1.1 Latar Belakang Masalah
Fisika merupakan upaya menemukan pola-pola keteraturan alam dan mem- bingkainya menjadi bagan berpikir yang runtut, yakni berupa kaitan logis antara konsep- konsep tertentu. Bagan berpikir itu secara matematis disajikan sebagai kaitan-kaitan matematis yang menghubungkan struktur-struktur matematis yang mewakili konsep- konsep tertentu sehingga fisika dan matematika memiliki kaitan yang erat [Rosyid , 2012].
Beberapa hasil pengamatan dalam bidang astronomi dan astrofisika memper- lihatkan kegagalan pandangan Newton dalam memberikan penjelasan dan prediksi perilaku benda-benda langit, misalnya tidak mampu menjelaskan terjadinya presesi orbit Merkurius. Masalah berikutnya dalam teori Newton, cahaya tidak akan terpe- ngaruh oleh gravitasi. Demikian halnya, spektrum gelombang elektromagnetik secara umum. Oleh karena itu, sangat masuk akal jika gravitasi Newton tidak memperkirak- an terjadinya pembelokan cahaya oleh gravitasi. Tetapi dalam kenyataan, Merkurius terlihat oleh Eddington meskipun berada di balik Matahari pada saat terjadi gerhana Matahari pada tahun 1930. Juga, teori gravitasi Newton tidak meramalkan keberadaan gelombang gravitasi [Krane , 1992].
Einstein merupakan orang pertama yang mengusulkan paradigma baru dalam hal gravitasi dengan meninggalkan paradigma Newton. Pada dasarnya teori Einstein muncul sebagai upaya perumusan teori gravitasi yang kompatibel dengan relativitas khusus atau boleh dikatakan (meskipun tidak tepat benar) penggabungan teori gra- vitasi Newton dan teori relativitas khusus Einstein. Upaya ini dilakukan tatkala dia menyadari kenyataan penting bahwa seorang yang sedang jatuh bebas tidak akan me- rasakan berat tubuhnya. Artinya, ketika seseorang mengalami jatuh bebas, tidak ada cara untuk mengetahui berat tubuhnya.
Teori relativitas umum merupakan teori yang menggambarkan gravitasi se- bagai struktur geometrik dalam ruang-waktu (kelengkungan). Ruang-waktu dalam teori gravitasi umum diwakili oleh keragaman ruang-waktu berdimensi empat dan geometrinya ditentukan oleh metrik semi-Riemannan. Struktur geometrik bukan sa- ja muncul sebagai aktor utama dalam konteks relativitas umum Einstein, melainkan
1
juga dalam berbagai ranah fisika semisal mekanika klasik, teori medan tera, fisika partikel, dan lain-lain [Rosyid , 2012]. Teori relativitas umum mampu menjelaskan fenomena-fenomena astronomis, dengan cakupan luas pada struktur benda-benda ma- sif baik berupa bintang-bintang, meliputi katai putih (white dwarf ), bintang Neutron (Neutron Star), lubang hitam (black hole), quasar, dan jagat raya secara keseluruhan.
Lubang hitam Schwarzschild merupakan selesaian persamaan medan Einste- in untuk objek statik bermassa m, tidak bermuatan, dan bersimetri bola. Wakilan metrik pada koordinat Schwarzschild memberikan penjelasan fisis yang sangat baik dalam daerah ruang-waktu denganr > 2m, tetapi tidak dalam daerah ruang-waktu r ≤ 2m. Pemahaman atas kegagalan sistem koordinat ini menjadi tantangan me- narik bagi fisikawan. Sampai 1939, Robert Oppenheimer meramalkan lubang hitam dengan wakilan metrik pada koordinat Schwarzschild disertai penggambaran ruang- waktunya [Bernstein , 2007]. Salah satunya adalah koordinat Kruskal-Szekeres yang menjelaskan kekontinuan pada horizon peristiwa dari selesaian Schwarzschild. Ko- ordinat Kruskal-Szekeres memang cukup baik dalam menerangkan situasi di dalam lubang hitam bahkan mengembangkannya ke hal-hal yang di luar imajinasi manusia seperti konsep semesta lain dan lubang putih (white hole). Alih-ragam Schwarzschild ke Kruskal-Szekeres memberikan implikasi bahwa jari-jari Schwarzschild (r = 2m) adalah singularitas semu, sementarar = 0 merupakan singularitas nyata yang tetap terhadap alih-ragam koordinat.
Adanya indikasi materi gelap pertama kali diamati oleh Frits Zwicki dengan mengamati gerak galaksi-galaksi anggota gugus galaksi Coma berdasarkan kecepatan gerak. Kemudian dilakukan oleh Vera Rubin, meneliti kecerahan bintang dan gas yang bergerak di beberapa galaksi di sekitar galaksi Bima Sakti menggunakan spektrograf.
Pengamatan yang terkenal adalah bullet cluster, tabrakan antar dua kluster galaksi.
Tabrakan kedua kluster galaksi tersebut mengakibatkan pusat massa tiap kluster, yang seharusnya di pusat massa baryon, ternyata tidak berada di pusat baryon. Sehingga seolah ada massa 'tambahan' yang tidak terlihat tapi bisa dideteksi melalui perlensaan gravitasi. Adanya massa tambahan inilah terindikasi adanya materi gelap. Keberada- an materi gelap ini bersifat stabil, tidak berinteraksi elektromagnetik dan bisa didetek- si keberadaannya melalui interaksi gravitasi. Fenomena bullet cluster menunjukkan sifat interaksi antar materi gelap sendiri ternyata cukup lemah. [Clowe , 2006]
Saat ini, keberadaan materi tampak pada alam semesta diperkirakan sekitar4%
dari keseluruhan massa dan energi. Sekitar23% disebut Materi Gelap (patikel-partikel yang berinteraksi hanya melalui interaksi lemah dan gravitasi), dan75% adalah Ener-
gi Gelap. Kandidat Energi Gelap terbaik memiliki konstanta kosmologi positif sangat kecil yang diidentifikasi pada energi vakum dalam model standar [Fatibene dan Gar- ruto , 2014]. Di sisi lain baru-baru ini, penelitian-penelitian yang memodifikasi persa- maan medan Einstein dengan mengesampingkan asumsi indikasi keberadaan materi gelap dan energi gelap juga semakin meningkat dan hal ini juga sangat mungkin dila- kukan.
Kesenjangan dari fakta-fakta antara pengamatan dan perhitungan mendorong munculnya beberapa gagasan yang didasari oleh persamaan medan Einstein, yaitu ka- itan antara materi dan energi dengan geometri ruang-waktu. Gagasan pertama, meng- indikasikan keberadaan materi gelap dengan memodelkan ruas kanan pada persamaan medan Einstein (tensor kovarian energi-momentum). Gagasan kedua, memodifikasi ruas kiri persamaan medan Einstein, dengan asumsi tidak ada tambahan materi di luar materi yang tampak.
Modifikasi ruas kiri persamaan medan Einstein ditinjau melalui teori gravitasi- f (R), yang berkaitan dengan geometri ruang-waktu. Teori ini menyajikan model in- terinsik (geometrik) bagi materi gelap dan energi gelap. Yang menarik adalah bagai- mana hukum-hukum fisika yang terkait dengan relativitas umum dibawa ke relativitas umum yang telah dimodifikasi melalui teori gravitasi-f (R), salah satunya dengan me- mahami struktur ruang-waktu lubang hitam Schwarzschild. Selanjutnya, sifat-sifat fisis struktur ruang-waktu lubang hitam Schwarzschild perlu dibandingkan dengan hasil yang sudah termodifikasi untuk mendapatkan gambaran geometri ruang-waktu, termasuk singularitas ruang-waktu. Alih-ragam koordinat Kruskal-Szekeres semakin memotivasi fisikawan untuk mencari pengembangan lebih lanjut dari wakilan metrik pada koordinat Schwarzschild yang mampu meninjau keseluruhan ruang-waktu.
Semakin meningkatnya penelitian-penelitian ke arah teori modifikasi gravitasi bertujuan untuk memahami sejumlah isu dalam astrofisika dan kosmologi seperti hal- nya saat ini pengamatan ekspansi percepatan alam semesta dan keberadaan struktur materi gelap. Beberapa model dibuat dengan asumsi modifikasi relativitas umum de- ngan penambahan bentuk suku kelengkungan invarian yang lebih tinggi seperti skalar kelengkungan Ricci, tensor Ricci, dan tensor Riemann serta keberadaan medan skalar yang sesuai pada teori Brans-Dicke. Model-model tersebut dibangun dalam rangka mencari selesaian lubang hitam dikarenakan dalam konteks ini selesaian lubang hitam menjadi uji dasar untuk membandingkan suatu model yang baru terhadap gravitasi Einstein. Meskipun lubang hitam merupakan salah satu prediksi yang paling rumit tetapi setidaknya tetap digunakan untuk mengkaji konsep-konsep dari model-model
yang baru dikembangkan [De Laurentis dan Capozziello , 2012].
Berangkat dari uraian di atas, maka akan dipaparkan lebih mendetail dalam penilitian ini dalam rangka memahami lubang hitam yang diperoleh dari persamaan gravitasi Einstein melalui teori gravitasi-f (R).
1.2 Rumusan Masalah
Berbagai hal yang dibicarakan sebagai rumusan dari latar belakang di atas membawa kepada permasalahan-permasalahan yang muncul dalam penelitian ini, se- bagai berikut:
1. Bagaimanakah struktur ruang-waktu lubang hitam termodifikasi yang dihasilk- an menurut teori gravitasi-f (R)?
2. Bagaimanakah perumusan lubang hitam Schwarzschild dan koordinat Kruskal- Szekeres pada modifikasi teori relativitas umum menurut teori gravitasi-f (R)?
1.3 Batasan Masalah
Agar semakin terarah, penelitian ini dibatasi untuk beberapa bahasan:
1. Perluasan teori relativitas umum dikerjakan pada model teori metrik gravitasi- f (R).
2. Jenis lubang hitam yang ditinjau adalah lubang hitam Schwarzschild.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan masalah-masalah di atas maka cakupan tujuan penelitian ini se- cara rinci dapat dirumuskan sebagai berikut
1. Mempelajari struktur ruang-waktu lubang hitam termodifikasi yang dihasilkan menurut teori gravitasi-f (R).
2. Memahami dan memperoleh rumusan lubang hitam Schwarzschild dan koor- dinat Kruskal-Szekeres pada modifikasi teori relativitas umum menurut teori gravitasi-f (R).
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil-hasil penelitian ini diharapkan bermanfaat untuk memahami konseku- ensi teori gravitasi-f (R) pada gambaran matematis struktur ruang-waktu di sekitar lubang hitam, proses difusi bintang antap, radiasi hawking pada lubang hitam, per- umusan teori kuantum-gravitasi, dan berbagai fenomena fisis pada kosmologi dalam koridor prinsip relativitas umum Einstein.
1.6 Tinjauan Pustaka
Teori relativitas umum Einstein dipublikasikan di tahun 1915. Pada tahun 1916, Karl Schwarzschild menemukan selesaian persamaan Einstein untuk benda ber- simetri bola yang tampil sebagai wakilan metrik pada koordinat Schwarzschild dan dapat diterapkan untuk benda-benda masif. Pada tahun 1939, Robert Oppenheimer meramalkan tentang kehadiran lubang hitam apabila massa akhir supernova (ledakan bintang diakhir kematiannya) melebihi tiga kali massa matahari [Evoy dan Zarate , 1997]. Selanjutnya, Martin David kruskal tahun 1960 mengusulkan perluasan koor- dinat Schwarzschild ke koordinat baru dengan suatu bentuk alih-ragam antar koordi- nat. Alih-ragam ini menghapus singularitas di r = 2m, disebut koordinat Kruskal- Szekeres. Sistem koordinat Schwarzschild dan sistem koordinat Kruskal-Szekeres tidak kompatibel. Dengan kata lain, pemetaannya tidak diferensiabel. Berdasark- an pembuktian sederhana, terbukti bahwa sistem koordinat Schwarzschild dan sistem koordinat Kruskal-Szekeres tidak kompatibel. Hal itu menunjukkan bahwa kedua sis- tem koordinat itu berasal dari dua struktur diferensial yang berbeda. Dari hasil pene- litian diperoleh bahwa sistem koordinat Kruskal-Szekeres homeomorfis tetapi tidak difeomorfis sehingga dikatakan sebagai eksotika Kruskal-szekeres.
Daerah singularitas dalam ruang-waktu didefinisikan sebagai daerah tempat hukum-hukum fisika menjadi rusak dan tidak lagi berlaku [Hawking dan Ellis , 1973].
Hal ini disebabkan karena beberapa parameter fisis seperti massa, rapat massa dan ke- lengkungan ruang-waktu nilainya menuju ekstrim dan meledak [Joshi , 2007]. Daerah singularitas diperkirakan bisa ditemukan di beberapa keadaan. Yang pertama, berda- sarkan Teori Relativitas Umum (TRU), daerah dengan medan gravitasi yang sangat kuat seperti lubang hitam (black hole) dapat menyebabkan munculnya singularitas.
Stephen W. Hawking dan Roger Penrose [1969] telah melakukan penelitian dan ke- duanya menyimpulkan bahwa di dalam lubang hitam semestinya terdapat daerah si-
ngularitas dengan kerapatan massa tak-hingga. Keadaan lain yang memungkinkan adanya daerah singularitas adalah sesaat sebelum dentuman besar (big bang). Berda- sarkan model alam semesta Friedmann, pengembangan alam semesta yang sekarang ini berawal dari sebuah titik yang kemudian meledak dalam proses dentuman besar.
Titik awal dentuman besar ini, harusnya memiliki kerapatan massa tak-hingga, dan menjadi daerah singularitas.
Formalisma Palatini diperkenalkan pada tahun 1925, yang memberikan alter- natif bagi teori gravitasi, Palatini gravitasi-f (R). Beberapa tandingan teori relativitas umum, pertama diajukan oleh Whitehead di tahun 1992 yang hanya sedikit memodi- fikasi suku-suku wakilan metrik pada koordinat Schwarzschild. Kedua teori Brans- Dicke tahun 1961 yang menambahkan faktor medan skalar pada persamaan Einstein dan tetapan gravitasiG tidak konstan tetapi berkurang 1 dalam 1011setiap tahun [An- derson , 1967]. Brans dan Dicke [1961] menyempurnakan teori perluasan relativitas umum Einstein dan dasar-dasar teori modifikasi gravitasi. Teori Brans-Dicke meru- pakan salah satu kasus khusus teori skalar-tensor, teori gravitasi dengan interaksi gra- vitasi dikaitkan dengan medan skalar yang sama baiknya dengan medan tensor pada relativitas umum.
Nojiri dan Odintsov [2006] meninjau beberapa modifikasi gravitasi, seperti model f (R), f (G), dan gravitasi-f (R, G), sebagai pendekatan modifikasi gravitasi bagi materi gelap (dark matter). Mereka juga menunjukkan bahwa pendekatan mo- difikasi gravitasi sangat menarik dalam penerapannya untuk menghambat percepatan alam semesta dan isu tentang materi gelap. Multamaki dan Vilja [2006] menun- jukkan selesaian ruang kosong statis simetri bola gravitasi-f (R) dengan model f (R) yang berbeda, termasuk model f (R) = R− µ4/R, wakilan metrik pada koordinat Schwarzschild-De Sitter merupakan selesaian eksak persamaan medan.
Leach [2008] mempelajari perluasan teori relativitas umum dalam konteks kosmologi dan fokus pada berbagai terapannya dalam sistem dinamis. Leach dalam pengamatannya menunjukkan bahwa dinamika global beberapa model kosmologi di- hasilkan dari model skalar-tensor dan model teori gravitasi orde tinggi. Capozziello dan Francaviglia [2007] meninjau perluasan teori gravitasi melalui formaslima me- trik dan formalisma Palatini. Selanjutnya dibahas beberapa aplikasi pada kosmologi, astrofisika, dan juga isu-isu yang terkait dengan komponen-komponen gelap yang di- tunjukkan dengan memperluas teori Einstein ke Lagranganf (R) yang lebih umum, denganf (R) merupakan fungsi umum skalar kelengkungan Ricci (R). Beberapa apli- kasi teori gravitasi-f (R) pada kosmologi dan astrofisika, seperti inflasi, isu materi
gelap, konstrain gravitasi lokal, gangguan (peturbation) kosmologi, dan selesaian si- metri bola pada gravitasi kuat dan lemah. Selain itu, juga dikembangkan modifikasi gravitasi lainnya seperti teori Brans-Dicke dan teori gravitasi Gauss-Bonnet. [De Fe- lice dan Tsujikawa , 2010].
Capozziello, Stabile dan Troisi [2010] menunjukkan perbandingan gravitasi skalar-tensor dan gravitasi-f (R) pada level Newtonian. Hasilnya, selesaian pada level Newtonian diperoleh gravitasi-f (R) pada kerangka Jordan, yang selanjutnya dapat digambarkan sebagai teori gravitasi-skalar melalui kerangka Einstein. Capozziello dan De Laurentis [2011] meninjau dan memperkenalkan prinsip-prinsip dasar teori gravitasi, lebih spesifik pada teori gravitasi-f (R) dan skalar-tensor gravitasi dengan formalisma metrik dan Palatini.
Capozziello, De Laurentis, dan Stabile [2010] dapat menurunkan selesaian simetri aksial bagi gravitasi-f (R) dari selesaian eksak simetri bola yang diperoleh melalui pendekatan simetri Noether. Pendekatan ini menguatkan alih-ragam koordi- nat komplek sebelumnya yang dikembangkan oleh Newman dan Janis pada relativitas umum standar. Capozziello, Stabile dan Troisi [2010] telah menghitung selesaian ek- sak simetri bolaf (R), untuk kasus R konstan dan R = R(r), dan membandingkannya pada skala Newtonian yang memberikan hasil yang konsisten, serta digunakan pende- katan gangguan. Capozziello, Frusciante, dan Vernieri [2012] memperoleh selesaian simetri bola dari teori gravitasi-f (R) melalui pendekatan simetri Noether, dengan me- nentukan besaran-besaran yang lestari untuk mencari invariansi Lagrangan terhadap turunan Lie.
De Laurentis dan Capozziello [2012] dalam penelitiaanya mengamati struk- tur bintang dan lubang hitam dalam gravitasi-f (R). Selesaian lubang hitam, seperti Schwarzschild dan Kerr Metrik, memasukkan beberapa perhitungan termasuk struk- tur piringan akresi, lensa gravitasi, kosmologi, dan gelombang gravitasi. Laurentis dan Capozziello menyelesaikan selesaian masalah lubang hitam secara eksak dari fakta-fakta pada teori gravitasi-f (R) dan membandingkan hasilnya dengan relativitas umum standar. Selain itu, juga didiskusikan masalah-masalah keseimbangan hidros- tatis dan struktur bintang dalam konteks teori gravitasi-f (R).
Fatibene dan Garruto [2014] menunjukkan kesamaan antara teorif (R) Pala- tini dan teori Brans-Dicke pada tataran prinsip aksi Lagrangan. Mereka juga mem- perkenalkan Lagrangan Helmholtz berkaitan teori f (R) palatini dan menunjukkan alih-ragam antar kerangka meliputi kerangka Einstein dan kerangka Brans-Dicke.
Berangkat dari gagasan bahwa teori relativitas umum Einstein perlu diperluas
dengan teori metrik gravitasi-f (R), yaitu memodifikasi ruas kiri persamaan medan Einstein, maka akan diperoleh selesaian lubang hitam Schwarschild termodifikasi.
Selanjutnya, penulis berupaya untuk merumuskan suatu bentuk alih-ragam dari lu- bang hitam Schwarschild termodifikasi ke lubang hitam Schwarzschild di koordinat Kruskal-Szekeres termodifikasi. Selain itu juga dibahas struktur ruang-waktu dari lubang hitam tersebut.
1.7 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan studi literatur, diskusi, perhitungan-perhitungan, dan perenungan. Secara rinci, metode penelitian tesis ini adalah sebagai berikut:
a. Tahap Persiapan, yaitu dengan mempelajari literatur-literatur dan diskusi yang berkaitan dengan teori relativitas umum, lubang hitam, sistem koordinat Sch- warzschild, sistem koordinat Kruskal-Szekeres, dan teori perluasan gravitasi Einstein.
b. Tahap Perhitungan, yaitu dengan melakukan beberapa perhitungan diantaranya:
1. Menurunkan sistem koordinat Schwarzschild, dan sistem koordinat Kruskal- Szekeres.
2. Menurunkan persamaan medan Einstein standar dan medan Einstein ter- modifikasi, gravitasi-f (R) dan gravitasi skalar-tensor.
3. Merumuskan koordinat Schwarzschild dan Kruskal-Szekeres sebagai se- lesaian persamaan medan Einstein standar dan medan Einstein termodifi- kasi.
1.8 Sistematika Penulisan
Penulisan Tesis ini mengikuti urutan bab sebagai berikut:
1. Bab I merupakan pendahuluan yang mengulas mengenai latar belakang, rumus- an masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, tinjauan pustaka, metode pene- litian dan sistematika penulisan.
2. Bab II berisi konsep-konsep dasar tentang teori relativitas umum.
3. Bab III mengulas uraian mengenai lubang hitam, yakni lubang hitam Schwa- rzschild dan koordinat Kruskal-Szekeres.
4. Bab IV membahas penerapan pada geometrisasi sistem Maxwell-Klein-Gordon.
Sistem medan Maxwell-Klein-Gordon klasik diperoleh melalui pengkuantuman geometrik bagi sistem partikel bermuatan yang bergerak dalam medan gravitasi dan elektrodinamika. Selanjutnya dengan menggunakan pada bab sebelumnya diperoleh geometrisasi bagi sistem ini.
5. Bab V membahas simpulan yang diperoleh dari penelitian tesis ini dan saran bagi penelitian yang mungkin dilakukan pada masa mendatang.
