ALJABAR BOOLEAN
Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
-Definisi
-AB dua-nilai
Pendahuluan
Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan
oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854.
Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB
untuk rangkaian sirkuit yg meneriman masukkan 0 dan 1 dan keluaran juga 0 dan 1.
AB telah menjadi dasar teknologi komputer digital. Penggunaan : rangkaian pensaklaran, rangkaian
Definisi
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner + dan , dan sebuah operator uner ’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda
dari B. Maka, tupel (B, +, , ’) disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut :
Definisi Aljabar Boolean ….
1. Closure: (i) a + b B (hasil operasi + tetap berada di dalam B)
(ii) a b B (hasil operasi tetap berada di dalam B)
2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a 1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a b = b a 4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) (ii) a + (b c) = (a + b) (a + c)
5. Komplemen: Untuk setiap a B terdapat elemen unik a’ B sehingga
(i) a + a’ = 1 (ii) a a’ = 0
Definisi Aljabar Boolean ….
Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang di dalam B. Kedua elemen unik dapat berbeda-beda pada
beberapa aljabar Boolean (misalnya dan U pada himpunan, F dan T pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai dua buah
elemen unik yang berbeda.
Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1 disebut elemen unit.
Operator (+) disebut operator penjumlahan, ( ) disebut operator perkalian, dan ( ’ ) disebut operator komplemen.
Definisi Aljabar Boolean ….
Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan
aljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil:
1. Hukum distributif yang pertama,
a (b + c) = (a b) + (a c),
sudah dikenal di dalam aljabar biasa, tetapi hukum distributif yang kedua, a + (b c) = (a + b) (a + c),
benar untuk aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.
Definisi Aljabar Boolean ….
2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian
(multiplicative inverse) dan kebalikan penjumlahan; karena itu, tidak ada operasi pembagian dan
pengurangan.
3. Aksioma nomor 5 mendefinisikan operator yang
dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.
Definisi Aljabar Boolean ….
4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil
dengan elemen yang tidak berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan
himpunan elemen B yang sampai sekarang belum
didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua-nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya dua nilai yaitu 0 dan 1.
Definisi Aljabar Boolean ….
Hal lain yang penting adalah membedakan elemen
himpunan dan peubah (variable) pada sistem aljabar.
Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen
himpunan bilangan riil adalah angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, c, dan sebagainya.
Dengan cara yang sama pada aljabar Boolean,
orang mendefinisikan elemen-elemen himpunan dan peubah seperti x, y, z sebagai simbol-simbol yang merepresentasikan elemen.
Definisi Aljabar Boolean ….
Berhubung elemen-elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas menentukan anggota-anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, orang harus
memperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner dan
operator uner,
3. himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut,
memenuhi postulat Huntington.
Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka aljabar yang didefinisikan dapat dikatakan sebagai aljabar Boolean.
Definisi Aljabar Boolean ….
Contoh 1
Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} adalah pembagi dari 60. Tunjukkan cara membentuk B menjadi sebuah aljabar Boolean.
Penyelesaian:
Elemen-elemen himpunan B sudah didefinisikan. Sekarang kita tentukan kaidah operasi operator +, , dan ’.
Misalkan kita definisikan
a + b = KPK(a, b) = kelipatan persekutuan terkecil a b = PBB(a, b) = pembagi bersama terbesar
Definisi Aljabar Boolean ….
Maka sekarang kita tunjukkan apakah B
bersama-sama dengan kedua operator biner dan operator uner memenuhi postulat Huntington.
Ketertutupan (closure):
jelas berlaku karena setiap operasi + dan terhadap
elemen-elemen himpunan B selalu menghasilkan nilai yang terletak di dalam B. Misalnya: 3 + 4 = KPK(3, 4) = 12, 3 4 = PBB(3, 4) = 1, 3’ = 60/3 = 20, 15 + 60 = KPK(15, 60) = 60, 15 60 = PBB(15, 60) = 15, dan lain-lain.
Definisi Aljabar Boolean ….
Identitas:
1 adalah elemen identitas untuk operasi penjumlahan dan 60 adalah elemen identitas untuk operasi
perkalian, karena
(i) a + 1 = KPK(a, 1) = a (1 sebagai elemen zero) (ii) a 60 = PBB(a, 60) = a (60 sebagai elemen unit)
Definisi Aljabar Boolean ….
Komutatif:
jelas berlaku karena
(i) a + b = b + a = KPK(a, b) (ii) a b = b a = PBB(a, b)
Definisi Aljabar Boolean ….
Distributif:
jelas berlaku karena (ditunjukkan dengan contoh)
(i) 20 (3 + 5) = PBB(30, KPK(3, 5)) = PBB(20, 15) = 5
(20 3) + (20 5) = KPK(PBB(20, 3), PBB(20, 5)) = KPK(1, 5) = 5 (ii) 20 + (3 5) = KPK(20, PBB(3, 5)) = KPK(20, 1) = 20
Definisi Aljabar Boolean ….
Komplemen:
jelas berlaku karena
(i) a + a’ = KPK(a, 60/a) = 60 (ii) a a’ = PBB(a, 60/a) = 1
Kesimpulan :
Oleh karena semua postulat Huntington dipenuhi, maka
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} yang
didefinisikan pada operator biner + dan , dan
Mengingat B tidak ditentukan
anggota-anggotanya, maka kita dapat membentuk sejumlah tidak berhingga aljabar Boolean.
Pada aljabar Boolean terhingga, banyaknya
anggota B terbatas, tetapi paling sedikit
beranggotakan dua buah elemen karena (menurut definisi) di dalam B harus terdapat dua elemen
yang berbeda.
Aljabar Boolean yang terkenal dan memiliki
terapan yang luas adalah aljabar Boolean dua-nilai (two-valued Boolean algebra).
Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada
sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit – singkatan dari binary digit), yaitu B = {0, 1}, operator biner + dan , operator uner ’.
Kaidah untuk operator biner dan operator uner
ditunjukkan pada tabel di bawah ini :
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
a b a b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 a b a + b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 a a’ 0 1 1 0
Kita harus memperlihatkan bahwa postulat Huntington benar untuk himpunan B = {0, 1} dengan dua operator biner dan satu operator uner yang didefinisikan di
atas:
Closure :
jelas berlaku karena dari tabel terlihat hasil tiap operasi
adalah 1 atau 0 B.
Identitas:
jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 0 = 0 1 = 0
yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1 seperti yang didefinisikan pada postulat Huntington.
Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel
operator biner.
Distributif:
a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar
dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran untuk semua nilai yang mungkin dari
a, b, dan c.
Oleh karena nilai-nilai pada kolom a (b + c) sama dengan nilai-nilai pada kolom (a b) + (a c), maka
kesamaan (a b) + (a c) = (a b) + (a c) adalah benar.
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
a b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat
ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
Komplemen:
jelas berlaku karena tabel memperlihatkan bahwa:
(i) a + a’ = 1,
karena 0 + 0’ = 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’ = 1 + 0 = 1 (ii) a a’ = 0,
karena 0 0’ = 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Postulat 6 dipenuhi karena aljabar Boolean dua-nilai
memiliki dua buah elemen yang berbeda 1 dan 0 dengan 1 0.
Karena keenam postulat Huntington dipenuhi,
maka terbukti bahwa B = {0, 1}
bersama-sama dengan operator biner + dan
operator
komplemen ’ merupakan aljabar Boolean.
Aljabar Boolean dua-nilai mempunyai terapan
yang sangat luas dalam bidang elektronika,
khususnya pada perancangan sirkuit di dalam
komputer. Beberapa terapan lainnya juga
ditemukan di bidang teknik sipil, teknik mesin,
dan sebagainya.
