41 Perhitungan Penyesuaian Biaya Normal Dana Pensiun Dinamis Menggunakan Metode
Penyebaran (Spread Method) Pada Dana Pensiun Muhammadiyah Joko Purwadi
Universitas Ahmad Dahlan Jl Prof. Dr.Soepomo Warungboto Yogyakarta djokopoerwadi@gmail.com
Intisari
Model perhitungan sederhana terhadap penyesuaian biaya normal dana pensiun dinamis, pada program manfaat pasti dengan skema rate of return yang bersifat iid dan kepersertaan yang stationer dibahas dalam tulisan ini. Metode penyebaran (Spread Method) merupakan salah satu model penyesuaian biaya normal yang akan dibahas, akan dibahas pula pengaruh periode penyebaran terhadap tingkat pendanaan dan rerata kontribusi. Selanjutnya akan diteliti bagaimana perubahan momen pertama dan momen kedua dari tingkat pendanaan dan rerata kontribusi terhadap waktu t. Akan dibahas pula bagaimana simulasi menggunakan metode penyebaran pada Dana Pesiun Muhammadiyah.
Abtract
A simple model for defined benefit pension funding schemes with iid rate of return and stationary membership discuss. The method of adjustment to the normal cost called Spread Method will be discuss, and also the effect of the spread period choosen to the fund level and contribution rate. Finally the evolution in time of first and second moment of the pension fund level and contribution rate will be discuss.also in this paper will be discuss the simulation using the Spread Method on Muhammadiyah Pensiun Fund.
Kata kunci : Dana Pensiun Dinamis, Spread Method
1. Pendahuluan
Pada Dana Pensiun dengan manfaat pasti benefit dibayarkan berdasarkan suatu rumus tertentu. Seorang aktuaris diharapkan tetap mempertimbangkan ketidakpastian return dari hasil suatu investasi, ditetapkan beberapa asumsi yang berkaitan dengan rerata hasil suatu investasi yang merupakan barisan acak variabel random yang independen dan identik.
Sebuah model sederhana dari dana pensiun dengan pendekatan stokastik, pertama kali dikenalkan oleh Dufresne (1988) yaitu metode penyebaran yang merupakan metode penyesuaian biaya normal yang telah disesuaikan dengan hasil acak suatu investasi. Selain akan dibahas pula bagaimana pemilihan periode penyebaran yang paling optimal dengan menggunakan Metode Penyebaran ( Spread Method ).
Untuk mendapatkan model yang tepat dalam perhitungan menggunakan mmetode peyebaran diperlukan beberapa asumsi berikut :
1. Pengalaman aktual sesuai dengan asumsi aktuaria kecuali hasil dari investasi.
2. Populasi stasioner sejak dari awal
3. Tidak ada promosi skala gaji, suku bunga dan keuntungan secara riil menurut ketentuan yang berlaku.
4. Tingkat valuasi suku bunga adalah tetap.
5. Kontribusi pendapatan dan pengeluaran manfaat terjadi pada setiap awal periode.
42
6. Valuasi dipengaruhi oleh interval unit waktu.
Berdasar asumsi ini maka perlu ditetapkan rerata stokastik hasil investasi yang di notasikan . Tingkat Level Pendanaan dan Rerata Kontribusi yang merupakan proses stokastik diskret.
7. Rerata real hasil dari pendanaan pada periode , 1 adalah yang merupakan proses stokastik. Dimana E menyatakan rerata valuasi tingkat suku bunga.
8. Tingkat level dana pada 0 dikenal dengan nilai pastinya sebagai contoh 0 1,atau 1 1 dan sebagainya.
9. Asumsi yang terakhir berkaitan dengan rerata acak dari hasil suatu investasi yaitu, , 1 merupakan proses stokastik, sedemikian sehingga merupakan barisan distribusi variabel acak yang independen dan identik (iid). E dan Var
∞.
Dana Pensiun Muhammmadiyah merupakan Dana Pensiun Pemberi Kerja yang menyelenggarakan program pensiun manfaat pasti memiliki tanggung jawab untuk untuk menyelenggarakan dan menyediakan dana yang cukup untuk memenuhi kewajiban yang telah dijanjikan kepada pekerja. Adapun analisis data rencana penyelelenggaraan Dana Pensiun di Dana Pensiun Muhammadiyah berlaku sejak pengambilan data dan akan dihitung per tanggal 1 Januari 2012, Metode yang digunakan Dana pensiun Muhammadiyah dalam perhitungan ini adalah projected benefit cost method “attained age normal”. Pada tulisan ini akan di simulasikan perhitungan penyesuaian biaya normal menggunakan metode penyebaran (Spread Method) pada Dana pensiun Muhammadiyah.
2. Tinjauan Pustaka
Dalam bagian ini akan diberikan pengertian tentang Dana Pensiun, macam dana pensiun, sampai dengan keuntungan dan kerugian aktuaria. Selanjutnya untuk perhitungan pada simulasi perlu didefinisikan tentang Fungsi Survival serta beberapa fungsi - fungsi aktuaria yang digunakan dalam pembentukan rumusan penentuan manfaat pensiun, yaitu Composite survival function yang merupakan fungsi yang menggambarkan probabilitas seorang pegawai akan tetap bekerja selama masa kerja aktif, sampai waktu yang diperbolehkan untuk pensiun.
Probabilitas pegawai akan tetap bekerja selama satu tahun dalam kasus banyak penyebab (multi decrement) sama dengan perkalian komplemen – komplemen tersebut untuk setiap tingkat penyebab yang digunakan, dapat di rumuskan sebagai berikut :
1 1 1 1
Fungsi yang lainnya adalah Fungsi Manfaat yang merupakan fungsi yang digunakan untuk menentukan besarnya benefit yang akan diterima pegawai pada saat pensiun, pengunduran diri, cacat, dan meninggal dunia selama masa aktif. akan ditentukan pula besar Biaya Normal yang merupakan biaya tahunan yang dikenakan pada peserta yang masih aktif yang besarnya ditentukan menggunakan suatu metode biaya aktuaria adapun rumus yang kan digunakan untuk menghitung biaya normal adalah ;
untuk ( ) (2.20)
dalam bahasan ini diperulkan pula fungsi bunga yang merupakan fungsi untuk
mendiskonto suatu pembayaran yang akan datang ke waktu sekarang. Apabila tingkat bunga
pada tahun t dinotasikan dengan maka nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 yang akan
jatuh tempo n tahun adalah
43
…
dan jika , diperoleh
Rumus yang digunakan untuk menghitung fungsi nilai sekarang ( Present value ) adalah
Perlu didefinisikan pula suatu fungsi tentang anuitas, yang merupakan serangkaian pembayaran yang sifatnya periodik. Terdapat dua macam fungsi anuitas yaitu Fungsi Anuitas Jiwa yang merupakan merupakan serangkaian pembayaran yang sifatnya periodik dimana setiap pembayaran hanya dilakukan bila orang yang ditunjuk masih hidup pada saat pembayaran jatuh tempo, dan Fungsi Anuitas Pasti yang merupakan serangkaian pembayaran yang sifatnya periodik yang dilakukan dalam jangka waktu tertentu. Terdapat dua jenis anuitas pasti yaitu anuitas immediate dan anuitas due.
Akan ditentukan pula besar Kewajiban Aktuaria , yang merupakan perhitungan kewajiban dari dana pensiun, Secara umum kewjiban akturia dapat dinyatakan sebagai berikut :
selanjutnya akan dicari Rencana total Unfunded Libility pada awal tahun ke t didefinisikan sebagai selisih antara Kewajiban Aktuaria dengan asset dinotasikan sebagai berikut :
Banyak dikembangkan pendekatan baru terhadap manajemen dana pensiun menggunakan model stokastik. Pekerjaan awal pada model stokastik dikerjakan oleh Dufresne (1990), dan asumsi telah dikembangkan oleh Haberman (1993). Pada dana pensiun dengan pendekatan stokastik akan difokuskan pada fund level dan contribution rate yang memenuhi persamaan sebagai berikut :
1 1 1 (2.47)
1 1
Proses Stokastik digunakan untuk memodelkan evolusi suatu sistem yang memuat suatu ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tidak dapat diduga.
Momen, Ekspektasi dan Variansi dari proses stokastik diberikan sebagai berikut Jika adalah suatu peubah acak diskret maka momen ke – m dari didefinisikan sebagai
∑ , dengan syarat deretnya konvergen mutlak. Jika deretnya divergen maka momen ke m dari X dinyatakan tidak ada. Momen pertama dari suatu peubah acak dikatakan sebagai mean atau ekspektasi dari . Variansi dari yang dinotasikan
didefinisikan sebagai .
Proses stokastik dikatakan stasioner lemah jika rata-rata dan kovariannya tidak tergantung pada waktu , tetapi hanya tergantung pada lag waktu ke .Akan dianalisis juga bagaimana kestabilan asset dan kontribusi apabila dana pensiun menggunakan metode stokastik dengan menggunakan definisi berikut : Dufresne (1988)
Definisi : Suatu barisan yang memenuhi kondisi ∑ untuk 1
dikatakan stabil apabila terdapat nilai berhingga misalkan sedemikian sehingga
memenuhi lim untuk setiap himpunan , ,…,
44
Seorenag akruaris diharapkan dapat menghitung dengan cermat, sehingga antara asset dan kestabilan kontribusi dapat terjaga, oleh sebab itu perlu didefinisikan kondisi stabil suatu proses dana pensiun, sebagai berikut : Dufresne (1989)
Definisi : Suatu proses dikatakan stabil untuk order ke – n jika stabil.
Dari kedua definisi diatas dapat disimpulkan bahwa suatu proses akan stabil apabila limit dari ekspektasi suatu proses akan menuju suatu nilai.
3. Pembahasan
Metode Penyebaran yang dirumuskan sebagai berikut :
, 1/
|Pada metode ini anuitas yang dipergunakan dihitung berdasarkan rerata valuasi dan tingkat suku bunga, pada tulisan oleh Zimbidis dan Haberman (1993) dikenalkan tentang adanya penundaan pembayaran yang dinotasikan z, sebagai umpan balik dari sistem yang muncul disebabkan karena proses perhitungan akuntansi dan usaha aktuaria pada saat proses valuasi.
Adanya penundaan pada proses dana pensiun tentu saja akan berpengaruh terhadap sistem pendanaan terutama dalam menentukan besar kontribusi peserta program dana pensiun.
Zimbidis dan Haberman (1993) mengenalkan persamaan yang dipengaruhi oleh penundaan,:
dan,
3.1. Periode Penyebaran Dan Dinamika Stokastik.
Periode Penyebaran akan diperoleh dengan menetukan terlebih dahulu momen pertama dan kedua dari persamaan
1 1 1
dan
Dari kedua persamaan diatas akan didapatkan nilai ekspektasi dari dan sebagai berikut,
0 0 1 1
dan
0 0
Berdasarkan kedua persamaan diatas akan ditentukan ada atau tidaknya kekonvergenan dari dan dan apabila dilimitkan menjadi
lim
∞lim
∞0 0 1 1
lim
∞0 ,
serta,
lim
∞lim
∞
0 0
lim
∞0
45 Momen kedua dari dan akan diperoleh dengan merubah persamaan (3.4) menjadi
1 1 dan dengan persamaan berikut
1 1 ∑
selanjutnya akan ditentukan momen kedua dari dan dan diperoleh
1 1 1
Sehingga variansi dari 1 adalah
1 1
dengan,
1 1 ; 1
apabila ditentukan bahwa nilai 0 0 maka untuk waktu sampai dengan ke - t akan diperoleh persamaan secara umum sebagai berikut,
∑ untuk 1.
Diperoleh pula kovariannya sebagai berikut, , dan
,
Selanjutnya akan dicari variansi dari kontribusi dan akan diselidiki apakah terdapat hubungan antara variansi dengan variansi . Untuk menentukan variansi dari terlebih dahulu dicari dengan syarat 0 sebagai berikut :
2
sehingga didapatkan variansi dari kontribusi adalah .
jika variansi dari dan di limitkan dengan ∞ maka akan diperoleh
lim 0
1 dan,
lim 0
1
dan akan konvergen ke suatu nilai dengan ∞ jika nilai berada pada interval 1. Dengan adalah nilai minimum dari yang artinya terdapat keterkaitan dengan periode penyebaran maksimal. Dapat disimpulkan bahwa untuk
1 berlaku sebagai berikut :
lim (3.19)
Periode optimal akan diperoleh sesaui dengan proporsisi berikut ini,
46
Proporsisi 3.2 misalkan
1 1 dan 1 1/ , 1
√
1 berlaku, a. Jika 1, maka terdapat 1 sedemikian sehingga,
1. Jika 1
√
variansi dari ∞ dan ∞ akan turun seiring naiknya nilai k.
2. Jika 1 , variansi dari ∞ akan turun dan variansi dari ∞ naik seiring dengan naiknya nilai k.
Dengan
0 , 1 1 , 1
b. Jika 1 maka variansi dari ∞ akan turun dan variansi dari ∞ naik seiring dengan naiknya nilai k untuk semua 0 1.
Periode penyebaran dari metode spread yaitu yang bersesuaian dengan sebagai berikut
: 1
|
untuk, 1 maka periode yang sesaui adalah 0 sehingga ∞, sementara itu untuk 1 akan diperoleh,
• Jika 0 maka 1 1
|
dengan demikian dengan demikian
|1
• Jika 0 maka 1
|
1
1
1
|
1
1
|
1
1
|
1 1
|
ln ln 1 ln 1 / ln 1 apabila disimpulkan,
ln 1 / ln 1 , jika 0
1 , jika 0
47 Berikut ini akan ditampilkan variansi dan standart deviasi dari ∞ dan ∞ yang dinyatakan dalam persentase dari AL, dengan asumsi i = 0.03 dan 0.10 sebagai berikut,
k
. . ∞
/
. . ∞
/
0.04 84.96% 3.40%
0.05 53.03% 2.65%
0.06 41.88% 2.513%
K*=0.0662 37.74% 2.498%
0.07 35.74% 2.502%
0.08 31.74% 2.54%
0.09 28.86% 2.60%
0.1 26.66% 2.67%
0.2 17.31% 3.46%
0.3 14.08% 4.22%
0.4 12.39% 4.95%
0.5 11.35% 5.67%
0.6 10.67% 6.40%
0.7 10.21% 7.15%
0.8 9.92% 7.94%
0.9 9.76% 8.79%
1 9.71% 9.71%
Tabel 3.1 Standar Deviasi dari ∞ dan ∞
Grafik 3.1 Standar Deviasi dari ∞ dan ∞ 0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
12.00%
0.00% 50.00% 100.00%
std dev C(t)
std dev f(t)
Grafik Pengaruh Pemilihan Periode Terhadap Standart Deviasi f(t) dan C(t )
Series1
K*= 0.0662 K= 1
