Kajian Teoritis Metode Rayleigh-Ritz pada Masalah Dua Nilai Batas
untuk Menganalisis Pengaruh SuatuTekanan pada Benda 2-D
Riad Taufik Lazwardi
Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung Jalan A.H Nasution no 108
aireyriadbonnet@yahoo.co.id
Abstrak – Masalah nilai batas pada persamaan diferensial untuk menganalisis tekanan merupakan salah satu masalah yang menarik untuk dikaji terutama pada permasalahan yang kompleks sehingga dibutuhkan solusi aproksimasi.Terdapat berbagai metode untuk menyelesaikannya.Salah satunya adalah metode Rayleigh-Ritz.Makalah ini menjelaskan teorema-teorema pendukung dan bagaimana metode Rayleigh-Ritz menyelesaikan masalah nilai batas berikut langkah-langkahnya ,khususnya
pada analisis tekanan benda 2-D dengan persamaan
−
d
menghasilkan matriks A tridiagonal simetri yang definit positif sehingga nonsingular (solusi spl unik) dan diperoleh komputasi (penyelesaian spl) yang stabil dan solusi persamaan di atas unik.Solusi yang diperoleh akan dibandingkan dengan solusi analitik.Kata kunci: Metode Rayleigh-Ritz,masalah nilai batas,kalkulus variasi,analisis tekanan.
Abstract –Boundary value problems in beam-stress analysis is one of the interesting topic to solve.There are many methods to solve these problems.This paper show theorems which is included and how Rayleigh-Rit method solve two boundary value
problem in
−
d
dx
(
p
(
x
)
dy
dx
)
+
q
(
x
)
y
=
f
(
x
)
wherey
(
0
)
, y
(
1
)=
0, 0
≤ x ≤
1
,p
(
x
)=
1,
q
(
x
)=
π
2,, f
(
x
)=
2
π
2sin
(
πx
)
with partition and basis function is chosen.Finaly it gives Ac=b equation .Ac=b is positive definite and A is symmetric tridiagonal matrix.Then the solution is unique.In the end of this paper, we compare this solution with analytic solution.Key words: Rayleigh-Ritz Method,boundary value problem,variational principle,beam stress analysis
I. PENDAHULUAN
Masalah nilai batas pada persamaan diferensial untuk menganalisis tekanan merupakan salah satu masalah yang menarik untuk dikaji terutama pada permasalahan yang kompleks sehingga dibutuhkan solusi aproksimasi.Terdapat berbagai metode untuk menyelesaikannya,misal metode
Shooting,Finite Difference,Galerkin,Collocation,Rayleigh-Ritz.Makalah ini menjelaskan bagaimana metode Rayleigh-Ritz menyelesaikan masalah nilai batas pada analisis
Gambar 1. Contoh gambar benda 2-D yang diberikan tekanan f(x)
Akan dipilih 10 subinterval ,panjang partisi 0,1 untuk mengaproksimasi solusi y dan fungsi basis PWL(Piecewise Linear)yang digunakan adalah
. Metode Rayleigh Ritz dengan penggunaan fungsi basis di atas akan menghasilkan sistem persamaan linier yang jika dibentuk matriks
Ac
=
b
akan menghasilkan matriks A tridiagonal simetri yang definit positif sehingga nonsingular (solusi spl unik) dan diperoleh komputasi (penyelesaian spl) yang stabil, solusi persamaan di atas unik.Akhirnya solusi yang diperoleh akan dibandingkan dengan solusi analitik.Gambar 2. Gambar PWL persamaan (2)
II. LANDASAN TEORI
Secara analitik persamaan (1) dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu atau metode variasi parameter.Pada makalah ini digunakan metode variasi parameter untuk perbandingan.Solusi menurut metode variasi parameter adalah : unik pada persamaan (1) jika dan hanya jika y adalah fungsi unik di
C
02[
0,1
]
yang meminimasi integralI
[
u
]
=
∫
0 1p
(
x
)[
u
'(
x
)]
2+
q
(
x
)
[
u
(
x
)
]
2−
2
f
(
x
)
u
(
x
)
dx
(
4
)
Mencari fungsi agar nilai suatu integral optimal berkaitan dengan variational principle (Kalkulus variasi) karena fokus utamanya yaitu mencari fungsi yang memaksimasi atau meminimasi nilai suatu integral.Yang paling sederhana adalah mencari y(x) pada interval a
≤
x≤
b yang memaksimasi atau meminimasi nilai integral tentu.I
[
y
]
=
∫
a bF
(
x , y
(
x
)
, y
'(
x
)
)
dx , y
'=
d
( )
dx
Pada umumnya digunakan pendekatan numerik terhadap solusi karena solusi eksak untuk masalah variational principle hanya ada untuk masalah yang simpel[2].
Solusi I[y] diaproksimasi dengan fungsi tertentu ,biasanya menggunakan polinomial.Berikut beberapa teorema yang berkaitan dengan polinomial.
Teorema Weistrass.Jika
f
terdefinisi dan kontinyu di[
a , b
]
danε
>
0
sebarang,maka∃
polinomialBukti teorema-teorema ini dapat dilihat di buku[6].Fungsi polinomial yang dipilih untuk mengaproksimasi disebut fungsi basis yaitu fungsi yang bebas linier dan memenuhi syarat batas.
Teorema lain yang mendukung adalah teorema yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan
Ac
=
b
.Jika A adalah matriks n x n yang definit positif, maka A
nonsingular.Selanjutnya Eliminasi Gauss dapat digunakan pada sembarang sistem linier Ax=B untuk memperoleh solusi unik tanpa perubahan baris atau kolom, dan komputasi(perhitungan spl) stabil.
Definit positif adalah jika
x
tAx
>
0
∀
n dimensi.Setelah dirasa teorema-teorema pendukung cukup,selanjutnya langkah-langkah metode Rayleigh-Ritz untuk menyelesaikan persamaan (1) dibandingkan dengan solusi analitik yang diperoleh dari metode variasi parameter.
Langkah-Langkah Metode Rayleigh-Ritz untuk menyelesaikan persamaan (1):
1. Partisi interval [0,1] .Dipilih menjadi 10 interval(
h
i=
h
=
0,1
x
i=
0,1
i, i
=
1,2,
… ,
9
).2. Tentukan fungsi basis.Fungsi basis yang dipilih adalah persamaan PWL (2).
3. Masukan persamaan PWL (2) ke persamaan (4) dan bentuk sistem persamaan linier Ac=b.
4. Cari konstanta
Secara analitik ,metode variasi parameter menghasilkan solusi
Gambar 3. Solusi Analitik
Gambar 4. Solusi numerik dengan menggunakan Metode Rayleigh-Ritz
Gambar 5. Gambar solusi analitik dan numerik
Gambar 6. Tabel error dari solusi analitik dan numerik
V. KESIMPULAN
Teorema-teorema pendukung adalah teorema yang berkaitan dengan polynomial approximation yaitu weistrass dan piecewise linear,penyelesaian sistem persamaan linier (eliminasi Gauss)dan teorema masalah nilai batas pada persamaan (2) [7]
Penggunaan PWL (2) sebagai fungsi basis dalam pendekatan solusi persamaan (1) dengan partisi menjadi 10 subinterval dan panjang subintervalnya 0,1 menghasilkan:
1. Sistem persamaan linier yang jika dibentuk ke dalam matriks Ac=b maka akan menghasilkan matriks A yang berbentuk tridiagonal simetri dan definit positif sehingga komputasi (penyelesaian spl) stabil.
2. Solusi persamaan (1) unik.
.
UCAPAN TERIMA KASIH
Saya ucapkan terimakasih kepada guru-guru saya atas ilmu yang telah diberikan. Jazakumulloh khoiron katsiro.
PUSTAKA
[1] Francis Scheild,Ph.D, 2000 Solved Problems In Numerical Analysis, Boston University, McGraw-Hill Publishing Com-pany.
[2] Frederick Y.M.Wan ,Introduction to the calculus of varia-tions and its application, Chapman Hall Mathematics..
[3] O.C Zienkiewicz and K.Morgan , Finite Elements
And Approximation, University of Wales,
Swansea, United Kingdom, John Wiley and Sons. [4] Richard .E.Williamson , Introduction Differental
equation and Dynamic System.
[5] Richard L. Burden and J.Douglas Faires , Numeri-cal Analysis third edition, Priadle Weber and Schmidt, Boston.
[6] Robert G.Bartle and Donald R.Sherbert ,
Intro-duction to Real Analysis, Third Edition, John
Wi-ley and Sons,Inc.
[7] Schultz,M.H , Spline Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs,N.J.
[8] Sri Redjeki P,Dr , Metoda Matematika, Fakultas MIPA Insti-tut Teknologi Bandung,2009.
[9] Steven Chapra , Numerical Methods , McGraw-Hill.
[10]William E Boyce and Richard C Diprima ,Elementary Differ-ential Equations and Boundary Value Problem, John Wiley and Sons.Inc.
