BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Pengantar Logika dan HimpunanMatematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan berbagai keunggulan ini matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi dan dalam menyelesaikan masalah yang rumit. Matematika juga merupakan alat bantu dalam menyelesaikan masalah dalam berbagai disiplin ilmu. Dengan matematika, suatu masalah nyata dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat dan bentuknya kompak (singkat dan padat).
Unsur utama dalam pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif dan induktif. Penalaran deduktif bekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan pengamatan. Sedangkan penalaran induktif bekerja berdasarkan fakta dan fenomena yang muncul untuk sampai kepada suatu perkiraan tertentu. Tetapi perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif. Proses induktif – deduktif dapat digunakan sebagai salah satu cara dalam mempelajari suatu konsep matematika.
1.1.1. Sistem Aksioma
Matematika dibangun berdasarkan suatu sistem yang memuat beberapa istilah
dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Suatu sistem matematika
merupakan penerapan berbagai metode secara aksiomatik dari logika atas sekelompok
unsur, relasi dan operasi. Pemilihan beberapa sifat dasar yang dibuat konsisten akan
menentukan suatu sistem secara utuh. Dalam proses penalaran matematika, suatu rumus (teorema) matematika terdiri dari beberapa hipotesis dan kesimpulan. Penalaran dibalik sistem logika dapat dipahami berdasarkan sifat sistem dan operasi yang dirancang di dalamnya.
Sistem aksioma terdiri dari empat bagian penting, yaitu istilah tak terdefinisi, terdefinisi, aksioma, dan teorema.
Istilah Tak Terdefinisi
Istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan, tetapi deskripsinya ada. Pada suatu sistem matematika tertentu, kita mengenal istilah tak terdefinisi, seperti titik, garis,
bidang, himpunan dan sebagainya.
Istilah Terdefinisi
Istilah yang digunakan dalam sistem, bukan istilah dasar, dan dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. Dalam suatu definisi, istilah jika berarti jika dan hanya jika.
Suatu definisi yang baik mempunyai ciri berikut : jelas, tepat dan mempunyai suatu makna;
hanya menggunakan istilah dasar atau yang telah ada sebelumnya konsisten, dalam setiap kasus mempunyai arti yang sama
jangkauannya cukup luas untuk dapat memuat sebanyak mungkin objek dari sistem.
Aksioma atau Postulat
Aksioma adalah suatu pernyataan yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten, dapat membangun sistem tersebut dan tidak saling bertentangan.
Teorema
Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika dan dibuktikan dengan memanfaatkan istilah dasar, istilah terdefinisi, aksioma dan pernyataan benar lainnya.
Pernyataan
Suatu pernyataan matematika (disingkat pernyataan) adalah rangkaian kata yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah.Diantara benar dan salah hanya berlaku salah satu : benar saja atau salah saja dan tidak mungkin keduanya sekaligus. Ukuran benar atau salahnya suatu pernyataan tidak didasarkan atas opini atau pendapat.
Contoh 1.1
(a) Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki (B) (b) Setiap persegi panjang adalah jajaran genjang (B) (c) Jika x2 9, maka x 3 (S)
(d) Pada sistem bilangan riil, persamaan x2 3x 4 0 tidak mempunyai jawab (B) (e) Mereka mahasiswa Unhas (kalimat terbuka , bukan pernyataan)
(f) x 3 8 (kalimat tebuka ,bukan pernyataan)
Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut bukan pernyataan (kalimat nondeklaratif). Misalnya kalimat tanya, kalimat perintah, kalimat harapan, kalimat terbuka (kalimat yang mempunyai besaran yang tidak diketahui) semuanya bukan pernyataan karena tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
Salah satu dasar dalam Matematika yang harus dipahami adalah konsep sebuah himpunan. Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda. Mahasiswa-mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika dasar, buku-buku yang dijual dalam suatu toko, hewan-hewan yang ada di kebun binatang, dan lain-lain adalah contoh suatu himpunan. Biasanya himpunan dinotasikan dengan huruf capital, seperti A, B, C, … Objek dalam himpunan disebut elemen/anggota himpunan, yang disimbolkan dengan huruf kecil.
1.2. Sistem Bilangan Riil
Kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-sifatnya. Tetapi apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawab, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang lebih sederhana.
Bilangan Bulat dan Rasional
Di antara sistem bilangan, yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli, yakni ... , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 .
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, uang kita. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita peroleh bilangan bulat, yakni:
,... 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ...,
Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak memadai. Bilangan ini terlalu renggang untuk memberikan cukup kecermatan. Kita dituntun untuk juga mempertimbangkan hasi bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat yaitu bilangan-bilangan-bilangan-bilangan seperti
3 17 , 6 22 , 9 7 , 4 3
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
n m
, dengan m dan n adalah
bilangan-bilangan bulat dengan n 0, disebut bilangan-bilangan rasional.
Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Tidak. Fakta yang mengejutkan ini ditemukan oleh orang Yunani Kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun 2 merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi-sisi 1, bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat . jadi 2 adalah suatu bilangan tak rasional. Demikian juga 3, 5, , dan sekelompok bilangan lain.
Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan tak rasional disebut bilangan real. Bilangan-bilangan ini dapat dipandang sebagai label untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar (garis real).
Terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali kelas-kelas bilangan yang telah kita bahas. menyatakan himpunana bilangan asli (bilangan bulat positif), menyatakan himpunan bilangan bulat, Q menyatakan himpunan bilangan rasional, dan
menyatakan himpunana bilangan real. Dari pengenalan beberapa bilangan, maka
Q ,
Operasi Aritmetika
Diberikan dua bilangan real x dan y, kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk memperoleh dua bilangan real baru, yakni x y dan xy. Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat berikut ,yang kita kenal dengan sifat-sifat medan.
Sifat-sifat Medan
1. Sifat komutatif. x y y x dan xy yx.
2. Sifat asosiatif. x (y z) (x y) z dan x(yz) (xy)z. 3. Sifat distributif. x(y z) xy xz
4. Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yakni 0dan 1 yang memenuhix 0 x dan x.1 x
5. Balikan (invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan, yakni x, yang memenuhi x ( x) 0. Juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai
balikan perkalian , yakni x 1, yang memenuhi x.x 1 1. Pengurangan dan Pembagian didefinisikan dengan
) ( y x y x dan 1 . x y y x Urutan
Bilangan-bilangan real tak nol dapat dipisah menjadi dua himpunan terpisah, yakni bilangan real positif dan bilangan real negatif. Fakta ini memungkinkan kita memperkenalkan relasi urutan (dibaca ”kurang dari ”), yaitu
y
x jika dan hanya jika y x adalah positif.
Sifat-Sifat Urutan
1. Trikotomi. Jika x dan yadalah bilangan-bilangan , maka pasti satu diantara yang berikut berlaku : x y atau x y atau x y
2. Transitif. Jika x y dan y z, maka x z 3. Penambahan. Jika x y, maka x z y z
4. Perkalian. Misalakan z positif ,jika x y, maka xz yz, tetapi bilamana z negatif, jika x y, maka xz yz
Relasi urutan (dibaca ” kurang dari atau sama dengan”) didefinisikan sebagai
y
x jika dan hanya jika y x positif atau nol Selang (Interval)
Beberapa jenis selang dan cara penulisan akan diperkenalkan. Ketidaksamaan mendeskripsikan selang buka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b. Kita nyatakan dengan lambang . Sebaliknya, ketaksamaan mendeskripsikan selang tutup yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, termasuk titik-titik ujung a dan b. Kita nyatakan dengan lambang . Tabel berikut sejumlah besar kemungkinan selang dan cara penulisannya.
Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas No Notasi Himpunan Notasi Interval Grafik 1 x a x b| a b, a b 2 x a x b| a b, a b 3 x a x b| a b, a b 4 x a x b| a b, a b
Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas No Notasi Himpunan Notasi Interval Grafik 1 x x| a a, a 2 x x| a [ , )a a 3 x x| b ( , )b b 4 x x| b ( , ]b b
Tanda Akar dan Nilai Mutlak
Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, oleh karenanya perlu terampil dalam bekerja dengannya. Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan dengan didefinisikan sebagai 0 0 x jika x x x jika x x . Misalnya, 5 5, 0 0, 5 ( 5) 5.
Dari definisi terlihat bahwa, untuk setiap bilangan real x , berlaku x 0.
Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah jarak (tak berarah). Khususnya , x adalah jarak antara x dengan titik asal. Demikian juga, x a adalah jarak antara x dengan a .
Sifat-sifat nilai mutlak (i) ab a b (ii) b a b a
(iii) a b a b (ketidaksamaan segitiga) (iv) a b a b
Ketidaksamaan yang Menyangkut Nilai Mutlak
(i) x a berarti a x a
(ii) x a berarti x a atau x a
Kita dapat menggunakan fakta diatas untuk menyelesaikan yang menyangkut nilai mutlak.
Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan x 4 1,5
Penyelesaian. 5 , 1 4
x , berarti 1,5 x 1,5. Kemudian masing-masing ruas ditambahkan 4, maka ketidaksamaan menjadi 2,5 x 5,5. Jadi Himpunan penyelesaiannya dalam bentuk selang adalah
2,5,5,5
Contoh 2. Selesaikan ketaksamaan 3x 5 1
Peyelesaian.
Ketaksamaan ini dapat ditulis secara berurutan sebagai 1 5 3x atau 3x 5 1 4 3x atau 3x 6 3 4 x atau x 2
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah berupa gabungan dua buah selang yaitu :
2,
3 4 ,
Akar Kuadrat
Misalkan a adalah bilangan real tak negatif. Akar dari a (ditulis : a ) adalah bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan a . Karena hanya ada satu bilangan
tak negatif yang memenuhi definisi ini, definisi ini dikatakan well-defined Catatan
Jangan mendefinisikan a dengan a 0 sebagai penyelesaian dari x2 a 0, karena penyelesaian persamaan ini bisa bernilai negatif, yaitu x a dan x a. Tetapi kita bisa mendefinisikannya sebagai penyelesaian tak negatif dari persamaan tersebut. Perhatikan, untuk setiap bilangan non negatif a , berlaku a 0 dan
.
2 a a
Sifat-sifat Akar kudrat
(i) ab a b
(ii) a b jika dan hanya jika a b
Contoh 3. Di antara ketiga bilangan real 3 3 1 , 2 2 1 , 3 2
, bilangan manakah yang
terbesar dann terkecil?
Untuk menjawab pertanyaan ini, kuadratkan saja ketiga bilangan tersebut. Kuadrat masing-masing bilangan tersebut adalah 4 9, 2 4,3 9. Karena 3 9 4 9 4 8, maka
2 2 1 3 2 3 3 1 .
SOAL-SOAL 01. Bilangan-bilangan seperti 2 1 dan 4 7
yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua
bilangan bulat disebut bilangan ... ? 02. Apa yang disebut bilangan real?
03. Sederhanakan sesederhana mugkin berikut ini:
(i) 4 – 2(8 – 11) + 6 (iv) 8 7 4 3 2 1 8 7 4 3 2 1 (ii) 13 1 7 5 (v) 2 2 1 4 7 (iii) 2 3 1 5 2 21 14 (vi) 2 2 2 5 2 1
04. Cari nilai masing-masing yang berikut ; jika tak terdefinisi katakan demikian.
a. 0.0 b. 0 0 c. 15 0 d. 0 2 e. 0 f. 6 6 0
06. a. Misalkan a 0, perlihatkan bahwa 0
a
tidak mempunyai arti (tak terdefinisi)
b. Perlihatkan bahwa 0 0
tidak mempunyai arti.
07. Nyatakan apakah masing-masing yang berikut benar atau salah a. 3 7 b. 1 10 c. 7 22 3 d. 5 26 e. 39 34 7 6 f. 59 44 7 5
08. Tunjukkan masing-masing selang berikut pada garis real. a.
1,1
b.
4,1
c.
4,1
d.
1,1
e.
1,
f.
,0
09. Tuliskan dalam notasi selang sebagai berikut :a.
x: 1 x 5
b.
x:x 2
10. Dalam soal berikut carilah himpunan peyelesaiannnya(i) x 1 4 (ii) x 2 5 (iii) 3x 4 8 (iv) 2x 7 3 (v) 2 6 3 x (vi) 1 4 5 3 x
