BAB II LANDASAN TEORI

(1)

BAB II : LANDASAN TEORI 5

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa teori dasar yang kelak akan digunakan dalam penurunan formula penentuan harga Asian Option, baik secara analitik pada Bab III maupun secara numerik pada Bab IV.

2.1 Aset dan Derivative

Aset adalah suatu objek keuangan yang nilainya pada saat sekarang diketahui dan dapat berubah pada saat yang akan datang. Fenomena ketidakpastian nilainya di masa depan ini menyebabkan banyak investor yang ingin berinvestasi dalam jual-beli aset, misalnya saham, obligasi, atau suatu komoditas publik. Karena nilai aset yang berubah-ubah, terdapat investor mengurangi resiko yang mungkin dia tanggung, sehingga muncullah istilah hedging, yakni strategi yang dilakukan investor agar resiko yang dialami dalam melakukan transaksi tidak terlalu besar. Terdapat suatu objek keuangan yang biasa dipakai dalam melakukan hedging, yaitu

derivative.

Derivative adalah suatu objek keuangan yang nilainya bergantung pada nilai

suatu aset (biasa disebut underlying asset bagi derivative tersebut) pada suatu selang waktu tertentu. Dengan menjual atau membeli suatu derivative, maka investor mampu membuat strategi yang bisa meminimalisir

(2)

BAB II : LANDASAN TEORI

kemungkinan kerugian yang akan didapatkan. Salah satu contoh derivative yang paling diminati adalah option..

2.2 Options

Option adalah objek keuangan yang berupa surat kontrak di mana pihak

pembeli (holder) “berjanji” kepada penjual (writer) untuk membeli (jika berbentuk opsi call)/menjual (jika berbentuk opsi put) suatu aset dengan suatu harga tertentu (yang disebut strike price) pada waktu yang telah disepakati sebelumnya (disebut exercise time atau maturity time). Jika

holder menggunakan haknya (untuk membeli atau menjual aset sesuai

perjanjian pada opsi), maka holder disebut meng-exercise opsi tersebut. Masalah yang menarik saat membicarakan derivative, terutama option, adalah bagaimana menentukan harga yang pantas dibayar oleh holder kepada writer saat holder membeli sebuah option dari writer.

Contoh yang paling umum saat membicarakan opsi adalah vanilla option, yang berdasarkan tipe exercise-nya terbagi menjadi dua tipe yakni European

Option dan American Option, dan masing-masing memiliki dua tipe, yaitu call dan put. European Option adalah opsi yang hanya bisa di-exercise pada

saat maturity time, di mana hasil exercise tersebut (yang akan menjadi

payoff bagi holder) bergantung pada harga aset pada saat maturity time

tersebut. American Option adalah opsi yang bisa di-exercise oleh holder kapanpun juga (selama belum mencapai maturity time), dan payoff yang diterima oleh holder bergantung pada harga aset saat opsi tersebut

di-exercise. Terdapat contoh lain dari option, yakni suatu jenis opsi yang disebut path-dependent option. Opsi jenis inilah yang akan dibahas lebih lanjut.

2.3 Path Dependent Option

Path Dependent Option adalah opsi yang payoff-nya bergantung pada

pergerakan harga underlying asset-nya selama seluruh atau sebagian “waktu hidup” opsi tersebut. Jadi payoff yang diterima holder tidak hanya bergantung pada suatu harga aset pada satu waktu tertentu saja, seperti yang

(3)

terjadi pada vanilla option. Secara umum, terdapat 3 jenis opsi jenis path

dependent ini, yaitu barrier option, lookback option, dan Asian option. Pada

tugas akhir ini, hanya Asian option yang akan dibahas.

2.4 Distribusi Normal dan Lognormal

Pada tugas akhir ini, distribusi normal (dan juga lognormal) memegang peranan penting dalam formulasi harga sebuah opsi. Suatu peubah acak dikatakan mengikuti distribusi normal, dengan rata-rata

X

μ dan variansi_{σ ,}2 jika fungsi padat peluangnya berupa

( )

1 exp

(

₂

)

2 2 2 x f x μ σ σ π ⎛ ₋ ⎞ ⎜ = − ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ (2.1)

dan fungsi distribusinya berupa

( )

(

2

)

2 1 exp 2 2 x x F x μ σ π −∞ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ = − ⎜ ⎝ ⎠

∫

⎟ ⎟ (2.2)

Selain itu, perlu diketahui pula bahwa jumlah dari sejumlah peubah acak normal yang saling bebas

N

, 1, 2, ,

i

X i= … N juga berdistribusi normal. Dan

jika 1 N i i Y =

=

∑

X , maka Y berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi

masing-masing: (2.3)

( )

1 , dan N i i E Y E X = =

∑

(2.4)

( )

1 N i i Var Y Var X = =

∑

Misalkan X

Z =e , di mana merupakan peubah acak normal dengan

rata-rata

X

μ dan variansi_{σ . Maka Z dikatakan mengikuti distribusi lognormal,}2 yang fungsi padat peluangnya berbentuk:

( )

(

2

)

2 ln 1 exp 2 2 z z z g z z μ σ σ π ⎛ ₋ ⎞ ⎜ = − ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ (2.5)

(4)

di mana μ_z dan 2

z

σ dinyatakan sebagai berikut:

(

)

( )

2 _{exp 2} 2 _exp _{1 .} z x x x σ ₌ μ σ₊ ⎡ σ2 ₋ ⎤ ⎣ ⎦ (2.6) 2 exp 2 x z x σ μ = ⎛_⎜μ + ⎞ ⎝ ⎠⎟ (2.7)

(

)

( )

2 _{exp 2} 2 _exp _{1 .} z x x x σ ₌ μ σ₊ ⎡ σ2 ₋ ⎤ ⎣ ⎦ (2.8) 2.5 Gerak Brown

Gerak Brown atau Wiener Process didefinisikan sebagai suatu proses

( )

{

W t ;t≥0

}

yang memiliki sifat-sifat berikut:

1. W

( )

0 =0 2. W t

( )

kontinu

3. Setiap increment W t

(

+ −s

)

W t

( )

saling bebas dan berdistribusi normal

dengan rata-rata μ_t dan variansi 2

t

σ .

Sebagai catatan, jika μ_t = dan 0 2 ₁

t

σ = , maka Gerak Brown di atas disebut sebagai Gerak Brown Standar

2.6 Gerak Brown Geometrik

Misalkan W t

( )

merupakan suatu Gerak Brown dengan parameter μ_t dan 2

t

σ . Maka suatu proses Y t yang didefinisikan:

( )

Y t

( )

=eW t( ), t≥0,

merupakan suatu Gerak Brown Geometrik. Y t ini berdistribusi lognormal

( )

dengan rata-rata:

( ) ( )

(

| 0 0

)

0exp ₂2 t E Y t Y =y = y ⎛_⎜μt+σ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (2.9) dan variansi :

( ) ( )

(

)

2

(

2

)

( )

2 0 0

(5)

2.7 Teorema Limit Pusat

Misalkan adalah barisan dari peubah-peubah acak yang identik dan saling bebas dengan rata-rata dan variansinya masing-masing adalah

1, 2, , n

X X … X

μ dan _{σ . Misalkan terdapat peubah acak , di mana}2

n S 1 n n i S = =

∑

X_i (2.11)

Teorema Limit Pusat menyatakan:

“ Untuk nilai n yang sangat besar, Sn akan menghampiri

peubah acak normal dengan rata-rata nμ dan variansi 2

nσ .

Hasilnya, untuk setiap x sembarang diperoleh

( )

n S n P x n μ σ − ⎧ _≤ ⎫_≈ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ N x (2.12)

dan hampiran yang diperoleh menjadi lebih akurat seiring dengan bertambah besarnya nilai n. “

Sebagai catatan, yang dimaksud pada teorema di atas adalah fungsi distribusi pada peubah acak normal standar

( )

N x Z (rata-ratanya 0 dan variansinya 1) , yakni

( )

(

)

N x =P Z ≤x (2.13)

2.8 Model Pergerakan Harga Aset

Model yang pertama-tama digunakan untuk memodelkan pergerakan harga aset pada tugas akhir ini adalah model diskrit. Pada model diskrit, selang waktu

[ ]

0,T dibagi dalam n subselang yang panjangnya seragam dengan lebar selang t

T n

δ = . Misalkan S(t_i) adalah harga aset pada saat t_i =iδ_t.

Model :

( )

i 1

( )

i t

( )

i t i

( )

S t₊ =S t +μδ S t +σ δ Y S t_. i (2.14)

(6)

Dengan menggunakan cara rekursif diperoleh :

( )

0 1

(

0 1 n t t i S t S μδ σ δ Y − = =

∏

+ + _i

)

(2.15)

( )

1

₍

0 0 ln ln 1 n t t i S t Y S μδ σ δ − = ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

i

)

(2.16)

Jika δ_t →0 dan mengingat bahwa

(

)

2 1 ln 2 x x x ≈ − + maka diperoleh :

( )

1 2 2 0 0 1 ln 2 n t t i t i i S t Y Y S μδ σ δ σ δ − = ⎛ ⎞ _⎛ ≈ + − ⎜ ⎟ ⎜_⎝ _⎠ ⎝ ⎠

∑

⎞ ⎟ (2.17) Selanjutnya, 2 2 2 1 2 2 t t i t i t t E_⎢⎡_⎜⎛μδ σ δ+ Y − σ δY ⎞_⎟_⎥⎤=μδ −1σ δY_i2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (2.18)

( )

2 2 2 1 2 t t i t i t Var_⎢⎡_⎜⎛μδ σ δ+ Y − σ δY _⎟⎞⎤_⎥=σ δ +O δ_t ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (2.19)

dan dengan menggunakan Teorema Limit Pusat maka diperoleh :

( )

2 2 0 1 ln ~ , 2 S t N t S μ σ σ ⎛ ⎞ _⎛⎛ _⎞ − ⎜ ⎟ ⎜⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t ⎞ ⎟ (2.20)

sehingga formulasi harga aset pada saat t adalah:

( )

12 2 . 0. t t Z S t S e μ σ σ ⎛ ₋ ⎞₊ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = (2.21)

( )

dengan Z ~ N 0,1

Karena S t

( )

dapat dituliskan dalam bentuk eksponensial dari

Z t t . 2 1_σ2 _σ μ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ − yang adalah peubah acak normal, maka dapat disimpulkan bahwa S

( )

t berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan

variansi:

( )

0. t E S t⎡_⎣ ⎤ =_⎦ S eμ (2.22)

( )

₂ ₂

(

2

)

0 . . 1 t t Var S t⎡_⎣ ⎤ =_⎦ S e μ eσ − (2.23)

(7)

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa harga saham berdistribusi lognormal dengan rataan dan variansi seperti tertera di atas.

2.9 Lemma Ito

Misalkan merupakan suatu fungsi kontinu dengan turunan parsialnya yang juga kontinu. Misalkan

( )

(

u X t

)

( )

dX t didefinisikan oleh:

( )

(

,

)

(

,

) ( )

dX t =a X t dt+b X t dZ t (2.24)

di mana dZ t adalah suatu gerak Brown standar

( )

Misalkan terdapat suatu proses stokastik Y t di mana

( )

Y t

( )

=u X t t

(

( )

,

)

.

Jika kita lakukan ekspansi deret Taylor terhadap ΔY, maka didapat:

( )

2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 u u u u u Y X t X X t t O X t X X t t ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ = Δ + Δ + _⎜ Δ + Δ Δ + Δ _⎟+ ∂ ∂ _⎝∂ ∂ ∂ ∂ _⎠ t (2.25)

( )

dengan O t adalah suku-suku dengan orde lebih tinggi dari Δ t

catat bahwa :

(

)

2

( )

2 _,

X b X t x t O t

Δ = Δ + Δ (2.26)

dengan x=peubah acak normal standar

sehingga suku-suku yang memuat 2

X

Δ tidak dapat diabaikan. Dalam

diferensial limit Δ →X 0 dan Δ →t 0, suku Δ ΔX t dan Δt2 tidak berperan,

sehingga dapat diabaikan, dan persamaan (2.25) menjadi:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 1 , 2 1 , , , 2 u u u dY t dt dX b X t dt t X X u u u u a X t b X t dt b X t dZ t t X X X ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ∂ =_⎜ + + _⎟ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ (2.27) 2.10 Formula Black-Scholes

Black-Scholes formula adalah suatu model matematika yang cukup populer

di bidang matematika keuangan, terutama dalam hal pembuatan formula penentuan harga opsi. Model Black-Scholes ini berlaku pada keadaan di bawah sejumlah asumsi, yakni:

(8)

(a) Transaksi dapat terjadi setiap saat dan tidak ada biaya tambahan yang dikenai pada transaksi tersebut (misal biaya transaksi atau pajak)

(b) Tidak ada peluang terjadinya arbitrage (keadaan tanpa ada peluang merugi)

(c) Terbukanya kesempatan untuk melakukan short selling (yakni meminjam sejumlah aset dan menjualnya untuk mendapatkan uang tunai, dan setelah beberapa waktu membeli kembali aset tersebut dan mengembalikannya).

(d) Peminjaman atau penabungan uang tunai dari/ke bank dimungkinkan dengan suku bunga yang nilainya konstan

(e) Tidak ada pembagian dividen pada penjualan aset

(f) Harga saham berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi yang konstan

(g) Jumlah aset yang dibeli bisa dalam bentuk pecahan

Misalkan C adalah harga sebuah opsi call Eropa. Perubahan harga saham diberikan oleh persamaan:

dS =μS dt+σ S dB (2.28)

Dengan memanfaatkan Lemma Ito, kita peroleh bentuk persamaan diferensial stokastik untuk call Eropa berikut:

2 2 2 2 1 2 0 , dan C C C C dC S S dt S dB t S S S S μ σ σ τ ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ∂ =_⎜ + + _⎟ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ < < ∞ > ∞ (2.29)

di mana persamaan (2.29) tersebut dinamakan Black-Scholes formula, dengan syarat awal:

( )

,0 max

{

,0

}

c S = S−K (2.30)

dan syarat batas:

( )

0, 0

C τ = (2.31)

( )

jika , maka , r

S → ∞ C S τ S−Ke−τ (2.32)