Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

(1)

MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra Gunawan

Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014

12 Februari 2014

(2)

Bab Sebelumnya Bab Sebelumnya

8 Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar 8. Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar 8.1 Bentuk Tak Tentu 0/0

8 2 k k i

8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya

8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga 8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran Tak

Terbatas

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 2

(3)

BAB 9. DERET TAK TERHINGGA

MA1201 MATEMATIKA 2A

BAB 9. DERET TAK TERHINGGA

(4)

Sasaran Kuliah Hari Ini Sasaran Kuliah Hari Ini

9 1 Barisan Tak Terhingga 9.1 Barisan Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan, bila mungkin menghitung limitnya

bila mungkin, menghitung limitnya 9.2 Deret Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya

(5)

9.1 BARISAN TAK TERHINGGA

MA1201 MATEMATIKA 2A

9.1 BARISAN TAK TERHINGGA

Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan bila mungkin menghitung limitnya

dan, bila mungkin, menghitung limitnya

(6)

Mengapa Barisan Tak Terhingga Mengapa Barisan Tak Terhingga

Masih ingatkah dgn Metode Bagi Dua untuk mendapatkan hampiran akar dari suatu per‐

samaan f(x) = 0 pada suatu selang?

Pada setiap langkah, kita membagi dua selang dan menaksir akar persamaan itu dengan titik dan menaksir akar persamaan itu dengan titik tengah selang tersebut.

Dengan metode ini kita dapatkan barisan titik‐

Dengan metode ini, kita dapatkan barisan titik‐

titik tengah selang x₁, x₂, x₃, … yang merupakan hampiran akar persamaan

hampiran akar persamaan.

(7)

Apa itu Barisan Tak Terhingga Apa itu Barisan Tak Terhingga

Barisan tak terhingga, atau singkatnya barisan, dari bilangan real, adalah suatu fungsi dengan daerah asal N dan daerah nilai R, yang biasanya disajikan sebagai {a_n} atau

a₁, a₂, a₃, … a₁, a₂, a₃, …

dengan a_n R untuk setiap n N.

Contoh 1: Barisan {2n – 1} adalah barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, …

(8)

Contoh Lagi Contoh Lagi

2 Barisan {(‐1)ⁿ} adalah barisan bilangan ‐1 1 2. Barisan {( 1) } adalah barisan bilangan 1, 1,

‐1, 1, ‐1, 1, …

Catatan: Bedakan antara barisan {( 1)ⁿ} dan Catatan: Bedakan antara barisan {(‐1)ⁿ} dan himpunan {(‐1)ⁿ : n N} = {‐1, 1}.

3 B i { } did fi i ik d

3. Barisan {a_n} yang didefinisikan dengan rumus rekursif: a₁ = 1 dan

a_n+1= 0.5(a_n+ 2), untuk n = 1, 2, 3, … adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, … g , , ,

(9)

“Grafik” Barisan (1) Grafik Barisan (1)

Barisan dapat kita plot pada bidang koordinat Barisan dapat kita plot pada bidang koordinat

x₃ x₄ x₅

x₁ x₂

1 2 3 4 5

(10)

“Grafik” Barisan (2) Grafik Barisan (2)

Barisan dapat kita plot pada garis bilangan real Barisan dapat kita plot pada garis bilangan real

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

Contoh: {1/n}

1/4 1/3 1/2 1

0

(11)

Kekonvergenan Barisan Kekonvergenan Barisan

Diberikan suatu barisan {a } apa yang terjadi Diberikan suatu barisan {a_n}, apa yang terjadi bila n  ∞?

Definisi: Barisan {a } dikatakan konvergen ke Definisi: Barisan {a_n} dikatakan konvergen ke suatu bilangan L, ditulis

, lim a

_n

L

n







apabila untuk tiap ε > 0 terdapat N N sehingga









 N a L

n

 .





 N a L

n

_n

(12)

Catatan. Tidak semua barisan konvergen. g

Barisan yang tidak konvergen disebut divergen.

Contoh:

{ / } k k k

1. Barisan {1/n} konvergen ke 0, yakni

0 lim

¹





 n n

Untuk tiap ε > 0, dapat dipilih N > 1/ε sehingga jika n ≥ N, maka



 n

gg j ,

.

0

¹ ¹

1

 

_n



_N

 

n

(13)

2. Barisan {(‐1){( ) }ⁿ} merupakan barisan yang p y g divergen, yakni: untuk tiap L R,

) 1 (

lim 

ⁿ

 L

Sebagai contoh, untuk L = 1, ada ε = 1

. )

1 (

lim L

n

 





g , ,

sehingga berapapun N N yang kita pilih, selalu ada bilangan ganjil n ≥ N sehinggag g j gg

I i j kk b h

. 2

1 )

1 ( 

ⁿ

   

Ini menunjukkan bahwa

. 1 )

1 (

lim  





n n



 n

(14)

9.1b Beberapa Teorema Bantuan 9.1b Beberapa Teorema Bantuan untuk Memeriksa Kekonvergenan B i d M hit Li it

Barisan dan Menghitung Limitnya

(15)

Teorema Limit Barisan Teorema Limit Barisan

Misalkan {a_n_n} dan {b_n_n} barisan yang konvergen, dan k konstanta. Maka

1

lim

k



k 1.

2.

lim

ka_n

 lim

k a_n k

n k





lim



3.

n n

n n 

n n n n

n

n an b a b













(  )  lim  lim lim

4. _n

n n n n

n anb a b













 lim  lim lim

0 li

li

^a ^{lim a}ⁿ lk b 5.

. 0 lim

,

lim 

_lim









 _



n n b

b a

n asalkan b

n n n n

n n

(16)

Teorema Limit Barisan Teorema Limit Barisan

Jika

lim

f

(

x

) 

L

,

maka

lim

f

(

n

) 

L

.

n x

L

1 2 3 4 5 6

(17)

Contoh:

1.

lim

₂ ₃

 lim

₂_¹₃_/



_lim ₂_^lim₃__lim¹ ₁_/



₂_¹₃_₀



¹₂

.



 



 _ _



n n n

n n

n _n _n

n

2.

lim ...

1 3

2 4

3

2 _







 n n n n

3.



 n

...

lim

n



n



 eⁿ n

(18)

Teorema Apit untuk Barisan Teorema Apit untuk Barisan

Jika a_n ≤ b_n ≤ c_n untuk n ≥ K (K N tertentu) dan maka

, lim

lim

a_n



c_n_n



L

, lim

b_n



L

.

n n

n  n

n

(19)

Contoh: 1.

lim

^sin_nⁿ

 0 ,

karena



_n¹



^sin_nⁿ



_n¹ dan

n n

n n n

. 0 lim

¹





n n

2. Jika karena

N

, 0 lim

, 0

lim  







 n

n n

n a maka a







a a n

a

   

_N.



a_n a_n a_n n

(20)

Barisan Monoton Barisan Monoton

Barisan {a } dikatakan naik apabila a ≤ a ₁ Barisan {a_n} dikatakan naik apabila a_n ≤ a_n+1 untuk setiap n N.

Barisan {a } dikatakan turun apabila a ≥ a

Barisan {a_n} dikatakan turun apabila a_n ≥ a_n+1 untuk setiap n N.

B i ik di b b i

Barisan naik atau turun disebut barisan monoton.

Contoh: {1/n} turun, sedangkan {2{ / } , g { }ⁿ} naik.

(21)

Teorema Barisan Monoton Teorema Barisan Monoton

Jika barisan {a } naik dan terbatas di atas yakni Jika barisan {a_n} naik dan terbatas di atas, yakni terdapat M R sehingga a_n≤ M untuk tiap n N, maka {a } konvergen

maka {a_n} konvergen.

Jik b i { } d b di b h

Jika barisan {a_n} turun dan terbatas di bawah, yakni terdapat m R sehingga apabila m ≤ a_n

k i N k { } k

untuk tiap n N, maka {a_n} konvergen.

(22)

Contoh/Latihan Contoh/Latihan

Barisan {a_n_n} yang didefinisikan dengan rumus rekursif: a₁ = 1 dan

a_n+1= 0.5(a_n+ 2), untuk n = 1, 2, 3, … adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, … . Buktikan bahwa barisan ini naik dan terbatas di atas.

Jelas bahwa a₂= 1.5 > 1 = a₁. Selanjutnya misalkan

a_k+1≥ a_k. Maka, a_k+2= 0.5(a_k+1+ 2) ≥ 0.5(a_k + 2) = a_k+1. Jadi, berdasarkan Prinsip Induksi Matematika*,

a_n+1≥ a_n untuk tiap n N, yakni {a_n} naik.

(23)

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa {a_n_n} ter‐

batas di atas, persisnya bahwa a_n ≤ 2 untuk tiap n N, juga dengan Prinsip Induksi Matematika.

Jelas bahwa a₁≤ 2. Selanjutnya misalkan a_k ≤ 2.

Maka a = 0 5(a + 2) ≤ 0 5(2 + 2) = 2 Jadi Maka, a_k+1= 0.5(a_k + 2) ≤ 0.5(2 + 2) = 2. Jadi, berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, kita simpulkan bahwa a ≤ 2 untuk tiap n N

simpulkan bahwa a_n ≤ 2 untuk tiap n N.

Dengan demikian {a_n} naik dan terbatas di atas, sehingga menurut Teorema Barisan Monoton sehingga menurut Teorema Barisan Monoton, {a_n} konvergen.

(24)

*Prinsip Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah pernyataan atau kalimat Misalkan P(n) adalah pernyataan atau kalimat matematika yang berkenaan dengan n N.

[Sebagai contoh P(n) adalah kalimat “n < 2n” ] [Sebagai contoh, P(n) adalah kalimat n < 2n .]

Jika

(i) P(1) b d (i) P(1) benar, dan

(ii) P(k) benar mengakibatkan P(k+1) benar, maka

P(n) benar untuk setiap n N P(n) benar untuk setiap n N.

(25)

Bahan Diskusi Bahan Diskusi

Ke manakah barisan {a } tadi konvergen?

Ke manakah barisan {a_n} tadi konvergen?

Buktikan!