Bab III Komentar terhadap distribusi vec(r)

Bab III Komentar terhadap distribusi vec(R)

Bab ini mengetengahkan tentang komentar terhadap distribusi asimtotik dari matriks korelasi R, dalam bentuk vec(R), yang akan menjadi salah satu dasar dalam penelitian disertasi ini. Distribusi tersebut, yang dituliskan kembali dalam Teorema III.1, dapat dijumpai dalam Browne dan Saphiro (1986), Neudecker dan Wesselman (1990), Neudecker (1996) serta Schott (2007). Yang akan dikomentari adalah bahwa parameter mean dan variansinya ternyata didasarkan kepada nilai pendekatan bagi R. Hal ini akan ditunjukkan pada bab ini. Selanjutnya akan dilakukan kajian simulasi untuk melihat sejauh mana hasil pendekatan itu berbeda dengan R.

III.1 Distribusi vec(R)

Misalkan Z ,Z ,_{1 2} … ,Z_N sampel acak berukuran N dari Z dengan matriks kovariansi P. Jika R adalah matriks korelasi sampel, maka vec(R) adalah representasi dari R dalam bentuk vektor. Vektor ini diperoleh dari R dengan menyusun kolom-kolomnya, yang satu di atas yang lain. Browne dan Saphiro (1986), Neudecker dan Wesselman (1990), Neudecker (1996) serta Schott (2007) melaporkan bahwa distribusi asimtotik dari vec(R) dirumuskan dalam Teorema III.1.

Teorema III.1

Misalkan X , X ,1 2 , Xnadalah sampel acak berukuran n yang berasal dari variabel acak

yang berdistribusi Np(µ Σ, ). Maka,

( )

( )

{

}

n 1 vec− R −vec P ⎯⎯d→ N_p2

( )

0 ,Γ ………... (III.1)

di mana

a. Γ = 2M_pΦM_p dengan M_p =

(

_p2 _pp

)

1

I K

2 + ;

c. Φ =

{

I_p2 −

(

I_p ⊗P

)

Λ_p

}

(

P⊗P

)

{

I_p2 −Λ_p

(

I_p ⊗P

)

}

; d.

∑

(

)

= ⊗ = Λ p i t i i t i i p ee ee 1

, e adalah kolom ke-i dari matriks identitas _i I yang berukuran p _p

× p.

Pada bagian-bagian selanjutnya akan diturunkan bahwa parameter mean dan variansi pada distribusi tersebut di dasarkan kepada hasil pendekatan bagi matriks korelasi R, dan

bukan kepada R itu sendiri. Untuk menyelidiki pendekatan bagi R, digunakan metode

Deret MacLaurin.

III. 2 Pendekatan bagi Matriks Korelasi

Misalkan X , X ,1 2 , Xn adalah sampel acak berukuran n dari distribusi Np(µ Σ, ), dan S

dan R berturut-turut menyatakan matriks kovariansi dan korelasi sampel. Dalam

pembahasan selanjutnya akan sering digunakan matriks yang diberi lambang a Q

D yakni matriks diagonal di mana elemen-elemennya adalah elemen-elemen diagonal dari matriks

Q setelah dipangkatkan a. Jadi, a Q

D =

(

a a a

)

11 22 pp

diag q ,q , ,q bila Q berukuran p× . p

Dengan demikian, matriks korelasi sampel dan matriks korelasi populasi berturut-turut dapat dituliskan dalam bentuk 12 12

S S R=D− SD− dan _P=_D−21 _D−21 Σ Σ Σ . Akibatnya, jika Zi = 1 2 i

D_Σ− X , maka Z ,Z ,1 2 ,Zn saling bebas dan berdistribusi

(

)

1 2

p

N D_Σ− µ,P .

Menarik untuk dicatat bahwa matriks korelasi sampel dari Z ,Z ,1 2 ,Zn adalah sama

dengan matriks korelasi sampel dari X , X ,1 2 , Xn. Untuk menunjukkannya, kita misalkan S * adalah matriks kovariansi sampel dari Z ,Z ,1 2 ,Zn. Maka,

S * = var z( )i =

(

12

)

i var D x_Σ− = 21 ( ) 12 i D_Σ− var x D_Σ−

= _D−12 _{S D}−12

Σ Σ , karena var x( )i =S. Dengan demikian, terdapat hubungan 12

0 S D− = 12 12 S D D− _Σ = 12 12 S

D D_Σ − . Akibatnya, matriks korelasi sampel Z ,Z ,1 2 ,Zn adalah 1 1 2 2 S* S* D S * D =

(

)

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 S S D− D_Σ D_Σ− SD_Σ− D D_Σ − =

(

) (

)

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 S S D− D D_{Σ Σ}− S D_Σ− D_Σ D− = 1 1 2 2 S S D− SD− = R.

Jadi matriks korelasi sampel Z ,Z ,1 2 ,Zn sama dengan matriks korelasi sampel

1 2 n

X , X , , X .

Selanjutnya, akan diturunkan nilai pendekatan bagi matriks korelasi sampel R melalui

Deret MacLaurin yang dituliskan dalam bentuk lemma berikut.

Lemma III.2

Misalkan Y adalah matriks simetri berukuran p× dan p ε adalah suatu skalar positif sehingga nilai dari

(

Ip Y

)

1

−

+ε ada. Misalkan

(

)

1 2 p

I +εY − adalah suatu matriks simetri yang merupakan akar dari

(

Ip Y

)

1

− +ε , yang berarti

(

) (

) (

)

1 1 1 2 2 p p p I +εY − = I +εY − I +εY − . Maka

(

)

1 i 2 p p i i 1 I εY I ε B ∞ − = + ≈ +

∑

di mana, 1 1 B Y 2 = − , 2 2 3 B Y 8 = , 3 3 5 B Y 16 = − dan 4 4 35 B Y 128 = .

Pembuktian Lemma III.2 telah dapat dilakukan penulis berdasarkan Metode Perturbasi yang disarankan oleh Schott (1997, hal. 362) ataupun melalui Deret MacLaurin.

Berdasarkan Lemma III.2, nilai pendekatan bagi matriks korelasi sampel R dapat

dirumuskan dalam proposisi berikut.

Proposisi III.3

Jika A = S * – P, maka R dapat didekati oleh nilai pendekatan orde pertama berikut

R ≈ ( A A ) 1 P A PD D P 2 + − + Bukti

Karena S * = P + A, maka terdapat hubungan D_S* =D_P+D_A. Selanjutnya, karena setiap elemen diagonal dari P bernilai 1, maka D_P = . Jadi, I_p D_S* =I_p+D_A. Jika D = _A ε , Y

maka DS* =Ip+εY. Akibatnya, R = 1 1 2 2 S* S* D S * D− − =

(

)

(

)

(

)

1 1 2 2 p p I +εY − P+A I +εY − =

(

) (

) (

) (

)

1 1 1 1 2 2 2 2 p p p p I +εY − P I +εY − + I +εY − A I +εY −

Berdasarkan Lemma III.2,

(

)

1

2 1

2

p p

I + εY − ≈I − ε . Dengan demikian, R dapat dituliskan Y

sebagai berikut. R ≈ I_p 1 Y P I_p 1 Y I_p 1 Y A I_p 1 Y 2ε 2ε 2ε 2ε ⎛ ₋ ⎞ ⎛ ₋ ⎞ ⎛_{+ −} ⎞ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≈ I P_p 1 YP I_p 1 Y I A_p 1 YA I_p 1 Y 2ε 2ε 2ε 2ε ⎛ ₋ ⎞⎛ ₋ ⎞ ⎛_{+ −} ⎞⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ≈ _{p p} 1 1 _p 1 _{p p} 1 1 _p 1 I P I Y YP I Y I A I Y YA I Y 2 2 2 2 2 2 ⎛ ⎛ ₋ ⎞₋ ⎛ ₋ ⎞⎞ ⎛₊ ⎛ ₋ ⎞₋ ⎛ ₋ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠}⎟ ⎜ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠}⎟ ⎝ ε ε ε ⎠ ⎝ ε ε ε ⎠ ≈ I PI_{p p} I P_p 1 Y 1 YPI_p 1 YP1 Y 2 2 2 2 ⎛ _{− −}⎛ ₋ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ε ε ε ε ⎠ +

p p p p 1 1 1 1 I AI I A Y YAI YA Y 2 2 2 2 ⎛ _{− −}⎛ ₋ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ε ε ε ε ⎠ ≈ 1 1 1 1 1 1 1 1 P P Y YP YP Y A A Y YA YA Y 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎛ _{− −}⎛ ₋ ⎞⎞ ⎛_{+ − −}⎛ ₋ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ε ε ε ε ⎠ ⎝ ε ε ε ε ⎠, ≈ 1 1 1 1 1 1 1 1 P P Y YP YP Y A A Y YA YA Y 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎛ _{− −}⎛ ₋ ⎛ ⎞ ⎞⎞ ⎛_{+ − −}⎛ ₋ ⎛ ⎞ ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ε ε ε ε ⎠ ⎝ ε ε ε ε ⎠, ≈ 1 1 1 1 1 1 P P Y YP YP Y A A Y YA YA Y 2 2 4 2 2 4 ⎛ _{− −}⎛ ₋ ⎞⎞ ⎛_{+ − −}⎛ ₋ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ε ε ε ε ⎠ ⎝ ε ε ε ε ⎠ ≈ 1 1 1 1 1 1 P P Y YP YP Y A A Y YA YA Y 2 2 4 2 2 4 ⎛ _{− − +} ⎞_{+ − − +} ⎜ ⎟ ⎝ ε ε ε ε ⎠ ε ε ε ε ≈ 1 1 1 1 1 1 P P Y YP YP Y A A Y YA YA Y 2 2 4 2 2 4 − ε − ε + ε ε + − ε − ε + ε ε

Karena ε kecil, maka suku-suku orde dua (pangkat dua) dari ε akan jauh lebih kecil harganya. Dengan demikian, 1 YP Y 1A Y 1 YA 1 YA Y

4ε ε −2 ε −2ε +4ε ε ≈ 0 dan pendekatan

orde pertama dari R adalah R ≈ P A 1P Y 1 YP

2 2 + − ε − ε atau R ≈ P A 1

(

P Y YP

)

2 + − ε +ε atau R ≈

₍

₎

A A 1 P A PD D P 2

+ − + , karena D_A =εY. Jadi, terbuktilah proposisi di atas

Pada Tabel III.1 ditampilkan hasil simulasi untuk membandingkan R dan nilai

pendekatannya. Untuk itu, dibangkitkan data acak sebanyak n = 100 yang diambil dari

distribusi N_p

( )

0 ,I_p dengan untuk p dari 2 hingga 10. Tabel tersebut menunjukkan

bahwa R dan nilai pendekatannya tidak jauh berbeda. Oleh karena itu, hasil ini akan

digunakan pada langkah-langkah penelitian selanjutnya.

III.3 Mean dan Variansi vec(R)

Dengan menggunakan Proposisi III.3 di atas, diperoleh pendekatan bagi vec(R) sebagai

berikut, vec(R) ≈ ( A A ) 1 vec P A PD D P 2 ⎛ _{+ − +} ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

≈ ( ) ( ) ( A A ) 1

vec P vec A vec PD D P

2 ⎛ ⎞ + − _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ≈ ( ) ( ) ( A A ) 1

vec P vec A vec PD D P

2

+ − +

≈ ( ) ( )

{

( A) ( A )

}

1

vec P vec A vec PD vec D P

2

+ − +

≈ ( ) ( )

{

(

A p

)

(

A p

)

}

1

vec P vec A vec PD I vec D PI

2

+ − +

≈ ( ) ( )

{

(

p

)

( )A

(

p

)

( )A

}

1

vec P vec A I P vec D P I vec D

2

+ − ⊗ + ⊗

≈ ( ) ( )

{

(

p

) (

p

)

}

( )A 1

vec P vec A I P P I vec D

2

Tabel III.1. Perbandingan R dengan pendekatannya

( )

Rˆ No p R Pendekatan R

( )

ˆR R ˆR Tr R

( )

2 Tr R

( )

ˆ2 1 2 1.0000 -0.1926 -0.1926 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.0000 -0.2114 -0.2114 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.9629 0.9553 2.0742 2.0894 2 3 1.0000 0.1620 -0.0551 0.1620 1.0000 -0.0689 -0.0551 -0.0689 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.0000 0.1583 -0.0542 0.1583 1.0000 -0.0690 -0.0542 -0.0690 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.9672 0.9684 3.0681 3.0655 3 4 1.0000 0.1130 -0.0607 0.0545 0.1130 1.0000 -0.1414 0.0372 -0.0607 -0.1414 1.0000 -0.1203 0.0545 0.0372 -0.1203 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.0000 0.1128 -0.0671 0.0604 0.1128 1.0000 -0.1472 0.0388 -0.0671 -0.1472 1.0000 -0.1391 0.0604 0.0388 -0.1391 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.9491 0.9420 4.1105 4.1268 4 5 1.0000 0.0509 -0.0405 -0.1043 -0.0287 0.0509 1.0000 -0.0058 0.1414 0.0805 -0.0405 -0.0058 1.0000 -0.0292 0.0092 -0.1043 0.1414 -0.0292 1.0000 -0.0141 -0.0287 0.0805 0.0092 -0.0141 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.0000 0.0496 -0.0479 -0.0959 -0.0328 0.0496 1.0000 -0.0065 0.1218 0.0862 -0.0479 -0.0065 1.0000 -0.0305 0.0119 -0.0959 0.1218 -0.0305 1.0000 -0.0142 -0.0328 0.0862 0.0119 -0.0142 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.9542 0.9595 5.0872 5.0772 5 6 1.0000 -0.1628 -0.0294 -0.0659 -0.0452 -0.0666 -0.1628 1.0000 -0.1266 0.1797 -0.0353 -0.1353 -0.0294 -0.1266 1.0000 -0.1419 -0.0433 0.1851 -0.0659 0.1797 -0.1419 1.0000 0.1817 -0.1805 -0.0452 -0.0353 -0.0433 0.1817 1.0000 0.0186 -0.0666 -0.1353 0.1851 -0.1805 0.0186 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.0000 -0.1568 -0.0311 -0.0673 -0.0427 -0.0680 -0.1568 1.0000 -0.1180 0.1618 -0.0295 -0.1219 -0.0311 -0.1180 1.0000 -0.1402 -0.0396 0.1830 -0.0673 0.1618 -0.1402 1.0000 0.1606 -0.1724 -0.0427 -0.0295 -0.0396 0.1606 1.0000 0.0164 -0.0680 -0.1219 0.1830 -0.1724 0.0164 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.8058 0.8260 6.4566 6.4058

Tabel III.1 (Sambungan) No p R Pendekatan R

( )

ˆR R Rˆ Tr R

( )

2

( )

2 ˆ Tr R 6 7 1.0000 0.0937 -0.0504 -0.1269 -0.0652 0.0095 0.0756 0.0937 1.0000 -0.0912 0.0401 -0.0679 0.0595 0.0088 -0.0504 -0.0912 1.0000 0.0943 -0.0543 -0.1379 -0.1688 -0.1269 0.0401 0.0943 1.0000 -0.0659 0.0777 -0.0067 -0.0652 -0.0679 -0.0543 -0.0659 1.0000 0.0004 -0.1217 0.0095 0.0595 -0.1379 0.0777 0.0004 1.0000 0.1582 0.0756 0.0088 -0.1688 -0.0067 -0.1217 0.1582 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.0000 0.0944 -0.0559 -0.1224 -0.0580 0.0086 0.0777 0.0944 1.0000 -0.1036 0.0396 -0.0619 0.0558 0.0092 -0.0559 -0.1036 1.0000 0.1025 -0.0545 -0.1420 -0.1957 -0.1224 0.0396 0.1025 1.0000 -0.0575 0.0696 -0.0068 -0.0580 -0.0619 -0.0545 -0.0575 1.0000 0.0003 -0.1133 0.0086 0.0558 -0.1420 0.0696 0.0003 1.0000 0.1513 0.0777 0.0092 -0.1957 -0.0068 -0.1133 0.1513 1.0000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.8491 0.8440 7.3305 7.3434 7 8 1 -0.1609 0.0972 0.0639 -0.0421 0.0586 0.0783 0.0661 -0.1609 1 -0.0383 0.1678 0.0051 0.1779 -0.06630.0989 0.0972 -0.0383 1 0.0149 -0.0788-0.0263-0.0182 0.0986 0.0639 0.1678 0.0149 1 -0.056 -0.13430.0912 -0.0231 -0.0421 0.0051 -0.0788 -0.056 1 -0.08730.1551 0.1416 0.0586 -0.1779 -0.0263 -0.1343-0.0873 1 0.1116 0.04 0.0783 -0.0663 -0.0182 0.0912 0.1551 0.1116 1 0.092 0.0661 0.0989 0.0986 -0.0231 0.1416 0.04 0.092 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ 1 -0.1623 0.1043 0.0719 -0.0486 0.0607 0.0829 0.0681 -0.1623 1 -0.0384 0.1766 0.0056 -0.1722 -0.0656 0.0952 0.1043 -0.0384 1 0.0167 -0.0905-0.0271 -0.0192 0.1011 0.0719 0.1766 0.0167 1 -0.0675-0.1451 0.1007 -0.0248 -0.0486 0.0056 -0.0905-0.0675 1 -0.0968 0.1758 0.1562 0.0607 -0.1722 -0.0271-0.1451 -0.0968 1 0.1134 0.0396 0.0829 -0.0656 -0.0192 0.1007 0.1758 0.1134 1 0.093 0.0681 0.0952 0.1011-0.0248 0.1562 0.0396 0.093 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.7665 0.7417 8.5040 8.5591 8 9 1 0.0435 -0.031 -0.0269 0.0593 -0.0831 -0.1683 0.0707 -0.0351 0.0435 1 -0.1668 0.0436 0.2453 0.1451 -0.1277 0.0431 -0.1245 -0.031 -0.1668 1 -0.0408 -0.2206 -0.1629 0.0286 0.0887 0.0553 -0.0269 0.0436 -0.0408 1 -0.1698 -0.006 0.0343 -0.0323 0.0207 0.0593 0.2453 -0.2206 -0.1698 1 -0.0775 0.0137 0.0895 0.0713 -0.0831 0.1451 -0.1629 -0.006 -0.0775 1 0.0205 -0.2158 0.0538 -0.1683-0.1277 0.0286 0.0343 0.0137 0.0205 1 -0.2242 0.1012 0.0707 0.0431 0.0887 -0.0323 0.0895 -0.2158 -0.2242 1 -0.0325 -0.0351-0.1245 0.0553 0.0207 0.0713 0.0538 0.1012 -0.0325 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0.0416 -0.0333 -0.0251 0.0543 -0.0753-0.1613 0.0697 -0.0351 0.0416 1 -0.2035 0.0462 0.2552 0.1492 -0.1389 0.0483 -0.1414 -0.0333-0.2035 1 -0.0486-0.2581 -0.1883 0.035 0.1117 0.0707 -0.0251 0.0462 -0.0486 1 -0.1724 -0.006 0.0364-0.0353 0.0229 0.0543 0.2552 -0.2581 -0.1724 1 -0.0764 0.0143 0.096 0.0777 -0.0753 0.1492 -0.1883 -0.006 -0.0764 1 0.0212-0.2288 0.0579 -0.1613-0.1389 0.035 0.0364 0.0143 0.0212 1 -0.2516 0.1152 0.0697 0.0483 0.1117 -0.0353 0.096 -0.2288 -0.2516 1 -0.038 -0.0351-0.1414 0.0707 0.0229 0.0777 0.0579 0.1152 -0.038 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.6293 0.5741 9.8880 10.0564 9 10 1 0.0309 0.1055 0.1016 0.1269 0.0604 0.1231 -0.0179 -0.1636 -0.0195 0.0309 1 -0.022 0.0895 -0.1052 0.0733-0.0521 0.2143 0.0084 -0.0803 0.1055-0.022 1 0.0054 0.2138 0.1813 0.0605 0.0807 0.2078 -0.0246 0.1016 0.0895 0.0054 1 -0.0419 -0.0165-0.1751 -0.0271-0.1255 -0.0496 0.1269-0.1052 0.2138-0.0419 1 0.1521 -0.0131-0.0869 0.0365 0.0456 0.0604 0.0733 0.1813-0.0165 0.1521 1 0.2224 0.2431-0.0644 -0.051 0.1231-0.0521 0.0605-0.1751-0.0131 0.2224 1 0.0016-0.0899 0.008 -0.0179 0.2143 0.0807-0.0271-0.0869 0.2431 0.0016 1 -0.0608-0.0337 -0.1636 0.0084 0.2078-0.1255 0.0365-0.0644 -0.0899 -0.0608 1 -0.1329 -0.0195-0.0803 -0.0246-0.0496 0.0456 -0.051 0.008 -0.0337-0.1329 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0.0301 0.1038 0.0991 0.1139 0.0556 0.1243 -0.0152 -0.1578 -0.0197 0.0301 1 -0.0232 0.0937 -0.1013 0.0724 -0.0564 0.1943 0.0086 -0.0873 0.1038 -0.0232 1 0.0057 0.2076 0.1806 0.0661 0.0738 0.2169 -0.0269 0.0991 0.0937 0.0057 1 -0.0404-0.0163-0.1897 -0.0246 -0.1299 -0.0539 0.1139 -0.1013 0.2076 -0.0404 1 0.1383-0.0131 -0.0725 0.0347 0.0455 0.0556 0.0724 0.1806 -0.0163 0.1383 1 0.2275 0.2081 -0.063 -0.0523 0.1243 -0.0564 0.0661-0.1897 -0.0131 0.2275 1 0.0015 -0.0963 0.009 -0.0152 0.1943 0.0738 -0.0246 -0.0725 0.2081 0.0015 1 -0.0545 -0.0317 -0.1578 0.0086 0.2169 -0.1299 0.0347 -0.063 -0.0963 -0.0545 1 -0.1427 -0.0197-0.0873-0.0269 -0.0539 0.0455 -0.0523 0.009 -0.0317 -0.1427 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.5752 0.5883 11.0587 11.0138

Sekarang kita perhatikan terlebih dahuluvec D( )A . Karena p t A i ii i i 1 D e a e = =

∑

di mana i

e adalah vektor kolom ke-i dari matriks satuan berukuran p x p, maka

D = _A

(

)

p t t t i i i ii ii i i i 1 e e Ae e , a e Ae = =

∑

=

( ) ( )

p t t i i i i i 1 e e A e e =

∑

= p ii ii i 1 E A E =

∑

dengan Eii =e ei it. Dengan demikian, vec D( )A =

(

)

p ii ii i 1 vec E A E =

∑

=

(

)

( )

p t ii ii i 1 E E vec A = ⊗

∑

, sebab E_ii simetris = Λ_pvec A

( )

, sebab Λ = _p

(

)

p t ii ii i 1 E E = ⊗

∑

Oleh karena itu,

var vec A

{

( )

}

=

{

(

*

)

}

var vec S −P =

{

( )

* ( )

}

var vec S −vec P

=

{

( )

*

}

var vec S , karena P merupakan matriks konstanta

= _{var vec D}

{

(

−12_SD−12

)

}

Σ Σ = _var

{

(

_D−12⊗_D−12

)

_{vec S}( )

}

Σ Σ =

(

(

12 21

)

( )

)

(

(

12 12

)

( )

)

t E D_Σ− ⊗D_Σ− vec S D_Σ− ⊗D_Σ− vec S –

(

)

( )

(

1 1

)

(

(

1 1

)

( )

)

2 2 2 2 t E D_Σ− ⊗D_Σ− vec S E D_Σ− ⊗D_Σ− vec S =

(

12 21

)

( )

(

( )

)

(

12 21

)

t t E_⎜⎛ D− ⊗D− vec S vec S D− ⊗D− ⎞_⎟ ⎝ Σ Σ Σ Σ ⎠ –

(

1 1

)

(

( )

)

(

( )

)

(

1 1

)

2 2 2 2 t t D_Σ− ⊗D_Σ− E vec S E vec S D_Σ− ⊗D_Σ− =

(

12 21

)

(

( )

(

( )

)

)(

12 21

)

t t D_Σ− ⊗D_Σ− E vec S vec S D_Σ− ⊗D_Σ− –

(

1 1

)

(

( )

)

(

( )

)

(

1 1

)

2 2 2 2 t t D_Σ− ⊗D_Σ− E vec S E vec S D_Σ− ⊗D_Σ− =

(

12 21

)

(

( )

(

( )

)

)

(

( )

)

(

( )

)

(

12 12

)

t t t

D− ⊗D− _⎢⎡E vec S vec S −E vec S E vec S ⎤_⎥ D− ⊗D−

⎣ ⎦

Σ Σ Σ Σ

=

(

12 12

)

{

( )

}

(

12 12

)

t D_Σ− ⊗D_Σ− var vec S D_Σ− ⊗D_Σ−

Akan tetapi, seperti dikemukakan dalam Mardia dkk. (1979), Schott (1997, 2001)

dan Djauhari (2007), var vec S

{

( )

}

=

(

_p2 pp

)

( ) 1

I K

n 1− + Σ Σ⊗ . Oleh karena itu,

var vec A

{

( )

}

=

(

21 12

)

(

)

( )

(

12 12

)

2 t pp p 1 D D I K D D n 1 − _⊗ − _{+ ⊗} − _⊗ − − Σ Σ Σ Σ Σ Σ =

(

(

12 21

) (

21 12

)

)

( )

(

12 12

)

2 t pp p 1 D D I D D K D D n 1 − _⊗ − ₊ − _⊗ − _⊗ − _⊗ − − Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ =

(

(

12 21

) (

12 12

)

)

( )

(

12 12

)

t t pp 1 D D D D K D D n 1 − _⊗ − ₊ − _⊗ − _⊗ − _⊗ − − Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ =

(

(

12 21

) (

12 12

)

)

( )

(

12 12

)

2 t pp p 1 I D D K D D D D n 1 − _⊗ − ₊ − _⊗ − _⊗ − _⊗ − − Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ =

(

)

(

12 21

)

( )

(

12 21

)

2 t pp p 1 I K D D D D n 1 − − − − + ⊗ ⊗ ⊗ − Σ Σ Σ Σ Σ Σ Karena

(

12 12

) ( ) ( ) (

12 12 12 12

)

t t t D− ⊗D− =⎜⎛ D− ⊗ D− ⎟⎞= D− ⊗D− ⎝ ⎠ Σ Σ Σ Σ Σ Σ , 1 2

D_Σ− adalah matriks simetri, maka var vec A

{

( )

}

=

(

)

(

21 21

)(

12 12

)

2 pp p 1 I K D D D D n 1 − − − − + ⊗ ⊗ − Σ Σ Σ Σ Σ Σ =

(

)

(

12 12 12 12

)

2 pp p 1 I K D D D D n 1 − − − − + ⊗ − Σ Σ Σ Σ Σ Σ =

(

_p2 _pp

)

( ) 1 I K P P n 1− + ⊗ = p( ) 2 M P P n 1− ⊗ dengan p

(

p2 pp

)

1 M I K 2 = + .

Akan tetapi, berdasarkan sifat matriks komutasi seperti dikemukakan dalam Schott (1997, hal 403), ruas kanan sama dengan p( ) p

2 M P P M n 1− ⊗ . Dengan demikian, diperoleh ( )

{

}

var vec A = p( ) p 2 M P P M n 1− ⊗ .

Berdasarkan kesamaan ini, dengan menggunakan nilai pendekatan bagi R yang

dikemukakan dalam Proposisi III.3, berikut ini akan diturunkan nilai pendekatan bagi mean dan variansi dari vec(R).

III.3.1. Mean vec(R)

Dengan menggunakan nilai pendekatan bagi R≈ ( A A ) 1

P A PD D P 2

+ − + pada

Proposisi III.3, mean dari vec(R) adalah

E vec R

(

( )

)

≈ ( ) _p2

{

(

p

) (

p

)

}

p ( ) 1 E vec P I I P P I vec A 2 ⎛ ₊⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ ⎞ ⎜ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎟ ⎝ Λ ⎠ ≈

(

( )

)

_p2

{

(

p

) (

p

)

}

p ( ) 1 E vec P E I I P P I vec A 2 ⎛⎡ ⎤ ⎞ + _⎜⎢ − ⊗ + ⊗ _{⎥ ⎟} ⎣ ⎦ ⎝ Λ ⎠ ≈ ( ) _p2

{

(

_p

) (

_p

)

}

_p

(

( )

)

1 vec P I I P P I E vec A 2 ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _⎥ ⎣ Λ ⎦ ≈ ( ) 2

{

(

) (

)

}

(

(

)

)

* * p p p p 1 vec P I I P P I E vec S P , A S P 2 ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _⎥ − = − ⎣ Λ ⎦ ≈ ( )

{

(

) (

)

}

(

( )

*

)

(

( )

)

2 p p p p 1

vec P I I P P I E vec S E vec P 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _{⎥ ⎢} − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ Λ ⎦ ≈ ( )

{

(

) (

)

}

(

(

1 1

)

)

( ) 2 2 2 p p p p 1

vec P I I P P I E vec D SD vec P 2 − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _{⎥ ⎢} − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ Λ ⎦ Σ Σ ≈ ( )

{

(

) (

)

}

(

(

1 1

)

( )

)

( ) 2 2 2 _{p p p} p 1

vec P I I P P I E D D vec S vec P

2 − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _{⎥ ⎢} ⊗ − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ Λ ⎦ Σ Σ ≈ ( )

{

(

) (

)

}

(

1 1

)

(

( )

)

( ) 2 2 2 _{p p p} p 1

vec P I I P P I D D E vec S vec P

2 − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _{⎥ ⎢} ⊗ − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ Λ ⎦ Σ Σ ≈ ( )

{

(

) (

)

}

(

1 1

)

( ) ( ) 2 2 2 _{p p p} p 1

vec P I I P P I D D vec vec P

2 − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _{⎥ ⎢} ⊗ − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ Λ ⎦ Σ Σ Σ ≈ ( )

{

(

) (

)

}

(

1 1

)

( ) 2 2 2 _{p p p} p 1

vec P I I P P I vec D D vec P

2 − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _{⎥ ⎢} − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ Λ ⎦ Σ Σ Σ ≈ ( ) _p2

{

(

_p

) (

_p

)

}

_p ( ) ( ) 1

vec P I I P P I vec P vec P

2

⎡ ⎤

+_⎢ − ⊗ + ⊗ _⎥⎡_⎣ − ⎤_⎦

⎣ Λ ⎦

Suku kedua pada ruas kanan berharga 0. Dengan demikian, diperoleh

( )

(

)

( )

III.3.2. Variansi vec(R)

Sekali lagi dengan menggunakan nilai pendekatan bagi R, diperoleh vec R( ) ≈

( ) p2

{

(

p

) (

p

)

}

p ( ) 1 vec P I I P P I vec A 2 ⎡ ⎤ +_⎢ − ⊗ + ⊗ _⎥

⎣ Λ ⎦ . Oleh karena itu,

var vec R

(

( )

)

≈ ( ) _p2

{

(

p

) (

p

)

}

p ( ) 1

var vec P I I P P I vec A 2 ⎛ ₊⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ ⎞ ⎜ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎟ ⎝ Λ ⎠ ≈ _p2

{

(

p

) (

p

)

}

p ( ) 1 var I I P P I vec A 2 ⎛⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ ⎞ ⎜⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎟ ⎝ Λ ⎠ ≈ p2

{

(

p

) (

p

)

}

p

(

( )

)

1 I I P P I var vec A 2 ⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ Λ ⎦ .

(

) (

)

{

}

2 t p p p p 1 I I P P I 2 ⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ Λ ⎦ ≈ _p2

{

(

_p

) (

_p

)

}

_{p p}( ) _p 1 2 I I P P I M P P M 2 n 1 ⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ _⊗ ⎢ _{⎥ −} ⎣ Λ ⎦ .

(

) (

)

{

}

2 t p p p p 1 I I P P I 2 ⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ Λ ⎦ ≈ _p2

{

(

_p

) (

_p

)

}

_{p p} ( ) 2 1 I I P P I M P P n 1 2 ⎧⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ ⎫ _⊗ ⎨_{⎢ ⎥} ⎬ − ⎩⎣ Λ ⎦ ⎭ .

(

) (

)

{

}

2 t p p p p p 1 M I I P P I 2 ⎧ ⎫ ⎪ ⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ ⎪ ⎨ _{⎢ ⎥} ⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ Λ ⎭ Karena _p2

{

(

_p

) (

_p

)

}

_{p p p}

{

_p2

(

_p

)

_p

}

1 I I P P I M M I I P 2 ⎡ _{− ⊗ + ⊗} ⎤ _{= − ⊗} ⎢ ⎥ ⎣ Λ ⎦ Λ dan Mp simetris

seperti dikemukakan dalam Schott (1997, hal. 415 dan hal. 282), maka

( )

(

)

var vec R ≈

{

{

2

(

)

}

}

_{( )} 2

{

(

) (

)

}

t p _p p p _p p p p p 2 1 K I I P P P I I P P I M N n 1 2 ⎧⎡ ⎤ ⎫ − ⊗ ⊗ ⎨_⎢ − ⊗ + ⊗ _⎥ ⎬ − Λ ⎩⎣ ⎦ ⎭ ≈

{

{

2

(

)

}

}

_{( )}

{

{

2

(

)

}

}

t p _p p p p _p p p 2 M I I P P P M I I P n 1− − ⊗ Λ ⊗ − ⊗ Λ ≈

{

2

(

)

}

( )

{

2

(

)

}

t p p p p p p p p 2 M I I P P P I I P M n 1− − ⊗ Λ ⊗ − ⊗ Λ ≈ _p

{

_p2

(

_p

)

_p

}

( )

{

_p2 _p

(

_p

)

}

_p 2 M I I P P P I I P M n 1− − ⊗ Λ ⊗ −Λ ⊗ .

Akan tetapi, berdasarkan Teorema III.1

{

Ip2 −

(

Ip⊗P

)

Λp

}

(P⊗P)

{

Ip2 −Λp

(

Ip⊗P

)

}

Jadi, ( )

(

)

p p 2 var vec R M M n 1 Φ ≈ − .