TSK205 Kuliah 3 Aljabar Boolean v201703

(1)

Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika

@2017,Eko Didik Widianto

Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik

Lisensi

Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi

Logika

Kuliah#3 TKC205 Sistem Digital

Eko Didik Widianto

(2)

Lisensi

Pengantar

◮ Dalam proses analisis dan sintesis diperlukan satu model

untuk mendeskripsikan fungsi logika. Salah satu model yang digunakan adalah aljabar Boolean

◮ Proses sintesis bertujuan untuk merancang rangkaian

logika optimal berdasarkan kebutuhan fungsional sistem yang diinginkan.

◮ Kebutuhan sistem dapat dinyatakan dalam deskripsi

tekstual, tabel kebenaran maupun diagram pewaktuan

◮ Jika tidak ada konstrain (misalnya waktu sintesis), hasilnya

adalah rangkaian yang minimal atau paling sederhana

◮ Rangkaian logika minimal diperoleh dari persamaan logika

yang paling sederhana

◮ Penyederhanaan persamaan logika dilakukan

(3)

Lisensi

Umpan Balik

◮ Sebelumnya dibahas tentang konsep rangkaian logika:

◮ Representasi biner dan saklar sebagai elemen biner ◮ Variabel dan fungsi logika

◮ Ekspresi dan persamaan logika ◮ Tabel kebenaran

◮ Gerbang dan rangkaian logika

◮ Analisis rangkaian dan diagram Pewaktuan

◮ Umpan Balik:

◮ Gambarkan rangkaian untuk fungsi logika

f(x1,x2,x3,x4) = (x1x2) + (x3x4)dan analisis untuk

masukan{x1,x2,x3,x4}={0,1,0,1},12

◮ Buktikan bahwa(x

(4)

Lisensi

Tentang Kuliah

◮ Dalam kuliah ini, akan dibahas tentang implementasi

fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (disebut proses sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran maupun aljabar Boolean

◮ Aljabar Boolean: aksioma, teorema, dan hukum ◮ Diagram Venn

◮ Penyederhanaan persamaan secara aljabar ◮ Sintesis ekspresi logika dari tabel kebenaran

◮ minterm, persamaan SOP (Sum of Product) dan notasi

kanonik SOP

◮ Maxterm, persamaan POS (Product of Sum) dan notasi

kanonik POS

(5)

Lisensi

Kompetensi Dasar

◮ _{Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:}

1. [C1] memahami aksioma (dalil), teorema dan hukum aljabar Boolean

2. [C2] memahami notasi aljabar operasi logika (AND,OR, NOT) dan urutan operasi logika

3. [C2] membuktikan kesamaan dua ekspresi logika dengan menggunakan aljabar dan diagram Venn

4. [C2] menyatakan persamaan logika dalam bentuk SOP maupun POS jika diberikan kebutuhan fungsional sistem

5. [C2] mengkonversikan persamaan SOP ke POS atau sebaliknya dengan benar

6. [C3] melakukan penyederhanaan persamaan logika secara aljabar dengan benar jika diberikan suatu persamaan logika, tabel kebenaran maupun deskripsi tekstual kebutuhan desain

7. [C4] mendesain dan menganalisis rangkaian AND-OR dan OR-AND minimal jika diberikan kebutuhan desain yang diinginkan

8. [C4] mendesain dan menganalisis rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR minimal jika diberikan kebutuhan desain yang diinginkan

◮ _Link

◮ _Website:❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴✷✵✶✼✴✵✸✴✵✻✴

t❦❝✷✵✺✲s✐st❡♠✲❞✐❣✐t❛❧✲✷✵✶✻✲❣❡♥❛♣✴

(6)

Lisensi

Buku Acuan/Referensi

Eko Didik Widianto, Sistem Digital: Analisis, Desain dan Implementasi, Edisi Pertama, Graha Ilmu, 2014(Bab 3: Aljabar Boolean dan Sintesis Rangkaian Logika)

◮ Materi:

◮ _{3.1 Aljabar Boolean}

◮ _{3.2 Sintesis Rangkaian Logika} ◮ _{3.3 Rangkaian Logika Dua Level}

◮ _Website:

◮ ❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴

(7)

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn

Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS

Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level

Rangkaian AND-OR dan OR-AND

Penutup dan Umpan Balik

(8)

Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik

Lisensi

Aljabar Boolean (Tahun 1849)

◮ Boole memberikan skema untuk

deskripsi aljabar dari proses berpikir secara logika dan penalaran

(reasoning)

◮ Kemudian digunakan untuk

menjabarkan rangkaian logika

◮ desain dan analisis rangkaian ◮ menyederhanakan suatu ekspresi

logika untuk implementasi fisik rangkaian yang lebih sederhana

(9)

Aljabar Boolean

Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean

Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Diagram Venn

Rangkaian Dua Level

(10)

Aljabar Boolean

Lisensi

Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas

◮ Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang

diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat)

◮ Tidak perlu dibuktikan karenaself-evident, kebenarannya

terjamin

◮ Dalil dituliskan berpasangan→untuk menunjukkan

prinsip dualitas

◮ Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi

tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan·atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya

(11)

Aljabar Boolean

Lisensi

Teorema 1 Variabel

◮ Teorema ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel

tunggal

◮ Perlu dibuktikan dengan aksioma atau teorema lain

5a.x·0=0

◮ Pembuktian teorema dengan induksi

◮ Memasukkan nilaix=0 danx=1 ke dalam ekspresi ◮ Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b)

dan sebaliknya

◮ f

1(x1,x2) =x1+x2dualnya adalahf2(x1,x2) =x1·x2

(12)

Aljabar Boolean

Lisensi

Latihan

◮ Tunjukkan bahwa teorema 6a adalah dual dari 6b dan 8a

(13)

Aljabar Boolean

Lisensi

Hukum-hukum Aljabar

◮ Hukum ini mendefinisikan aturan untuk persamaan

dengan banyak variabel

◮ Disebut juga identitas atau properti

10a.x·y=y·x 10b.x+y=y+x →Komutatif

◮ Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat

dilakukan secara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun dengan melakukan perhitungan aljabar

◮ Contoh: teorema DeMorgan secara induktif

◮ Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan

aljabar

(14)

Aljabar Boolean

Lisensi

Pembuktian Aljabar

◮ Buktikan persamaan logika berikut benar

1.(x1+x2)·(x1+x2) =x1·x2+x1·x2

2. x1·x3+x2·x3+x1·x3+x2·x3=x1+x2

f = x1·x3+x2·x3+x1·x3+x2·x3

= x1·x2+x1·x2+x1·x2

= x1+x2

◮ Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana,

sehingga rangkaian logika akanlebih sederhana ◮ Teorema danpropertymenjadi basis untuk sintesis fungsi

(15)

Aljabar Boolean

Diagram Venn

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Diagram Venn

Rangkaian Dua Level

(16)

Aljabar Boolean

Diagram Venn

Lisensi

Diagram Venn (John Venn 1880)

◮ Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi

logika secara visual

◮ Suatu setsmerupakan koleksi elemen

yang merupakan anggota daris

◮ dalam hal inismerupakan koleksi

variabel dan/atau konstan

◮ Elemen (variabel/konstan) dinyatakan

sebagai area dengan kontur seperti kotak, lingkaran atau elips

John Venn (1834-1923)

(17)

Aljabar Boolean

Diagram Venn

Lisensi

Diagram Venn

◮ Jika semesta integerNmulai 1 sampai 9 adalah

N=1,2,3,4,5,6,7,8,9

◮ Himpunan bilangan genapE=2

,4,6,8

◮ sedangkan himpunan bilangan ganjil adalah komplemen

dariEdan mempunyai anggota di luarE, sehingga

E=1,3,5,7,9.

◮ Aljabar Boolean hanya mempunyai dua nilai (elemen)

dalam semestaB,B=0,1, sehingga:

(18)

Aljabar Boolean

Diagram Venn

(19)

Aljabar Boolean

Diagram Venn

Lisensi

Buktika DeMorgan:

x

· y

=

x

+

y

◮ Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua

(20)

Aljabar Boolean

Diagram Venn

Lisensi

Latihan

◮ Buktikan 12a,b 13a,b dan 17a,b secara induktif dan

aljabar!

◮ Buktikanx+x·y =x +y danx·(x+y) =x·y secara

induktif, aljabar dan diagram Venn!

◮ Buktikan bahwax

1x2x3+x2·x3+x2·x3=x3+x1x2

secara induktif, aljabar dan diagram Venn!

◮ Buktikan(x₁+x₂)·(x₁+x₂) =x₁·x₂+x₁·x₂secara

(21)

Aljabar Boolean

Notasi Operator dan Prioritas Operasi

Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Rangkaian Dua Level

(22)

Aljabar Boolean

Lisensi

Notasi Operator Fungsi Logika

◮ Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara

logika dan aritmetika

◮ Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum) ◮ Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product)

Operasi Notasi Operator Keterangan

OR +,W, | Bitwise OR

AND ·,V, & Bitwise AND

◮ Ekpresi ABC+A’BD+A’CE

◮ Merupakan jumlah dari 3 operasi/termperkalian (SOP,

sum-of-product terms)

◮ _{Ekspresi (A+B+C)(A’+B+D)(A’+C+E)}

◮ Merupakan perkalian dari 3 operasi/termpenjumlahan

(23)

Aljabar Boolean

Lisensi

(Konvensi) Urutan Operasi

◮ _{Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsi}

logika dilakukan dengan urutan:

1. NOT 2. AND 3. OR

◮ _{Misalnya ekspresi}_x₊_x

·y

◮ _{variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kan}

dengan variabel y

(24)

Aljabar Boolean

Lisensi

Latihan

◮ Gambar rangkaian untuk persamaan logika

f = (x1+x2)·x3danf =x1+x2·x3

◮ Buktikan bahwa(x

1+x2)·x36=x1+x2·x3. Dan

gambarkan rangkaian logikaf1= (x1+x2)·x3dan

(25)

Aljabar Boolean

Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Rangkaian Dua Level

(26)

Aljabar Boolean

Lisensi

Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

◮ _{Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi}

yang ekivalen

◮ _Misalnya:_f

1=x1x2+x1x2+x1x2danf2=x1+x2adalah

ekivalen secara fungsional.f1lebih sederhana (optimal) daripadaf2 ◮ _{Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian}

ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost)

◮ _{Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan}

merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya constraint delay

Fungsi:f=x1x2+x1x2+x1x2

◮ _{Replikasi term 2:}_f₌_x₁_x₂₊_x₁_x₂₊_x₁_x₂₊_x₁_x₂ ◮ _{Distributif (12b):}_f₌_x₁₍_x₂₊_x₂_{) + (}_x₁₊_x₁₎_x₂ ◮ _{Teorema (8b):}_f₌_x₁·1+1·x2

(27)

Aljabar Boolean

Lisensi

Umpan Balik: Aljabar Boolean

Mahasiswa mampu:

1. memahami dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean 2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif

(tabel kebenaran), manipulasi aljabar dan diagram Venn 3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan

dalil, teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar) 4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR)

dan urutan operasi logika Latihan:

◮ Buktikanx₁x₂x₃+x₂·x₃+x₂·x₃=x₃+x₁x₂secara

induktif, aljabar dan diagram Venn

(28)

Aljabar Boolean

Sintesis Rangkaian Logika

Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik

Lisensi

Proses Sintesis

◮ Diinginkan suatu fungsi, bagaimana

mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika?

◮ Proses ini disebutsintesis: membangkitkan ekspresi

dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya

◮ Sintesis merupakan langkah utama dalam desain sistem

(29)

Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika

Sintesis dari Tabel Kebenaran

Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran

Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS

Rangkaian Dua Level

(30)

Lisensi

Sintesis Rangkaian Logika

Deskripsi Kebutuhan Sistem

◮ Misalnya

◮ Desain rangkaian logika dengan dua masukanx 1danx2 ◮ Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika

1 jika switch (x1,x2) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0)

◮ Pernyataan lain: jika switchx

(31)

Lisensi

Langkah Sintesis

1. menterjemahkan kebutuhan desain dan menuliskannya ke dalam tabel kebenaran

2. menuliskan persamaan SOP atau POS dari tabel kebenaran

◮ Persamaan SOPdiperoleh dengan menjumlahkan semua

term perkalian yang bernilai 1

◮ Persamaan POSdiperoleh dengan mengalikan semua

term penjumlahan yang bernilai 0

(32)

Lisensi

Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP)

◮ Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis

◮ Realisasi f adalahf =x₁x₂+x₁x₂+x₁x₂(SOP)

(33)

Lisensi

Penyederhanaan Rangkaian Secara Aljabar

Penyederhanaan fungsi :

◮ Persamaan semula:f =x₁x₂+x₁x₂+x₁x₂ ◮ Replikasi term 2:f =x

1x2+x1x2+x1x2+x1x2

◮ Distributif (12b): f =x₁(x₂+x₂) + (x₁+x₁)x₂ ◮ Teorema (8b):f =x

1·1+1·x2

◮ Teorema (6a):f =x

1+x2

◮ Rangkaian sederhana: _f₌_x₁₊_x₂

◮ Diimplementasikan dengan 1 gerbang NOT dan 1 gerbang

(34)

Lisensi

Latihan Sintesis

1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1

1.1 Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya 1.2 Sederhanakan rangkaian tersebut

2. Sederhanakan fungsif =x1x2x3+x2·x3+x2·x3untuk

(35)

Minterm dan Bentuk Kanonik SOP

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS

Rangkaian Dua Level

(36)

Lisensi

Minterm

◮ Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel

f(x1,x2. . .xn)

◮ Sebuahmintermdari f adalah satuterm perkaliandari n

variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan

◮ Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm

dibentuk dengan memasukkan variabelxi jikaxi =1 atauxi jikaxi=0

◮ Notasim

(37)

Lisensi

Minterm dan Bentuk Kanonik SOP

◮ _{Tiap baris dari tabel}

kebenaran membentuk satu buah minterm

◮ _{Fungsi f dapat dinyatakan}

dengan ekspresi

penjumlahandari semua minterm di mana tiap minterm di-AND-kan dengan nilaif yang bersesuaian

◮ _{Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik}

SOP:

f = m0·0+m1·1+m2·0+m3·0+m4·1+m5·1+m6·1+m7·0

= m1+m4+m5+m6

(38)

Lisensi

Notasi SOP

◮ Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m

f = m1+m4+m5+m6

◮ Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik ◮ Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasiyang

paling sederhana

(39)

Lisensi

Contoh SOP

◮ Persamaan kanonik SOP berisi daftar maxterm yang

bernilai 1

◮ Contoh. Diketahui fungsi SOP

f(x1,x2,x3) = P

m(0,2,5,6). Tentukan nilaif(0,0,1),

f(1,0,1)danf(1,1,1)

◮ Solusi.f(0

,0,1)menyatakan nilai fungsif jika nilai

masukanx1=0,x2=0, danx3=1. Nilaif(0,0,1) =0

danf(1,1,1) =0, karena mintermm1danm7tidak ada

dalam persamaan, sedangkanf(1,0,1) =1 karenam5

(40)

Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS

Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Konversi SOP-POS

Rangkaian Dua Level

(41)

Lisensi

Prinsip Duality SOP - POS

◮ Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel

kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara:

1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau 2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0

◮ Pendekatan (1) menggunakan minterm

◮ Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm,

(42)

Lisensi

Penjelasan Dualitas SOP-POS

◮ Jika fungsif dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka

fungsi inversnyaf , dapat dinyatakan dengan penjumlahan minterm denganf =1, yaitu di baris di manaf =0

f = m0+m2+m3+m7

= x1x2x3+x1x2x3+x1x2x3+x1x2x3

◮ Fungsif dapat dinyatakan

f = m0+m2+m3+m7

◮ Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai

(43)

Lisensi

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS

◮ Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel

f(x1,x2. . .xn)

◮ SebuahMaxtermdari f adalah satuterm penjumlahan

dari n variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan

◮ Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm

dibentuk dengan memasukkan variabelxijika xi=0atau

xijika xi=1

◮ NotasiM

j(dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari baris nomorjdi tabel kebenaran. Contoh:

(44)

Lisensi

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS

◮ _{Tiap baris dari tabel}

kebenaran membentuk satu buah maxterm

◮ _{Fungsi f dapat dinyatakan}

dengan ekspresiperkalian dari semua maxterm di mana tiap maxterm di-OR-kan dengan nilaifyang bersesuaian

◮ _{Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik}

POS:

f = (M0+0) (M1+1) (M2+0) (M3+0) (M4+1) (M5+1) (M6+1) (M7+0)

= M0·M2·M3·M7

(45)

Lisensi

Notasi POS

◮ Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M

f = M0·M2·M3·M7

◮ Persamaan berikut benar untuk fungsif(x₁

(46)

Lisensi

Contoh POS

◮ Persamaan kanonik POS berisi daftar Maxterm yang

bernilai 0

◮ Contoh. Diketahui fungsi POS

f(x1,x2,x3) = Q

M(1,3,4,7). Tentukan nilaif(0,0,1),

f(1,0,1)danf(1,1,1)

◮ Solusi.f(0

,0,1)menyatakan nilai fungsif jika nilai

masukanx1=0,x2=0, danx3=1. Nilaif(0,0,1) =0

danf(1,1,1) =0, karena MaxtermM1danM7terdapat

dalam persamaan, sedangkanf(1,0,1) =1 karenaM5

(47)

Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS

Konversi SOP-POS

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Konversi SOP-POS

Rangkaian Dua Level

(48)

Konversi SOP-POS

Lisensi

Desain Rangkaian SOP/POS

◮ Jika suatu fungsif dinyatakan dalam tabel kebenaran,

maka persamaan fungsif dapat diperoleh dengan dua cara, yaitu:

1. melihat semua baris dalam tabel dimanaf =1

Pendekatan ini menghasilkan persamaan SOP, yaitu jumlah dari minterm-minterm yang menghasilkan nilai fungsi 1 2. melihat semua baris dalam tabel dimanaf =0

Pendekatan ini menghasilkan persamaan POS, yaitu perkalian dari Maxterm-Maxterm yang menghasilkan nilai fungsi 0

X

m(1,4,5,6) =

Y

M(0,2,3,7)

x1x2x3+x1x2x3+x1x2x3 = (x1+x2+x3) (x1+x2+x3) (x1+x2+x3)

(49)

Konversi SOP-POS

Lisensi

Konversi Bentuk SOP-POS

◮ Jika suatu fungsif diberikan dalam bentukPmatauQM,

maka dengan mudah dapat dicari fungsif atauf dalam bentukPmatauQM

Bentuk Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan Asal f=Pm f=QM f=Pm f=QM

f =Pm (1,4,5,6)

- Nomor yg

(50)

Konversi SOP-POS

Lisensi

Contoh

◮ Nyatakan persamaan kanonik POS dari fungsi 3 variabel

f(x1,x2,x3) = P

m(1,2,4,7)

◮ Solusi. Persamaan 3 variabel mempunyai 8 buah minterm

atau maxterm yang bernomor 0 sampai 7. Nomor yang ada dalam persamaan SOP di atas adalah{1,2,4,7}dan

nomor yang tidak ada{0,3,5,6}, sehingga persamaan

POS darif(x1,x2,x3) = Q

M(0,3,5,6). Kesamaan dari

(51)

Konversi SOP-POS

Lisensi

Contoh #2

◮ Nyatakan persamaan kanonik SOP dari fungsi 4 variabel

f(x1,x2,x3,x4) = Q

M(0,1,2,5,6,7,11,12)

◮ Solusi. Nomor yang ada dalam persamaan POS adalah {0,1,2,5,6,7,11,12}dan nomor yang tidak ada adalah

{3,4,8,9,10,13,14,15}, sehingga persamaan SOP dari

f(x1,x2,x3,x4) = P

m(3,4,8,9,10,13,14,15).

Kesamaan dari fungsi POS dan SOP tersebut dapat dinyatakan sebagai:

Y

M(0,1,2,5,6,7,11,12) = X

(52)

Konversi SOP-POS

Lisensi

Latihan

◮ Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z.

Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1. Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasi kanoniknya

◮ Cari minterm, Maxterm dan tuliskan bentuk kanonik SOP

(53)

Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Rangkaian Dua Level

(54)

Lisensi

Tips Penyederhanaan SOP dan POS

◮ _{Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di}

ekspresi

◮ _{SOP: menggunakan hukum 14a (x}

·y+x·y=x)

◮ _{POS: menggunakan hukum 14b (}₍_x₊_y₎

·(x+y) =x)

◮ _{Penggunaan teorema 14a atau 14b akan mengurangi 1 variabel yang}

berbeda dalam dua minterm atau Maxterm yang berbeda hanya di 1 variabel tersebut

sehingga dapat disederhanakan menggunakan teorema 14b, yaitu sebagai berikut:

(x₁+x₂+x₃) (x₁+x₂+x₃) = x₁+x₃+x₂x₂

| {z } =0

(55)

Lisensi

Contoh Penyederhanaan SOP

◮ _{Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan}

hukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel saja

f = (m1+m5) + (m4+m5) + (m4+m6)

= (x1x2x3+x1x2x3) + (x1x2x3+x1x2x3) + (x1x2x3+x1x2x3)

= (x₁+x₁)x₂x₃+x₁x₂(x₃+x₃) +x₁(x₂+x₂)x₃ = x2x3+x1x2+x1x3

◮ _Minterm_m

4di atas telah disederhanakan di(m4+m6)dan mintermm5

telah disederhanakan di(m₁+m5), sehingga penyederhanaan

(m₄+m₅)tidak perlu dituliskan kembali atau dihilangkan untuk menghasilkan persamaan yang ekivalen, namun lebih sederhana.

f = (m1+m5) + (m4+m6)

= x1x2x3+x1x2x3+x1x2x3+x1x2x3

(56)

Lisensi

Contoh Penyederhanaan POS

◮ Rancang rangkaian POS optimal untuk fungsi

f(x1,x2,x3) =x1x2x3+x1x2x3+x1x2x3+x1x2x3!

◮ Solusi. Fungsi SOP tersebut dapat dituliskan sebagai

f(x1,x2,x3) = P

m(1,4,5,6). Karena yang diinginkan

rangkaian POS, maka persamaan SOP tersebut perlu dikonversi ke dalam POS.

Persamaan POS ekivalennya adalah

f(x1,x2,x3) =

Y

M(0,2,3,7)

= (x1+x2+x3) (x1+x2+x3) (x1+x2+x3) (x1+x2+x3)

Terdapat 2 pasangan maxterm yang mempunyai satu perbedaan, yaitu MaxtermM0danM2(berbeda dix2) dan

MaxtermM3danM7(berbeda dix1). Penyederhanaan

dengan teorema 14b

f(x1,x2,x3) = (M0·M2)·(M3·M7)

(57)

Lisensi

Umpan Balik Sintesis

1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z

◮ Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu

(atau kedua) y atau z bernilai 1

1.1 Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya 1.2 Cari invers fungsi tersebut

1.3 Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya

2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS dari

◮ fungsif= (x

(58)

Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND

Lisensi

Rangkaian Dua Level

◮ Rangkaian logika yang diimplementasikan dari fungsi SOP

dan POS membentuk rangkaian dua level

◮ Fungsi SOP membentuk rangkaian AND-OR

◮ _{Level pertama rangkaian AND, level kedua rangkaian OR}

◮ Fungsi POS membentuk rangkaian OR-AND

(59)

Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level

Lisensi

Bahasan

Aljabar Boolean

Rangkaian Dua Level

(60)

Lisensi

Rangkaian AND-OR dan OR-AND

Langkah desain rangkaian AND-OR dan OR-AND adalah sebagai berikut:

1. menentukan tipe implementasi rangkaian: AND-OR atau OR-AND 2. menyatakan fungsi rangkaianfke persamaan SOP atau POS.

Persamaan bisa dalam bentuk kanonik.

2.1 Jika akan diimplementasikan dengan rangkaian AND-OR, maka fungsif harus dinyatakan dalam bentuk kanonik SOP

2.2 Jika akan diimplementasikan dengan rangkaian OR-AND, maka fungsif harus dinyatakan dalam bentuk kanonik POS

3. menyederhanakan fungsi tersebut menggunakan aljabar Boolean

◮ Salah satu metode lainnya: dengan peta Karnaugh

(61)

Lisensi

Contoh Desain Rangkaian Dua Level

Desain rangkaian logika AND-OR dan OR-AND untuk fungsi f(x₁,x2,x3) =

P_m

(1,4,5,6)

◮ _{Rangkaian AND-OR dapat dibentuk langsung dari persamaan}

f(x1,x2,x3) =

P

m(1,4,5,6), menghasilkanf =x1x3x2x3.

◮ _{Rangkaian OR-AND dibentuk dari persamaan POS ekivalennya, yaitu}

f(x1,x2,x3) =

Q

M(0,2,3,7), menghasilkanf= (x1+x3) (x2+x3).

◮ _{Rangkaian AND-OR dan OR-AND untuk mengimplementasikan fungsi}

f(x1,x2,x3) =

P

m(1,4,5,6)

(62)

Lisensi

Rangkaian Logika dengan NAND dan NOR

◮ _{Fungsi NAND adalah inversi}

fungsi AND

f(x₁,x₂) =f₁(x₁,x₂) =x₁·x2 ◮ _{Gerbang NAND merupakan}

gerbang AND yang diikuti gerbang NOT

◮ _{Fungsi NOR adalah inversi}

fungsi OR

f(x1,x₂) =f₁(x₁,x₂) =x₁+x₂

◮ _{Gerbang NOR merupakan}

(63)

Lisensi

Rangkaian NAND Lebih Sederhana dari AND

◮ Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND

dan NOR lebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan OR

◮ Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untuk

mewujudkan fungsi logika yang sama

(64)

Lisensi

Rangkaian NOR Lebih Sederhana dari OR

(65)

(66)

Lisensi

Rangkaian AND-OR dan NAND-NAND

◮ _{Rangkaian AND-OR (bentuk SOP)}_{dapat dikonversi}_{menjadi rangkaian}

NAND-NAND

◮ _{Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan}

ekspresi

◮ _Contoh:_f ₌P_m₍₁

,4,5,6)

f = x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃

= x₁x₂x₃

| {z }

NAND

·x1x2x3 | {z }

NAND

·x1x2x3 | {z }

NAND

·x1x2x3 | {z }

NAND

(67)

Lisensi

Contoh Desain NAND-NAND

◮ _{Desain rangkaian logika AND-OR dan NAND-NAND paling sederhana}

dari fungsif=Pm(1,4,5,6)

◮ _Solusi:

f = Xm(1,4,5,6)

= x₂x₃+x₁x₃

= x₂x₃

| {z }

NAND ·x1x3

| {z }

NAND

| {z }

(68)

Lisensi

Latihan

◮ Desain rangkaian logika AND-OR dan NAND-NAND

(69)

Lisensi

Rangkaian OR-AND dan NOR-NOR

◮ _{Rangkaian OR-AND (bentuk POS)}_{dapat dikonversi}_{menjadi rangkaian}

NOR-NOR

◮ _{Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan}

ekspresi

◮ _Contoh:_f ₌Q_M₍₀

,2,3,7)

f = x₁+x₂+x₃ x₁+x₂+x₃ x₁+x₂+x₃ x₁+x₂+x₃

= x₁+x₂+x₃

| {z }

NOR

+x₁+x₂+x₃

| {z }

NOR

+x₁+x₂+x₃

| {z }

NOR

+x₁+x₂+x₃

| {z }

NOR

| {z }

(70)

Lisensi

Contoh Desain NOR-NOR

◮ _{Gambarkan rangkaian logika AND-OR dan NOR-NOR dari fungsi}

f =Pm(1,4,5,6)

◮ _Solusi:

f = Xm(1,4,5,6)

= YM(0,2,3,7)

= (x1+x3) (x2+x3)

= (x₁+x₃)

| {z }

NOR

+ (x₂+x₃)

| {z }

NOR

| {z }

(71)

Lisensi

Umpan Balik

◮ Yang telah kita pelajari hari ini:

◮ Dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean, diagram Venn

serta penyederhanaan rangkaian secara aljabar

◮ Sintesis rangkaian logika dari tabel kebenaran, SOP, POS

dan koversinya

◮ Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR

◮ Latihan:

◮ Sederhanakan fungsif(x

1,x2,x3) =

P_m₍₀

,2,4,5)dan

buat rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR-nya

◮ Buat rangkaian multiplekser 2-masukan

◮ Yang akan kita pelajari di pertemuan berikutnya adalah

penyederhanaan fungsi logika menggunakan peta Karnaugh untuk memperoleh rangkaian yang optimal

◮ Pelajari:❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴✷✵✶✼✴✵✸✴✵✻✴

(72)

Lisensi

Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0)

◮ _{Anda bebas:}

◮ untukMembagikan— untuk menyalin, mendistribusikan, dan

menyebarkan karya, dan

◮ _untuk_Remix_{— untuk mengadaptasikan karya}

◮ _{Di bawah persyaratan berikut:}

◮ _Atribusi_{— Anda harus memberikan atribusi karya sesuai dengan}

cara-cara yang diminta oleh pembuat karya tersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi. Atribusi yang dimaksud adalah mencantumkan alamat URL di bawah sebagai sumber.

◮ _{Pembagian Serupa}_{— Jika Anda mengubah, menambah, atau}

membuat karya lain menggunakan karya ini, Anda hanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya dengan lisensi yang sama, serupa, atau kompatibel.

◮ _Lihat:_{Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License}