BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Identifikasi Variabel Prediktor pada Model MGWR
Setiap variabel prediktor pada model MGWR akan diidentifikasi terlebih dahulu untuk mengetahui variabel prediktor yang berpengaruh secara global maupun variabel prediktor yang berpengaruh secara lokal. Untuk mengidentifikasi variabel prediktor dilakukan pengujian pengaruh lokasi terhadap setiap variabel prediktor (Mei dkk, 2004) pengujian ini ditunjukkan dengan hipotesis berikut:
(variabel bersifat global)
Tidak semua adalah sama (variabel bersifat lokal) Langkah-langkah yang dilakukan untuk menguji hipotesis adalah menentukan varians sampel dari yang dinotasikan sebagai berikut :
(4.1)
Misalkan dan adalah matriks satuan yang berdimensi , maka persamaan (4.1) diperoleh
(4.2)
Dibawah kondisi , asumsikan bahwa mean dari estimasi parameter yang bersesuaian adalah sama, yaitu
(4.3) dari persamaan (4.3) dapat dituliskan
(4.4)
dengan adalah vektor kolom satuan. Dari persamaan (4.4) dengan fakta bahwa dan , maka persamaan (4.2) diperoleh
(4.5) Selanjutnya, menyusun kembali estimator parameter model GWR dari persamaan (2.8) sebagai berikut :
(4.6) Persamaan (4.6) adalah estimasi dari vektor koefisien di lokasi . Nilai
estimasi dari koefisien ke- pada di lokasi dimana data diamati
adalah
(4.7) dengan adalah vektor kolom berdimensi p yang bernilai satu untuk elemen ke-k dan nol untuk lainnya, maka persamaan (4.7) dapat dijabarkan sebagai berikut
dengan , sehingga diperoleh
(4.8)
dengan
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.8) ke persamaan (4.5), maka diperoleh
(4.9)
dengan dan adalah matriks semi definit positif.
Langkah selanjutnya adalah mencari ekspektasi dari sebagai berikut :
(4.10)
dengan sehingga dari persamaan (4.10) diperoleh estimator untuk sebagai berikut :
(4.11)
Persamaan (4.11) adalah estimator tak bias bagi .
Distribusi dari dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Misalkan adalah bentuk kuadratik dari variabel normal standart dimana dan adalah matriks simetri dengan rank , maka berdistribusi chi-square dengan derajat bebas jika dan hanya jika adalah matriks yang idempotent (Rencher, 2000). Dari persamaan (4.9), kita ketahui bahwa juga merupakan bentuk kuadratik dari variabel normal dengan adalah matriks simetri dan semi definit positif. Jika dibagi dengan maka persamaan (4.9) menjadi
(4.12)
Distribusi dari , tetapi matriks bukan matriks yang idempoten karena mengandung matriks pembobot yang memiliki nilai berbeda-beda di setiap lokasinya. Oleh karena itu tidak berdistribusi chi- square .
Terdapat beberapa pendekatan yang dapat digunakan untuk mengetahui distribusi bentuk kuadratik dari variabel normal dimana matriks simetri tetapi bukan matriks idempoten. Salah satu metode yang digunakan untuk mengetahui distribusi bentuk kuadratik ini adalah dengan menggunakan teorema 2.4. Dari persamaan (4.12) dengan menggunakan teorema 2.8 diperoleh
dengan rata-rata dan varians ; . Dari persamaan (4.10) diperoleh
Sehingga rata-ratanya adalah .
Diketahui bahwa
dan adalah matriks simetri dan semi definit positif . Jika adalah matriks orthogonal berordo n berdasarkan teorema 2.2 maka diperoleh
(4.13) dengan adalah nilai-nilai eigen dari matriks .
Misalkan
dimana adalah variabel acak yang berdistribusi iid . Sehingga tranformasi orthogonal
persamaan (4.12) diperoleh
, dengan (4.13) maka
Karena maka dengan rata-rata 1 dan . Sehingga varians dari adalah
(4.14)
Karena adalah nilai eigen dari matriks maka nilai
adalah nilai eigen dari matriks sehingga persamaan (4.14) menjadi
(4.15)
, dengan
Jika suatu variabel acak berdistribusi maka rata-rata dan varians variabel acak tersebut adalah dan . Dengan teorema 2.4 diperoleh variabel acak dengan rata-rata dan variansnya . Akibatnya diperoleh
(4.16)
(4.17) Persamaan (4.16) disubtitusikan ke persamaan (4.17) sehingga diperoleh
Sedangkan nilai r adalah sebagai berikut :
Sehingga
(4.18)
dengan derajat bebas adalah pembulatan ke atas dari .
Langkah selanjutnya adalah mendapatkan statistik uji dengan mendapatkan dibawah , yaitu dengan mendapatan pada model GWR yang dapat dilakukan dengan mengkuadratkan jumlah kuadrat error pada persamaan (2.12) sehingga menjadi
(4.19)
Berdasarkan asumsi pada model GWR diperoleh
(4.20)
Sedangkan varians dari errornya adalah
, karena
(4.21)
Sehingga dengan mensubtitusikan persamaan (4.20) pada persamaan (4.19), maka diperoleh
(4.22)
Langkah selanjutnya adalah mencari ekspektasi dari sebagai berikut
(4.23)
Dengan cara yang sama seperti pada saat menentukan distribusi dari pada persamaan (4.10) maka diperoleh bahwa
(4.24)
dengan derajat bebas adalah pembulatan ke atas dari dan
Jika adalah benar berdasarkan data yang diberikan, maka nilai akan sama dengan nilai . Akibatnya ukuran akan mendekati satu. Sebaliknya, jika salah maka maka nilainya semakin kecil (Leung dkk, 2000a). Oleh karena itu dibentuk statistik uji sebagai berikut
(4.25)
Jika nilai menghasilkan nilai yang relatif kecil, maka dapat dikatakan variabel prediktor bersifat lokal. Sebaliknya, jika nilai menghasilkan nilai yang relatif besar, maka dapat dikatakan variabel prediktor pada model bersifat global. Berdasarkan Teorema 2.10, berdistribusi F dengan derajat bebas
dan . Jika diberikan taraf nyata maka keputusan diambil dengan menolak jika nilai .
Algoritma program untuk mengidentifikasi variabel prediktor model MGWR dalam software S-Plus 2000 adalah sebagai berikut :
a. Mendefinisikan variabel respon dan variabel prediktor .
b. Menghitung jarak Euclid , dengan . c. Menentukan matriks pembobot dari fungsi kernel gauss lokasi ke-i,yaitu
d. Menentukan pembobot tanpa pengamatan pada lokasi ke-i adalah matrik diagonal yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-i dari matrik .
e. Menentukan matrik dengan menghapus baris ke-i dari matrik . f. Menentukan vektor dengan menghapus baris ke-i dari vektor . g. Menghitung . h. Menghitung .
i. Menentukan bandwidth yang optimal dari lokasi ke-i dengan metode Cross Validation (CV), yaitu .
j. Menentukan matriks pembobot dari fungsi kernel gauss lokasi ke-i dengan menggunakan bandwidth optimal ,yaitu
j. Merumuskan hipotesis
Tidak semua adalah sama k. Menghitung
dengan
l. Menghitung dan m. Menghitung
dengan
n. Menghitung dan o. Menghitung statistik uji
kaidah keputusan : ditolak jika
p. Mendapatkan variabel prediktor yang berpengaruh global dan variabel prediktor yang berpengaruh lokal.
4.2 Estimasi Model MGWR
Estimasi model MGWR dilakukan setelah mengidentifikasi variabel global dan variabel lokal pada model MGWR. Model MGWR persamaan (2.17) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
(4.26)
dengan
: matriks variabel prediktor yang bersifat global
: vektor parameter variabel prediktor yang bersifat global : matriks variabel prediktor yang bersifat lokal
: vektor parameter variabel prediktor yang bersifat lokal
, dan
Persamaan (4.26) dapat dituliskan dalam bentuk GWR sebagai berikut :
(4.27)
dengan asumsi
Dengan menggunakan teknik estimasi seperti model GWR, parameter dalam model (4.27) diestimasi secara lokal dengan menggunakan metode Weighted Least Square (WLS) dengan memberikan pembobot di setiap lokasi adalah fungsi jarak dari ke lokasi lain dimana pengamatan tersebut dilakukan. Misalkan pembobot di lokasi adalah , , maka estimasi parameter di lokasi diperoleh dengan meminimumkan fungsi
(4.28)
dengan mendefinisikan matriks pembobot
maka dari persamaan (4.27) dan persamaan (4.28) diperoleh
Syarat perlu agar fungsi Q mencapai nilai minimum adalah 0
Sehingga estimator bagi parameter di lokasi pada model MGWR adalah
(4.29) Misalkan adalah elemen baris ke–i dari matriks
, maka nilai penduga untuk pada dapat diperoleh dengan cara berikut :
Sehingga untuk seluruh pengamatan dapat dituliskan sebagai berikut :
(4.30)
dengan
Dengan mensubstitusikan ke persamaan (4.27), maka diperoleh = +
= +
= =
Untuk mengestimasi parameter digunakan metode Ordinary Least Square (OLS) sebagai berikut :
Jika persamaan diturunkan terhadap dan hasilnya disamadengankan nol maka diperoleh :
Sehingga estimator parameter bagi adalah
(4.31) Dengan mensubstitusikan ke persamaan (4.29) maka didapatkan estimator bagi parameter di lokasi adalah
(4.32) Sehingga persamaan (4.30) menjadi sebagai berikut
(4.33)
Misalkan adalah vektor penduga nilai pada lokasi, sehingga diperoleh estimasi model MGWR sebagai berikut
(4.34)
dengan penduga dari vektor erornya adalah
(4.35)
Setelah diperoleh estimator dan maka akan dicari sifat-sifat dari estimator tersebut. Untuk menunjukkan sifat dari estimator diperoleh dengan cara sebagai berikut :
Ini menunjukkan bahwa merupakan estimator tak bias untuk . Matriks varians covarians dari adalah sebagai berikut :
dengan (4.36) Selanjutnya akan ditunjukkan sifat dari estimator sebagai berikut :
Ini menunjukkan bahwa merupakan estimator tak bias untuk . Untuk menentukan matriks varians covarians , maka dengan menggunakan pada persamaan (4.31) dan pada persamaan (4.35) diperoleh
sehingga,
dengan (4.37)
Algoritma program untuk estimasi model MGWR dalam software S-Plus 2000 adalah sebagai berikut :
a. Menentukan variabel respon , variabel prediktor yang berpengaruh lokal , dan variabel prediktor yang berpengaruh global .
b. Menentukan bandwidth optimal
b. Menghitung jarak Euclid , dengan . c. Menentukan matriks pembobot dari fungsi kernel gauss lokasi ke-i dengan
menggunakan bandwidth optimal ,yaitu
d. Menghitung ,
dengan
e. Menghitung
f. Menghitung g. Menghitung estimasi model MGWR :
dengan
4.3 Inferensi Model MGWR
Pengujian parameter model dilakukan dengan uji signifikansi parameter.
Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui parameter mana saja yang signifikan berpengaruh terhadap variabel respon.
4.3.1 Uji Parsial Parameter Variabel Global Model MGWR
Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui variabel global yang berpengaruh signifikan terhadap variabel respon pada model MGWR. Uji parsial parameter variabel global menggunakan hipotesis sebagai berikut:
(variabel global tidak signifikan) (variabel global signifikan)
Oleh karena pada persamaan (4.31) akan mengikuti distribusi normal dengan rata-rata dan matriks varians covarian , dengan seperti pada persamaan (4.36) maka dengan teorema limit pusat diperoleh
(4.38)
dengan adalah elemen diagonal ke- dari matriks .
Langkah selanjutnya adalah mendapatkan Sum Square Error (SSE) pada model MGWR yang dapat dilakukan dengan mengkuadratkan kuadrat eror pada persamaan (4.35) sehingga menjadi
(4.39)
Berdasarkan asumsi pada model MGWR diperoleh
(4.40)
Sedangkan varians dari errornya adalah
, karena
(4.41)
Sehingga dengan menstubstitusikan persamaan (4.40) pada persamaan (4.39), maka diperoleh
(4.42)
Langkah selanjutnya adalah mencari ekspektasi
(4.43)
Dengan cara yang sama seperti pada saat menentukan distribusi dari pada persamaan (4.10) maka diperoleh bahwa
(4.44)
dengan derajat bebas adalah pembulatan ke atas dari dan
Berdasarkan persamaan (4.38) dan persamaan (4.44) diperoleh statistik uji sebagai berikut :
(4.45)
Dibawah hipotesis benar, maka dari (4.45) diperoleh :
(4.46) (4.65)
Jika diberikan taraf nyata , maka keputusan diperoleh berdasarkan daerah kritis menolak jika nilai .
Dari persamaan (4.46) diperoleh selang kepercayaan bagi adalah :
Sehingga selang kepercayaan bagi parameter adalah
(4.47)
Algoritma program untuk uji parsial parameter variabel global model MGWR dalam software S-Plus 2000 adalah sebagai berikut :
a. Menentukan variabel respon , variabel prediktor yang berpengaruh lokal , dan variabel prediktor yang berpengaruh global .
b. Menentukan bandwidth optimal
c. Menghitung jarak Euclid , dengan . d. Menentukan matriks pembobot dari fungsi kernel gauss lokasi ke-i dengan
menggunakan bandwidth optimal ,yaitu
e. Menghitung ,
dengan
f. Menghitung ,
dengan g. Menghitung dan
h. Merumuskan hipotesis
(variabel global tidak signifikan) (variabel global signifikan)
i. Menghitung dan adalah elemen diagonal ke-k dari matriks ,
dengan j. Menghitung statistik uji
kaidah keputusan : ditolak jika
k. Menghitung selang kepercayaan bagi
4.3.2 Uji Parsial Parameter Variabel Lokal Model MGWR
Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui variabel lokal yang berpengaruh signifikan terhadap variabel respon pada model MGWR. Uji parsial parameter variabel lokal menggunakan hipotesis sebagai berikut :
(variabel lokal pada lokasi ke-i tidak signifikan) (variabel lokal pada lokasi ke-i signifikan)
Oleh karena dalam persamaan (4.32) berdistribusi normal dengan rata-rata dan matriks covarian , dengan seperti pada persamaan (4.37) maka dengan teorema limit pusat diperoleh
(4.48)
dengan adalah elemen diagonal ke-k dari matriks . Dari persamaan (4.44) diketahui berdistribusi chi-square dengan derajat bebas
, sehingga diperoleh :
(4.49)
Dibawah hipotesis benar, maka dari (4.49) diperoleh :
(4.50)
Jika diberikan taraf nyata , maka keputusan diperoleh berdasarkan daerah kritis menolak jika nilai .
Dari persamaan (4.50) diperoleh selang kepercayaan bagi adalah :
Sehingga selang kepercayaan bagi parameter adalah
(4.51)
Algoritma program untuk uji parsial parameter variabel lokal model MGWR dalam software S-Plus 2000 adalah sebagai berikut :
a. Menentukan variabel respon , variabel prediktor yang berpengaruh lokal , dan variabel prediktor yang berpengaruh global .
b. Menentukan bandwidth optimal
b. Menghitung jarak Euclid , dengan . c. Menentukan matriks pembobot dari fungsi kernel gauss lokasi ke-i dengan
menggunakan bandwidth optimal ,yaitu
d. Menghitung ,
dengan
e. Menghitung
f. Menghitung g. Menghitung ,
dengan h. Menghitung dan
i. Merumuskan hipotesis
(variabel lokal pada lokasi ke-i tidak signifikan) (variabel lokal pada lokasi ke-i signifikan)
j. Menghitung dan adalah elemen diagonal ke-k dari matriks , dengan
j. Menghitung statistik uji
kaidah keputusan : ditolak jika
k. Menghitung selang kepercayaan bagi
4.4 Penerapan Model MGWR 4.4.1 Sumber Data
Data yang digunakan untuk penerapan model MGWR adalah data sekunder yang diperoleh dari buku yang berjudul Hasil Susenas 2009 Provinsi Jawa Timur Badan Pusat Statistik (Lampiran 1). Data tersebut diperoleh dari dengan jumlah lokasi yang diamati sebanyak 38 lokasi. Variabel respon adalah persentase penduduk miskin di provinsi Jawa Timur tahun 2009 dan variabel prediktornya meliputi persentase penduduk yang tamat SD/MI , persentase penduduk usia 10 tahun ke atas yang tidak bisa baca tulis huruf , persentase rumah tangga yang status rumah yang ditempati bukan milik sendiri , persentase rumah tangga yang jenis dinding terluas rumahnya bukan tembok/kayu/bambu , persentase rumah tangga yang tidak mempunyai fasilitas tempat buang air besar , persentase penduduk yang pengangguran
, persentase rumah tangga yang mendapatkan Askeskin , persentase rumah tangga mendapatkan pelayanan kesehatan gratis , persentase rumah tangga yang pernah membeli beras murah/raskin , dan persentase penduduk yang bekerja di sektor pertanian .
4.4.2 Analisis Hasil Penerapan Data
Langkah pertama untuk menganalisis data dengan MGWR adalah menentukan bandwidth optimal berdasarkan koordinat lokasi pengamatan dengan menggunakan metode CV (program lihat pada Lampiran 2). Berdasarkan output pada Lampiran 3, diperoleh CV minimum sebesar 3432,05307011615 pada saat nilai bandwidth sebesar 0,11. Setelah mendapatkan nilai bandwidth optimal, selanjutnya adalah mendapatkan matriks pembobot setiap lokasi dengan menggunakan pembobot fungsi kernel gauss dengan mencari jarak euclid lokasi terhadap seluruh lokasi pengamatan.
Langkah kedua yang dilakukan adalah mengidentifikasi variabel prediktor mana yang berpengaruh global dan variabel prediktor yang berpengaruh secara lokal pada model MGWR, maka dilakukan pengujian pengaruh lokasi terhadap setiap variabel prediktor (program lihat pada Lampiran 4). Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut :
(variabel bersifat global )
Tidak semua adalah sama (variabel bersifat lokal)
Hasil pengolahan data untuk identifikasi variabel prediktor pada Lampiran 5 menunjukkan bahwa dengan tingkat signifikan 5% diperoleh sebagai berikut:
Tabel 4.1 Identifikasi variabel prediktor model MGWR
Variabel x ke- Fhitung Falpha Keputusan Kesimpulan 1 2
3 4 5 6 7 8 10 9
8,1758017 5,2231985 7,5596768 4,9693182 21,4128111 11,5524809 11,3290735 9,9503076 14,3745052 4,9148712
10,6685623 10,9324049 10,9252270 10,8456200 10,5673088 10,7001810 10,6630196 10,7223755 10,5885767 10,7725997
Terima H0
Terima H0
Terima H0
Terima H0
Tolak H0
Tolak H0
Tolak H0
Terima H0
Tolak H0
Terima H0
Global Global Global Global Lokal Lokal Lokal Global Lokal Global Berdasarkan Tabel 4.1 diperoleh variabel prediktor yang berpengaruh
secara global adalah dan variabel prediktor yang berpengaruh secara lokal adalah Karena tidak semua variabel prediktor berpengaruh secara lokal, tetapi sebagian berpengaruh secara global maka data presentase penduduk miskin di provinsi Jawa Timur tahun 2009 beserta variabel prediktor yang mempengaruhinya memenuhi model Mixed Geographically Weighted Regressiom (MGWR). Sehingga diperoleh model MGWR sebagai berikut :
Langkah selanjutnya adalah uji signifikansi variabel global untuk mengetahui variabel global mana yang berpengaruh signifikan terhadap respon
(program lihat pada Lampiran 8). Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut :
( variabel global tidak signifikan ) ( variabel global signifikan )
Hasil pengolahan data untuk uji parsial parameter variabel global pada Lampiran 9 menunjukkan bahwa dengan tingkat signifikan 5% diperoleh sebagai berikut:
Tabel 4.2 Uji parsial parameter variabel global pada model MGWR
Variabel x ke- thitung Keputusan Kesimpulan 1 2
3 4 10 8
0,3311379 0,2280765 -0,5770533 0,0639198 -0,4853199 1,6030208
3,5754920 0,8097202 -3,3190934 0,8720306 -1,7281741 2,9287015
Tolak H0
Terima H0
Tolak H0
Terima H0
Terima H0
Tolak H0
Signifikan Tidak Signifikan Signifikan Tidak Signifikan Tidak Signifikan Signifikan
Berdasarkan Tabel 4.2 dapat disimpulkan bahwa variabel global yang
berpengaruh signifikan terhadap persentase penduduk miskin di provinsi Jawa Timur tahun 2009 adalah persentase penduduk yang tamat SD/MI , persentase rumah tangga yang status rumah yang ditempati bukan milik sendiri , dan persentase penduduk yang bekerja di sektor pertanian .
Sedangkan untuk mengetahui variabel lokal mana yang berpengaruh signifikan terhadap respon maka dilakukan uji signifikansi variabel lokal secara parsial (program lihat pada Lampiran 8) dengan hipotesis sebagai berikut :
( variabel lokal pada lokasi ke-i tidak signifikan )
( variabel lokal pada lokasi ke-i signifikan )
Hasil pengolahan data (Lampiran 9) menunjukkan bahwa dengan tingkat signifikan 5% diperoleh variabel lokal yang signifikan pada masing-masing kabupaten/kota di provinsi Jawa Timur sebagai berikut :
Tabel 4.3 : Variabel lokal yang signifikan
Kab/Kota Variabel Signifikan Kabupaten
Pacitan Ponorogo Trenggalek Tulungagung Blitar
Kediri Malang Lumajang Jember Banyuwangi Bondowoso Situbondo Probolinggo Pasuruan Sidoarjo Mojokerto Jombang Nganjuk Madiun Magetan Ngawi Bojonegoro Tuban Lamongan Gresik Bangkalan Sampang Pamekasan Sumenep Kota Kediri Blitar Malang Probolinggo Pasuruan
- - -
- -
-
- -
Mojokerto Madiun Surabaya Batu
-
Dari hasil pengolahan data, masing-masing kabupaten/kota di provinsi
Jawa Timur akan memiliki model MGWR yang berbeda-beda yang bergantung pada variabel prediktor yang signifikan terhadap variabel respon. Berdasarkan output pada Lampiran 7 kita dapat mengetahui koefisien masing-masing variabel global dan lokal yang signifikan mempengaruhi variabel respon. Misalkan pada lokasi pengamatan ke-37, yaitu kota Surabaya, model MGWR yang dihasilkan adalah sebagai berikut :
0,3311379 0,5770533 0,5256012
0,4801993 1,6030208
Model MGWR di kota Surabaya tersebut dapat diinterprestasikan bahwa setiap kenaikan kenaikan persentase penduduk yang tamat SD/MI sebesar 1 satuan maka persentase penduduk miskin di kota Surabaya tahun 2009 akan bertambah sebesar 0,3311379 persen dengan menganggap variabel tetap.
