1
ANALISIS NUMERIK UNTUK GERAK OSILASI BERGANDENG
PADA AIR TRACK DENGAN METODE RUNGE-KUTTA
José Da Costa1,2*, Made Rai Suci Santi1,2, Suryasatriya Trihandaru1,2 1
Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika 2
Program Studi Fisika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60, Salatiga 50711, Indonesia
Email: yosephtls@yahoo.com
ABSTRAK
Ilmu Pengetahuan banyak memberikan landasan teori bagi perkembangan suatu teknologi, salah satunya adalah matematika.Untuk mengembangkan ilmu pengetahuan dan teknologi, sistem osilasi bergandeng pada
air track, merupakan pengembangan Iptek. Permasalahannya adalahbagaimana memodelkan dan
mensimulasikan sistem osilasi bergandeng duadengan metode numerik. Sistem dua derajat kebebasan atausistem osilasi bergandeng dua(two degree of freedom systems) adalah suatu partikel yang dapat bergerak secara bebas secara dua arah dalam suatu ruang tertentu.Dalam penelitian ini, dua massa yang diikatkan pada tiga (3) buah pegas.Persamaan dari sistem dua derajat kebebasan dapat diselesaikan dengan menggunakan mekanika Lagrange, dan diselesaikan dengan menggunakan metode runge-kutta orde empat (RK4). Simulasi numerik dan hasil percobaan ditunjukkan saling berkorelasi dengan baik.
Kata kunci : Osilasi bergandeng, Langragian, Runge-Kutta, dan Matlab/Simulink.
Abstract
Science gives a lot of theoretical review for the progress of technology. One of the progresses is mathematics. To develop science and the technology, coupled oscillation system on an air track is a developing science and technology. The problem is how to model and simulate couple oscillation system with numeric method. Two degree of freedom system or coupled oscillation system is a particle which can move freely into two ways in a certain space. In this research, two masses are bound to tree springs. The equation of two degree of freedom system can be solved by Lagrangian mechanics and it is solved by the fourth order Runge-Kutta Method (RK4). Numeric system and the result of experiment correlate well.
Key words: coupled oscillation, Langrangian, Runge-Kutta, Matlab/Simulink.
1. PENDAHULUAN
Getaran merupakan salah satu bentuk gerak benda yang cukup banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya bagaimana getaran yang terjadi jika sebuah beban dikaitkan atau digantungkan pada sebuah pegas. Contoh yang lain adalah bandul jam yang berayun kekanan dan kekiri, perahu kecil yang berayun naik turun dan lain-lain.
Berdasarkan contoh tersebut di atas dapat diketahui bahwa getaran dapat terjadi jika suatu sistem diganggu dari posisi kesetimbangan stabilnya. Getaran ini akan terjadi secara terus menerus dan berulang-ulang selama sistem mendapatkan gaya. Gerak getaran benda yang berulang dengan waktu yang tetap biasanya disebut sebagai gerak periodik[1].
2 Gerak getaran benda yang terjadi secara terus menerus dan tidak terdapat faktor hambatan atau redaman biasanya disebut sebagai gerak harmonik sederhana. Karakteristik gerak harmonik sederhana adalah memiliki amplitudo dengan nilai tetap Amplitudo merupakan simpangan maksimum dari posisi kesetimbangan [2].
Untuk sistem osilasi pada air track yang selama ini kita pelajari yaitu hanya melalui teorinya saja serta penyelesaian persamaannya secara matematika, tetapi kita tidak mengetahui bagaimana bentuk gelombang yang dihasilkan dari sistem osilasi bergandeng tersebut. Oleh karena itu penulis ingin memanfaatkan simulasi numerik melalui pemrogaman matlab ini untuk mengamati dan menganalisis bentuk pola gelombang yang dihasilkan oleh sistem osilasi bergandeng pada
air track.
1.1 Metode Numerik
Metode numerik disebut juga sebagai metode alternatif dari metode analitik, yang merupakan metode penyelesaian persoalan matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim. Disebut demikian, karena persoalan matematik sulit diselesaikan atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitik sehingga dapat dikatakan bahwa persoalan matematik tersebut tidak mempunyai solusi analitik. Sehingga sebagai alternatifnya, persoalan matematik tersebut diselesaikan dengan metode numerik.
Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal, yaitu:
(a) Solusi dengan metode numerik selalu berbentuk angka, sedangkan dengan metode analitik biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.
(b) Dengan metode numerik hanya diperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran
(approximation) atau solusi pendekatan. Akan tetapi, solusi hampiran tersebut dapat dibuat seteliti yang diinginkan. Solusi hampiran tentu tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya, dan selisih tersebut dinamakan sebagai galat (error). Sedangkan dengan solusi analitik sudah pasti dihasilkan solusi sejati yang sesuai dengan kenyataannya (Munir, 2006:5).
1.2 Gerak Getaran Pegas
Getaran dapat didefinisikan sebagai gerak bolak balik suatu benda yang terjadi secara periodik atau berkala yaitu gerak benda tersebut berulang pada selang waktu yang tetap [3]
. Gerak benda yang terjadi secara periodik biasanya disebut sebagai gerak harmonik[4]. Salah satu contoh gerak harmonik yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak getaran pada pegas. Gerak getaran pada pegas akan terjadi jika terdapat gaya yang bekerja pada pegas tersebut, yaitu gaya luar (Dafik, 1999).
Untuk mengilustrasikan pentingnya konsep yang berhubungan dengan fenomena osilasi, perhatikan sebuah obyek pada Gambar 1 dibawah ini di tunjukkan bahwa ada dua buah massa m1 dan m2 yang dihubungkan dengan tiga
buah pegas yaitu k1, k2, dan k3 yang bergerak
secara bebas pada sumbu horizontal, di mana
X1 dan X2 akan digerakan oleh massa m1 dan m2
secara berturut-turut [5].
Gambar1.Sistem pegas dengan 2 derajat
kebebasan[6].
Perhatikan sistem dua derajat kebebasan, ditunjukan oleh model pada Gambar 1 di atas, dan diagram free-bodynya yang ditunjukan oleh model pada Gambar 2 dan 3 di bawah. Pada diagram free-body, x2 diasumsikan
lebih besar dari x1 sehingga pegas k2 mengalami
tarikan, seperti pada gambar 3, dan gaya tariknya sebesar ( ). Dengan perkataan lain, jika x1 diberi nilai lebih besar
3 dari x2, pegas k2 akan mengalami gaya tekanan,
dengan gaya tekan pegas ditulis sebagai ( ) seperti pada gambar 2.
Obyek bergerak meluncur tanpa gesekan pada bidang datar seperti pada gambar 1. Pegas mempunyai panjang alami ketika pada keadaan itu pegas tidak memberikan gaya pada kedua massa, dan posisi kedua massa pada titik ini disebut posisi setimbang. Jika salah satu massa dipindahkan kekanan ataupun kekiri yang berarti merentangkan pegas, jika massa tersebut di lepaskan maka pegas akan memberikan gaya pada kedua massa untuk berosilasi dan lama kelamaan kedua massa itu akan kembali pada posisi setimbangnya. Gaya ini disebut gaya pemulih[7].
Untuk mendeskripsikan gerak osilator dari kedua massa dalam sistem ini digunakan metoda Lagrangian yang merupakan selisih dari energi kinetik dan energi potensialnya[8].
Energi kinetik T sistem adalah
̇ ̇ (1)
Energi potensial V [9]adalah
( ) (2)
1.3 Lagrange
Persamaan Lagrange adalah sebagai selisih antara energi kinetik (T) dan energi potensial (V), persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum, dan waktu[10]. Dengan persamaannya adalah sebagai berikut :
(3)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat persamaan Lagrange yaitu:
( ̇ ̇ ) (
( ) ) (4)
Untuk persamaan Lagrange ini, masih diturungkan terhadap x1 dan x2 yaitu sebagai berikut:
Persamaan Lagrangian jika diturungkan terhadap x1, maka: ̇ ̇ ( ) ⏟ ̇ ̇ ( ) ⏟ (5)
Persamaan Lagrangian jika diturungkan terhadap x2, maka: ̇ ̇ ( ) ⏟ ̇ ̇ ⏟ ( ) ( ) (6) 1.4 Euler-Lagrange
Persamaan Euler-Lagrange untuk sistem osilasi di turunkan terhada pmassa m1
dan massa m2[11]yaitu sebagai berikut:
Gambar2. Diagram kebebasan untuk m1.
(
4 ( ̇ ) ( ) (7) ( ̇ ) ( ) ̈ ( ) ̈ ( ) (8) Persamaan untuk m2 adalah
Gambar3. Diagram kebebasan untuk m2.
( ̇ ) ̈ ( ̇ ) ( ) (9) ( ̇ ) ( ) ̈ ( ) ̈ ( ) (10) 1.5 Persamaan Diferensial dengan Orde
dua
Persaaan diferensial dengan orde dua dapat diubah menjadi sistem persamaan diferensial orde satu dan dapat diselesaikan dengan beberapa metode penyelesaian secara numerik seperti metode Runge-Kutta order empat (RK4). Pada Persamaan (7) dan (9) masih berupa persamaan diferensial biasa orde 2, sedangkan metoda numerik yang dipakai (yaitu Runge Kutta) memerlukan persamaan diferensial orde 1, maka untuk mendapatkan sistem persamaan diferensial orde pertama didefenisikan sebegai berikut:
(11) (12) ̈ (13) ̈ (14)
Dalam persamaan (11), (12), (13) dan (14) digunakan sistem persamaan diferensial biasa dan diringkas dengan menggunakan notasi vektor sebagai berikut :
⃗ [ ] (15)
Sehingga diperoleh persamaan :
⃗⃗
( ⃗ ) (16)
[ ̈ ̈ ] (17)
Skema numerik untuk menyelesaikan persamaan (16) dengan menggunakan metode Runge Kutta orde4, diperoleh dari persamaan (15).
1.6 Metode Runge Kutta Orde 4
Metode runge Kutta Orde 4 merupakan metode yang sangat handal untuk menyelesaikan persamaan diferensial (Koonin 1990). Metode runge kutta orde 4 adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik atau pendekatan sehingga mendapatkan penyelesaian yang lebih signifikan atau handal dari pada penyelesaian secara eksat atau analitik[12].
Dengan menggunakan metode Runge Kutta orde 4 maka persamaannya yaitu sebagai berikut[13] . ( ⃗ ) ( ⃗ ( ) ) ( ⃗ ( ) ) ( ⃗ ( ) ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( )(18) Dengan h adalah interval waktu.
5 Dalam persamaan gerak (17) terdapat parameter-parameter yang dicari, yaitu keadaan awal x1(0), v1(0), x2(0), v2(0), k1, k2, k3, m1, m2, A1(0), A2(0). Dimana, A1(0) dan A2(0) digunakan untuk menggeser semua gelombang berada dalam satu garis koordinat X (sumbu waktu). Parameter-parameter ini dapat dicari dengan optimasi Nelder-Mead[14].
Nelder-Mead adalah metode simplex untuk menemukan fungsi minimum dari fungsi ralat yang didefinisikan sebagai:
√∑ ( ) (19)
Dengan:
E adalah Nelder-Mead
xti adalah teori percocokan data (numerik). xdi adalah data percobaan yang diambil. N adalah banyaknya data percobaan. 2. BAHAN DAN METODE
Dalam penelitian ini, bahan yang digunakan adalah seperti pada susunan gambar dibawah ini:
Gambar4. Susunan perancangan alat Dengan menghidupkan tabung udara, udara mengalir ke rel udara kemudian memberi sedikit gaya pada salah massa dari kedua massa tersebut, dengan cara menarik massa ke kiri atau pun ke kanan dan kemudian dilepaskan. Tujuan memberikan gaya kepada kedua massa agar kedua massa berosilasi dengan maksimal. Kemudian merekam kedua massa yang saling berosilasi pada air track dengan menggunakan
Camera Digital. Waktu yang dibutuhkan dalam
rekaman hanya 9-10 detik saja.Setelah selesai merekam makahasil rekaman atau video tersebut di importke dalam Macromedia Flash
MX 2004, seperti pada diagram di bawah ini :
Diagram 1. Prosedurimport video to Macromedia flash MX 2004. Prosedur export video to file, seperti berikut :
Diagram2.Prosedurexport video to file Setelah itu muncul Exporting Image
Sequence, ini artinya video akan tersimpang
sebagai *png di data video tersebut dan disimpang dalam bentuk folder. Program matlab R2009a, untuk mencari koordinat dari
6 hasil data yang di ekstrak, sesuai dengan program functioncarikoordinat2.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada penelitian ini akan dipaparkan penyelesaian secara numerik model getaran pegas (sistem oasilasi bergandeng dua). Pada awalnya, model getaran tersebut yang termasuk persamaan deferensial linear orde dua diubah menjadi sistem persamaan diferensial linear orde satu. Kemudian sistem persamaan diferensial linear orde satu tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat (RK4). Pada bagian ini diambil beberapa asumsi untuk sebagai parameter yaitu
k1, k2, dan k3(konstanta pegas), m1 dan m2 (massa beban), maka hasil pendekatan numerik terhadap sistem osilasi bergandeng secara lengkapmaka grafik hasil komputasi numerik adalahHasil dari input (grafik biru), data kemudian di dekati dengan solusi analitik yang ditulis dalam bentuk rungge-Kutta (grafik merah), yang sesuai dengan gambar 5 di bawah ini:
Hasil grafik dan nilai parameter dari run program.
Gambar 5.Hasil grafik pada sistem osilasi
bergandeng pada air track
Dari pencocokan grafikpada (gambar 5) di atas didapat nilai parameter-parameter yang dicari yaitu dalam tabel 1 di bawah ini:
Parameter-parameter yang di cari Nilai-nilai parameter ( ) 0,0152 ( ) 0,3367 ( ) -0,0096 ( ) 0,4145 3,2796 3,2669 3,4102 0,3631 0,3650 ( ) 1,4131 ( ) 0,9244
Tabel 1.Nilai parameter-parameter yang di cari. 4. KESIMPULAN
Dari hasil simulasi osilator atau osilasi bergandeng pada air track, diperoleh kesimpulan yaitu: Dengan memasukan nilai berupa konstanta pegas maka bentuk pola gelombang yang dihasilkan oleh sistem osilasi bergandeng pada air track adalah saling berkorelasi yang berupa grafik waktu terhadap posisi m1 dan posisi m2 seperti pada gambar 5 di atas.
Untuk mencari parameter-parameter fisika yang sulit dihitung, bisa digunakan pendekatan grafik dari perhitungan numerik dengan menggunakan metode Runge Kutta orde-4. Dan untuk ketelitian hasil pengukuran digunakan optimasi Nelder-Mead Simplex
Algorithm. Dengan metode numerik ini maka
sistem osilasi bergandeng pada air track dapat disimulasikan dengan cepat dan akurat. Dan dengan metode pemodelan ini, kita dapat mengetahui bahwa ternyata semua benda yang berosilasi juga mempunyai bentuk pola gelombang yang dihasilkan.
7 5. SARAN
1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam mengenai penggunaan metode RK4 untuk menentukan solusi persamaan pada sistem osilasi bergandeng dua pada khususnya dan persamaan diferensial nonlinier pada umumnya.
2. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut apakah metode RK4 bisa berlaku untuk semua persamaan diferensial nonlinier.
3. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut mengenai metode-metode numerik lain selain metode RK4.
DAFTAR PUSTAKA
1) P. A. Tipler, Fisika untuk Sains dan Teknik
Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1998.
2) D. C. Giancoli, Ilmu-ilmu Murni Cetakan ke 4, Edisi 1, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1997.
3) P. Soedojo, ”Fisika Dasar”, Penerbit Yogyakarta, Indonesia, 1999.
4) D. Halliday, ”Fisika”, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1985.
5) Jazar, R.N., 2013 “Advanced Vibration A Modern Approach”, Springer.
6) Pratt. William W. “Introduction to
classical mechanics”.
7) Giancoli. D., 1998, “Fisika” (terjemahan), Penerbit Erlangga, Jakarta.
8) Gregory, Douglas R. 2006. “Classical
Mechanics”, Cambridge University Press.
9) Webster, Mary, “Essentials of higher
physics”. 1987., London.
10) Y. Yamamoto, Nxtway-gs model-Based design – control of self-balancing two-wheeled robot built with Lego mind storms next University of Rhode Island, Amerika Serikat, 2009.
11) Fox, Charles (1987), “An introduction to
the calculus of variations”. Courier Dover
Publications
12) Mathews, John H. & Fink, Kurds D. 1999, “Numerical Methods Using Matlab” Third
Edition.
13) A. Klein and A. Godunov, “Introductory
Computational Physics”.
14) http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/N elderMeadMod.html
