KALKULUS LANJUT
Pertemuan ke-4
Plot Materi
Integral Tentu Notasi Jumlah &
Sigma
Pendahuluan Luas Jumlah
Notasi Jumlah & Sigma
Purcell, et all. (page 226,2003):
Sebuah fungsi yang daerah asalnya hanya terdiri dari bilangan bulat positif (atau suatu himpunan bagian lain dari bilangan positif) disebut sebagai barisan.
Notasi dari sebuah barisan diantarnya a(n) atau an .
Sebagai contoh barisan {an } ditentukan oleh an = n2 dan barisan {bn} ditentukan oleh bn = 1/n.
Contoh :
a1 , a2 , a3 , a4 , …
1, 4, 9, 16, …
Notasi Jumlah & Sigma
Perhatikan jumlah dari barisan berikut :
12 +22 +32 +42 +52 +…+1002
a1 + a2 + a3 + a4 + … + an
Untuk menunjukkan jumlah ini dalam bentuk yang kompak, barisan pertama dapat dituliskan sebagai berikut :
Sedangkan untuk barisan kedua dapat dituliskan menjadi
100 2
1
i
i
1
n i i
a
Notasi Jumlah & Sigma
Σ berpadanan dengan S yang menyatakan untuk
menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan dengan indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, mulai dengan bilangan bulat yang diperlihatkan di bawah Σ dan berakhir dengan bilangan bulat di atas tanda Σ tersebut.
Notasi Jumlah & Sigma
TEOREMA A (Purcell, et all. page 227,2003):
Kelinearan Σ
Andaikan {ai} dan {bi} menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta, maka :
Notasi Jumlah & Sigma
Contoh : Andaikan
Hitunglah
Penyelesaian :
100 100 100 100
1 1 1 1
100 100 100
Notasi Jumlah & Sigma
Rumus Jumlah khusus (Purcell, et all. page 228,2003):
Notasi Jumlah & Sigma
Contoh Hitunglah :
Penyelesaian :
Pendahuluan Luas
Purcell, et all. (page 233,2003)
Sifat-sifat luas :
1. Luas sebuah daerah rata adalah bilangan (real) tak negatif. 2. Luas segi empat adalah hasil kali panjang dan lebarnya
(keduanya diukur dalam satuan sama). Hasil dalam suatu persegi misalnya kaki persegi atau sentimeter persegi.
3. Daerah-daerah yang sama dan sebangun mempunyai luas
sama.
4. Luas gabungan dua daerah yang hanya berimpit menurut
sebuah ruas garis sama dengan jumlah luas kedua daerah tersebut.
5. Jika sebuah daerah terkandung di dalam daerah yang
Pendahuluan Luas
Luas Daerah dengan batas melengkung
Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Tinjaulah daerah R yang dibatasi parabola y=f(x)=x2 , sumby-x dan garis tegak x=2. R adalah daerah di bawah kurva y=x2 di antara x=0 dan x=2.
1 2
R 4
3
1 2
y=f(x)=x2
Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Luas A(R) dapat dicari dengan langkah berikut.
Buatlah selang [0,2] menjadi n selang bagian, masing-masing dengan panjang Δx menggunakan titik-titik n+1.
Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Perhatikan segi empat dengan alas [xi-1 , xi ] dan tingginya f(xi-1) Luasnya adalah f(xi-1)Δx .
Gabungan dari Rn dari semua segi empat yang demikian
membentuk poligon dalam dengan luas A(Rn) dapat dihitung dengan menjumlahkan luas semua segi empat.
Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
A lingkaran A P
Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Purcell, et all. (page 233,2003):
Luas lingkaran adalah limit n∞ dari luas Pn . Jadi jika A(F)
menyatakan luas daerah F maka :
Dengan demikian :
lim
nn
A lingkaran
A P
Luas Menurut Poligon-Poligon Luar
Perhatikan segi empat dengan alas [xi-1 , xi ] dan tingginya f(xi) Luasnya adalah f(xi)Δx .
Gabungan dari Sn dari semua segi empat yang demikian membentuk poligon luar dengan luas A(Sn) dapat dihitung dengan menjumlahkan luas semua segi empat.
Luas Menurut Poligon-Poligon Luar
A lingkaran A P
Luas Menurut Poligon-Poligon Luar
Purcell, et all. (page 233,2003):
Luas lingkaran adalah limit n∞ dari luas Pn . Jadi jika A(F)
menyatakan luas daerah F maka :
Dengan demikian :
lim
nn
A lingkaran
A P
Jumlah Riemann
Purcell, et all. (page 239,2003):
Pandanglah sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tutup [a,b]. Fungsi itu boleh bernilai positif ataupun negatif pada selang tersebut dan bahkan tidak perlu kontinu.
Tinjaulah suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak perlu sama panjang) menggunakan titik-titik
Dan andaikan Δxi =xi - xi -1 . Pada tiap selang bagian [xi-1, xi], ambilah sebuah titik sebarang (yang mungkin saja sebuah titik ujuk), titik itu disebut sebagai titik sampel untuk selang bagian ke-i
0 1 2 3 4 n 1
a
x
x
x
x
x
x
b
Jumlah Riemann
Contoh untuk n=6
Terbentuklah penjumlahan
1n
p i i
i
R
f
x
x
Jumlah Riemann
Contoh :
Hitunglah jumlah Riemann Rp untuk :
Pada selang [0,5] dengan menggunakan partisi P dengan titik-titik parsial :
Dan titik sampel berpadanan
Jumlah Riemann dan Integral Tentu
Definisi Integral Tentu
Purcell, et all. (page 239,2003):
Integral Tentu
TEOREMA A (Purcell, et all. page 242,2003):
Teorema Keintegrasian
Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu disana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada
[a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka
f terintegrasikan pada [a,b].
Fungsi-fungsi yang terintegrasikan pada selang [a,b] :
1. Fungsi polinomial
2. Fungsi sinus dan kosinus
3. Fungsi rasional, asalkan selang [a,b] tidak mengandung
Integral Tentu
Contoh : Hitunglah
Penyelesaian :
Buatlah partisi selang [-2,3] menjadi n selang bagian yang sama, masing-masing dengan panjang Δx =5/n. dalam setiap selang bagian [xi-1, xi], gunakan
sebagai titik sampel :
Integral Tentu
TEOREMA B (Purcell, et all. page 244,2003):
Sifat Tambahan pada Selang
Jika f terintegrasikan pada sebuah selang yang mengandung titik-titik a, b, dan c, maka
Tidak perduli apapun orde a, b, dan c.
Contoh :
c b c
a a b
f
x dx
f
x dx
f
x dx
2 1 2
2 2 2
0 0 1