Azki Nuril Ilmiyah
Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 azki.nuril@ui.ac.id
ABSTRAK
Nama : Azki Nuril Ilmiyah Program Studi : Matematika
Judul : Syarat-syarat Fungsi di Ruang Metrik agar Ruang Metriknya Memiliki Atsuji Completion
Suatu ruang metrik disebut sebagai ruang Atsuji jika untuk setiap fungsi kontinu dan bernilai real di ruang metrik tersebut akan kontinu seragam. Ruang metrik dikatakan memiliki Atsuji completion jika completion dari ruang metrik tersebut adalah ruang Atsuji. Dalam makalah ini, dipelajari syarat-syarat fungsi di ruang metrik agar completion ruang metrik tersebut merupakan ruang Atsuji berdasarkan karakteristik fungsi di ruang metrik. Fungsi yang ditinjau merupakan fungsi
Cauchy-sequentially regular.
Kata Kunci : ruang Atsuji, ruang metrik, completion, fungsi Cauchy-sequentially regular
ABSTRACT
Name : Azki Nuril Ilmiyah Study Program : Mathematics
Title : Some Conditions of Function in Metric Space so that The Metric Space Has an Atsuji Completion
A metric space is called an Atsuji space if every real-valued continuos function on it is uniformly continuous. Metric space is called to have an Atsuji completion if its completion is an Atsuji space. In this paper, the conditions of metric space which makes its completion is an Atsuji will be studied based on characteristic of function in metric space. The function that will be considered is Cauchy-sequentially regular function.
Keywords : Atsuji space, metric space, completion, Cauchy-sequentially regular function.
1.
PENDAHULUAN
Beberapa konsep yang ada di matematika didapatkan dari perumuman konsep yang lain, misalnya adalah abstraksi suatu ruang. Contoh ruang
hasil abstraksi adalah ruang metrik. Ruang ini merupakan himpunan yang memiliki konsep jarak yang diabstraksi dari konsep jarak di himpunan bilangan real. Konsep jarak di ruang metrik menggunakan fungsi metrik.
Sifat lengkap di himpunan bilangan real, yaitu bahwa setiap barisan Cauchy-nya pasti konvergen tidak selalu berlaku di ruang metrik. Namun setiap ruang metrik pasti memiliki pelengkap yang disebut dengan completion.
Selanjutnya diperkenalkan ruang Atsuji. Secara definisi, ruang metrik dikatakan ruang Atsuji jika setiap fungsi bernilai real yang kontinu juga kontinu seragam. Nagata di tahun 1950 menjadi orang pertama yang mempelajari ruang Atsuji. Di tahun 1951 A.A Monteiro dan M.M Peixoto mengembangkan empat karakteristik ekuivalensi dari ruang tersebut. Namun, Gerald Beer adalah orang pertama yang menyebut ruang tersebut dengan ruang Atsuji dan pada tulisannya yang lain disebut sebagai ruang UC (Uniformly Continuous). (Jain & Kundu, 2005)
Ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji kemudian disebut memiliki Atsuji completion. Dalam makalah ini dibahas mengenai syarat-syarat fungsi di ruang metrik yang memiliki Atsuji completion.
2.
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur mengenai Analisis Fungsional, khususnya fungsi di uang metrik, kemudian ruang Atsuji, dan ruang seragam. Selanjutnya, pengetahuan tersebut digunakan untuk membuktikan beberapa pernyataan mengenai fungsi di rung metrik yang menyebabkan ruang metrik tersebut memiliki Atsuji completion.
3.
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1
Dasar Teori
Sebelum membahas pernyataan utama mengenai syarat-syarat fungsi di ruang metrik agar ruang metrik tersebut memiliki Atsuji completion,
diberikan beberapa landasan teori yang perlu digunakan. Berikut beberapa definisi dan teorema dasar yang digunakan.
Definisi 3.1 Misalkan adalah suatu himpunan dan
adalah diagonal uniformity. Ruang seragam didefinisikan sebagai pasangan ( ).
(Williard, 1970, hal. 238)
Ruang metrik adalah ruang seragam. Oleh karena itu teori dalam ruang seragam juga berlaku di ruang metrik
Definisi 3.2 Net ( ) dari directed set ke ruang
seragam ( ) disebut Cauchy net jika untuk setiap di ada sedemikian sehingga untuk setiap berlaku ( )
(Williard, 1970, hal. 260)
Dengan menggunakan directed set dan arah , maka Cauchy net disebut sebagai barisan Cauchy.
Definisi 3.3 Misalkan ( ) ( ) adalah
fungsi antara dua ruang seragam dan . Jika untuk setiap Cauchy net ( ) di ( ), ( ( )) adalah
Cauchy net di ( ) maka disebut Cauchy
regular.
(Jain & Kundu, 2005, hal. 30)
Definisi 3.4 Misalkan ( ) ( ) adalah fungsi dari dua ruang seragam dan . Jika untuk setiap barisan Cauchy ( ) di ( ), ( ( )) adalah barisan Cauchy di ( ) maka disebut Cauchy-sequentially regular (CS-regular).
(Jain & Kundu, 2005)
Teorema 3.5 Misalkan ( ) dan ( ) adalah
ruang metrik . Misalkan pula adalah subhimpunan
yang padat. Jika fungsi kontinu dan
terdapat kontinu dengan ( ) ( )
, maka .
Bukti. Pembuktian dilakukan melalui kontradiksi.
Andaikan , yaitu terdapat sedemikian sehingga ( ) ( ). Karena kontinu maka untuk sebarang nilai terdapat sehingga jika ( ) untuk maka ( ( ) ( ) ) . Dengan kata lain, jika ( ) maka ( ) ( ( ) ). Karena kontinu kemudian dengan cara yang sama didapat pula, jika ( ) maka ( ) ( ( ) ) Pilih ( ( ) ( ) ). Kemudian bentuk ( ( ) ) lingkungan- dari ( ) dan ( ( ) ) lingkungan- dari ( ). Jelas bahwa ( ( ) ) ( ( ) ) . Di sisi lain ( ) dan ( ) adalah lingkungan dari yang masing-masing terkandung dalam ( ( ( ) )) dan ( ( ( ) )). Karena ( ( ( ) )),
( ( ( ) )) lingkungan dari , maka ( ( ( ) )) ( ( ( ) )) juga
lingkungan dari . Selanjutnya dan ̅ mengakibatkan . Karena dan
( ( ( ) )) ( ( ( ) )) lingkungan
dari , terdapat sedemikian sehingga
( ( ( ) )) ( ( ( ) )).
Lebih lanjut berdasarkan hipotesis bahwa nilai fungsi sama untuk setiap nilai di himpunan padatnya maka ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) dan ( ) ( ( ) ) Hal tersebut kontradiksi dengan pernyataan bahwa ( ( ) ) ( ( ) ) Sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada ( ) ( ). Akibatnya haruslah ( ) ( )
Lema 3.6 Misalkan ( ) dan ( ) adalah ruang
metrik. Misalkan pula adalah fungsi yang
kontinu seragam. Jika ( ) adalah barisan Cauchy di
, maka ( ( )) adalah barisan Cauchy di Y.
Bukti. Akan dibuktikan terdapat bilangan asli
sedemikian sehingga ( ( ) ( ))
. Diberikan . Karena fungsi kontinu seragam artinya terdapat sedemikian sehingga jika ( ) maka ( ( ) ( )) Selanjutnya, karena ( ) adalah barisan Cauchy di , terdapat bilangan asli sedemikian sehingga ( ) . Kemudian karena ( ) dan kontinu seragam, maka ( ( ) ( )) .
Teorema 3.7 Misalkan adalah subhimpunan dari
ruang metrik ( ) dan ( ) adalah ruang metrik
lengkap. Jika adalah fungsi kontinu
seragam, maka terdapat perluasan fungsi yang
kontinu seragam dan unik, yaitu ̅ . (Aliprantis & Burkinshaw, 1998, hal. 45)
Bukti. Konstruksi ̅ dengan pendefinisian
( ) ( ) dimana ( ) adalah barisan di yang konvergen ke Kemudian dibuktikan bahwa fungsi dijamin eksistensinya, terdefinisi dengan baik, kontinu seragam, dan unik.
Pertama-tama dibuktikan bahwa dijamin eksistensinya. Misalkan ̅ maka terdapat ( ) barisan di yang konvergen ke . Lebih lanjut karena ( ) konvergen, maka ( ) adalah barisan Cauchy. Karena ( ) barisan Cauchy di dan kontinu seragam, berdasarkan Lema 3.6 maka ( ( )) barisan Cauchy di . Kemudian karena adalah ruang metrik lengkap dan ( ( ) ) adalah barisan Cauchy, maka ( ( ) ) dijamin ada. Kesimpulannya, eksistensi fungsi terjamin.
Kedua, dibuktikan bahwa fungsi terdefinisi dengan baik, yaitu jika maka ( ) ( ). Misalkan ̅, maka terdapat barisan ( ) ( ) di dengan . Karena ( ) ( ) barisan yang konvergen, maka ( ) ( ) barisan Cauchy. Selanjutnya karena ( ) ( ) barisan Cauchy di dan kontinu seragam, maka menurut Lema 3.6 ( ( )) ( ( ) )
barisan Cauchy. ( ( )) ( ( ) ) adalah barisan Cauchy di ruang metrik lengkap, akibatnya ( ( )) ( ( ) ) konvergen. Misalkan ( ) ( ) Kemudian ditunjukkan Untuk itu konstruksi ( ) dengan dan
kemudian tunjukkan bahwa ( )
konvergen ke . Barisan artinya, terdapat bilangan asli sehingga ( ) . Barisan , artinya terdapat bilangan asli sehingga ( ) . Kemudian dengan memilih * + didapat bahwa , yaitu untuk setiap terdapat sehingga ( ) , Karena , maka menurut Lema 3.6 ( ) dijamin ada dan lebih lanjut, sebarang subbarisan dari ( ( )) konvergen ke hal yang sama Secara khusus, ( ) ( ) ( ) ( ) Dengan
kata lain, jika , maka ( ) ( ) ( ) ( )
Ketiga, ditunjukkan bahwa kontinu seragam. Untuk . Karena ( ) ( ) dan kontinu seragam, maka untuk setiap terdapat sedemikian sehingga jika ( ) maka ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) Untuk ̅ dengan ( ) . Terdapat barisan ( ) dan ( ) di dengan dan . Kemudian ( ) ( ) sehingga dapat dipilih sedemikian sehingga ( ) untuk . Karena ( ) dan kontinu seragam, maka ( ( ) ( )) . Kesimpulannya, untuk setiap dan ̅ akan terdapat sedemikian sehingga jika ( ) maka ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) .
Akhirnya, ditunjukkan keunikan dari sebagai perluasan fungsi yang kontinu seragam. Misalkan
terdapat perluasan fungsi , yaitu yang kontinu seragam. Karena adalah fungsi yang kontinu,
subhimpunan yang padat di ̅, dan ( ) ( ) , maka berdasarkan Teorema 3.5 .
Teorema 3.8 Misalkan ( ) adalah ruang metrik
dan ( ) adalah ruang seragam. Sebuah fungsi
( ) ( ) adalah Cauchy-regular jika dan hanya jika CS-regular.
(Jain & Kundu, 2005, hal. 31)
Bukti. Bukti satu arahnya, misalkan ( )
( ) adalah Cauchy-regular, maka untuk setiap ( )
Cauchy-net di ( ) mengakibatkan ( ( ))
Cauchy-net di ( ). Secara khusus, untuk setiap net dengan
directed set dan arah , juga berlaku untuk setiap
( ) barisan Cauchy di ( ) mengakibatkan ( ( )) barisan Cauchy di ( ). Dengan kata lain adalah fungsi CS-regular.
Bukti arah sebaliknya dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan adalah CS-regular namun bukan Cauchy-regular, yaitu terdapat Cauchy net ( ) di namun ( ( )) bukan Cauchy net di .
Karena ( ) adalah Cauchy net dan adalah
entourage di ruang metrik, maka berdasarkan definisi
Cauchy net: sedemikian
sehingga
( ) ( )
Selanjutnya karena ( ( )) bukan Cauchy net di artinya, terdapat namun ( ( ) ( )) ( )
Selanjutnya konstruksi barisan ( ) dari sebagai berikut, untuk setiap , dan
adalah dan yang memenuhi ( ) dengan yang diperoleh dari ( ) untuk setiap
. Kemudian konstruksi ( ) dengan .
Kemudian tunjukkan bahwa ( ) ( ) adalah barisan Cauchy. Dengan Archimedian property terdapat sedemikian sehingga . Kemudian dengan memlih bilangan asli tersebut didapatkan, jika maka ⌈ ⌉ dan ⌈ ⌉. Secara khusus, untuk didapatkan bahwa dengan ( ) didapatkan bahwa ( ) Akibatnya untuk terdapat sedemikian sehingga jika maka ( ) ( ) . Dengan kata lain, ( ) adalah barisan Cauchy.
Tahap berikutnya, dibuktikan bahwa ( ( )) bukan barisan Cauchy di . Dengan konstruksi ( ) yang demikian, maka terdapat sehingga terdapat yang mengakibatkan sedemikian sehingga ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) . Hal ini ekuivalen dengan
mengatakan bahwa barisan ( ( )) bukan barisan Cauchy.
Karena terdapat barisan Cauchy ( ) dengan ( ( )) bukan barisan Cauchy, maka terjadi kontradiksi dengan adalah fungsi CS-regular. Kesimpulannya, haruslah Cauchy-regular.
3.2
Pembahasan
Syarat-syarat fungsi di ruang metrik ( )agar memiliki Atsuji completion ( ̂ ̂)adalah sebagai berikut:
(a) Untuk setiap ruang seragam ( ), setiap fungsi
Cauchy regular ( ) ( ) kontinu
seragam.
(b) Untuk setiap ruang metrik ( ), setiap fungsi
CS-regular ( ) ( ) adalah kontinu
seragam.
(c) Untuk setiap fungsi CS-regular bernilai real di ( ) adalah kontinu seragam.
Pembuktian syarat-syarat tersebut dilakukan dengan cara membuktikan terlebih dahulu pernyataan (a) mengakibatkan pernyataan (b) dalam Teorema 3.9.
Teorema 3.9 Misalkan ( ) dan ( ) adalah
ruang metrik. Jika untuk setiap ruang seragam ,
setiap fungsi Cauchy regular kontinu
seragam, maka setiap fungsi CS-regular ( ) ( ) kontinu seragam.
(Jain & Kundu, 2005, hal. 33)
Bukti. Mengacu ke Teorema 3.8 maka merupakan
fungsi Cauchy-sequentially regular. Selanjutnya ruang metrik merupakan ruang seragam. Akibatnya adalah fungsi CS-regular dari ruang metrik ( ) ke ruang seragam ( ). Kemudian menurut premis, kontinu seragam.
Selanjutnya diberikan Lema 3.10 yang menghubungkan pernyataan (b) mengakibatkan pernyataan (c).
Lema 3.10 Misalkan ( ) dan ( ) ruang metrik.
Jika setiap fungsi CS-regular ( ) ( )
kontinu seragam, maka setiap fungsi CS-regular bernilai real di ( ) kontinu seragam.
(Jain & Kundu, 2005, hal. 33)
Bukti. Dengan memperhatikan bawa ( ) juga
merupakan suatu ruang metrik, maka kesimpulan dari Lema 3.10 terpenuhi.
Selanjutnya diberikan Teorema 3.11 yang menghubungkan pernyataan (c) ke kesimpulan bahwa ( ̂ ) adalah ruang Atsuji.
Teorema 3.11 Misalkan ( ) adalah ruang metrik
dan ( ̂ ̂) adalah completion-nya. Jika setiap fungsi CS-regular bernilai real ( ) ( ) kontinu seragam, maka ( ̂ ̂) ruang Atsuji.
(Jain & Kundu, 2005, hal. 33)
Bukti. Untuk membuktikan bahwa ( ̂ ) ruang
Atsuji, menurut definisi ruang Atsuji haruslah ditunjukkan untuk setiap ̂ , kontinu maka kontinu seragam. Misalkan diberikan . Pertama-tama misalkan ̂ kontinu, yaitu untuk setiap
̂ terdapat ( ) ( ) ( ) . Selanjutnya perhatikan bahwa, karena ̂ adalah completion dari maka terdapat subruang yang padat dari ̂ dan ruang yang isometrik dengan .
Langkah selanjutnya konstruksi fungsi
dengan ( ) ( ) .
Fungsi kontinu di karena untuk setiap ,
̂. Dengan pemilihan yang sama berlaku ( ) | ( ) ( )|
( ) ( ) ( )
Kemudian konstruksi fungsi
dan tunjukkan adalah fungsi
CS-regular. Misalkan ( ) adalah barisan Cauchy di . Karena ( ) barisan Cauchy, maka untuk di pernyataan ( ), akan terdapat bilangan natural sedemikian sehingga
( ) ( ) Perhatikan pula karena pada, maka untuk setiap terdapat . Karena pada, serta menggunakan pernyataan ( ) dan ( ), didapatkan ( ( ) ) adalah barisan Cauchy di
. Karena untuk sebarang ( ) barisan Cauchy di
mengakibatkan ( ( ) ) barisan Cauchy di ,
maka menurut definisi fungsi CS-regular dapat disimpulkan bahwa fungsi adalah fungsi CS-
regular dari ke .
Selanjutnya, karena ( ) ( ) adalah CS-regular, maka menurut premis
adalah fungsi yang kontinu seragam, yaitu
( ) | ( ) ( )| .
Tahap berikutnya adalah menunjukkan bahwa adalah fungsi yang kontinu seragam. Dengan memilih di atas, diperoleh bahwa untuk setiap berlaku
( ) ( ) ( ) | ( ) ( )|
| ( ( )) ( ( ))|
| ( ) ( )|
Terbukti bahwa adalah fungsi yang kontinu
seragam.
Lebih lanjut menurut Teorema 3.8, adalah subruang dari ( ̂ ̂) dan ( ) lengkap. adalah fungsi yang kontinu seragam, maka terdapat perluasan yang tunggal untuk fungsi , yaitu fungsi ̅ ̂ yang kontinu seragam.
Perhatikan bahwa dan adalah dua buah fungsi yang memiliki sifat ( ) ( ) ( ) . Karena kontinu dan adalah subruang yang padat dari ̂, maka menurut Teorema 2.19 ( ) ( ) ̂. Dengan kata lain .
Karena untuk sebarang ̂ kontinu berlaku kontinu seragam, maka ̂ adalah ruang Atsuji.
Dari pembahasan, pernyataan (a) mengakibatkan pernyataan (b), pernyataan (b) mengakibatkan pernyataan (c). Setelah Teorema 3.11 dibuktikan dan dengan sifat transitif, jika pernyataan (a), (b), atau (c) dipenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa ( ̂ ̂) adalah ruang Atsuji.
4.
KESIMPULAN
Jika ruang metrik memiliki setidaknya salah satu dari syarat-syarat barisan dan fungsi berikut: 1. Setiap ruang seragam dan setiap fungsi Cauchy-regular dari ruang metrik tersebut ke ruang seragam akan kontinu seragam.
2. Setiap fungsi Cauchy-sequentially regular dari ruang metrik tersebut ke ruang metrik lain selalu kontinu seragam.
maka completion dari ruang metrik tersebut adalah ruang Atsuji.
Ucapan Terima Kasih
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat Nya sehingga makalah ini dapat terselesaikan dengan baik. Tidak lupa sholawat dan salam penulis panjatkan kepada Nabi besar Muhammad SAW atas tuntunannya. Penulis menyadari bahwa tentunya banyak pihak membantu penyelesaian makalah. Sehingga penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Ibu Nora Hariadi dan ibu Suarsih Utama, selaku dosen pembimbing penyusunan skripsi.
2. Bapak Arie wibowo, Bapak Hengki Tasman , Kak Ajat Adriansyah, atas masukan dan sarannya terhadap penulisan dan isi makalah.
Serta kepada semua pihak yang membantu dalam penyelesaian makalah ini.
Daftar Acuan
Aliprantis, C. D., & Burkinshaw, O. (1998). Principles of Real Analysis. California: Academic Press.
Engelking, R. (1989). General Topology. Berlin: Heldermann.
Jain, T., & Kundu, S. (2005). Atsuji Completion: Equivalent characterisations. Topology and its Application , 29-38.
Kreyszig, E. (1989). Introductory Functional Analysis with Application. New York: John Wiley & Sons.
Munkres, J. R. (1975). Topology (2 ed.). USA: Prentice Hall.
Williard, S. (1970). General Topology. Canada: Addison-Wesley Publishing Company.
