PENENTUAN HARGA OPSI PUT AMERIKA MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO
Rina Ayuhana
Program Studi Ilmu Komputasi Universitas Telkom, Bandung [email protected] Abstrak
Opsi adalah suatu kontrak yang memberikan hak (tanpa adanya kewajiban) untuk membeli atau menjual suatu underlying asset pada harga tertentu dalam jangka waktu tertentu. Berdasarkan waktu exercise - nya, opsi dibedakan menjadi opsi Amerika dan opsi Eropa. Opsi Amerika memberikan kesempatan kepada pemegang opsi untuk meng - exercise haknya setiap saat hingga waktu jatuh tempo, berbeda dengan opsi Eropa yang hanya bisa di - exercise pada waktu jatuh tempo. Hingga saat ini, penentuan harga opsi Amerika dilakukan dengan menggunakan pendekatan numerik, salah satunya Algoritma Monte Carlo. Algoritma Monte Carlo adalah metode numerik yang memanfaatkan strong law of Large number untuk menemukan solusi dari problem matematis yang sulit diselesaikan. Berdasarkan simulasi, didapatkan hasil bahwa semakin banyak jumlah simulasi maka standard error semakin kecil. Hal ini menandakan bahwa pendekatan yang dilakukan oleh Algoritma Monte Carlo untuk menaksir harga opsi Amerika cukup baik.
Kata kunci : opsi Amerika, Algoritma Monte Carlo
1. Pendahuluan
Investasi di bursa saham adalah tindakan yang penuh dengan risiko sehingga investor harus berhati - hati dalam menginvestasikan dananya. Hal ini menyebabkan munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi.
Investasi alternatif yang ditawarkan adalah produk sekuritas turunan (derivatif), yaitu perangkat keuangan yang nilainya bergantung kepada nilai aset yang mendasarinya [5].
Salah satu produk derivatif adalah kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi), yaitu perjanjian antara dua pihak yang salah satunya memberi hak kepada pihak lain untuk membeli atau menjual (disebut dengan exercise) suatu aset pada harga dan periode waktu tertentu. Pada penelitian ini, aset yang digunakan adalah saham.
Berdasarkan hak yang diberikan, opsi dibagi menjadi opsi call dan opsi put. Opsi call memberi hak kepada pemegang opsi untuk membeli sejumlah asset sedangkan opsi put
memberi hak kepada pemegang opsi untuk menjual sejumlah aset. Berdasarkan waktu exercise - nya, opsi dibedakan menjadi opsi Amerika dan opsi Eropa. Opsi Amerika memberi kesempatan kepada pemegang opsi untuk meng - exercise haknya setiap saat hingga waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi Eropa hanya memberi kesempatan kepada pemegang opsi untuk meng - exercise haknya pada waktu jatuh tempo [5].
Hingga saat ini, penentuan harga opsi dilakukan menggunakan pendekatan numerik, salah satunya Algoritma Monte Carlo, yaitu metode numerik yang memanfaatkan strong law of Large number untuk menemukan solusi dari problem matematis yang sulit diselesaikan. Strong law of Large number artinya semakin banyak variabel acak yang digunakan maka akan semakin baik pendekatan nilai eksaknya. Oleh karena itu, digunakan GPU untuk mengimplementasikan Algoritma Monte Carlo supaya dapat menggunakan jumlah simulasi yang besar dengan waktu yang singkat.
GPU (Graphics Processing Unit) merupakan prosesor yang bertugas secara khusus untuk mengolah tampilan grafik. Dikarenakan kinerjanya yang cepat, saat ini GPU tidak hanya digunakan untuk pengolahan grafis, tetapi juga sebagai media komputasi [12].
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
a. Mengetahui bagaimana menentukan harga opsi put Amerika dengan menggunakan Algoritma Monte Carlo.
b. Mengetahui bagaimana menerapkan Algoritma Monte Carlo dalam penentuan harga opsi put Amerika pada GPU NVIDIA GeForce GTX 670.
c. Mengetahui performansi dari Algoritma Monte Carlo dalam menentukan harga opsi put Amerika.
d. Mengetahui waktu komputasi yang dibutuhkan untuk menentukan harga opsi put Amerika dengan menerapkan Algoritma Monte Carlo pada GPU NVIDIA GeForce GTX 670.
Pergerakan Harga Saham
(Higham,2004:56) menyatakan bahwa harga suatu aset mengikuti persamaan berikut
Nilai Opsi Put Amerika
D bawah kondisi risiko netral ( ) nilai opsi put Amerika dapat dinyatakan dengan persamaan berikut [5].
Persamaan (2) dapat digambarkan sebagai berikut.
Nilai yang diambil oleh menentukan waktu ketika opsi di - exercise. Jadi, ( ) merepresentasikan discounted payoff
Kuantitas adalah variabel acak yang bergantung pada jalur aset
Setiap aturan yang menetapkan sebagai suatu fungsi dari jalur aset dapat digunakan, dengan syarat bahwa keputusan untuk menetapkan hanya dapat
menggunakan informasi tentang selama
Nilai opsi diberikan dengan menggunakan aturan untuk menentukan yang mengarah ke expected payoff terbesar yang telah didiskontokan dengan suku bunga
8. Penentuan Harga Opsi Put Amerika
Opsi Amerika dapat di - exercise setiap saat dari awal kontrak hingga waktu jatuh tempo. Tidak diketahui waktu yang tepat untuk meng - exercise opsi. Dengan adanya stopping time, dapat diperkirakan kapan opsi di - exercise supaya diperoleh keuntungan yang optimal. Pada penelitian ini, penentuan stopping time dilakukan dengan cara yang cukup sederhana berdasarkan persamaan (2).
Misalkan opsi di - exercise pada waktu jika harga saham kurang dari suatu parameter , dengan adalah strike price dan adalah suatu bilangan pengali . Seandainya sampai waktu jatuh tempo opsi belum juga di - exercise, maka akan dilihat kondisi payoff. Jika payoff bernilai positif ( ( ) ), maka opsi bisa di - exercise, jika bernilai negatif maka sebaiknya tidak di - exercise.
Strateginya dapat dituliskan sebagai berikut.
Exercise opsi pada waktu jika
Pada waktu , exercise jika ( ( ) ) 9. Flowchart Monte Carlo Opsi Amerika
10. Subproses Penentuan Stopping Time
11. Subproses Penentuan Nilai Opsi
12. Implementasi dan Hasil Simulasi
Data saham yang digunakan adalah data saham harian perusahaan Microsoft yang diambil dari Yahoo Finance [13]. Waktu pengamatan adalah satu tahun, yaitu 25 Juni 2013 - 24 Juni 2014. Misal opsi diterbitkan pada 25 Juni 2014 dan berlaku hingga 16 Agustus 2014, berarti waktu jatuh tempo adalah 39 hari [14]. Harga saham awal adalah harga saham pada 24 Juni 2014, yaitu 41,75. Suku bunga diambil dari situs web U.S. Treasury, yaitu 0,03 [15]. Volatilitas dihitung berdasarkan data.
Berikut ini adalah hasil perkiraan harga opsi put Amerika menggunakan simulasi Monte Carlo dengan beberapa strike price dan jumlah simulasi yang berbeda. Perkiraan harga opsi put Amerika dapat dilihat pada kolom “MC”. Kolom “SE” menunjukkan standard error dan kolom “Waktu (s)” menunjukkan perbandingan waktu komputasi antara CPU dan GPU dalam detik. Sebagai perbandingan, terdapat kolom
“BS” yang merupakan hasil perhitungan harga opsi put Eropa menggunakan persamaan Black - Sholes.
Keempat tabel ini secara berturut - turut menunjukkan hasil dari 103, 104, 105, dan 106 kali simulasi.
13. Analisis
Nilai yang dihasilkan oleh Algoritma Monte Carlo hanyalah taksiran, tidak dapat dijamin sepenuhnya benar. Namun, dapat digunakan pendekatan variansi atau standard deviasi untuk memantau standard error. Berdasarkan percobaan yang telah dilakukan, semakin banyak jumlah simulasi maka standard error semakin kecil. Namun, harga opsi put Amerika yang dihasilkan dinilai terlalu mahal. Hal ini mungkin disebabkan oleh strategi penentuan stopping time yang digunakan belum tepat.
Pada tabel hasil simulasi, waktu komputasi antara CPU dan GPU tidak terlalu jauh, tetapi GPU mampu melakukannya lebih cepat. Mulai pada tingkat 106 kali simulasi dan seterusnya, CPU tidak mampu lagi melakukan simulasi dikarenakan keterbatasan memori.
Kecepatan waktu komputasi dipengaruhi juga oleh banyaknya bilangan acak yang harus dibangkitkan serta bilangan pengali yang digunakan untuk menentukan stopping time. Semakin banyak bilangan acak dan bilangan pengali maka waktu komputasi pun akan semakin lama.
Volatilitas berbanding lurus dengan harga opsi. Semakin tinggi volatilitas maka harga opsi akan semakin tinggi, tentunya dengan risiko yang tinggi pula. Hal ini merupakan sesuatu yang menarik bagi para investor yang menyukai tantangan
14. Kesimpulan
Perbedaan opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika terletak pada waktu exercise - nya. Opsi tipe Amerika dapat di - exercise sejak awal kontrak hingga waktu jatuh tempo, berbeda dengan opsi tipe Eropa yang hanya dapat di - exercise satu kali ketika waktu jatuh tempo. Oleh karena itu, pada Algoritma Monte Carlo dibuat penentuan stopping time untuk memperkirakan kapan opsi di – exercise
Untuk menentukan harga opsi put Amerika, Algoritma Monte Carlo diimplementasikan menggunakan MATLAB. Supaya dapat dijalankan pada GPU NVIDIA GeForce GTX 670 digunakan GPUMat 0.280
Dilihat dari standard error pada setiap percobaan, Algoritma Monte Carlo dinilai telah cukup baik dalam melakukan penentuan harga opsi put Amerika
Dengan menggunakan GPU, dapat dilakukan simulasi dengan ukuran yang besar dalam waktu yang relatif cepat. Untuk ukuran 106 kali simulasi, GPU dapat melakukannya dalam waktu 5 - 6 jam
15. Daftar Pustaka
[1] Ahmad, Machmud. 2012. Teknik Simulasi dan Permodelan. Makassar : Universitas Hasanuddin.
[2] Alexandrov, V. N., Christian Gonzalez Martel, J. Strabburg. 2011. Monte Carlo scalable algorithms for Computational Science. Procedia Computer Science. Vol 4, 1708 - 1715.
[3] Black, Fischer, Myron Scholes. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy. Vol 81 (3), 637 - 654.
[4] Capinski, Marek, Tomasz Zastawniak. 2003. Mathematics for Finance : An Introduction to Financial Engineering. United States of America : Springer.
[5] Higham, Desmond J.. 2004. An Introduction to Financial Option Valuation. New York : Cambridge University Press.
[6] Nadinastiti. 2010. Metode Monte Carlo. Makalah II2092 Probabilitas dan Statistik ITB, Bandung.
[7] Schaefer, Stephen M.. 2012. Risk Neutral Valuation, the Black - Scholes and Monte Carlo. London Business School.
[8] Jia, Quiyi. 2009. Pricing American Options using Monte Carlo Methods. Department of Mathematics Uppsala University.
[9] Widyawati, Neva Satyahadewi, Evy Sulistianingsih. 2013. Penggunaan Model Black Scholes untuk Penentuan Harga Opsi Jual Eropa. Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya. Volume 02 No. 1, hal 13 - 20.
[10] http://www.idx.co.id/idid/beranda/produkdanlayanan/saham.aspx. Diakses tanggal 11 Februari 2014.
[11] http://www.mathworks.com. Diakses tanggal 19 Juni 2014.
[12] http://www.gpgpu.org. Diakses tanggal 21 Juni 2014.
[13] http://finance.yahoo.com/q/hp?s=MSFT+H istorical+Prices. Diakses tanggal 25 Juni 2014. [14]
http://finance.yahoo.com/q/os?s=MSFT&m =2014-08. Diakses tanggal 25 Juni 2014.
[15] http://www.treasury.gov/resource-center/ data-chart-center/interest-rates/Pages/
TextView.aspx?data=billrates. Diakses tanggal 25 Juni 2014
