwa nilai dari negasi adalah F.

Dalam SL, operator negasi tilde (~). Pertimbangkan contoh lain dari negasi:

L = Leonardo DiCaprio adalah raja dunia. ~ L = Leonardo DiCaprio bukanlah raja dunia. Dalam kasus ini, setelah menetapkan bahwa nilai L adalah F (lihat bagian "nilai

Kebenaran" bagian sebelumnya dalam bab ini), Anda juga tahu bahwa nilai ~ L adalah T.

x ~ x

T F

F T

Hafalkan informasi dalam tabel ini. Anda akan banyak menggunakannya dalam bab-bab lain.

Seperti yang Anda lihat, pada tabel saya menggunakan variabel x untuk setiap pernyataan SL. Ketika pernyataan SL bahwa x merupakan singkatan dari benar, maka ~ x adalah salah. Di sisi lain, ketika pernyataan bahwa x merupakan singkatan dari salah, maka ~ x adalah benar.

Buku logika yang berbeda dapat menggunakan dash (-) atau simbol lain yang terlihat seperti L menyamping untuk operator tidak selain tilde. tilde Saya laki-laki seperti itu, tapi apa pun simbol, bermakna sama.

Merasa lebih negatif

Meskipun negasi baru permulaan, SL sistem kecil lambang-lambang tersebut telah berkembang lebih kuat daripada yang terlihat. Sebagai contoh, mengingat bahwa nilai pernyataan baru T dan R adalah bahwa negasi ~ R adalah F, apa yang dapat Anda katakan tentang ~ ~ R?

Jika Anda menduga bahwa nilai ~ ~ R adalah T, beri tepukan di punggung. Dan ketika Anda melakukannya, perhatikan bahwa Anda mampu memikirkan hal ini meskipun saya tidak menjelaskan R.

Menyaksikan keajaiban dan kekuatan logika. Hanya dengan beberapa aturan sederhana, Anda tahu bahwa setiap pernyataan dari formulir ini pasti benar, bahkan jika Anda tidak tahu persis apa pernyataan itu. Dijamin ini mirip dengan ide bahwa segera setelah Anda tahu bahwa 2 apel + 3 apel = 5 apel, Anda tahu bahwa hasilnya akan benar tak peduli apa yang Anda menghitung: apel, dinosaurus, leprechaun, apa pun juga.

Daftarkan Isyarat

R ~ R ~ ~ R ~ ~ ~ R

T F T F

F T F T

Tabel semacam ini disebut tabel kebenaran. Kolom pertama berisi dua kemungkinan nilai kebenaran dari R: T dan F. kolom yang tersisa memberikan nilai-nilai yang sesuai untuk berbagai pernyataan terkait: ~ R, ~ ~ R, dan seterusnya.

Membaca tabel kebenaran adalah cukup sederhana. Dengan menggunakan contoh tabel di atas, jika Anda tahu bahwa nilai R adalah F dan ingin mencari tahu nilai ~ ~ ~ R, Anda menemukan titik di mana persilangan baris bawah kolom terakhir. Nilai kebenaran dalam posisi ini memberitahu Anda bahwa ketika R adalah F, ~ ~ ~ R adalah T.

Bab 6 menunjukkan kepada Anda bagaimana tabel kebenaran adalah alat yang sangat kuat dalam logika, tetapi untuk sekarang, aku hanya menggunakannya untuk mengatur informasi yang jelas.

Menampilkan petunjuk dan

Simbol & disebut bersama operator atau, lebih sederhana, operator dan. Anda dapat menganggap itu hanya sebagai kata dan ditempatkan di antara dua pernyataan, bergabung dengan mereka bersama-sama untuk membuat pernyataan baru.

Periksa pernyataan ini:

Albany adalah ibukota New York dan quarterback Joe Montana adalah untuk San Francisco 49ers.

Apakah pernyataan ini benar atau salah? Untuk memutuskan, Anda harus mengakui bahwa pernyataan ini benar-benar berisi dua pernyataan yang lebih kecil: satu tentang Albany dan lain tentang Joe Montana. Nilai kebenarannya bergantung pada nilai kebenaran kedua bagian.

Karena kedua bagian adalah benar, pernyataan secara keseluruhan adalah benar.

Misalkan, bagaimanapun, bahwa salah satu dari pernyataan-pernyataan salah. Bayangkan beberapa alternatif alam semesta di mana Albany bukanlah ibu kota New York atau di mana tidak pernah Joe Montana quarterback dari 49ers di masa lalu. Dalam kedua kasus, nilai kebenaran pernyataan akan salah.

khusus. Pertama, setiap pernyataan yang lebih kecil diberikan sebuah konstanta: Misalkan A = Albany adalah ibukota New York. Biarkan J = Joe Montana adalah quarterback untuk San Francisco 49ers.

Kemudian, Anda menghubungkan dua konstanta sebagai berikut: A & J

Nilai kebenaran pernyataan baru ini didasarkan pada nilai-nilai kebenaran dari dua bagian yang Anda telah bergabung bersama-sama. Jika kedua bagian tersebut adalah benar, maka seluruh pernyataan itu benar. Di sisi lain, jika salah satu dari bagian ini (atau keduanya) adalah salah, maka seluruh pernyataan salah.

Untuk operator &, Anda dapat mengatur nilai-nilai kebenaran x dan y ke dalam tabel:

x y x & y

T T T

T F F

F T F

F F F

Menghafal informasi dalam tabel ini. Berikut adalah cara cepat untuk mengingatnya: sebuah pernyataan dan itu benar hanya jika kedua bagian pernyataan adalah benar. Kalau tidak, itu salah.

Perhatikan bahwa tabel untuk operator & di atas memiliki empat baris alih-alih hanya dua baris yang diperlukan untuk operator ~ (lihat "Daftarkan Isyarat" bagian sebelumnya dalam bab ini). Tabel berbeda karena operator & selalu beroperasi pada dua variabel, jadi tabel memiliki pelacak untuk semua empat pasangan nilai x dan y.

Buku tentang logika yang berbeda mungkin menggunakan titik (•) atau V terbalik untuk operator dan daripada ampersand. Dalam buku lain, x & y adalah hanya ditulis xy. Apa pun konvensi, itu berarti hal yang sama.

Mengkaji atau

Seperti dengan dan, sebuah pernyataan dapat dilakukan atas dua pernyataan yang lebih kecil bergabung bersama-sama dengan kata atau. Logika menyediakan operator untuk kata atau: pemisahan operator, atau hanya operator atau, adalah v.

Lihatlah pernyataan ini:

Francisco 49ers.

Jika Anda menetapkan bagian pertama dari pernyataan sebagai A dan bagian kedua sebagai Q, Anda dapat menghubungkan dua konstanta A dan Q sebagai berikut: A v Q

Apakah pernyataan ini benar? Seperti halnya dengan sebuah pernyataan &, ketika kedua bagian dari sebuah statement v adalah benar, seluruh pernyataan itu benar. Oleh karena itu, pernyataan A v Q mempunyai suatu nilai kebenaran T. Meskipun demikian, dengan pernyataan v, bahkan jika hanya satu bagian adalah benar, pernyataan secara keseluruhan masih benar. Contoh:

Misalkan A = Albany adalah ibukota New York. Biarkan S = Joe Montana adalah shortstop untuk Boston Red Sox.

Sekarang pernyataan A v s berarti:

Albany adalah ibukota New York atau Joe Montana adalah shortstop untuk Boston Red Sox.

Meskipun bagian kedua dari pernyataan ini adalah salah, seluruh pernyataan itu benar karena salah satu bagian dari itu benar. Oleh karena itu, A v s memiliki nilai kebenaran T.

Tapi ketika kedua bagian dari sebuah pernyataan v pernyataan salah, seluruh pernyataan salah. Contoh:

Biarkan Z = Albany adalah ibukota Selandia Baru. Biarkan S = Joe Montana adalah shortstop untuk Boston Red Sox.

Sekarang pernyataan Z v s berarti:

Albany adalah ibukota Selandia Baru atau Joe Montana adalah shortstop untuk Boston Red Sox.

Ini adalah pernyataan salah karena kedua bagian itu adalah salah. Jadi Z v s memiliki nilai F.

Untuk operator v, Anda dapat membuat tabel dengan empat baris yang mencakup semua kemungkinan kombinasi nilai-nilai kebenaran untuk x dan y:

T T T

T F T

F T T

F F F

Menghafal informasi dalam tabel ini. Sebuah cara cepat untuk mengingatnya adalah: Sebuah pernyataan atau bernilai salah hanya jika kedua bagian itu adalah salah. Kalau tidak, itu benar.

Dalam bahasa Inggris, kata atau mempunyai dua arti yang berbeda:

Inklusif atau: Bila atau berarti "pilihan ini atau pilihan itu, atau keduanya"; kemungkinan bahwa kedua bagian pernyataan adalah benar disertakan.

Sebuah contoh inklusif atau adalah ketika Ibu berkata “sebelum Kamu pergi keluar, kamu harus membersihkan kamarmu atau menyelesaikan pekerjaan rumahmu.” Jelas, Ibu bermaksud menyuruh anaknya mengerjakan satu dari semua pekerjaan tersebut atau keduanya.

Eksklusif atau: Bila atau berarti "pilihan ini atau pilihan itu, tetapi tidak keduanya"; kemungkinan bahwa kedua bagian dari pernyataan yang benar adalah dikecualikan. Contoh dari eksklusif atau adalah ketika seorang ibu berkata, "Aku akan memberi Kamu uang untuk pergi ke mal hari ini atau besok berkuda." Ibu bermaksud memberikan uang untuk salah satu hal tersebut, tetapi tidak keduanya.

Bahasa Inggris memang ambigu, tetapi logika tidak. Dengan konvensi, dalam logika, yang operator v selalu inklusif. Jika kedua bagian dari sebuah pernyataan v adalah benar, pernyataan juga adalah benar.

Baik inklusif dan eksklusif atau digunakan dalam desain gerbang logika, merupakan bagian integral dari perangkat keras komputer. Lihat Bab 20 untuk lebih pada logika komputer.

Memahami Jika

Simbol → adalah disebut operator bersyarat, juga dikenal sebagai bila. . . kemudian-operator atau hanya jika-kemudian-operator. Untuk memahami bagaimana →-kemudian-operator bekerja, lihat pernyataan ini:

sedang berkunjung.

Anda dapat melihat bahwa pernyataan berisi dua pernyataan terpisah, masing-masing yang dapat diwakili oleh sebuah pernyataan konstan:

Biarkan W = Sebuah wig yang tergantung dari sebuah tiang ranjang di kamar tamu. Biarkan D = Bibi Doris sedang berkunjung.

Kemudian, hubungkan kedua dengan operator baru: W → D

Seperti halnya dengan operator lain tercakup dalam bab ini, untuk →-operator, Anda dapat membuat tabel dengan empat baris yang mencakup semua kemungkinan kombinasi nilai-nilai kebenaran untuk x dan y:

X y x → y

T T T

T F F

F T T

F F T

Menghafal informasi dalam tabel ini. Sebuah cara cepat untuk mengingatnya adalah: Sebuah pernyataan jika adalah salah hanya jika bagian pertama itu benar dan bagian kedua adalah salah. Kalau tidak, itu benar.

untukBuku tentang logika yang berbeda mungkin menggunakan operator jika bukan

panah. Apapun simbolnya, bermakna hal yang sama.

Tampak tidak ada yang acak tentang cara operator→. Panah poin dari kiri ke kanan untuk alasan penting: Apabila sebuah pernyataan jika itu benar dan bagian pertama itu benar, bagian kedua pasti benar juga.

Untuk membuat ini jelas, aku butuh beberapa konstanta yang baru:

Misalkan B = Anda berada di Boston. Misalkan M = Anda sedang di Massachusetts.

Sekarang, pertimbangkan pernyataan

B → M

Kebalikan pernyataan

Ketika Anda reverse-pernyataan yang jika, Anda menghasilkan pernyataan baru yang disebut kebalikan dari pernyataan itu. Sebagai contoh, di sini adalah jika-pernyataan diikuti dengan bercakap-cakap:

Jika-pernyataan: Jika Anda di Boston, maka Anda di Massachusetts. Converse: Jika Anda di Massachusetts, maka Anda di Boston.

Ketika sebuah pernyataan jika itu benar, tidak harus mengikuti bahwa kebalikannya adalah benar juga. Meskipun pernyataan asli di atas adalah benar, yang sebaliknya salah. Anda bisa di Concord, Provincetown, atau sejumlah tempat lain di Massachusetts.

Invers pernyataan

Ketika Anda meniadakan kedua bagian dari suatu jika-pernyataan, Anda

mendapatkan pernyataan lain yang disebut kebalikan dari pernyataan itu. Sebagai contoh, bandingkan berikut:

pernyataan Jika: Jika Anda di Boston, maka Anda di Massachusetts. Terbalik: Jika Anda tidak di Boston, maka Anda tidak di Massachusetts.

Ketika sebuah jika-pernyataan itu benar, tidak harus mengikuti bahwa invers adalah benar juga. Menggunakan contoh sebelumnya, bahkan jika Anda tidak di Boston, Anda masih bisa berada di tempat lain di Massachusetts.

Kontrapositif dari sebuah pernyataan

Ketika Anda berdua membalik urutan dan meniadakan dua bagian dari suatu pernyataan jika, Anda mendapatkan Kontrapositif pernyataan yang asli. Aku tahu, aku tahu. Sudah mulai dalam. Tapi aku punya sebuah contoh:

pernyataan Jika: Jika Anda di Boston, maka Anda di Massachusetts. Kontrapositif: Jika Anda tidak di Massachusetts, maka Anda tidak di Boston.

Sebuah pernyataan jika dan Kontrapositif selalu memiliki nilai kebenaran yang sama. Dengan menggunakan contoh, mengingat bahwa bagian pertama itu benar Anda tidak di Massachusetts sudah jelas bahwa Anda tidak dapat di Boston.

kebenaran yang sama sebagai kebalikan dari pernyataan yang sama. Hal ini karena berbicara dan invers sebenarnya kontrapositip satu sama lain.

Memahami lebih jika

Dalam SL, operator jika dan hanya jika (↔) adalah mirip dengan operator jika (lihat "memahami jika" sebelumnya dalam bab ini) tetapi memiliki lebih banyak terjadi. Cara terbaik untuk memahami operator jika dan hanya jika (↔) pertama untuk mendirikan pernyataan jika dan kemudian bekerja bersama dengan cara Anda.

Pertimbangkan pilihan ini pernyataan bila:

Jika wig yang tergantung dari sebuah tiang ranjang di kamar tamu, kemudian Bibi Doris sedang berkunjung.

Pernyataan ini mengatakan:

1. Jika anda melihat rambut palsu, maka Anda tahu bahwa Bibi Doris ada di sini, tapi 2. Jika Anda melihat Bibi Doris, maka Anda tidak bisa yakin bahwa ada wig. Jika-pernyataan ini dapat direpresentasikan dalam SL sebagai W → D, dengan tanda panah menunjuk ke arah implikasi: Wig menyiratkan Doris.

Sekarang perhatikan pernyataan ini:

Sebuah wig yang tergantung dari sebuah tiang ranjang di kamar tamu jika dan hanya jika Bibi Doris sedang berkunjung.

Pernyataan ini mirip dengan sebelumnya, tetapi hal-hal meluas sedikit lebih jauh. Dalam kasus ini, pernyataan mengatakan:

1. Jika anda melihat rambut palsu, maka Anda tahu bahwa Bibi Doris ada di sini, dan 2. Jika Anda melihat Bibi Doris, maka Anda tahu bahwa ada wig.

Pernyataan ini dapat dinyatakan dalam SL sebagai W ↔ D, dengan panah ganda memberikan petunjuk kepada makna-maknanya: Kedua wig menyiratkan Doris, dan Doris menyiratkan wig.

Karena operator jika (→) juga disebut operator kondisional, operator jika dan hanya jika (↔) cukup logis disebut operator dua konditional. Cara lain yang lebih pendek untuk menyebut itu adalah operator IFF. Namun hal ini dapat menjadi cukup rumit, jadi harus jelas, saya bilang itu seakan dan hanya jika.

baris yang mencakup semua kemungkinan kombinasi nilai-nilai kebenaran untuk x dan y:

x y x ↔ y

T T T

T F F

F T F

F F T

Menghafal informasi dalam tabel ini. Sebuah cara cepat untuk mengingatnya adalah: Sebuah pernyataan jika dan hanya jika itu benar hanya jika kedua bagian itu memiliki nilai kebenaran yang sama. Kalau tidak, itu salah.

Sebuah fitur penting yang pernyataan jika dan hanya jika adalah bahwa kedua bagian pernyataan secara logis setara, yang berarti bahwa seseorang tidak dapat benar tanpa yang lain.

Periksa dua contoh pernyataan jika dan hanya jika:

Anda berada di Boston jika dan hanya jika Anda berada di Beantown. Sejumlah bahkan jika dan hanya jika Anda dapat membagi dengan dua tanpa sisa.

Pernyataan pertama mengatakan bahwa Boston Beantown. Pernyataan kedua adalah menunjuk pada kesetaraan dari dua bagian menjadi nomor bahkan setara untuk menjadi sama dibagi dua.

Buku tentang logika yang berbeda dapat menggunakan / untuk operator pernyataan jika dan hanya jika daripada panah ganda. Apapun simbolnya, bermakna hal yang sama. Bagaimana SL Apakah Seperti Simple Arithmetic

Seperti yang saya bahas dalam " Lima Operator SL " bagian sebelumnya dalam bab ini, SL adalah sepupu dekat matematika dalam bahwa operator untuk kedua disiplin ilmu mengambil nilai yang Anda memberi mereka dan menghasilkan nilai baru. Tapi kesamaan tidak berhenti di situ. Setelah Anda melihat beberapa kesamaan lain, SL menjadi jauh lebih mudah untuk dipahami.

Dalam aritmatika, masing-masing dari empat operator dasar berubah dua angka menjadi satu angka. Contoh:

6 + 2 = 8 6 - 2 = 4 6 × 2 = 12 6 ÷ 2 = 3

Dua angka yang Anda mulai dengan disebut nilai-nilai input, dan nomor yang berakhir dengan adalah nilai output.

Dalam setiap kasus, menempatkan operator antara dua nilai input (6 dan 2) menghasilkan nilai output (dalam huruf tebal). Karena ada dua nilai input, operator ini disebut operator biner.

Tanda minus juga melayani tujuan lain dalam matematika. Ketika Anda memajangnya di depan angka positif, tanda minus berubah jumlah tersebut menjadi angka negatif. Tetapi ketika Anda memajangnya di depan angka negatif, tanda minus berubah jumlah tersebut menjadi angka positif. Contoh:

- -4 = 4

Dalam hal ini, tanda minus pertama beroperasi pada satu nilai input (-4) dan

menghasilkan nilai output (4). Ketika digunakan dengan cara ini, tanda minus adalah suatu unary operator, karena hanya ada satu nilai input.

Dalam aritmetika, Anda harus khawatir tentang jumlah tak terhingga nilai. SL Namun, hanya memiliki dua nilai: T dan F. (Untuk lebih lanjut tentang nilai-nilai kebenaran ini, melompat kembali ke "nilai Kebenaran" bagian sebelumnya dalam bab ini.)

Seperti aritmetika, logika memiliki empat biner unary operator dan satu operator. Dalam SL, operator biner &, v →, dan ↔, dan operator unary ~. (Masing-masing operator tersebut tercakup dalam bagian " Lima Operator SL " sebelumnya dalam bab ini.) Untuk kedua jenis operator, aturan-aturan dasar yang sama berlaku di SL seperti dalam aritmatika:

Stick operator biner antara setiap pasang nilai input dan Anda mendapatkan nilai output.

Menempatkan unary operator di depan nilai input dan Anda mendapatkan nilai output. Misalnya, mulai dengan sepasang input nilai, F dan T, dalam urutan tersebut, Anda dapat menggabungkan mereka dengan menggunakan empat operator biner sebagai berikut: F & T = FF v T = BS → T = BS ↔ T = T

atau F. Demikian pula, menempatkan operator unary ~ di depan baik masukan nilai T atau F menghasilkan nilai output:

~ F = T ~ T = F

Tidak ada pengganti untuk substitusi

Bahkan jika Anda hanya memiliki sedikit hubungan ke aljabar, Anda tahu bahwa surat-surat dapat berdiri untuk angka. Sebagai contoh, jika saya mengatakan kepada Anda bahwa

a = 9 dan b = 3

Anda dapat mengetahui bahwa

a + b = 12 a - b = 6 a × b = 27 a ÷ b = 3

Ketika Anda bekerja dengan konstan dalam SL, aturan yang sama berlaku. Anda hanya perlu mengganti nilai-nilai yang benar (T atau F) untuk setiap konstan. Sebagai contoh, lihatlah masalah berikut:

Mengingat bahwa P benar, Q adalah salah, dan R adalah benar, menemukan nilai-nilai dari pernyataan berikut:

1. P v Q 2. P → R 3. ↔ Q R

Dalam masalah 1, Anda pengganti T untuk P dan F untuk T. Ini akan memberikan Anda T v F, yang sama dengan T.

Dalam masalah 2, Anda pengganti T untuk P dan T untuk R. Ini akan memberikan Anda T → T, yang sama dengan T.

Dalam masalah 3, Anda menggantikan F untuk Q dan T untuk R. Ini akan memberikan Anda M ↔ T, yang sama dengan F.

Kurung bimbingan menyarankan

Dalam aritmatika, kurung digunakan untuk nomor kelompok dan operasi bersama. Contoh:

- ((4 + 8) ÷ 3)

Secara umum, kemudian, Anda mulai dengan sepasang terdalam kurung dan bekerja jalan keluar. SL menggunakan kurung dengan cara yang sama. Sebagai contoh, mengingat bahwa P benar, Q adalah salah, dan R adalah benar, menemukan nilai pernyataan berikut:

~ ((P v Q) → ~ R)

Dimulai dengan sepasang terdalam kurung, P v Q menjadi T v F, yang menyederhanakan pada T. Kemudian, bergerak ke luar untuk sepasang berikutnya kurung, T → ~ R menjadi T → F, yang disederhanakan menjadi F. Dan akhirnya, ~ muncul di luar semua

perubahan kurung F ini untuk T.

Proses mengurangi pernyataan dengan lebih dari satu nilai ke nilai tunggal disebut mengevaluasi pernyataan. Ini merupakan alat penting bahwa Anda mengetahui lebih banyak tentang dalam Bab 5.

Sulit Menerjemahkan

SL adalah bahasa, jadi setelah Anda tahu aturan, Anda dapat menerjemahkan bolak-balik antara SL dan bahasa Inggris. . . atau Spanyol atau Cina, dalam hal ini - tetapi mari kita tetap berpegang pada bahasa Inggris! (Namun, jika Anda ke dalam bahasa Spanyol atau Cina, periksa Spanyol For Dummies atau Cina For Dummies.)

Kekuatan utama SL adalah bahwa hal itu jelas dan tidak ambigu. Kualitas ini

memudahkan untuk memulai dengan suatu pernyataan di SL dan menerjemahkannya ke dalam bahasa Inggris. Itu sebabnya saya sebut arah terjemahan ini dengan cara mudah. Inggris, bagaimanapun, dapat jelas dan ambigu. (Lihat bagian "Menggali untuk atau" sebelumnya dalam bab ini untuk bukti bahwa bahkan kata sederhana atau memiliki beberapa arti, tergantung pada bagaimana Anda menggunakannya.) Karena kau harus sangat berhati-hati ketika menerjemahkan kalimat dari bahasa Inggris ke SL, yang saya sebut ini cara yang tidak begitu mudah.

Menemukan cara untuk menerjemahkan pernyataan di kedua arah akan mempertajam pemahaman Anda SL dengan membuat konsep di balik semua simbol-simbol kecil yang aneh banyak jelas. Dan ketika Anda melanjutkan ke dalam beberapa bab berikut, jika Anda mulai bingung, ingatlah bahwa setiap pernyataan di SL, tak peduli betapa rumit, bisa juga dinyatakan dalam bahasa Inggris.

Kadang-kadang contoh mununjukan yang terbaik. Jadi di sini adalah contoh dari beberapa cara untuk menerjemahkan setiap jenis operator. Mereka semua cukup

sederhana, sehingga anda memilih favorit dan jalankan dengan itu. Sepanjang bagian ini, saya menggunakan konstanta pernyataan berikut:

Misalkan A = Harun mencintai Alma. Misalkan B = Perahu di teluk. Biarkan C = Cathy menangkap ikan lele.

Menerjemahkan pernyataan bersama ~

Anda dapat menerjemahkan pernyataan ~ A ke dalam bahasa Inggris dalam salah satu dari cara berikut:

Bukan kasus yang mencintai Aaron Alma. Tidak benar bahwa Aaron mencintai Alma. Aaron tidak mencintai Alma. Aaron tidak mencintai Alma.

Menerjemahkan pernyataan dengan &

Berikut adalah dua cara untuk menerjemahkan pernyataan SL A & B:

Aaron mencintai Alma dan perahu berada di teluk. Aaron mencintai Keduanya Alma dan perahu berada di teluk.

Menerjemahkan pernyataan dengan v Berikut adalah dua cara untuk menerjemahkan A v C:

Aaron mencintai Alma atau Cathy adalah menangkap ikan lele. Entah Aaron mencintai Alma atau Cathy menangkap ikan lele.

Menerjemahkan pernyataan dengan →

Anda dapat menerjemahkan pernyataan B → C dalam salah satu dari cara berikut: Jika perahu di teluk, kemudian Cathy adalah penangkapan ikan lele. Perahu di teluk menyiratkan Cathy adalah menangkap ikan lele. Perahu di teluk menyiratkan bahwa Cathy adalah penangkap ikan lele. Perahu di teluk hanya jika Cathy adalah menangkap ikan lele.

Menerjemahkan pernyataan dengan ↔

Benar-benar hanya ada satu cara untuk menerjemahkan pernyataan SL C ↔ A: Cathy adalah menangkap ikan lele jika dan hanya jika kapal berada di teluk. Menerjemahkan pernyataan yang lebih kompleks

dalam bab sebelumnya, dalam "Bagaimana SL Apakah Seperti Simple Arithmetic." Cukup menerjemahkan pernyataan langkah demi langkah, mulai dari dalam kurung. Contoh:

(~ A & B) v ~ C

Bagian di dalam kurung adalah (~ A & B), yang diterjemahkan sebagai Aaron tidak mencintai Alma dan perahu berada di teluk.

Menambahkan pada bagian terakhir pernyataan menghasilkan:

Aaron tidak mencintai Alma dan perahu di teluk atau Cathy tidak menangkap ikan lele. Perhatikan bahwa meskipun kalimat secara teknis benar, ini agak membingungkan karena kurung adalah pergi dan semuanya berjalan bersama-sama. Cara yang baik untuk

membersihkannya adalah menerjemahkan sebagai

Entah Aaron tidak mencintai Alma dan perahu di teluk atau Cathy tidak menangkap ikan lele.

Kata baik menjelaskan berapa banyak kata atau dimaksudkan untuk mencakup. Sebaliknya, pernyataan

~ A & (B v ~ C)

dapat diterjemahkan sebagai

Aaron tidak mencintai Alma dan baik perahu di teluk atau Cathy tidak menangkap ikan lele.

Sekarang kita lihat contoh lain: ~ (A → (~ B & C))

Mulai dari bagian dalam kurung, anda terjemahkan (~ B & C) sebagai Perahu tidak di teluk dan Cathy adalah menangkap ikan lele.

Pindah ke luar kurung, (A → (~ B & C)) menjadi ini:

Jika Aaron mencintai Alma, maka kapal tidak berada di teluk dan Cathy menangkap ikan lele.

Perhatikan penambahan kata kedua untuk memperjelas bahwa pernyataan dan asli adalah dalam tanda kurung. Akhirnya, tambahkan pada ~ untuk mendapatkan:

Hal ini tidak terjadi bahwa jika Aaron mencintai Alma, maka kapal tidak berada di teluk dan Cathy menangkap ikan lele.

begitu. Anda mungkin tidak akan pernah menerjemahkan pernyataan yang jauh lebih rumit dari ini, tetapi Anda harus tetap merefleksikan sejenak pada kenyataan bahwa pernyataan SL dapat menangani seberapa panjang pernyataan dengan sangat jelas. cara yang tidak begitu mudah menerjemahkan dari bahasa Inggris ke SL

Masing-masing dari empat operator biner dalam SL (&, v →, dan ↔) adalah konektor yang menghubungkan sepasang pernyataan bersama. Dalam bahasa Inggris, kata-kata yang menghubungkan pernyataan bersama disebut konjungsi. Berikut adalah beberapa contoh konjungsi:

Operator ~ yang biasanya diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris tidak, tapi juga dapat muncul dalam penyamaran pintar lain, seperti kontraksi (bisa tidak, tidak, tidak akan, dan sebagainya). Dengan semua variasi bahasa ini, yang lengkap tentang bagaimana mengubah bahasa Inggris ke SL mungkin akan mengambil sepuluh buku. Berikut adalah nama yang sedikit lebih pendek. Dalam bagian ini, saya daftar beberapa kata-kata yang paling umum dan frase, membahas masing-masing, dan kemudian memberikan contoh bagaimana menerjemahkannya ke dalam SL.

Pertama, aku perlu mendefinisikan beberapa konstanta:

Biarkan K = Chloe tinggal di Kentucky. Mari L = Chloe tinggal di Louisville. Misalkan M = Aku suka Mona. Biarkan N = Aku suka Nunu. Biarkan O = Chloe suka Olivia. Tapi, meskipun, bagaimanapun, meskipun, bagaimanapun. . .

Banyak kata dalam bahasa Inggris menghubungkan pernyataan bersama dengan makna logis yang sama seperti kata dan. Berikut adalah Beberapa contoh:

Aku suka Mona, tapi aku suka Nunu. Walaupun aku seperti Mona, aku suka Nunu. Meskipun aku seperti Mona, aku suka Nunu. Aku suka Mona tetapi, aku suka Nunu. Aku suka Mona meskipun demikian, aku suka Nunu.

Setiap kata-kata ini memberikan makna yang sedikit berbeda, tetapi karena kau hanya bicara logika di sini, anda menerjemahkan mereka semua sebagai

Setelah pernyataan yang telah diterjemahkan dari bahasa Inggris ke SL, aturan SL mengambil alih. Jadi di sini, seperti halnya dengan &-pernyataan, jika salah satu M atau N adalah salah, pernyataan M & N adalah salah. Kalau tidak, itu benar.

Bukan. . . maupun

Yang tidak. . . struktur atau menegasikan kedua bagian pernyataan. Contoh: Saya suka maupun Mona tidak Nunu.

Pernyataan ini berarti bahwa kedua aku tidak seperti Mona dan aku tidak suka Nunu. Terjemahkan pernyataan ini ke dalam SL sebagai

~ M & ~ N

Tidak. . . keduanya

Yang tidak. . . kedua struktur berarti bahwa meskipun pernyataan secara keseluruhan disangkal, baik sebagian dengan sendirinya tidak dapat ditiadakan. Contoh:

Aku tidak suka keduanya Mona dan Nunu.

Pernyataan ini mengatakan bahwa meskipun aku tidak suka keduanya perempuan bersama-sama, aku mungkin seperti salah satu dari mereka. Jadi Anda menerjemahkan pernyataan ini sebagai

~ (M & N) . . . Jika. . .

Anda sudah tahu bagaimana menerjemahkan pernyataan yang dimulai dengan kata jika. Tapi ini menjadi semakin membingungkan ketika Anda menemukan kata jika

ditempatkan di tengah-tengah sebuah pernyataan, seperti dalam: Aku suka Mona kalau Chloe suka Olivia.

Untuk memperjelas pernyataan, hanya menguraikan sebagai berikut: Jika Chloe suka Olivia, aku seperti Mona.

Dengan pernyataan ditata ulang, Anda dapat melihat bahwa cara untuk menerjemahkannya adalah:

O → M

. . . Hanya jika. . .

Satu ini rumit sampai Anda berpikir tentang hal ini, dan kemudian itu benar-benar mudah dan Anda tidak akan melakukannya lagi setiap kali. Pertama, perhatikan bahwa

pernyataan berikut benar:

Chloe tinggal di Louisville hanya jika dia tinggal di Kentucky.

Ini masuk akal, karena satu-satunya cara yang Chloe dapat hidup di Louisville adalah jika dia tinggal di Kentucky. Sekarang, perhatikan bahwa pernyataan berikut juga berlaku: Jika Chloe tinggal di Louisville, lalu dia tinggal di Kentucky.

Hal ini menunjukkan bahwa dua kalimat yang logis setara. Jadi, ketika dihadapkan dengan. . . hanya jika. . . antara dua bagian dari sebuah pernyataan, hanya menyadari bahwa itu adalah jika-pernyataan yang sudah dalam urutan yang benar. Terjemahkan sebagai

L → K . . . Atau. . .

Chloe tinggal di Kentucky atau suka Chloe Olivia.

Tergantung pada bagaimana digunakan, atau dapat mempunyai dua arti yang berbeda: Chloe tinggal di Kentucky atau suka Chloe Olivia, atau keduanya. Chloe tinggal di Kentucky atau suka Chloe Olivia, tetapi tidak keduanya.

Diberikan atau yang kepribadian ganda, saran saya adalah: Bila Anda melihat atau mencari kesepian dalam sebuah pernyataan yang akan diterjemahkan, ini mungkin berarti bahwa seseorang (seperti dosen Anda) ingin pastikan Anda tahu bahwa, dalam logika, atau selalu berarti atau. . . atau keduanya. Jadi menerjemahkan pernyataan sebagai K v O

. . . Atau. . . atau keduanya

Struktur ini jelas dan mudah: ini mengatakan apa artinya dan berarti apa yang dikatakannya. Contoh:

Chloe tinggal di Kentucky atau suka Chloe Olivia, atau keduanya. Terjemahkan pernyataan ini sebagai

K v O

. . . Atau. . . tetapi tidak keduanya

Struktur ini memiliki arti yang jelas, tetapi tidak begitu mudah untuk menerjemahkan. Contoh:

Chloe tinggal di Kentucky atau suka Chloe Olivia, tetapi tidak keduanya.

Dalam rangka untuk menerjemahkan kata-kata tetapi tidak keduanya ke SL, Anda perlu melakukan beberapa logis mewah gerak kaki. Seperti yang saya bahas dalam bagian "Tapi, meskipun, bagaimanapun, meskipun, bagaimanapun. . . "Sebelumnya dalam bab ini, kata namun menjadi &, dan kata-kata tidak keduanya diterjemahkan di sini sebagai ~ (K & O). Menyusun semua bersama-sama, Anda menerjemahkan seluruh pernyataan sebagai